拋物線-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）（解析版）

考向34拋物線

1.(2022?全國(guó)乙(文)T6)設(shè)尸為拋物線Uy2=4χ的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)5(3,0),若IA耳=IM

則I陰=()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】B

【解析】由題意得，F(xiàn)(l,0),則IA耳=忸目=2,即點(diǎn)A到準(zhǔn)線X=-I的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

—1+2=1,不妨設(shè)點(diǎn)A在X軸上方，代入得，A(L2),所以MBI=J(3-iy+(0-2)2=2近.

2.(2022?新高考I卷TlI)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l)在拋物線C：必=2Py(P>0)上，過點(diǎn)8(0,T)

的直線交C于尸，Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線AB與C相切

C.∣OP∣?∣□ρ∣>∣OA∣2D.?BP?-?BQ?>?BA?1

【答案】BCD

【解析】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2”，所以拋物線方程為f=y,故準(zhǔn)線方程為y=-』，A錯(cuò)誤;

4

心B=EP=2,所以直線AB的方程為y=2x-l,

y=2x-1

聯(lián)立｛2，可得W—2χ+l=0,解得X=1,故B正確；

X=y

設(shè)過8的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=Aχ-l,P(XJ),。(馬，必)，

y=∕ζjζ—]

聯(lián)立<2，得Y一"+1=0，

%=y

Δ=?2-4>0

2

所以,xl+x2=k,所以Z>2或Z<-2,yiy2=(xlχ2)=?>

x1x2=1

又IOPl=+y2=JX+y：，?QQI=J+￡=y∣y2+yl，

所以IOPl?IOQI=√y,y2(l+y1)(l+y2)=JgX也=1k1>2=|。4『，故C正確；

因?yàn)镮BPl=Jl+二|西|,?BQ∣=√1+P^∣X2∣,

所以∣3PH3Q∣=(1+公)∣X∕∕=1+F>5,而IBAF=5,故D正確.

3.(2022?新高考II卷TIo)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:V=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)尸的直線與C交于4,

B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M（P,0）,若IAFHAM則（）

?.直線AB的斜率為2JSB.∣OB∣=∣OF∣

C.?AB?>4?0F?D.ZOAM+ZOBM<↑SQo

P

對(duì)于A,易得/（4,0）,由IA目=IAMl可得點(diǎn)A在QW的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為＜+"_3。,

22^^4^

瓜P

代入拋物線可得V=2p?*∣p2,則A呼,半），則直線AB的斜率為/方=2瓜A正確；

^4~2

L1p?1?

對(duì)于B,由斜率為2m可得直線AB的方程為X=云后y+,,聯(lián)立拋物線方程得尸一布py-P-=o,

設(shè)B(Xl,y),則逅p+χ=偵p,則X=一圓,代入拋物線得

2p?X],解得Xl=&,

263

則陽=Qj+，用=乎刈叫/，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由拋物線定義知：IAM=芋+^+p=書>2p=4∣。川，C正確;

對(duì)于D,QA?OB=（*,警）?寧,一孚）=?（+理（—理卜一年<0,則ZAQB為鈍角,

tt

,14JJIJ乙ID）I

乂MA?MB=（/,孚）.（§一字T卜第+當(dāng)卜Wl=#<0,則RB為

鈍角，

又ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360，則ZOAM+ZOBM<180，D正確.

故選：ACD.

4.(2022?全國(guó)甲(文)T21)設(shè)拋物線Uy2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)。(p,0),過尸的直線交C于

M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MO垂直于X軸時(shí)，∣MF∣=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MMAB的傾斜角分別為a,￡.當(dāng)α-/取

得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【答案】(1)>2=4X；(2)AB-.x=y[2y+4.

