2022-2023學(xué)年河北省石家莊高一年級(jí)上冊(cè)第四次考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省石家莊高一上冊(cè)第四次考試數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

考生注意：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把

答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆

在答題卡上各題的答題.區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、

草稿紙上作答無效.

第I卷

一、單選題（共8小題，每題5分，共40分在每題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求，選對(duì)的得5分，選錯(cuò)的得0分）

A.—B.——C.√3D.—√3

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)求值.

■遼，■（16兀、/2兀/?2π（π?π?

【詳解】tanI———I=tanI---6π?=tan-=tanIπ--I=-tan—=-√3.

故選：D

2.已知角α的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，若角。的終邊

過點(diǎn)尸（3,4）,則COSa的值為（）

4433

A.-B.——C.-D.--

5555

【答案】C

【解析】

【分析】求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，由余弦函數(shù)定義計(jì)算.

【詳解】由已知Pl=打+4?=5，所以COSa=

故選：C.

3.以下四個(gè)命題中，正確的是（）

A.在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的同名三角函數(shù)值才相等

B.第四象限的角可表示為｛α11kπ+??a<2kττ,k∈Z∣

C.｛a∣a=90o+w-180%〃∈Z｝表示終邊在y軸上的角的集合

D.若α,S都是第一象限角，且ɑ〉4，則tana>tan/

【答案】C

【解析】

【分析】逐項(xiàng)帶入分析即可求解.

【詳解】例如，sin^=siny,所以選項(xiàng)A錯(cuò)；

66

'3π〕

第四象限的角可表示為Jα12左乃+萬<α<2左乃+2肛左eZ,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

｛a∣α=90o+M?180o,〃∈Z｝表示終邊在y軸上的角的集合，所以選項(xiàng)C正確：

17

若α,夕都是第i象限角，如α=-乃，β=一一π,a>尸，則tana=tan/?,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

44

故選：C.

4.在下列四個(gè)函數(shù)中，以加為最小正周期，且在區(qū)間（5,乃）上單調(diào)遞增的是（）

A.V=卜inx∣B.V=COSX

C.y=tanxD.y=cos±

2

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判斷選項(xiàng)的周期和單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】對(duì)于4?=∣sinx∣,將N=Si在X軸下方的圖象翻折到上方，

可知最小正周期T=7，在區(qū)間乃）上單調(diào)遞減，故/不符合題意；

對(duì)于&V=COSX的最小正周期T=2萬，故8不符合題意；

對(duì)于C：y=tanx的最小正周期T=萬，且在區(qū)間（5,左）上單調(diào)遞增，故C符合題意；

XT=女=4乃

對(duì)于。：y=Cos二的最小正周期1,故。不符合題意.

2二

故選：C.

5.“9=，'是"函數(shù)y=cos(x+夕)為奇函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分性和必要性的定義進(jìn)行求解即可

【詳解】當(dāng)0=]時(shí)，y=cos(x+∣?J=-SinX為奇函數(shù)，故充分性成立；

當(dāng)函數(shù)y=cos(x+e)為奇函數(shù)，故φ=^^+kτι,ksZ,故必要性不成立;

則“9=?”是"函數(shù)y=CoS(X+9)為奇函數(shù)”的充分而不必要條件

故選：A

C,4sina-2cosa

6.若tana2,貝rOl----------------的值為()

5sinα+3cosα

101066

A.------B.—C.——D.

771313

【答案】D

【解析】

【分析】將分式上下同時(shí)除以COS0,代入tanα=2,即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，將4sma-2CoSa上下同時(shí)除以COSa,

5sinα+3cosa

4sιn6z-2cos6z4tanα—2小、C

得zpι---------------=----------,τ?Λtana=2,

5sina+3cosa5tana+3

,n4sina-2cosa_4tana-2_8-2_6

得---------------

5sιna+3cosα5tana+310+313

故選：D.

ev+l,x≤0

7.設(shè)/(x)=<，若函數(shù)g(x)=[∕(x)]Lb(x)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4

∣lnx∣,x>0

的取值范圍是()

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+∞)D.

