2023-2024學(xué)年福建省福州高二年級下冊開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年福建省福州高二下冊開學(xué)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

I.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且S2ι=2i,則4+46的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得邑=21與％+%的關(guān)系式,

即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式得，

S21=2Q+%）,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知4+如=必+%

2

所以J=9詈）=21

即4+α16=2.

故選：B.

2.已知直線/的方向向量為加，平面ɑ的法向量為”，則“m?n=0”是“〃/a”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合充分、必要條件的概念，即可得答案.

【詳解】若,"?"=0,則〃∕α或∕ue,故充分性不成立，

若〃∕α,則機?"=o,必要性成立，

故"m'n=0"是"IHa”的必要不充分條件，

故選：C

3.一些二次曲面常常用于現(xiàn)代建筑的設(shè)計中，常用的二次曲面有球面、橢球面、單葉雙曲

222

面和雙曲拋物面、比如，中心在原點的橢球面的方程為'+方+?∣τ=l（4>OS>O,c>O）,

中國國家大劇院就用到了橢球面的形狀（如圖1）,若某建筑準備采用半橢球面設(shè)計（如圖2）,

半橢球面方程為片+t+zJl（z20）,該建筑設(shè)計圖紙的比例（長度比）為1：50（單位:

22v,

m）,則該建筑的占地面積為（）

A.10();Fm2B.5000ΛTΠ2C.8OOO^m2D.10000?τm2

【正確答案】B

【分析】令Z=(),得到XOy平面上的曲線方程為一+9=2,為一個圓，求出面積即可求解.

【詳解】解析：求占地面積即求半橢球面的底面積，

所以，至IJXoy平面上的曲線方程為V+V=2,為一個圓，

所以，該半橢球面的底面是一個半徑為0的圓，

因為該建筑設(shè)計圖紙的比例(長度比)為1：50(單位：m)

所以，建筑時選的半徑為&x50=500米，

所以，建筑的占地面積為乃X卜0√∑F=5000萬平方米.

故選：B

4.已知拋物線V=6x,過點P(2,3)引拋物線的一條弦，使它恰在點P處被平分，則這條弦

所在的直線/的方程為()

A.x+y-5=0B,X-y+l=0C.2x+y-7=0D.x-2y+4=0

【正確答案】B

【分析】由題意知，直線的斜率存在，由點差法及中點坐標公式即可求得斜率，再由點斜式

求得直線方程.

【詳解】設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為A(x∣,χ),B{x2,y2),將兩點代入拋物線方程得

Fi=?’，兩式作差可得上二為=一4-=白=1，即直線的斜率％=1，

[%2=6X2占f+J22x3

所以直線方程為y-3=lx(x-2),即x-y+l=0

故選：B

5.如圖，在正方體ABCD-ABlGR中，E是棱S上的動點.則下列結(jié)論不正確的是()

A.平面AAAA

B.EB}1AD1

C.直線4E與8&所成角的范圍為(f,J)

42

D.二面角E-ABLA的大小為］

【正確答案】C

【分析】由平面Cz)RG〃平面AΛA4,AEU平面Cz)RG,即可判斷4建立空間直角坐

標系計算即可判斷選項B；求ICOS(AE,4A)I的范圍即可判斷選項C；先找出二面

角的平面角為AA即可判斷選項O,進而可得正確選項.

【詳解】對于選項A：因為平面CDRG//平面AABA,REU平面CDDC,

所以RE//平面44區(qū)4,故選項A正確;

如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1,則A。,。,。)，E(0,"i,0),0≤m≤l,

S1(1,1,1),D1(0,0,1),4(1,0,1),對于選項8：EB1=(l,l-m,l),AD1=(-1,(),1).

因為藥明=(1,1-機1)(一1,0,1)=-1+0+1=0,所以即EBJAR,

故選項8正確;

對于選項C:4E=(-1,%,O),β,O,=(-1,-1,0),設(shè)直線AE與BQ所成角為。,

則cosθ=|CoS〈AE,BlD)|=7"零∣產(chǎn),

√1+∕∏×√2

當m=0時最大等于正，此時。最小為】，

24

當初=ι時CoSe最小等于0,此時。最大為所以。e?,?,

7171

即直線AE與瓦。所成角的范圍為,故選項C不正確；

對于選項。：二面角E-ABLA即二面角。-ABLA,

因為DA1?Λ1B1,AA1J-ABI,

ZMIU平面EA￡,A41u平面AAA,

所以/ZM1A即為二面角E-ABLA的平面角,

ππ

在正方形AoPA中，∕D4IA=J,所以二面角E-AA-A的大小為

44

故選項。正確，

故選：C.