【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線為X=-當(dāng)MD與X軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

止匕時(shí)IMRI=P+?^=3,所以p=2,所以拋物線C的方程為V=4x；

(2)設(shè)M-γ,yl,N?,%,A-?,??,B?，”，直線MN:x=my+l,

<4√(4)4))

x=my+l

由〈2可得y--4my-4=0,Δ>0,yy=-4,

y=4xi2

k；—4--F,4

由斜率公式可得"N-g.又一x+必，”_貨_覺一%+/，

4444

X,-2

.?.?924(x—2)

直線MO:X=」-y+2,代入拋物線方程可得y一一U~?L.y-8=0,

yX

44=kMN

△〉0，乂%=一8，所以為=2%，同理可得％=2%，所以"8

%+%2(χ+%)2

kfanCi

又因?yàn)橹本€MMAB的傾斜角分別為α,/?,所以匕48=tan4=年=下上,

若要使α一夕最大，則O,5

tan&-tan尸_k

設(shè)鼬=2心8=2Z>0,則tan(α一⑶=

v1+tanαtan夕?-v21c

當(dāng)且僅當(dāng)』=2左即左=變時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)&一方最大時(shí)，k&tt=顯,設(shè)直線AB:x=0y+”,

k2ab2

代入拋物線方程可得y2-40y-4〃=0，A〉。,%%=-4"=4χy2=一16,所以〃=4,

所以直線A8:x=&y+4.

5.（2022?全國(guó)甲（理）T）20.設(shè)拋物線。：：/=2〃%（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)0（〃,0）,過尸的直線交C于

M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MC垂直于X軸時(shí)，∣MF∣=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線“2NO與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,43的傾斜角分別為α,∕Λ當(dāng)a-夕取

得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AAx=√Σy+4.

【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為x=-5,當(dāng)M3與X軸垂直時(shí)，點(diǎn)例的橫坐標(biāo)為p,

此時(shí)IMF'∣=p+=3,所以p=2,所以拋物線C的方程為V=4》；

（2）設(shè)Λ∕（q,χ,N,B號(hào)■，”，直線MN:龍=Wy+1,

X=77W+1C

由《2'可得?-4my-4=0,Δ>O,?γ=-4,

y=Axl2

krXf_4-_4

由斜率公式可得Aw—g一式一X+必，口一久_匕一%+”，

4444

4A2

直線MD:尤=五二2?y+2,代入拋物線方程可得V_(C).y_8^o,

Xy

Δ>0,γl>?=-8,所以為=2丫2，同理可得％=2%，

4_4%”

所以^AB

為+”2(χ+%)2

kfrot?zy

又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為ɑ,p,所以"B=tan夕=—學(xué)=”上,

若要使&一方最大，則用e[θ,g],

\2J

tana-tan/?_k1/1√2

_j八一⑶

?,Janv(α---------——.=—

設(shè)ABr則ι)2

kMN=2k=2Z>0,1+tan。tan41+2Z)+2左2L2k4'

kNk

I6

當(dāng)且僅當(dāng)一=2k即Z=在時(shí)，等號(hào)成立,

k2

所以當(dāng)a一夕最大時(shí)，％=YZ,設(shè)直線AB∕=√?y+”,

2

代入拋物線方程可得γ2-4√2j-4/1=0.

Δ>0,y3y4=-4/?=4ylγ2=-16,所以〃=4,

所以直線A8:x=0y+4.

1.由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦

點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.

2.拋物線定義的應(yīng)用

(1)利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化.即“看

到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”.

(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)尸(x,y)到焦點(diǎn)尸的距離IPfl=IXI+§或IPFI=M+§

3.與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法

(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解.

(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原

理解決.

4.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧

(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

5.求解拋物線綜合問題的方法

(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但

涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用.

(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式IA用

=M+及+雙焦點(diǎn)在》軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式.

J常用結(jié)論)

拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)AB是過拋物線y2=2pMp>0)的焦點(diǎn)P的弦，若A(X力)，β(χ2,y2),則：

小E2

(I)XIX2=N，yιyι--p;

(2)若A在第一象限，8在第四象限，則IAfl=]∕os/M=]+fosα,弦長(zhǎng)IABl=Xl+及+p=磊(α為弦

AB的傾斜角)；

⑶向十兩='

(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

⑸以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；

(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；

(7)通徑：過焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p?