[2,+∞)

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數(shù)/(X)圖像，由g(x)四個(gè)不同的零點(diǎn)，得出g(χ)=o時(shí)/(X)的值，即

可求出。的取值范圍.

【詳解】解:由題意

/?fe?+1,X≤0

在/(x)=hI八中，圖像如下圖所示

在g(χ)=[∕(X)T一4⑺中，有四個(gè)不同的零點(diǎn)

???g(x)=[∕(x)丁-硝x)=0

則/(x)=0或/'(X)=4

由函數(shù)圖像可知，/(x)=0有1解，

.?./(x)=α有3解

.?.1<α≤2

???α的取值范圍為。,2]

故選：B.

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=1+cosx,X∈-,2π的圖像與直線歹="為常數(shù))的交點(diǎn)情況,

v?.

下列說法正確的是()

A.當(dāng)f<0或∕≥2,有O個(gè)交點(diǎn)

3

B.當(dāng)/=0或一有1個(gè)交點(diǎn)

2

3

C.當(dāng)0<f<一,有2個(gè)交點(diǎn)

2

π

D.當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為玉，，則玉+%2=5

【答案】B

【解析】

(吟3

【分析】注意到/5=/1./(π)=0,/(2π)=2,f據(jù)此

2

可做出/(x)在上圖像，即可得答案.

【詳解】注意到/-=/—=1,/(兀)=0,∕?(2兀)=2,f-=

?^√?)k?/2

又/(x)在(g,π)上單調(diào)遞減,在(n,2n)上單調(diào)遞增,據(jù)此可做出/(x)在p2π上圖

像如下圖所示.

對(duì)于A,由圖可知當(dāng)1=2時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖可知此時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，故B正確：

3

對(duì)于C,由圖可知當(dāng)f=2時(shí);圖像與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,由圖知此時(shí)須+3=2*故D錯(cuò)誤.

故選：B

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的

得0分)

9.下列說法正確的有()

,_f180Y

A.1Irad=I----I

B.若角a是銳角，則2α是第一或第二象限角

C.若角α是第二象限角，則區(qū)是第一或第三象限角

2

D.角。是第三或第四象限角的充要條件是Sina<O

【答案】AC

【解析】

【分析】A項(xiàng)，根據(jù)弧度制的定義即可推出結(jié)果；B項(xiàng)，通過求出角α的范圍，即可推出21

a

所在的位置；C項(xiàng)，通過求出角α的范圍，即可推出一所在的位置；通過分別討論角α是

2

第三或第四象限角時(shí)?，sin。的取值范圍，以及Sina<0時(shí)，α所在的位置，即可判斷D.

【詳解】解：由題意

TT

A項(xiàng)，1°=-----rad

180

.".Irad

故A正確.

B項(xiàng)，若角ɑ是銳角,

Tl

.?.O<α<一

2

?*-O<2α<π

???2α不僅可能是第一或第二象限角，也可能在V軸上，故B錯(cuò)誤.

C項(xiàng)，若角C是第二象限角,

/.2kπ+?<a<2kπ+兀(k∈Z)

.?.E+：<￡<無兀+]∈Z)

則區(qū)是第一或第三象限角

2

故C正確.

D項(xiàng)，若角α是第三或第四象限角

則2E+π<a<2(c+1)兀，且α12kπ+-?(?∈Z)

?*?Sina<O,必要性成立

若Sina<0,則2左兀+兀<a<2G+l)ττ(k∈Z)

二角。是第三或第四象限角或在>軸的負(fù)半軸上

充分性不成立

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.下列不等式中，正確的有()

A.sinl03,15,>sin16430,

C.tan(-52°)>tan(-47°)

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，判斷ABC；根據(jù)角的象限，判斷函數(shù)值的正負(fù)，即可判

斷D.