6.在數(shù)列｛%｝中，已知4=1,。向-4=Sin生產(chǎn)，則?≡=()

A.OB.1C.2D.3

【正確答案】B

【分析】由數(shù)列的遞推公式可得，數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，可求數(shù)列中的項.

［詳解】因H=sin所以%=a,,+sin,

..3兀

a2=<71+sinπ=1+O=1,a3=a^y+sin—=1÷(-1)=O,

.5兀?,.

?=Λ3+sin2π=O+O=O,ɑ5=?+sin?=O+1=1

%=4且Sin巨詈的值以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以數(shù)列｛%｝是以4為周期的數(shù)列,

a2022=4*505+2=β2=??

故選：B

7.正四面體ABCZ)各棱長均為0,E,F,G分別是A8,AZXDC的中點，則GbGF=()

EF

D

C

A.—B.√2C.1D.?

22

【正確答案】D

【分析】用CDCA,AB表示出GE,G尸，再求數(shù)量積.

【詳解】因為E,F,G分別是48,42。C的中點，四面體A88是正四面體，且棱長也，

所以

GEGF=(GC+CA+AE)-CA=(--CD+CA+-AB)-CA

2222

11-21

=——CDCA+-CA+-ABCA

424

=-1近*&8560。+1(0)2+L&X夜COSl20。=L

4242

故選：D.

，2

8.已知第一象限內(nèi)的點M既在雙曲線G:*■-方?=1(“>0,6>0)的漸近線上，又在拋物線

C√∕=2px(p>0)±,設(shè)G的左、右焦點分別為「、F2,若C2的焦點為鳥，且4ME鳥是

以例大為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為()

A.2

C.l+√2D.2+√3

【正確答案】B

【分析】由題意可得拋物線的準線方程為：X=",過M作MA垂直準線X=-c,利用拋物

線的定義得到MA="心=耳5，則四邊形死耳是正方形，從而△例月名是等腰直角三角

形，然后結(jié)合圖形和離心率公式即可求解.

【詳解】因為G的左、右焦點分別為6、匕C2的焦點為8,

所以拋物線的準線方程為：X=-J

又因為K是以為底邊的等腰三角形,

過M作M4垂直準線X=-c,如圖所示：

則MA=MK=耳8，所以四邊形AM馬耳是正方形，

則是等腰直角三角形，所以MA=M&=斗月=2c,

...?_MFl2cCb

OF2=c,tanZMOF2=——=~=一=2=—,

OF2ca

故選：B

二、多選題

9.下列結(jié)論中不正確的是()

A.若/(x)=XCOSX,貝!]∕'(X)=-SinX

B.若/(x)=3*,則/'(x)=x?3i

C.若"x)=ln(3x),則,'(X)W

D.若/(x)=e3*,則r(x)=B

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則逐一驗證即可

【詳解】A：/V)=Cosx-XSinx,A錯誤

B：/'(X)=3AIn3,B錯誤

C：/'(X)=3X4=LC正確

3尤X

D：∕,(x)=3×e3x=3e3x,D錯誤

故選：ABD

10.若復(fù)數(shù)z∣=2+3i,z2=-l+i,其中i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()

A.zl>z2

B.Iz∣?z2∣=lz∣∣?∣?l

C.若Z∣+m(meR)是純虛數(shù)，那么,〃=-2

D.若I，名■在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為。4，OB(。為坐標原點)，則卜q=5

【正確答案】BC

【分析】由虛數(shù)不能比較大小可判斷A,由復(fù)數(shù)模的計算可判斷B,由純虛數(shù)的定義可判斷

C,由向量的運算可判斷D.

【詳解】對于A,虛數(shù)不能比較大小，故A錯誤；

對于B,zl?Z2=(2+3i)(-1+i)=—5—i,∣z∣?ZJ=J25+1=,

IZll=X/4+9=λ∕I5,∣z2∣=72,故有|z「Z2RZlHZ2∣,B正確；

對于C,z1+m=2+m+3i,若Z∣+ΛΠ是純虛數(shù)，

則有2+m=0,即機=—2,C正確；

對于D,z1=2—3i,z2=-l-i,

則OA=(2,-3),OB=(-1,-1),所以AB=OB-OA=(-3,2),

所以,q=⑹N=J百，D錯誤.