J易錯(cuò)點(diǎn)）

1.定義中易忽視”定點(diǎn)不在定直線上''這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與定直線垂

直的直線.

2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)一般要用待定系數(shù)法求P的值，但首先要判斷拋物線是不是標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪

一種標(biāo)準(zhǔn)方程.

一、單選題

1.己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線X=；V的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線上，且IM曰=3,則M點(diǎn)到X軸的距離

為（）

A.2B.—C.2>∕3D.2?∣2

16

【答案】D

【解析】由題意得y,=4x,所以準(zhǔn)線為;c=T,

又因?yàn)镮"/1=3,設(shè)點(diǎn)用的坐標(biāo)為（七,%）,則有IMq=%+l=3,解得：X0=2

將々=2代入解析式y(tǒng)?4x得：Λ=±2√2,所以M點(diǎn)到X軸的距離為2夜.

2.已知拋物線C：V=2pχ（p>o）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AO_U于。.若AF=4,

NZMF=60。，則拋物線C的方程為（）

A.y2=8xB.y2=4xC.√=2xD.∕=x

【答案】B

【解析】根據(jù)拋物線的定義可得4）=AF=4,又/ZX/=60。，所以AO-p=；AF,

所以4-p=2,解得p=2,所以拋物線C的方程為V=4x.

3.設(shè)0、尸分別是拋物線V=4x的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在拋物線上，若OP?θ=lθ,則冏=

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

2?,2、/2、

（3,yj,FP=七葉F（l,O）=g_l,“，

因?yàn)镺RFP=I0，［?，）'］（Ty=1°，∕l+12y2-160=0,V=8,y=±2√∑

FP=仔網(wǎng)=3

4.拋物線丁=?的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(3,2),尸為拋物線上一點(diǎn)，且「不在直線AF上，則MAF周長(zhǎng)的最小

值為()

A.4B.5C.4+2√2D.5+20

【答案】C

【解析】由拋物線為V=4x可得焦點(diǎn)坐標(biāo)E(1,O),準(zhǔn)線方程為x=T.

由題可知求APAF周長(zhǎng)的最小值.即求IPAI+∣P尸I的最小值.

設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)O.

則根據(jù)拋物線的定義.可知IPFl=IP/

因此求IPAl+∣p目的最小值即求IpH+1Pa的最小值.

根據(jù)平面幾何知識(shí)，當(dāng)尸、A、。三點(diǎn)共線時(shí)，∣R4∣+∣PD∣最小.

所以(附+1PMrahI=XlT)=3+1=4.

3122-02

又因?yàn)镮AFI=λ∕(^)+()=20，

所以ZV5A尸周長(zhǎng)的最小值為4+2忘.

5.己知拋物線C：∕=-2py3>0)的焦點(diǎn)為死點(diǎn)例是C上的一點(diǎn)，M到直線產(chǎn)2P的距離是M到C的準(zhǔn)線距

離的2倍，且IMF]=6,則P=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

'2p-y0=6×2

【解析】設(shè)材(。九)，則pC,解得P=4

L=6

6.已知拋物線C:/=4x上任意一點(diǎn)P,定點(diǎn)A(2,l),若點(diǎn)M是圓(x-iy+y2=:上的動(dòng)點(diǎn)，則IpAl+∣PM∣

的最小值為()

5

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】B

【解析】拋物線焦點(diǎn)F(1,O),準(zhǔn)線=設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離為d,點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離為d'

?PA?+?PM^PA?+?PF?--^PA?+d--≥d'--=-.

2222

7.已知雙曲線U-W?=1Q>O)右焦點(diǎn)為士，過「且垂直于X軸的直線與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，拋物線

y2=-16x的焦點(diǎn)為F,若AB/為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.1+^1,+8B.(λ∕13,+∞)C.(1,3)D.?1-??

\7\/

【答案】D

【解析]在拋物線y2=-16x中，F(xiàn)(-4,0),

2

v?22*(b?