【詳解】A.當(dāng)6G(90°,18(T)時(shí)，角大，正弦值小，103°15'<164°30',所以

Sinlo3°15'>sinl64°30',故A正確;

ITt?TT4TT3JT

B.函數(shù)y=cosx在區(qū)間一一,0單調(diào)遞增，——<——<——<0,所以

\2J2910

cos∣---πI>cos∣-—πI,故B正確；

Iio)I9J

C.當(dāng)。w(-9θ°,θ)時(shí)，角大，正切值也大，一52。<-47。，所以tan(-52*)<tan(-47)

故C錯(cuò)誤；

D.因?yàn)閘w(0,3，sin1>0,cos2<0,所以Sin1〉COS2,故D正確.

故選：ABD

11.若實(shí)數(shù)。、b滿足bg34<bg3b,則下列各式中一定正確的是()

A3"<3'B.>1C.ln(?-cf)>OD.

log”<Iog63

【答案】AB

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出6>α>0,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)V=Iog3》為(0,+8)上的增函數(shù)，由Iog34<bg3b可得6>4>0.

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=3，為R上的增函數(shù)，則3"<3JA對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)丁=(；)為R上的減函數(shù)，且a—b<0,則>(g)=1，B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，b-a>O,但與1的大小關(guān)系不確定，故ln（b-q）與。的大小關(guān)系不確

定，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，取。=3,6=9,則Iog33=l>∕=log93,即Iog(J3>log/,3,D錯(cuò).

故選：AB.

4π

12.已知函數(shù)/(x)=2sin(5+e)(<υ>0)滿足=2,∕(y)=0,且/(X)在區(qū)間

π2π

4,T上單調(diào)，則。的值可以為（）

6183042

A.—B.—C.—D.—

13131313

【答案】ABC

【解析】

TT4TTTi2it

【分析】首先根據(jù)一與r的距離，建立關(guān)于周期的等式，可求。，再根據(jù)一與丁的距離,

4343

建立關(guān)于周期的不等式，即可求①的范圍，即可求解.

ryj,τ4τr

【詳解】設(shè)函數(shù)/（x）的周期為T,T=—,由條件可知，—

ω3

得,=*Uz,且14專哈得。

61830

則女=0時(shí)，co——,4二1時(shí)，co——，%=2時(shí)，co——

131313

故選：ABC

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知半徑為1的扇形，其面積與弧長的比值為

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=L"求面積和弧長的比值即可.

2

1V11

【詳解】設(shè)弧長為/,面積為S,半徑為「，因?yàn)樯刃蚊娣e公式為S=一>，所以三=:尸=—.

222

故答案為：y.

14.已知函數(shù)/（》）=1。83（》2-1）,g（x）=X2-2x+a,若對(duì)于任意修€[2,+8）存在

X2∈∣,3,使/ɑ)'g(/),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-∞,2]

【解析】

【分析】對(duì)于任意玉G[2,+00)存在々W；,3,使/(XjMg(Z)等價(jià)于

∕u∣)mi∏>gu2)min，分別求出/α)min與g(/)min即可解出答案.

【詳解】對(duì)于任意再e[2,+oo),存在W1,3,使/(XJzg(X2)等價(jià)于/(X)在[2,+00)上

的最小值大于等于g(x)在；,3上的最小值，

當(dāng)xe[2,+00)時(shí)，函數(shù)/(X)=IOg312_1)單調(diào)遞增，可得/(χ)mM=/(2)=1,

,.*g(x)=X2-2x+a圖象的對(duì)稱軸為X=1,

???當(dāng)XW1,3時(shí)，g(x)min=g(l)="l,

1≥6f-1,

解得α≤2.

故答案為：(-oo,2].

15.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸(單位：mg∕L)與時(shí)

間f(單位：h)間的關(guān)系為尸=Ie-",其中鳥，上是正的常數(shù)，如果在前IOh消除了20%

的污染物，那么30h后還剩的污染物？(用百分?jǐn)?shù)表示)

【答案】51.2%

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)解析式，直接求解.

【詳解】由題意可知0.8型=AeT所以eT"=o.8?

i0k4i

所以30小時(shí)后污染物含量P=P0e=P0(e^'°丫=兄x0.8=0.512E),

即30小時(shí)后還剩51.2%的污染物.

