湖南省九校2024屆高三年級上冊第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

湖南省2024屆高三九校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合A={H融+1=°}，3={1，2},38=4,則滿足條件的實數(shù)a的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：由A6=A可知

當(dāng)a=0時，A=0,滿足條件；

當(dāng)a,0時，A=要使AoB,只需—4=1,或—』=2,

Ia）aa

所以a=—1或a=—.

2

綜上，滿足條件的實數(shù)。取值為0,-工,-1,共3個.

2

故選：D

2.如果復(fù)數(shù)2=>+加一2—（根―l）i是純虛數(shù)，mwR,i是虛數(shù)單位，貝I」（）

A.加wl且相。-2B.m=l

C.m=—2D.切=1或機=—2

答案：C

解析：由復(fù)數(shù)2=根2+加—2—（加—l）i是純虛數(shù)，

m+m—2—0

得IC

加一1w0

解得：加=-2.

故選:C.

cos2，-42

3.已知叫.（。八+兀"、4，則sin26=（）

答案：A

cos28產(chǎn),公四=TcOS*siM=顯,

解析：因為sin[e+：一(sin。+cos。)4

11

即cosO-sinO=—,兩邊平方可得cos29^-2sin6cos0+sin92<9=1一sin26=—,

416

解得sin29=".

16

故選：A

4.某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計該機第一年(今年)

的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機的年平均耗

費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是()

A.6年B.7年C.8年D.9年

答案：B

解析：設(shè)第九年的維修保養(yǎng)費為％萬元，數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，該機的年平均耗費為P,

據(jù)題意，數(shù)列｛。〃｝是首項為12,公差為4的等差數(shù)列.

S+981「n(n-l)198I98

則p=^——=—12n+^——^x4+98=2n+—+10>22n?—+10=38.

nn2n\n

98

當(dāng)且僅當(dāng)2〃=—,即〃=7時，P取最小值38.

n

所以這臺冰激凌機的使用年限是7年.

故選：B.

5.設(shè)函數(shù)/(x)=6sin］：x-|J,若函數(shù)y=g(x)與y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則當(dāng)

4

xe0,j時，y=g(x)的最大值為()

A.73B.9C.1D.0

22

答案：B

解析：在y=g(x)的圖象上任取一點(x,g(x)),它關(guān)于x=l的對稱點為(2-羽g(x)).

故點(2—x,g(x))在y=/(x)的圖象上，從而

g(x)="2—x)=^sin^(2-x)-1

4TTTTTTzTTJT27r

當(dāng)OWXW—時，由＞=85/在一,一上單調(diào)遞減可知:

33433133_

y=g(%)在區(qū)間0,1上的最大值為8(^^1ax=J§cos二=遮，

_J_32

故選：B.

6.將一個棱長為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點兩兩連接，得到一多面體，則這個多面體的內(nèi)切球體

D,正兀

c927

答案：D

解析：由題意知該幾何體為正八面體，且正八面體的棱為原正四面體每個側(cè)面三角形的中位線,

故正八面體由棱長為2的兩個正四棱錐構(gòu)成，正四棱錐的底面是邊長為2的正方形，

設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R,給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，

連接AC和2。交于點0,因為E4=EC,ED=EB,所以EOLAC,EOLBD,

又AC和8。交于點。，4。,3。匚平面48。，所以￡0,平面ABCD,

所以。為正八面體的中心，所以。到八個面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，

設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點H,所以"/，平面EBC,

所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以R=

因為正八面體的棱長為2,所以EB=EC=BC=2,OB=OC=拒,EO=^EB1-OB1=42>

所以黑函=6，S^OBC=1，

因為/_OBC=%-EBC，g義S^OBCXEO=gXS^EBcXOH，

所以。”=逅，即7?=逅，

33

所以正八面體內(nèi)切球的體積為丫=，兀爐=d兀［好］=還兀.

3313J27

故選：D.