在雙曲線±一v與=1中，當(dāng)X=C時(shí)，y=±2,取AC=.

4b22I2J

因?yàn)橐籄B廠是銳角三角形，所以NAF耳

/

則,萬八711?即從<8+2c?

tanZAFF="<tan—=1

14+c4

?22

因?yàn)殡p曲線工-』v=1中4=2,

4b

^l^h2=c2-a2=c2-4,所以C2-4<8+2C,

^Wl-√i3<c<l+√13,所以1一屈<￡<1+9.

2a2

因?yàn)閑=￡>l,則ι<e<匕巫，

a2

所以雙曲線的離心率的取值范圍是(1,耳?.

8.已知拋物線C：V=2px(p>0),以“(-2,0)為圓心，半徑為5的圓與拋物線C交于48兩點(diǎn)，若IABl=8,

貝∣]P=()

A.4B.8C.IOD.16

【答案】B

【解析】以"(一2,0)為圓心，半徑為5的圓的方程為(x+2y+y2=52,

由拋物線C-.y2=2px(p>0),得到拋物線關(guān)于X軸對(duì)稱，

又Y上面的圓的圓心在X軸上，.?.圓的圖形也關(guān)于X軸對(duì)稱，

??.它們的交點(diǎn)A,B關(guān)于X軸對(duì)稱，

因?yàn)楱OA8∣=8,.?.4,B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值都是4,

它們?cè)趻佄锞€上，于是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值j=3,

2pP

不妨設(shè)A在X軸上方，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為

VP)

又?.S在圓上，...[￡+2)+42=25,解得P=8

二、多選題

9.已知拋物線V=2px(p>0)上一點(diǎn)M到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和2√Σ,則。的值可以是

A.2B.6C.4D.8

【答案】AC

【解析】設(shè)M的橫坐標(biāo)為X,由題意，x+5=3,2px=8,解得p=2或。=4.

10.下列說法不IjE砸的是()

A.等比數(shù)列{α,,},%=4,q0=8,則4=±4∕

B.拋物線y=-4f的焦點(diǎn)尸(TO)

C.命題“Tx>0,2*>爐”的否定是："mv≤0,2*≤χ2”

D.兩個(gè)事件Al,“A與8互斥”是“A與B相互對(duì)立”的充分不必要條件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比數(shù)列{4},%=4,4。=8,所以％2=%即>=32,

則％=±40，又&=%/>0，所以％=4近，故A錯(cuò)誤；

B.拋物線>=-4/化成標(biāo)準(zhǔn)式得：x2=-→,所以其焦點(diǎn)尸故B錯(cuò)誤；

4I16；

C命題“Vx>0,2*>V”的否定是：Fx>0,2*≤χ2”,故C錯(cuò)誤;

D.兩個(gè)事件AB,若A與8互斥，則A與B不一定相互對(duì)立，但若A與8相互對(duì)立，則A與B一定互斥，故

“A與8互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.

11.［多選題］已知拋物線f=g)，的焦點(diǎn)為八Λ7(xl,yl),N(X2,%)是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為［,θ］

B.若直線MN過點(diǎn)F,則4t2=~?

16

C.若MF=大NF，則IMVI的最小值為:

D.若IM/∣+∣N尸|=2，則線段MN的中點(diǎn)P到X軸的距離為5

2o

【答案】BCD

【解析】易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(θ1),選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2

根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點(diǎn)F時(shí)，xtx2=-p=~,選項(xiàng)B正確；

16

若MF=2NF，則MN過點(diǎn)尸，則IMVl的最小值即拋物線通徑的長(zhǎng)，

為)2p,即選項(xiàng)C正確，

拋物線的焦點(diǎn)為(0,：1,準(zhǔn)線方程為y=-：,

2?°J8

過點(diǎn)Λ/,N,P分別作準(zhǔn)線的垂線Λ∕M',NN',PP'垂足分別為M',N',P',

所以IMM［=|MFI,IMVI=INq.