故答案為:51.2%.

16.已知函數(shù)/(x)=4sin(ftλx+9)+l(ft)>O,∣0∣<?∣)，滿足對(duì)

?x∈RJ(XI)≤f(x)Wf(X2)恒成立的∣x∣-司的最小值為]，且對(duì)任意X均有

πx卜亙成立.則下列結(jié)論正確的有.

---FX

12

①函數(shù)V=/(χ)的圖像關(guān)于點(diǎn)牌可對(duì)稱：

IjrSJT?

②函數(shù)y=/(χ)在區(qū)間％,正上單調(diào)遞減；

③函數(shù)y=∕'(χ)在(Om上的值域?yàn)?1一2忘5)

④V=/")表達(dá)式可改寫為/(x)=4COSl2x-1]+l：

⑤若X2為函數(shù)y=∕(χ)的兩個(gè)零點(diǎn)，則上―引為T的整數(shù)倍.

【答案】②④

【解析】

【分析】本題通過歸-司的最小值求得三角函數(shù)的最小正周期，求出3，根據(jù)

，[3+*]=/(三一“)求出"即可得到函數(shù)，(“)的解析式，即可得到函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，

單調(diào)遞減區(qū)間，求導(dǎo)后的值域，根據(jù)三角恒等變換后的改寫式子，以及兩個(gè)零點(diǎn)橫坐標(biāo)差的

絕對(duì)值.

【詳解】解：由題意，

在/(x)=4sin((υx+e)+l[<υ>0,|夕|<])中,

XZx∈R,/(x1)≤/(x)≤/(/)恒成立的∣x∣-的最小值為曰'

得d,

解得：T=π,

，最小正周期T=π，

.2π

/?—=Tlf

ω

解得：O=2,

Λ/(x)=4sin(2x+^)+l,

?.?對(duì)任意X均有/(2+X=/??一χ卜亙成立,

TT

.?.函數(shù)關(guān)于直線X=一對(duì)稱,

2x^?+e=Λπ+況左∈Z)

解得：e=Λπ+](%wZ),

π

v∣^∣<p

.?.1

3

π

.?./(x)=4sin∣2x+-∣+1,

3

.?.當(dāng)X=J時(shí)，/(χ)=4SinO+1=1,不關(guān)于點(diǎn)吟π0對(duì)稱，故①錯(cuò)誤.

6

在y=sinx中，函數(shù)在(2A7c+5,2A7c+-^-)上單調(diào)遞減,

.?.在/(x)=4Sinl2x+g)+l中,

TTTT3πTr7TT

當(dāng)2Λπ+—<2x+—<2kπ+—即左兀H----<x<kπ-?----時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

2321212

π5π

，函數(shù)V=∕(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故②正確.

在y=∕'(χ)中,y=8cosI2x+y1,

,_ππ4π

當(dāng)Xe吟時(shí)，2xH—∈,止匕時(shí)y=8cos[2x+g)∈[-8,4),故③錯(cuò)誤.

33^,T

在/(x)=4sin2x+0+1中，最小正周期T=π,

sin]+xJ=cosx,

ππππ

.*.f(x)=4sinI2x+-1+1=4sin∣2x--+—∣+1=4cos∣2x--∣+1,

3626

故④正確.

在/(x)=4sinf2x÷-∣+1中,?x∈R,∕(xJ≤/(x)</(%2)恒成立的1-%2∣的最小

值為?∣?,且對(duì)任意X均有/(石+χj=/(石—xJ恒成立

π

，函數(shù)關(guān)于直線X=一對(duì)稱

12

最小正周期T=π，

二年一切不為］的整數(shù)倍，故⑤錯(cuò)誤.

故答案為：②④.

四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟

17.己知Sin￡+cos￡=β∈(0,π)

(1)求sin/?-COSw的值

(2)求tan夕的值.

7

【答案】(1)sinβ-cosβ~~

4

(2)tanβ=-§

【解析】

【分析】⑴由已知求得2sinpcos∕7,進(jìn)而可求解；(2)聯(lián)立sin/?+CoS4=：,

7

sinβ一cosβ=—即可求解.

