2024屆浙江省五校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆浙江省五校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2.B.1

11

C.一D.-

24

2.在等差數(shù)列｛%｝中,S”為數(shù)列伍」的前〃項(xiàng)和，%+%=9,S5=-1Q,則數(shù)列｛““｝的公差為O

A」BT

C.4D.-1

3.已知/（初二3^+伍―i）/+x+l沒有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0,1]B.(-oo,0]U[l,+oo)

C.[0,2]D.(-a),0]U[2,+<?)

4.已知向量4=(1,2,-丁),/?=(%/,2),且1//B，則()

1

A.-2B.----

2

1

C.一D.2

2

2

5.已知m是1和9的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線好+二=1的離心率為（）

m

A.逅B.逅或2

33

「26

------0至或正

333

6.已知雙曲線9必—my2=i的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為g,則機(jī)=。

A.5B.25

「9

C.y/5D.-

22

7.雙曲線C:——4=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為目、F,,尸為雙曲線C的右支上一點(diǎn).以0為圓心a為半徑

ab

的圓與P片相切于點(diǎn)且|〃/=|耳加|,則該雙曲線的漸近線為（）

A.y=±2無B.y=±x

C.y=±A/3XD.y=+3x

8.如圖，在長方體中，AAl=2AB=2AD,E,b分別為的中點(diǎn)，則異面直線OE與AF

所成角的余弦值為（）

EDy

9.拋物線必=2>準(zhǔn)線方程為（）

A.%=-1B.x=--

2

,1

C.y=-1D.y=--

10.在棱長為2的正方體中，E為線段。。的中點(diǎn)，則點(diǎn)兒到直線與E的距離為。

G273

A?-------￡>?---------

23

RA/5026

23

11.有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s（f）=〃+3/,。是時(shí)間，，是位移），則該機(jī)器人在時(shí)刻/=2時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.5B.7

C.10D.13

12.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在8軸上的雙曲線。的離心率為6，則其漸近線方程為O

A.y=±^2xB.y=±―—x

-2

C.y=±2xD.y=±gx

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點(diǎn)M（-1,1,-2）,平面〃過原點(diǎn)。，且垂直于向量”=（1,-2,2）,則點(diǎn)Af到平面萬的距離是.

14.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1,兩點(diǎn)（或兩個(gè)

小石子）代表2,三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3,...他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五

邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）.如前四個(gè)四棱錐數(shù)為第"個(gè)四棱錐數(shù)為1+4+9+...+層

="（"+1）（2"+1）.中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

6

后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…若一個(gè)“三角垛”共有20層，

則第6層有一個(gè)球，這個(gè)“三角垛”共有個(gè)球

15.中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之

意，為迎接2022年春節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1533盞燈

籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛______盞燈籠

22

16.已知雙曲線工-4=13〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳,且，過點(diǎn)工的直線交雙曲線右支于A,B兩點(diǎn),若AB4是

4b-

等腰三角形，且NA=120。，則,的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

丫2

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線C:;/=2px（。＞0）的焦點(diǎn)廠到雙曲線的漸近線

的距離為L

（1）求拋物線C的方程；

（2）若不經(jīng)過原點(diǎn)。的直線/與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),且求證：直線/過定點(diǎn).

18.(12分)已知復(fù)數(shù)z=bi3eR),二7+^3是實(shí)數(shù).

1-1

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若復(fù)數(shù)(根-z)2-8根在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

22

19.(12分)已知橢圓。：=+二=1(?！?/〉0)的右焦點(diǎn)為(1,0),短軸長為4,設(shè)耳，&的左右有兩個(gè)焦點(diǎn)

ab

(1)求橢圓C的方程；

(2)若尸是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求班;的取值范圍；

⑶是否存在過點(diǎn)4(5,0)的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D,使得上。卜區(qū)。|?若存在，求出直線/的方程；若

不存在，請(qǐng)說明兩點(diǎn)

20.(12分)已知復(fù)數(shù)z=(后—6%+8)+(祖2—3〃z+2)i,其中i是虛數(shù)單位，機(jī)為實(shí)數(shù)

(1)當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求機(jī)的值；

(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求機(jī)的取值范圍

21.(12分)如圖，在四棱錐尸-43。中，P0_L底面48ahAB//CD,A5=2,C0=3,M為PC上一點(diǎn)，且

2MC.