故選：BC

11.設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為s“，公差為d,?α2=-12,Sll<0,S12>0,則下列結(jié)論正

確的有()

A.數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.當S“取得最小值時，〃=5或6

C.E吟

數(shù)列昌中的最小項為

D.

%

【正確答案】AD

【分析]由S"<0,S∣2>0得012>0,再由/=q+d=T2可判斷A;由SU=券xll<0得

,

&<0,Sl2=(%+%)x6>0得%>0可判斷B；由4=-12,4<0,%>0解得d的范圍可判

SSSfS

斷C；根據(jù)己知1≤"≤6時~>0,7≤“≤11時?-i<°,“212時-i>0,所以數(shù)列《―it｝■中

4%4[α,,J

的最小項在7≤"≤11之間，再由?！?、S”的正負和單調(diào)性可判斷D.

【詳解】對于A,因為Su<0,S∣2>0,所以出=4+11”>0,

因為4="∣+d=-12,所以《+IId=-12-d+lld=-12+l(W>0,得d>0,

故數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以選項A正確；

對于B,因為又<0,5口>0,所以SU=^^Xll=筌xll<0,可得&<0，

S12=、<兔×12=(t76÷07)×6>0,可得07>0,

由數(shù)列｛〃〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列前6項都是負的且和最小，所以選項B錯誤；

a2=al+d=-12

12

對于C,由02=-12,4v。，的>。得，%+5d<0解得Y<d<3,故C錯誤;

q+6d>0

對于D,〃∈N*,

當1≤"≤6時，?！?lt;。，S“<0,所以'>。，

S

當7≤∕z<ll時，aπ>0,S,,<0,所以=<0,

°n

當”212時，??>0,S?>0,所以2>0,

an

所以數(shù)列II中的最小項在7≤〃≤11之間,

IaJ

因為在7≤"≤11時，對>0且逐漸增大但5逐漸減小，S“<0且逐漸增大，所以手逐漸增

S

大，故71最小，所以D正確.

aI

故選：AD.

12.橢圓口工+[=1(。>。>0)的上下頂點分別4,8,焦點為￡,工，P為橢圓上異于A8

a~b

的一動點，離心率為e,則()

A.ZXPKK的周長為為(l+e)

B.離心率e越接近1,則橢圓C越扁平

C.直線PAPB的斜率之積為定值-

D.存在點P使得P耳，刃"則ee

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)橢圓定義可知焦點三角形周長為2α+2c,結(jié)合離心率轉(zhuǎn)化即可知A正確；根

據(jù)橢圓離心率與橢圓形狀的關(guān)系可知B正確；設(shè)尸(為,九)，結(jié)合兩點連線斜率公式化簡可

得斜率之積，知C錯誤；將問題轉(zhuǎn)化為當P為短軸端點時，ZFiPF2≥^,利用余弦定理可

構(gòu)造齊次不等式求得e的范圍，知D正確.

【詳解】對于A,由橢圓定義知：∣P6∣+∣"∣=2α,又位同=2c,e*,

.?.寫巴的周長為2tz+2c=勿+2e4=2tz(l+e),A正確；

對于B,Qe=￡=、1-上，，當e越接近1時，的值越小，則橢圓越扁平，B正確;

a\a~a

對于C,設(shè)尸(x°,y°),則巾=/一/尤，又A(O,α),β(0,-β),

2

a2

.kkCo+"%-。)'：一」一5~>_〃，C錯誤:

kli---

--PA-PB--~v2v2P^

人0人0?()?()u

對于D,由橢圓性質(zhì)知：當尸為短軸端點時，/月P八最大,

若存在點P使得PK?PFi,則當戶為短軸端點時，N匕尸K≥5，

22/t21

此時COSNF?PF,=’「+L≤O,即4/22/,.?.e2>-,

2a"2

—歷?

又ec(θ,l),e∈-^-91,D正確.

_7

故選；ABD.

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=lnx,則Iim/(2+?)-∕(2)=____.

