中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例說一元二次方程的判別式在中考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例說一元二次方程的判別式在中考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用我們知道，一元二次方程的判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，即可判定一元二次方程實(shí)根的各種情形，除此之外，它在其它許多方面有著廣泛的應(yīng)用：如建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題，構(gòu)造一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，探究幾何存在性問題等等，一些看起來與一元二次方程無關(guān)的問題，有時(shí)也能用一元二次方程的判別式來解決．一、判定兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例1已知函數(shù)y＝和y＝kx＋1(k≠0)，當(dāng)k取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)圖象總有：(1)兩個(gè)公共點(diǎn)？(2)一個(gè)公共點(diǎn)？(3)沒有公共點(diǎn)？解聯(lián)立消去y，整理得kx2＋x－2＝0，考慮△＝1＋8k.(1)當(dāng)k>－且k≠0時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)k＝－時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)k<－時(shí)，兩函數(shù)圖象沒有公共點(diǎn)．二、求方程中的參數(shù)值例2設(shè)方程＝4只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的值．解方程等價(jià)于兩個(gè)方程：x2＋ax－4＝0，①x2＋ax＋4＝0．②因?yàn)閮煞匠虩o相同的根，但原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故必有且只有方程①或②有重根．∵△1＝a2＋16≥0，△2＝a2－16≥0．由于△1>△2，故只可能是△2＝0，即a＝±4．三、求完全平方數(shù)例3求自然數(shù)n，使4n2＋5n為完全平方數(shù)解設(shè)4n2＋5n＝k2（k≥0且為正整數(shù)）．∵方程的解為正整數(shù)，∴方程4n2＋5n－k2＝0的判別式△＝25＋16k2應(yīng)為完全平方數(shù)．又設(shè)25＋16k2＝m2（m為非負(fù)整數(shù)），∴（m＋4k）（m－4k)＝25.∴解得k＝3，從而n＝1．四、求方程的整數(shù)根例4設(shè)m為整數(shù)，且關(guān)于x的方程mx2＋2（m－5）x＋m－4＝0有整數(shù)根，求m的值．解顯然m≠0，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，且△＝[2(m－5)]2－4m（m－4)＝4(25－6m)．設(shè)25－6m＝k2（k為自然數(shù)），∴k可能的取值有1，2，3，4，6，7，8，11．分別代入m＝知，只有當(dāng)k的值為1，7，11時(shí)，m為整數(shù)，此時(shí)m的值為4，－4，－16．五、證明代數(shù)不等式例5已知A，B，C，x，y，z均為非零實(shí)數(shù)，且滿足條件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．求證：ax＋by＋cx<k2.證明由a＋x＝k，得a－k＋x＝0．顯然a·12－k．1＋x＝0，則1是關(guān)于t的一元二次方程at2－kt＋x＝0的一個(gè)根，∴△＝(－k)2－4ax≥0，即ax≤．同理by≤，cz≤．∴ax＋by＋cz≤<k2．六、證明幾何不等式例6如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)C任作一條直線，與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于E，F(xiàn)．求證：AE＋AF≥4AB.證明設(shè)AB＝a，AE＝x，AF＝y(tǒng)．七、求代數(shù)式的最值例7若abc＝2，a＋b＋c＝0，試求的最小值．解易知a，b，c中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)b為正數(shù)，∵a＋b＋c＝0．∴a·12＋b·1＋c＝0．即1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，∴b2－4ac≥0．即b2≥4ac，b3≥4abc.又∵abc＝2，b3≥8，∴b≥2，bmin＝2．當(dāng)b＝2時(shí)，ac＝1，a＋c＝－2，此時(shí)a＝－1，c＝－1．∴的最小值為4．八、求幾何最值例8如圖2，平行四邊形PQRS的一邊SR在△ABC的邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P，Q分別在AB，AC上．探究平行四邊形PQRS面積的最大值．解如圖2，過點(diǎn)4作AD⊥BC，垂足為D，交PQ于點(diǎn)E．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可把，看成關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋＝0的兩個(gè)根，則有判別式△≥0，得S2≤，即平行四邊形的面積不大于原三角形面積的一半，也就是內(nèi)接平行四邊形的最大面積等于原三角形面積的一半．九、探究幾何存在性問題例9如圖3，在正方形ABCD中，∠FAE＝45°，兩邊與BC，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.設(shè)EF＝b，AB＝a，探究Rt△ECF存在的條件．解如圖3，設(shè)BE＝x，由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形可知：DF＝b－x．于是CF＝a－b＋x，CE＝a－x，在Rt△ECF中，由勾股定理可得b2＝(a－x)2＋（a－b＋x）2．整理得到關(guān)于x的一元二次方程x2－bx＋a2－ab＝0．若BE存在，則該方程必有實(shí)數(shù)解，于是△≥0，解得≥2－2；同時(shí)，該方程的兩個(gè)根滿足x1＋x2＝b>0，且x1.x2＝a2－ab>0，于是<1．綜上所述，Rt△ECF存在的條件是：2－2≤<1．特別地，當(dāng)＝2－2時(shí)，Rt△ECF是等腰三角形．十、求分式有理函數(shù)值的范圍例10求函數(shù)y＝的值的范圍．解原函數(shù)式變?yōu)?y－2)x2－(y－2)x＋y－3＝0.(1)當(dāng)y＝2時(shí)，則0·x2＋0·x＋