7.在二ABC中，點。滿足AD=2D3,E為△3CD重心，設(shè)3C=m,AC=〃，則可表示為（）

1,21一2

A.—m+—nB.——m+—n

3333

「58一58

C.---JTlH---〃D.—m+—

999

答案：C

解析:

AEAC+CE=AC+-x-x(CD+CB)^AC+-\-CB+-CA\+-CB.=n+--(-}+-

32、>3(33J39Vm79

故選：C

A

8.如圖，已知雙曲線C:=-二=l（a/〉O）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過月的直線與C分別在第一、

ab

二象限交于A5兩點，ZkAB鳥內(nèi)切圓半徑為「，若忸娟=r=a,則。的離心率為（）

A/10R2由「同NA/85

2345

設(shè)|AB|=x,內(nèi)切圓圓心為/,內(nèi)切圓在3序A區(qū),A3上的切點分別為U,V,W,

則忸U|=\BW\,\AV\=\AW\,\Fp\=\Fy\,

由忸=a及雙曲線的定義可知，

\BF^=3a\AF^=x-a\F^\=\F^\=^BF^+\AF^-\AB\)=a=r,

故四邊形〃/瑪丫是正方形,

得他于是忸司24.匕

故Y=9"+（工一〃＞,所以％=5〃，

3

于cosN46工=cos（兀一NABB）=—《，在耳3工中，

由余弦定理可得閨叫2=忸耳「+忸閭2_2忸川.忸閭.cos/GBK=三/，

從而4c2=袋/，所以e=￡=巫.

5a5

故選：D.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機變量J服從二項分布：J設(shè)〃=2自+1,則"的方差。（〃）=3

B.數(shù)據(jù)L3,5,7,9,11,13的第60百分位數(shù)為9

C.若樣本數(shù)據(jù)內(nèi),馬，，%的平均數(shù)為2,貝|3玉+2,3々+2,,3%+2的平均數(shù)為8

D.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是、

答案：BC

3（3、3

解析：對于A,易知￡＞（&）=8乂4*11一*=5，而〃=2^+1,

所以D（〃）=22x￡＞（J）=6,A錯誤；

對于B,共有7個數(shù)據(jù)，而7x60%=4.2,故第60百分位數(shù)為9,B正確；

對于C,若樣本數(shù)據(jù)看,%，'%"平均數(shù)為2,

則3%+2,3%+2,,3%+2的平均數(shù)為3*2+2=8,C正確；

對于D,由古典概型可知：從51個體中抽取2個個體，

每個個體被抽到的概率都是W，D錯誤.

故選：BC

10.已知11+y2=1，2：(X—5)2+y2=9,則()

4

A.與人與均有公共點的直線斜率最大為］

B.與4,與均有公共點的圓的半徑最大為4

C.向4,12引切線，切線長相等的點的軌跡是圓

D.向人引兩切線的夾角與向右引兩切線的夾角相等的點的軌跡是圓

答案：AD

解析：由題意知，與兩圓均有公共點，且斜率最大的直線恰為那條兩圓斜率為正的內(nèi)公切線,

由兩圓半徑之比為:，|/閩=5,可知切線與x軸交于“甘,。］,

334（兀、4

、niF/qQAH人、Iae,sin8=------=-------=—,9￡0,一，.二%=tan0——3T工人十小

設(shè)切線的傾斜角為A^z35\2）3，選項A正確.

2一XD

與小乙均有公共點的圓的圓心不確定，所以半徑可以任意大（無最大值），選項B錯誤.

向/1/2引切線，設(shè)切線長相等的點為p（x,y），則PI；-i2=PI}-32,

17

所以k+丁―l=（x-5）2+y2—32,化簡得直線x=仿，選項C錯誤.

設(shè)4,，2的圓心分別為a,a，點尸對乙切線的夾角等于點尸對k切線的夾角，

PO,1

于是由相似三角形知襟=§,

7、Jx2+y2122525c

設(shè)P（x,y）,則J;干+1=0,

7（%-5）2+/348

可得到點尸的軌跡是一個圓，選項D正確.

故選：AD

11.已知函數(shù)COS%H,則（）

cos2x

A./（%）的圖象關(guān)于直線1=兀軸對稱

B.“X）的圖象關(guān)于點中心對稱

C.八%）的所有零點為（2左+1）兀/eZ

D.八%）是以兀為周期的函數(shù)

答案：AC

解析：對于A：因為〃2?！猉）=COS（2TT—X）+—1=cosx+^—=/（%）,

cos（4TI-2X）cos2x

所以/（%）的圖象關(guān)于直線1=兀軸對稱，故A正確；

對于B：因為/（0）=2,=所以/（%）的圖象不關(guān)于點［：,（）］中心對稱，B錯誤.