.v→0?χ

【正確答案】g##0.5

【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)的運算公式可得結(jié)果.

【詳解】V/(x)=l∏x

，/'(X)」

X

./(2+Ar)-∕(2)I

..rIim---------------------=f(2)=—

AToAx2

故答案為

14.已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛q｝滿足%，3%,5%成等差數(shù)列，則

牝+%二

ai+a9'

【正確答案】25

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4“｝的公比為4,則0<4<l,根據(jù)等差中項和等比數(shù)列的通項公式列

式求出4,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,則0<4<l,

因為％,3%,5%成等差數(shù)列，所以2x3%=%+5%,

24

所以6q∕=aiq+5atq,所以5d-6q+1=O,

解得4=(或9=1(舍),

延（1+4）=%=J_=J_

4+%

所以必（1+q）??2q2J_

25

故答案為.25

2222

15.已知產(chǎn)是橢圓G：=+A=I(q>4>0)和雙曲線C?J-2=l(α,>0也>0)的交點,

a；b「小仿

”,馬是G，Cz的公共焦點，4,6分別為C∣,C2的離心率，若NFJP鳥=4,則'?'的

3e∣4

取值范圍為.

【正確答案】(o,ι)

【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義把∣P6∣,∣P可用49來表示，然后在片中用余弦定

理求出4,1的關(guān)系，然后再用函數(shù)求解.

【詳解】設(shè)IP用=皿IPEl=W

因為點P在橢圓上，所以，"+"=2q①

又因為點尸在雙曲線上，所以〃?-〃=2/②

則①+②得機=4+生；①-②"=4-七

在中由余弦定理得：內(nèi)與「=>+/_2WWCOS與

2

即4c=(q+α2)^+(?,-6Z2)^-2(α∣+?)(Λ∣-?2)^—?-'j

22

B[J4C=3Λ,+Λ≡,即4=墨+緝即4=當+1

C-C6]e2

1413

所以1l<F<q,F=4yl--,

e：3e?e∣r

?4111(3A

令l<f=-y<4,則WW=W4--5=-3/2+4r∈(0,l)

，、ele26]Iel)

所以L,≡(°,ι)?

故答案.(0,1)

16.如圖，在三棱錐O-ABC中，三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，且Q4=O8=OC=2,

M為ABC內(nèi)部一動點，過例分別作平面OAB,平面OBC,平面OAC的垂線，垂足分別為

P,Q,R.

A

①直線PR與直線BC是異面直線；

②IMH+∣M2∣+∣幽為定值；

③三棱錐M-PQR的外接球表面積的最小值為4號TT；

2

④當MPl=IMQI=］時，平面PQR與平面OBC所成的銳二面角為45°.

則以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是.

【正確答案】②③

【分析】根據(jù)匕一皿?=VMw+%到c+%一函?，即可判斷②；由題意可知MR,"P,MQ兩兩

垂直，由②結(jié)合基本不等式求出三棱錐M-PQR的外接球半徑的最小值，即可判斷③；當

2

IMH=IMQ|=§時，何為JWC的中心，以。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可

判斷④；當M為JRC的中心時，，利用向量法證明依〃BC,即可判斷①.

【詳解】解：對于②，設(shè)PWRl=α,∣M"=NMQI=c,

由題意匕-OBC=M-OAB+VM-OAC+^M-OBC，

即-X—x2x2x2=lχLχ2x2xh+!χJχ2x2xα+-χLχ2x2xc,

32323232

所以a+/?+c=2,

即IMH+|M9+|MR|=2為定值，故②正確；

對于③，設(shè)三棱錐M-PQR的外接球的半徑為R,

由題意可知MR,MRMQ兩兩垂直，

222

貝IJ2R=yj?MP^+?MQ^+?MR^=y∣a+b+c

=y∣a2+?2+[2-(^+fc)]2

=Ja2+b1+4-4(〃+/7)+(〃+if

≥g(a+b)2-4(α+b)+4

=Jl(α+?)-?4^

3

2

當且僅當。=人=§時，取等號,

所以2R的最小值為亞，

3

即R的最小值為立，

3

所以三棱錐M-PQR的外接球表面積的最小值為4萬y,故③正確;