【小問1詳解】

將已知等式SinP+CosP??

兩邊平方得：(sin，+cosβ}=1+2Sin夕cos=?,

24

即2sinyffcos/?=<0,

,C49

.?.(Sin—COSAy=1—2SinPCOSp=—

?/β∈(0,π)sinβ>O,cosβ<0,即Sin夕一CoS/7>0.

.,.sinβ一cosβ=一.

【小問2詳解】

sinβ+cosβ=—

由(1)聯(lián)立,；解得sinp=±cos夕=-3,

SinS-COSS=一

18.已知函數(shù)/(x)=(log2J-61og2x+8

(1)求函數(shù)/(χ)的零點(diǎn)；

(2)求函數(shù)/(χ)在區(qū)間[1,32]上的值域.

【答案】⑴零點(diǎn)為4和16

⑵[-1,8]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)零點(diǎn)的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可；

(2)換元法，求二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域.

【小問1詳解】

2

令/(x)=(log2x)-61og2x+8=0,

解得Iog2X=2或log,x=4,

由log?》=2解得x=4,由log2?x=4解得X=I6,

因此函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為4和16.

【小問2詳解】

2

/(x)=(log2x)-6Iog2X+8

令z=log2x∈[0,5],

則y=J-6/+8=(/-3)~—1

由0≤f≤5,

所以/=3時(shí)，y有最小值T

所以當(dāng)，=0時(shí)，y=8,當(dāng)t=5時(shí)，y=3,

所以—l≤y≤8,

因此，函數(shù)/(χ)的值域?yàn)閇-1,8].

cosa

19.(1)已知α是第四象限角，化簡(jiǎn)cosa.-~~Sina+SinaJl__Ji-2sinacosa

Vl+sinα?l+cosα

πx?且π:<x<%,求CoSI2?+x)+sin[2gπ+Λj的值:

(2)已知COS~~

423

【答案】(1)0；(2)-???

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解;

(2)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式即可求解.

/1、l-sinɑ.∕l-cos^∏——-----------

【詳斛】(1)CoSaJ----------+smα/-------------?√l-2smαcosα，

V1+sincrVl+cosa

/(1-Sina)(I+sina)I(I-CoSa)(I+cosα)/—;----------：--------------------

=CoSaP----------0----------+sincrP------------?------------√>ina+cos~a-2sinacosα

V(1+sin?)(1+sin￠/)v(1+cosQ)(1+cosa)

II-Sinal∣l-cosσ∣.

=CoSa?------j-t+Sina?l-------PLlSina-COSal,

ICoSMISinal

由。是第四象限角，

所以原式=I-SinQ-1+COSQ+SinQ-COSQ=0.

Ttτc2乃TtTt

(2)-<X<7T.-71<~~X<-----.-------<------X<-----,

22336

L/"、IC7171Tl

又cos(----X)=一>0,?二—<----X<c—.

34236

20.已知函數(shù)/(x)=；sin(2x-0)(xwR)

(1)求/(x)的最小正周期及在區(qū)間［O,Trl內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間:

(2)求使/(x)≥;成立的X的取值集合.

【答案】(1)T=兀，o,?和工■町》上單調(diào)遞增

L12JLl2J

,TC.7τc1

(2)ΛXkτιH—≤X≤kτιH----，k∈Zf

412

【解析】

TTJrtTT

【分析】(1)由周期函數(shù)的定義求出求/(χ)的最小正周期；令2左乃—5≤2x--≤-+2kπ,

解出X的范圍和Xe［0,句取交即可得到答案；

ITFTTSrr

≥—,則2左乃+—≤2x----≤2kπ+——，?∈Z,解不

等式即可求出X的取值集合.

【小問1詳解】

函數(shù)/(X)=；Sin2x-gj(xe

9

/(X)的最小正周期T=等π=乃：

y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ--,-jrlkπ,AreZ

22

可得2左％—工≤2x—工≤^+2A乃

232

得kττ-----≤X≤------Pkτι1

1212

jr5乃