(1)求證：〃平面RI。；

(2)若AO=2,PD=3>,ZBAD=60°,求三棱錐P-AOM的體積

22.(10分)某情報(bào)站有A、B、C、D、E.五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末

使用的四種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種.設(shè)第一周使用A密碼，襄表示第上周使用A密碼的概率

(1)求片，鳥，鳥，舄；

(2)求證：［6-g］為等比數(shù)列，并求號(hào)的表達(dá)式

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).

【詳解】由丁二3必得必=2＞，所以”=1,所以拋物線y=gd的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,

故選：B.

2、A

【解析】由已知條件列方程組求解即可

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)?+%=9,S5=-10,

+。］

所以1a5}+-21d。-+1。5d=9(2,——4

解得d=l

故選：A

3、C

【解析】求導(dǎo)得尸(x)=%2+2(?-l)x+l,再解不等式［2(。一DP_4W0即得解.

【詳解】由/(x)=x3+(a-i)x2+x+1得尸(x)=x2+2(a-l)x+1,

根據(jù)題意得［2(a—I)?_4W0,解得0WaW2

故選：C

4、A

【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.

x12

【詳解】由題意可得不=7=一，

12-j

解得元=；,y=-4,

所以孫=；x(—4)=-2.

故選：A

5、B

【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得加=±3,分別計(jì)算曲線的離心率.

【詳解】由加是1和9的等比中項(xiàng)，可得相=±3,

2

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，曲線方程為/+匕=1,該曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，離心率e=

3

2_____

當(dāng)加=—3時(shí)，曲線方程為――2L=i,該曲線為焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線，離心率《=^/］芯=2,

3

故選：B.

6、B

119+m

【解析】由漸近線方程得到/9=-,b9-=-c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土”,0）,漸近線方程為：3x土由y=0,

m9mV9m

利用點(diǎn)到直線距離公式即得解

A

八221%

【詳解】由題意，雙曲線以~my=lo?

9m

..217212119+Z77

故〃=一,b=—,c=一十一二-----

9m9m9m

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±小矍,0）,漸近線方程為:y=±—x=±-o3x±y[my=0

ay/m

/9+m

焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為：、\9m1

a=—J=—二—

v9+m5

解得：m=25

故選：B

7、A

【解析】連接。鳥、OM,利用中位線定理和雙曲線定義構(gòu)建參數(shù)。，瓦。關(guān)系，即求得漸近線方程.

【詳解】如圖，連接。工、?！?，TM是尸尸的中點(diǎn),

.?.0河是4尸/但的中位線，.?.0乂/小6,K\PF2\=2\OM\=2a,

根據(jù)雙曲線的定義，得歸用尸閶=2a,尸耳|=|尸閭+2a=4a,

?.?Pf；與以原點(diǎn)為圓心。為半徑的圓相切，

OM±PFlt可得尸耳，尸￡,

△P7笆中，|尸片「+盧閭2。耳聞2,即得（4a『+（2a）2=閨閶2,

.?.（2°）2=寓閶2=20標(biāo)，解得°2=5〃，即尸=°2一°2=4后，得b=2a.

由此得雙曲線的漸近線方程為y=±2x.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用和漸近線的求法，屬于中檔題.

8、A

【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問題，再解三角形.

取BC中點(diǎn)3H中點(diǎn)/,連接A/、FI、B[H,因?yàn)镋為42中點(diǎn)，在長方體ABCD-ABCQ中，BtE//DH,

所以四邊形與E?！笔瞧叫兴倪呅危?/p>

所以BM//DE,又因?yàn)榇鯙?片的中點(diǎn)，所以BN//FI,所以DE//FI,

則ZAFI即為異面直線DE與AF所成角（或其補(bǔ)角）.