對于④，如圖，以。為原點建立空間直角坐標系,

2O

因為IMPl=IMQI=§,所以IMRI=

此時，”為，.ABC的中心，

P停。，斗。(翡，。)，｛。，|，54。，。，2)，

因為OA?OB,OA±OCQBCOC=O,

所以O(shè)A，平面OBC,

故Q4=(0,0,2)即為平面OBC的一條法向量,

PQ=哈-IMR=tτθ

設(shè)平面PQR的法向量為n=(χ,y,Z),

22

n-PQ=-y——Z=O

3,可取”=

則有，322(1,1,1),

n?PR=——JC+-y=O

33

,/八八

則"吁啊n?OA=百√3

所以平面PQR與平面OBC所成的銳二面角的余弦值為正力弓，故④錯誤,

由④可知，當勸為_鉆。的中心時，PR=(-∣,∣.0

B(2,0,0),C(0,2,0),則BC=(-2,2,0)=3P7?,

所以/,R〃BC，

所以直線PR與直線BC共面，故①錯誤.

故②③.

四、解答題

17.已知。，b,C分別為一ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且2b=c+2acosC.

⑴求A；

⑵若ΛBC的面積為迪，。=3,求，ABC的周長.

3

【正確答案】(I)A=W

(2)8

【分析】(1)由2?=c+2tzcosC及正弦定理求解；

(2)由面積公式求得。c?,由余弦定理及。=3求得b+c,從而得到.ABC的周長.

【詳解】(1)M=C+2αcosC.，由正弦定理可得:

2sinB=sinC+2sinAcosC,

所以2sin(π—A-C)=2sin(A+C)=sinC+2sinAcosC,

所以2sinAcosC+2cosASinC=sinC+2sinAcosC,

.*.sinC=2cosAsinC，

。為三角形內(nèi)角，sinC≠O,解得CoSA=g,A∈(O,π),

π

.,.A=一.

3

G?,1.^4√3..

(2)S=-c?(?sinA——he,—=-,??uc一，

22233

由余弦定理得，ci2=b2+c2-2。CCoSA=(b+c)2-2hc-2bccosA,

BP9=(?+c?)2-3×y,解得6+c=5,

.二ΛBC的周長為α+b+c=8.

18.已知點A(0,5),圓C.*?+點+4x-12y+24=0

(1)若直線/過A(0,5)且被圓C截得的弦長為4√L求直線/的方程；

(2)點M(TO),N((U),點。是圓C上的任一點，求。點到直線MN的距離的最小值.

【正確答案】(1)X=O或3x-4y+20=0；(2)述-4.

2

(1)求出圓的圓心坐標及半徑，直線斜率不存在時直線方程為：x=0,利用勾股定理驗證

是否符合題意；當直線斜率存在時，設(shè)出直線方程并利用弦長及勾股定理求出斜率即可得解;

(2)求出直線MN的方程,求出圓心到直線的距離乩圓上點距直線的距離的最大值為d+r,

最小值為d-r.

【詳解】(1)圓C：x2+y2+4x-l2y+24=0,即(x+2『+(y-6)?=16,

其圓心坐標為(—2,6),半徑為廠=4,點4(0,5),

①當直線斜率不存在時，直線方程為：X=O,

此時圓心(-2,6)到y(tǒng)軸的距離d=2,

由勾股定理可得，弦長為，符合題意

②當直線斜率存在時，設(shè)過A的直線方程為：y=kx+5,

化為一般方程：kx-y+5=0,

圓心到直線的距離d=!一/,」=.

√l+?2√I+?2

3

又(2\/§y+/=產(chǎn)=16,整理得4A+1=4,解得：k=-f

4

所以3x-4y+20=0,

綜上可得直線/：X=O或3%—4y+20=0；

(2)直線MN的方程為—x+y=1,即x-y+l=。.

圓C√+∕+4x-12γ+24=0,其圓心坐標為(-2,6),半徑為尸=4,

I-2-6+l∣1?∣2

可得圓心(-2,6)到直線MN的距離為d=

~^∕2~~~?

圓上的點到直線距離的最小值為逑-4.

2

求圓上動點距圓外直線距離的最值時：求出圓心距直線的距離d,圓上點距直線的距離的最

大值為d+r,最小值為d-r.

19.已知函數(shù)/(x)=xlnx-2x.