所以M"∣+∣MVl=∣Λ∕F∣+W日=5,

w

所以線段IPPl=IMMl7^1=：,

所以線段MN的中點(diǎn)P到X軸的距離為∣P∕y∣-g=9-d="選項(xiàng)D正確.

O4OO

12.已知拋物線C:y2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離為2,則()

A.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為。,0)

B.過點(diǎn)A(T,0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

C.直線x+y-1=O與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為8

D.拋物線C與圓公+丁=5交于M,N兩點(diǎn)，貝”MV∣=4

【答案】ACD

【解析】由題可知拋物線方程為V=4x

對(duì)于A,焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(1,0),故A正確

對(duì)于B,過點(diǎn)4-1,0)有拋物線的2條切線，還有y=0,共3條直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤

對(duì)于C,Iy224v=>)2+4y-4=0,弦長(zhǎng)為01-Ml=+%1-今跖=&幻~~+6H),故C

正確

r"+\?2=5

對(duì)于D,\2=>X2+4X-5=0,解得χ=l(X=-5舍去)，交點(diǎn)為(l,i2),有IMNl=4,故D正確

/=4x

三、填空題

2

13.拋物線y=加(α>0)的焦點(diǎn)與楠圓木+/=1的一個(gè)焦點(diǎn)相同，則拋物線的準(zhǔn)線方程是.

【答案】y=-3

【解析】橢圓A+∕=l的焦點(diǎn)為(0,±3),拋物線y="2(α>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

.??￡=3,得。=卷，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=12)，，

因此，拋物線的準(zhǔn)線方程是V=-3.

14.若拋物線y2=2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為6，則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為.

【答案】j3

【解析】設(shè)點(diǎn)M,V∣MO∣=√3

I2)

.?.---0+(y-0『=3.?y2=2或y2=-6(舍去)，x=-=1

、2J2

.?.M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線χ=-g的距離d=l-(-∣)=∣?

：點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離，

???點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為I

15.若直線2x+4y+m=0經(jīng)過拋物線y=2∕的焦點(diǎn)，則W=.

【答案】

=；y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。，j

【解析】y=2∕可化為f

由題意可得：2×0+4×i+∕M=0,故〃2=.

82

16.已知拋物線UV=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)”（x0,4&）卜。＞與）是拋物線C上的一點(diǎn)，以H為圓心

7

的圓交直線X=5于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），若SinNHFA=B,則拋物線C的方程是.

【答案】∕=4x

【解析】畫出圖形如下圖所示，作垂足為。,

由題意得點(diǎn)H（x0,4√2）U＞在拋物線C上，則2px0=32①，

由拋物線的定義，可知I叫=XO-缶,

因?yàn)镾inNWA=；所以，|。Μ=]”目=4%+§],

所以與-5=（1/+《|，解得XO=4p②，

由①②解得/=4p=-8（舍去）或及=4p=8,故拋物線C的方程為V=4x.

?M)

一、單選題

1.（2022.山東濰坊.模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥

建筑物，如圖.若將該大學(xué)的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線^=改2（a力0）的一部分，且

點(diǎn)A(2,-2)在該拋物線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.fθ,-?jB.(0,-1)C.D.

【答案】A

【解析】依題意A(2,-2)在拋物線y=以2(α*0)上，所以-2="x2?nα=-g,

所以y=-gw=.2＞，故2p=2,5=g,且拋物線開口向下，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(θ,-J.

2.(2022?貴州?模擬預(yù)測(cè)(理))已知曲線C/：x'=2py(p＞0)和C2：(x+l『+y?=當(dāng)，點(diǎn)A(-1,

16

山)和8(2,＞2)都在C/上，平行于AB的直線/與C/,C2都相切，則。的焦點(diǎn)為()

A.(0,—)B.(0)?)