對于C：因為人）-0.I1_2cos%—cosx+1_（COSX+D（2COS2X-2COSX+1）.

2cos2光-12cos2光-12COS2X-1

（］丫］

注意到2cos2x-2cosx+l=2cosx——+—>0，

I2j2

令/（九）=0,得cosx=—1,即x=（2左+1）兀，左wZ,

故/（%）的所有零點為（2左+1）兀/eZ,故C正確；

對于D：因為"0）=2"（兀）=0,所以兀不是/（九）的周期，故D錯誤；

故選：AC.

12.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.如圖，在橫坐標(biāo)為3的點處作了（%）的切線，切線

與X軸交點的橫坐標(biāo)為巧；用巧代替為重復(fù)上面的過程得到％3；一直下去，得到數(shù)列｛無"｝,叫作牛頓數(shù)

%+2

歹U.若函數(shù)/（X）=好一X-6,4=In-且％=1,X”〉3,數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，則下列說法正確

一3

的是（）

B.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

2023

C.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列D.S2023=2-l

答案：ACD

解析：=所以/（%）在點（當(dāng)"E））處的切線方程為：y-fM=f\xn）（x-xn

%；+6

/一；，故A正確.

2x“T

片+6I2。

x”+i+22%-1卜,+2、xn+i+2

故In即?！?1=2%,,

玉+i—3片+63\xn-3?Xn1~3

+■

2x?-l

所以數(shù)列｛凡｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B錯誤，C正確，

2023

所以s2o23=攻二￡1=2-bD正確.

-1-q

故選；ACD

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知函數(shù)/（%）=1。84（4，+1）+船（丘火）是偶函數(shù)，則左=.

答案：~~

2

解析：由已知，/（-x）=log4（4^+l）-Ax,因為/（x）為偶函數(shù)，所以

/（—x）=/（x）,即Iog4（4一"+1）-log4（4*+1）=2kx,對\/尤wR恒成立,

即log44「￡=2Ax,對VxeR恒成立，解得左=—；.

故答案為：-彳

2

14.已知第一象限內(nèi)的點尸（a⑼在直線x+y=l上，則JZ+、歷的最大值是.

答案：也

解析：由題意，a+Z?=l（a>0,Z?>0）,貝!1（6+揚）2=a+b+2y[ab=1+2y/ab,

因為a+匕22而，所以122碗，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=；時等號成立，

所以+W2,所以W.

故答案為：夜

15.把個位、十位、百位上的數(shù)依次成等差數(shù)列（公差小于0）的三位數(shù)稱為“下階梯數(shù)”，則所有的“下階梯數(shù)”

共有__________個.

答案：16

解析：公差為T時，有789,678,.,123共7個；

公差為-2時，579,468,、135共5個；

公差為-3時，369,258,147,共3個;

公差為-4時，159,共1個.

所以一共有7+5+3+1=16個.

故答案為：16

2

16.如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為一，底面三角形的三邊長分別為3a,4a,5a（a>0）.用它

a

們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是

答案：0,

解析：拼成一個三棱柱時，全面積有三種情況：①上下底面對接，其全面積為

S=2xgx3〃x4〃+(3〃+4。+5a)x—=12a2+48.

[2

②3a邊合在一起時,全面積為S=2x2x—x36zx46z+2(56z+46z)x—=24a2+36.

2+32.

拼成一個四棱柱時,有四種情況，全面積有三種情況:

讓邊長為3a,4a,5a所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和者B是2義2義工*3ax4a=24",

2

222

但側(cè)面積分別為2（5Q+4〃）X—=36,2（5〃+3〃）x—=32,2（3Q+4〃）X—=28,

cicici

顯然，三種情況中全面積最小的是24a2+28；

因24a②+28比24a2+32,24。？+36小，所以由題意得12a?+48>24a?+28，

解得0<q<g

3

故答案為：0,

5a

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.在中，角A5C所對的邊分別為。,瓦。，已知2acos3-Z?cosC=ccos3.