設(shè)心貽4,則A4=8,則次=1,BF=4,根據(jù)勾股定理:

FI=y/FB2+BI2=V17，A/=7AB2+BZ2=A/17?

AF=VAS2+BF2=4A/2>

所以是等腰三角形，所以cos4%-2-_2夜_2取.

FlV1717

故B,C,D錯(cuò)誤.

故選：A.

9、D

【解析】由拋物線x2=2y的準(zhǔn)線方程即可求解

【詳解】由拋物線必=2》方程得：2P=2.所以￡=工，

22

拋物線X2=2y的準(zhǔn)線方程為v=-1

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題

10、D

【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△4與E中應(yīng)用等面積法求A到直線耳E的距離.

【詳解】由正方體的性質(zhì)：44，面4。24,又AEU面AD2A，故片與，4E,

直角△43也中，若A到耳E上的高為〃，

'-SAiBiE=^-AiBl-AiE=^-h-B1E,而$耳=2,4￡=石，B1E=3,

2A/5

故選：D.

11、B

【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在f=2時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.

【詳解】由題知，s'⑺=2,+3,

當(dāng)f=2時(shí)，s'(2)=7,即速度為7.

故選：B

12、A

b

【解析】根據(jù)離心率求出一的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.

a

b

【詳解】因雙曲線焦點(diǎn)在X軸上，所以漸近線方程為：y=±—x,

a

又因?yàn)殡p曲線離心率為石，且儲(chǔ)+廿=02,

解得2=3,即漸近線方程為：y=+41x.

a

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、

UUUI

MO-n

【解析】確定MO，MO-n，利用點(diǎn)M到平面力的距離為d=即可求得結(jié)論.

ULUlUUU

【詳解】由題意，MO=(1,-1,2)?n=(l,-2,2),.-.M(9.n=l+2+4=7

uuirruuirr

設(shè)V。與〃的夾角為a,則，M。,“cosa

UUU1

MOn7

所以點(diǎn)M到平面兀的距離為d=

R-3

7

故答案為：—

14、①.21②.1540

【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到4=l+2+3+L由

此可求名的值，以及前20層的總球數(shù)

【詳解】由題意可知，%=1,%=%+2=1+2,%=出+3=1+2+3,■,

冊(cè)—+九=1+2+3++〃,

，?(，?+1)2

故4=l+2+3+L+n==ln+ln,

222

b6x7

所心=;—=21,

222

所以S2o=a1+42+03+44++<i2o=—(1+2+3++2()2)+—(1+2+3++20)

120x(20+l)x(2x20+l)120(20+1)

=—x-----------------------------------------------------+—x----------------------=1540

2622

故答案為：21；1540

15、3

【解析】根據(jù)給定條件，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{4}(〃eN*/<9),公比q=2,前9項(xiàng)和為1533,

于是得$9=幺痣2=1533,解得4=3,

所以內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛3盞燈籠.

故答案為：3

in166

1b、-----

3

【解析】根據(jù)題意可知，|A耳|=|A耳忸閶=2a,忸耳|=4a,再結(jié)合NA=120。，即可求出各邊，從而求出A跖的

面積

【詳解】ZA=120°,所以|前忸閱=|秋|你|=勿=4,忸耳|=忸引+2“=心=8,而耳是

/A=120。的等腰三角形，所以|然|=a創(chuàng)=白，故A孫的面積為:x專X*xsinl20

故答案為：蛆叵

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)/=8%

(2)證明見解析

【解析】(1)求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)。值得拋物線方程；

(2)設(shè)直線方程為*A(XI，%),B(X2，%),直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得%+%，%%，代入

04?03=0可得加值，得定點(diǎn)坐標(biāo)

【小問1詳解】

已知雙曲線的一條漸近線方程為％=石丁，即x-8y=0,

拋物線的焦點(diǎn)為(K,0),所以匕一°|J解得。=4(因?yàn)椤?gt;0),

2vn?