42

【答案】B

【詳解】先由題意求出AB坐標(biāo)，則可得∕?,由于直線/平行于AB,所以設(shè)直線Ly=∕x+"再利用直

線/與Cl相切，將直線方程代入G方程中，由判別式為零可得Pb=-L再由直線/與C?相切，則圓心(T,°)

O

到直線/的距離等于半徑且，列方程，結(jié)前面的式子可求出P,從而可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

4

12

【點(diǎn)睛】對(duì)于曲線C/：X2=2py(p＞0),當(dāng)X=-I時(shí)，＞'=—,當(dāng)x=2時(shí),，＞=一,

2pP

ZXZX12

所以A—1,；,82,工，所以直線AB的斜率為i__2p~7_1，

I2P)IP)%=F

1s,

設(shè)與直線A5平行的直線為hy=}χ+6,由＜y=——x-t-bC

2p,-X-Iph=Q,

2p

χ2=2py

因?yàn)橹本€3=9+gC∣相切，所以△=5即。，得面=」，

因?yàn)橹本€/：y=:-x+6與c?相切，所以圓心(-1,0)到直線/的距離等于半徑且,

化簡(jiǎn)得jl+4p2)=(1-2pO)2,

Io

所以,(l+4p2)=(l+J)2,得p2=l,

164

因?yàn)椤?gt;0,所以。=1，所以曲線C/為χ2=2y,其焦點(diǎn)為[θ,g

故選：B

3.(2022?山東?昌樂二中模擬預(yù)測(cè))PQ為經(jīng)過拋物線V=2px焦點(diǎn)的任一弦，拋物線的準(zhǔn)線為/,PM垂直

于/于M,QN垂直于/于N,PQ繞/一周所得旋轉(zhuǎn)面面積為跖，以MN為直徑的球面積為邑，則()

A.51>S2B.5l<S2C.Sl≥S2D.S1≤S2

【答案】C

【解析】設(shè)PQ與X軸夾角為氏令I(lǐng)P日=W,|。司=〃，則IPM="，1。2=〃，則

1

S1=π(?PM?+?QN?)-?P^=π[m+n^,S2=π?MN'?=π{m+n^s?nθ,所以S∣≥S?當(dāng)且僅當(dāng)。=9()。時(shí)等號(hào)成

立；

故選：C

4.(2021?內(nèi)蒙古烏蘭察布?一模(文))已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在此拋物線上，且它的縱坐

標(biāo)為6,以M為圓心，IMQ為半徑作圓，過。(7,-4)引圓M切線Q4QB,則NAQS=()

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

拋物線),2=4χ的焦點(diǎn)*1,0),準(zhǔn)線/方程：X=-L

因?yàn)辄c(diǎn)M在此拋物線上，且它的縱坐標(biāo)為6,所以M(9,6),

所以IMFl=J(9-1)2+(6-0)2=]0即圓的半徑尸：10.

由拋物線的定義可知，準(zhǔn)線與圓M相切.

而Q(-l,-4)在準(zhǔn)線/,所以切點(diǎn)A必在準(zhǔn)線上，且A(T,6),

可知IQAl=I()=r,故四邊形AQBM為正方形，所以NAQB=90。

故選：B

5.(2022.安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知A,8分別為拋物線C1：V=4x與圓C?：/+/_40〉+7=0

上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F,P,。為平面兩點(diǎn)，當(dāng)∣AF∣+∣A卻取到最小值時(shí)，點(diǎn)A與P重合，當(dāng)IA尸∣一∣A卸

取到最大時(shí)，點(diǎn)A與。重合，則直線的PQ的斜率為()

A.—B.?C.1D.—

323

【答案】D

【解析】如圖所示:

C√x2+y2-4√2,y+7=0,SPx2+(γ-2√2)2=1,圓心為cjθ,2夜)，

拋物線J：V=4x的焦點(diǎn)為F(LO),記G的準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)A作ADJ/,

過C2作CAL，

∣AF∣+∣AB∣=∣AD,∣+∣AB∣>∣ADl∣+∣AG∣-l,當(dāng)AGW共線時(shí)，點(diǎn)B在AG上，此時(shí)PR,2√5),