(1)求函數(shù)Ax)的最小值；

(2)求函數(shù)g(x)=∕(x)+x-e的單調(diào)區(qū)間：

(3)若函數(shù)∕z(x)=∕(x)-"猶在xe[l,+∞)單調(diào)遞增，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【正確答案】(1)-e；(2)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(l,+∞);(3)m≤-?.

(1)求導(dǎo)可得/'(X)=Inx-I,令F(X)=O得x=e,分別討論Xe(O,e)和xw(e,+8)時導(dǎo)函

數(shù)的正負，可得F*)的單調(diào)性，即可求得最小值；

(2)求導(dǎo)可得g'(x)=lnx-e,由g(x)=0得x=l,分別討論X”0,1)和Xe(I,—)時導(dǎo)函數(shù)

的正負，可得g(x)單調(diào)區(qū)間；

(3)所求等價于∕ι(x)=∕(X)-〃比在xe[l,田)單調(diào)遞增，即機≤lnx-l恒成立，根據(jù)X的范

圍，即可求得InXT的最小值，即可得答案.

【詳解】(1)函數(shù).f(x)的定義域為(0,+e),∕,(x)=lnx-l,

由f(x)=0得x=e,

所以當x∈(0,e)時，/(Λ)<0,f(χ)單調(diào)遞減,

當xw(e,+∞)時,/(x)>0,F(X)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)的最小值為/(e)=-e;

(2)g(x)=xlnx-x-ex,g'(x)=lnx,

由g'(x)=O得x=l,

所以當Xe(0,1)時，g(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

當Xe(I,+8)時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(()/)，單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8)；

(3)〃'(X)=InX-I-帆，因為函數(shù)∕7(x)=∕(x)τnr在x∈[l,+8)單調(diào)遞增，

所以(X)=InX-I-MNO在χ∈[l,+8)恒成立，即-≤lnx-l,

因為χ∈[l,+0o),所以(InX-I)IAI=InlT=-I,

所以機≤—1；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值(最值)的方法，并靈活應(yīng)用,

在已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)時，可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，若根<心)，需要〃?<?X)mi?，若〃?>"X),

需∕>f(x)maχ,考查計算化簡的能力，屬中檔題.

20.己知等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為s.，S.也J為等差數(shù)列4=7,仇+4=10.

(1)求｛%｝,｛5｝的通項公式;

(2)設(shè)%=4億，數(shù)列｛%｝的前〃項和為7,求北.

【正確答案】(l)%=2"τ,bn=2n+?

(2)η,=(2n-l)?2"+l

fS1,π=1

【分析】(1)根據(jù)4=C、.即可求得數(shù)列｛α,,｝的通項，求出｛〃,｝的公差，從而可

IA-Sc,τ,“≥2

得｛4｝的通項;

(2)利用錯位相減法計算即可.

【詳解】(1)當〃=1時，Sl=α∣=2q-l,α∣=l,

當“≥2時，a?=Sn-S?_,=2an-2an,l,即α,,=2α,

所以｛α,J是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列,

所以α,,=2j

又么=7,bi+b3=Ib2=10,解得4=5,

所以等差數(shù)列也,｝公差d=7-5=2,

從而得以=5+2(〃-2)=2〃+1；

(2)因為q,=α也=(2"+l)2"T,

所以7；=3×20+5×2'+7×22++(2n+l)?2π^l,

27；,=3×2I+5×22+7×23++(2n+l)?2π,

,

兩式相減得T,=3+2(2+22++2"-')-(2n+l)?2,

=3+2x^^~‰2,+l)2,

1-2

所以7>(2"-l)?2"+l.

21.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAO是正三角形,

平面∕?D"L平面ABCD.

(1)證明：ABl平面PA￡>；

(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;

(3)求點D到平面PBC的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵叵

7

⑶酒

7

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可證明AB人平面PA。；

(2)建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求出平面PBC法向量和尸4的坐標，根據(jù)數(shù)

量積的定義計算即可；

(3)直接利用空間向量法即可求出點到平面的距離.

【詳解】(1)四邊形ABCD為正方形，則ABLAD,

平面E4￡>_L平面ABCZ),平面PADc平面ΛBCD=AD,

.?.432平面「49；

(2)如圖，取A。的中點為。，連接PO,

在正；.皿>中，POLAD,平面R4￡>_L平面ABa>,

平面上M>c平面ABCD=4),，尸。J■平面ABa),

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

不妨取A3=2,

則O(0,