(1)求的大?。?/p>

(2)若a=2,c=3,直線PQ分別交ASBC于P,Q兩點，且R2把ABC的面積分成相等的兩部分，求

|P0的最小值.

答案：(1)B"

(2)指

(1)

方法一：由已知2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,

即2sinAcosB=sin(6+C)=sin(兀-A)sinA,

sinAw0,/.cosB=—，

2

方法二：bcosC+ccosB=+b'C'c?"+。一一"a

lablac

\2〃cos3=a,

1jr

即COS3=5，\B=~.

(2)

1

<_14n-o_n0白_36

SAR「——A3,BCsinB——x2x3x——-----,

ABC2222

sPBQ=；PB-BQsinB=乎，

:.PBBQ=3.

在VBPQ中,

PQ2=PB-+QB2-2PB-QBCOSB=PB2+QB2-PBQB>2PBQB-PBQB=PBQB=3,

當(dāng)且僅當(dāng)PB=QBf時上式等號成立，

，|PQ|的最小值為指.

18.如圖，四棱柱A3CD—4與。12的底面A3CD是正方形，A3=A&=平面B耳，O.

（1）求點4到平面ABCD的距離;

（2）若對是線段8月上一點，平面MAC與平面8片。。夾角的余弦值為典時，求警■的值.

5

答案：（1）1

BM1

(2)——

BB]2

(1)

連接AC交BD于點。，連接A。.

因為AC,平面B4RD,BDu平面BB]RD,所以AC_L3。，

因為底面A3CD是正方形，所以3。，AC,

又4CcAC=C,40，4。＜=平面44。1°，所以加＞/平面A4CC.

又3。匚平面43。。，所以平面A4GC，平面A3CD

因為4。，平面8ABB[u平面BBQiD,所以4。，3片，

又BBJM所以ACLAA].

在Rt朋。中，A4,=V2,AC=2,所以耳。=夜.

又。為AC的中點，所以40LAC且4。=1,

又平面MG。，平面ABCD，平面A41GC平面ABCD=AC,4。u平面A41clC,

所以4。，平面A3CD.

故點A到平面ABCD的距離為4。=1.

(2)

以。為原點，分別以O(shè)3,OC,QA分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則3(1,0,0),c(o,1,0),4(0,0,1),A(o,—1,0),

AC=(0,1,-1),AB=(1,1,o),即=A4,=(0,1,1),

由(1)知，平面BBiRD一個法向量勺=4。=(0」,一1)，

BMi°,、

設(shè)友『=4(0<X<l),

D1J}

則5M=丸34=(O,A,2),AM=AB+JBAf=(1,2+1,2),AC=(0,2,0)

設(shè)巧=(x,y,z)為平面MAC的一個法向量，

nAM=x+(2+l)y+2z=0.、

由〈7\"，取x=7,得%=(40,—l),

n,-AC=y=0

設(shè)平面MAC與平面BBRD的夾角為8,

則有cos9=甘

向1+九25

解得BM

x=L即----二

2BB}2

21,

19.已知數(shù)列｛q｝的前“項積為4,且不+—=1

bnan

⑴證明：也｝是等差數(shù)列；

8

(2)設(shè)g=l+._])4+3)，數(shù)列｛g｝的前〃項和為S“，定義[可為不超過尤的最大整數(shù)，例如

[0,2]=0,[3.4]=3,求｛電』｝的前幾項和卻

答案：(1)證明見解析

二1

(2)Tn=<3,〃=2

ST)"),讓3

I2

(1)

,、b

證明：已知數(shù)列{4}的前九項積為切得4=廣(n>2),

“n-1

2bA21

故有了+六=1,從而b"-=2,且4=4，則丁+二=1，所以4=3.

bnb“blbl

從而｛〃｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列.

(2)

7c118121/11)

C1+1+1+

由⑴知‘2+1，?=i^^)=^)=[；-^J-

所以

11311

----\=n-\

n+1J\nn+2)2〃+ln+2

H=2-g,[S]]=l.

當(dāng)n=l時,

S2=/J閭=2.