連接FC2,

IAFl-1AB∣<IAF∣-(|AC2∣-1)=?AF?-1AC2∣+1≤∣FC2∣+1,此時(shí)Q為FCl與拋物線G的交點(diǎn)，

FC√y=-2√2(x-l),由卜「［何，-"，解得「一或「一萬,

Iy=4、Iy=H2Iy=&

一、,2√2-√22√2

Q化⑸X-TT=亍

因?yàn)镼在第一象限，所以I2人所以2,

故選：D

6.(2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(cè)(文))首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)

賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為

雪飛天.中國(guó)選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金

牌.雪飛天的助滑道可以看成一個(gè)線段PQ和一段圓弧向組成，如圖所示.假設(shè)圓弧Q3所在圓的方程為

C:(x+25)2+(y-2)2=162,若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)M以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，起跳后

的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在y軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為()

A.j2=-32(Λ-1)B.y=--x2-3

64

C.√=-32(>>-l)D.f=-36y+4

【答案】C

【解析】由于某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)M以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，

故ACM=T,所以直線CM所在的方程為：y-2=-(x+25),

JQ——]6IX=—34

r或<一一(舍，離y軸較遠(yuǎn)的點(diǎn))，

{y=-7[y=ll

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(T6,-7).

由于起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在y軸上的拋物線的一部分，

故設(shè)拋物線方程為：y=αM+c,則y'=2αr,

則由M點(diǎn)處切線斜率為1可得-324=l,.?.”=-?,

X-7=-^(-16)2+c,解得c=l,

所以該拋物線的軌跡方程為y=-?f+ι,即f=-32(y-l),

故選：C.

7.(202卜安徽馬鞍山?二模(文))在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，若拋物線Cy=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直

線43與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),IAfI=4,圓E為IiEAB的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M,點(diǎn)N在

圓E上，則OM.QN的取值范圍是()

A.B.[-3,21]C.祟21D.[3,27]

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)川3,府)，所以IAFI=3+^=4,解得p=2,

所以拋物線的方程為V=4x,λ(3,2√3),B(3,-2√3),F(l,()),

所以直線AF的方程為y=√3(x-l),

設(shè)圓心坐標(biāo)為α,,θ),所以(XO-I)2=(3-A))2+12,解得Xo=5,即E(5,0),

???圓的方程為α-5α+y2=i6,

不妨設(shè)3>0,設(shè)直線OM的方程為y=H,則攵>0,

4

根據(jù)卷7=4,解得k=g,由.V=-X912

3,解得M5,^5^

(X-5)2+>2=16

設(shè)N(4cosθ÷5,4sinθ),月『以O(shè)M?ON=gcosJ+羨sing+9=∕(3COS夕+4Sing)+9,

因?yàn)?8$。+4$皿。=55皿。+0)?-5,5],所以QM.ONe[-3,21].

故選：B.

8.（2022.新疆烏魯木齊.模擬預(yù)測(cè)（文））北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返

回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，全國(guó)人民都為我國(guó)的科技水平感到自豪某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天

器變軌返回試驗(yàn).如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌跡方程為工+t=I,變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由

10025

橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，（0,為頂點(diǎn)的拋物線的一部分.已知觀測(cè)點(diǎn)4的坐

標(biāo)（6,0）,當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離

為（）

A.3B.2.5C.2D.1

【答案】A

【解析】由題意，設(shè)點(diǎn)8所在的拋物線方程為y=0χ2+^,

又由拋物線與橢圓的交點(diǎn)C(6,4),代入拋物線方程得42="62+”,解得。=一三,

545

AQA

即拋物線的方程為y=-??2+邛，

455

436

令y=o,可得-77f+u=o,解得χ=9或工=_9(舍去)，

455

所以|明二|0卻-|儂=3,即航天器降落點(diǎn)3與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離為3.

故選：A.