所以拋物線方程為V=8x；

【小問2詳解】

由題意設(shè)直線1方程為％=+機(jī)，設(shè)A&,%),5(X2,%)

[x=ty+m

由<2"得工-8(y-8/〃=0,x+%=8f,yy=-8m,

[y=8%x2

又Q4_LOB,所以。4?06=%工2+X%=0，

所以斗9+%%=("1+根)(0^2+加)+%%=(1+J)%%+例(2%+%)+〃/

=-8m(l+?2)+8?2m+m2=0,直線不過原點(diǎn)，m#0,所以加=8

所以直線/過定點(diǎn)(8,0)

18、(1)z=-3i

(2)(0,9)

z+3

【解析】(1)先將z=hi代入不一化簡(jiǎn)，再由其虛部為零可求出b的值，從而可求出復(fù)數(shù)z,

1-1

2

9fm-8m-9<0,

(2)先對(duì)(m-z)2-8加化簡(jiǎn)，再由題意可得從而可求得結(jié)果

6m>0,

【小問1詳解】

因?yàn)閦=Z?i,

b-z+33+bi(3+歷)(1+i)3-Z?+(Z?+3)i

所以^—r=-—r=---------------=-----------------，

1-11-122

z+3

因?yàn)椴灰皇菍?shí)數(shù)，所以匕+3=0,解得〃=—3.

1-1

故z=-3i.

【小問2詳解】

因?yàn)閦=—3i,

所以(加一2)2—8m=(m+3i)2-8m=(m2-8m一9)+6mi.

因?yàn)閺?fù)數(shù)（m-z）2-8m所表示的點(diǎn)在第二象限,

m2-8m-9<0,

所以

6m>0,

解得0〈加＜9,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（0,9）.

22

19、（1）y+^=l（2）［3,4］（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析

【解析】（1）根據(jù)條件直接求出進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)P（x,y）,表示出P耳1口=（—1—乂―力（1—%—丁）=/+寸—1=1/+3,求出其范圍；

（3）設(shè)CD的中點(diǎn)為皿的為）；由舊。=舊W，則F2M±I;得到其斜率的乘積為—1,最后列取方程聯(lián)立計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）由題意可知c=l,6=2,則4=32+02=5；

22

所以橢圓C的方程為：土+匕=1;

54

⑵由題意可知耳（—1,0）,耳（1,0）,設(shè)P（x,y）,xe卜有

貝（JP耳?P旦=（—1—x,——x,—?。?12+/—1=1》2+36［3,4］；

所以P￡由耳的取值范圍是［3,4］；

（3）假設(shè)存在滿足條件的直線/,根據(jù)題意得直線/的斜率存在；

則設(shè)直線/的方程為：丁=左（尸5）；

y=^（x-5）

＜%2丁2消y化簡(jiǎn)得：（5人2+4）%2—50左2%+i25左2_20=0；

154

..=20（16—80/）＞0,則—當(dāng)＜左＜當(dāng)；

50k2

542+4

設(shè)C（%］，K）,D（/，y2）則CD的中點(diǎn)為M（%）,yo）；

25k2]（一一20人

|EC|=|F2D|,則F?M，/；

?-?kFiM-k=-l,即—I￡?左=-1;即20左2=20左2一4,無解；

-5r+4

故滿足條件的直線不存在.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，向量的數(shù)量積，直線的垂直，設(shè)而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進(jìn)行適

當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.

20、⑴4（2）（2,4）

【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實(shí)部為零，虛部不為零列式即可；

（2）根據(jù)第三象限，實(shí)部小于零，虛部小于零，列式即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閦為純虛數(shù)，

m2-6m+8=0

所以〈2

m-3m+2w0

解得m=2或根=4,且加且加。2

綜上可得，當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)m=4;

【小問2詳解】

因?yàn)閦-i=-（蘇-3加+2）+蘇-6m+8）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,\）

V7V7[/_6m+8＜0

解得加＜1或加＞2,且2＜加＜4

即2＜機(jī)＜4,故加的取值范圍為（2,4）.

21、（1）證明見解析；（2）瓜

【解析】（1）過M作MN〃CZ＞交尸。于點(diǎn)N,證明四邊形ABMN為平行