當(dāng)〃二2時,

1z八11119

2("+1)+萬1)

當(dāng)〃23時,S”-(n++-------

72n+1n+245220

這時[s〃]=〃+i.

所以3時，.=圖+聞+圖+-.+闖=]+2+4+5+…+(“+1)=(“T)(”+4)

1,〃二1,

綜上，Tn=<3,n=2,

（〃T）（〃+4）n>3

2?

20.從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾

分類宣傳周時間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時尚”，在此宣傳周期間，某

社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A,B,C三個

項目，三個測試項目相互不受影響.

（1）若某居民甲在測試過程中，第一項測試是等可能的從A,B,C三個項目中選一項測試，且他測試A,B,C

311

三個項目“通過”的概率分別為一,一,一?已知他第一項測試“通過”，求他第一項測試選擇的項目是A的概率；

522

（2）現(xiàn)規(guī)定：三個項目全部通過獲得一等獎，只通過兩項獲得二等獎，只通過一項獲得三等獎，三項都沒

有通過不獲獎.已知居民乙選擇A-5-C的順序參加測試，且他前兩項通過的概率均為。，第三項通過的概

率為人若他獲得一等獎的概率為:，求他獲得二等獎的概率尸的最小值.

O

答案：（1）I3

O

3

（2）

8

（1）

記事件Ml="第一項測試選擇了項目A"，加2="第一項測試選擇了項目8”，加3二"第一項測試選擇了項

目C”，記事件N="第一項測試合格”，由題意知，

N=M[N+M2N+M3N,）=—口）=）=g,

aii

P（M叫）=1P（N|M2）=-,P（N\M3）=-,

又事件MIN,M?N,M3N互斥，則尸（N）=P（MN）+P（〃2N）+P（/3N）,

1Q11112

即P（N）=P（M）?尸（NlM）+P（M）?尸（NlM2）+P（M3）.P（7V|M3）=-X-+-X-+-X-=-,

DJD乙J乙J

所以在居民甲第一項測試“合格”的條件下，他第一個項目選擇了A的概率為：

13

P（M[N）P（Mj.P（N|叫）=/5=3

P（A/|N）=

1P（N）一§—G

15

3

即已知居民甲第一項測試“合格”，他第一項測試選擇的項目是A的概率是f.

O

（2）

由居民乙獲一等獎的概率為:，可知。26=]

o8

3213

則—+—__=a+------

84〃8

令一⑷3±*＜皿"（力"3"=吐—

當(dāng)0＜Q〈g時，/'（〃）＜0；當(dāng)g＜44l時，/f（4z）＞0.

所以/（。）在區(qū)間[o,g）上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

+不]一3金=3.所以尸的最小值為|.

Zooo

21.已知拋物線尤2m=4%Q為拋物線外一點，過點。作拋物線的兩條切線，切點分別為A3（43在〉軸

兩側(cè)），QA與Q3分別交無軸于M,N.

（1）若點。在直線y=-2上，證明直線AB過定點，并求出該定點;

（2）若點Q在曲線￡=—2y-2上，求四邊形AAWB的面積的范圍.

答案：（1）證明見解析，定點（0,2）

（2）[3,-H?）

（1）

設(shè)A（%，％）,8（%2，%），。（%，%），直線：>=日+機，

x2-4y

聯(lián)立<,可得d-4日—4機=（）,△=16左2+16根.

y=kx+m

在y軸兩側(cè)，XjX2<0,.\m>0,/.A>0,

再+%2=軟,xYx2=-4m,

由*=4y得y=；尤2,y=

所以A點處的切線方程為y—y,

整理得

同理可求得B點處的切線方程為y=號一千,

土土三二2左

x

o=2

可得＜

x.x9

%=—二-m

4

又，。在直線丁二一2上，.?.一加二-2,.,.根=2.

:?直線A3過定點（0,2）.

由⑴可得Q（2人相），Q在曲線好=—2y—2上,

4左2=2m—2,m>1.

由⑴可知〃［多斗［方,。］,-s/=1■加

q=g（242+2機）|玉_%2卜+匹卜

°QABI=2-X2|

二?S四邊形AA/NB=SQA8-SMN