二、多選題

9.(2021.重慶市育才中學(xué)二模)下列說法正確的是()

A.AB=C。是IABl=ICDl的充分不必要條件

B.基函數(shù)/(x)=∕n"my帆eR)在區(qū)間(O,*0)上單調(diào)遞減

22

C.拋物線y=4χ2的焦點(diǎn)與橢圓二+匕=1的右焦點(diǎn)重合

43

D.函數(shù)f(x)=SinlX∣+∣SinXl的最大值為2

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A中，由AB=Cf>，可得IA8∣=∣C￡>I成立，反之：若∣A8∣=∣CD∣,但向量AB與CO的方向不

一定相同，所以向量AB與CC不一定相等，所以AB=CD是IABl=IC￡>I的充分不必要條件，所以A正確；

n

對(duì)于B中，由幕函數(shù)F(X)=欣jτ,可得zn=ι,即/(χ)=Xτ,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以B正確;

對(duì)于C中，拋物線y=4∕的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,上），橢圓H+E=l的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）,

可得拋物線y=4∕的焦點(diǎn)與橢圓:+]=1的右焦點(diǎn)不重合，所以C不正確；

對(duì)于D中,由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得SkIWe[—1,1],卜in耳∈[0,1],

當(dāng)X=IH寸，可得SinIxI=LlSinXl=1,所以當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)〃x）取得最大值2,

所以D正確.

故選：ABD.

10.（2021.遼寧.沈陽二中模擬預(yù)測(cè)）下列說法不氐現(xiàn)的是（）

A.等比數(shù)列{4},4=4,40=8,則4=±40

B.拋物線y=-4f的焦點(diǎn)尸（To）

C.命題‘'Vx>0,2*>χ2”的否定是：FX≤0,2*≤χ2"

D.兩個(gè)事件AJ?,“A與8互斥”是“A與B相互對(duì)立”的充分不必要條件.

【答案】ABCD

【解析】A.等比數(shù)列{4},4=4,4=8,所以"=/4。=32,

則％=±4&，又&=%爐>。，所以％=4近，故A錯(cuò)誤；

B.拋物線y=-4∕化成標(biāo)準(zhǔn)式得：x2=-y,所以其焦點(diǎn)尸（θ,-??],故B錯(cuò)誤；

4I16；

C命題“Vx>02>/”的否定是：FX>0,2*≤C”,故C錯(cuò)誤;

D.兩個(gè)事件AB,若A與8互斥，則A與8不一定相互對(duì)立，但若A與8相互對(duì)立，則A與8一定互斥，故

“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.

故選：ABCD;

11.（2022.福建省廈門集美中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）過拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)F的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)

β

AaM、（??J2）>已知“（3,-2）,N（T,1）,則（）

4

A.若直線/垂直于X軸，則IABl=4B.yly2=-

C.若P為C上的動(dòng)點(diǎn)，則IPMI+1PH的最小值為5D.若點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，則直線/的斜率

為2

【答案】ABD

y2=ΛYCy-IΓγ—?

二可得-C或一C

{尤=1[y=2Iy=-2

所以A(l,2),8(1,-2),所以IABI=4,A對(duì),

由已知可得直線/的斜率不為0,故可設(shè)其方程為X=my+↑,

V2=4x

聯(lián)立《化簡(jiǎn)可得V-4∕ny-4=0,

X=my+\

Δ=(4W)2+16>0,設(shè)A(Xl,必),8(*2，必)，

則X+>2=4，"，My2=-4，B對(duì)，

點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，則NA?NB=0,又N(-l,l)

m1

所以(玉+D(j?+ι)+(y∣-1)(丫2-1)=(),又再=Wyl+1,?=y2+

所以(町+2)(啊2+2)+(yT)(%T)=0>

所以(〃?2+1)%必+(2〃7_1)()'1+%)+5=0，

所以4"∕-4,"+I=0,故機(jī)=g,此時(shí)直線/的斜率為2,D對(duì)，

過點(diǎn)P作出垂直與準(zhǔn)線X=T,垂足為

過點(diǎn)"作MM