抽象代數(shù)群的定義課件

抽象代數(shù)群的定義課件目錄CATALOGUE群的定義群的應(yīng)用群的分類群的結(jié)構(gòu)群的表示群的發(fā)展歷程群的定義CATALOGUE01群中的元素稱為群元素或群元。群中的二元運(yùn)算是封閉的，即對于群中的任意兩個元素，它們的運(yùn)算結(jié)果仍屬于這個集合。群是由一個集合和這個集合上的一個二元運(yùn)算所組成的系統(tǒng)。群的基本概念群是一個封閉的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即其二元運(yùn)算滿足封閉性。群中存在一個特殊的元素，通常記為$e$或$I$，稱為單位元，滿足對于任意群元素$a$，有$ecdota=acdote=a$。群中的運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對于任意三個群元素$a,b,c$，有$(acdotb)cdotc=acdot(bcdotc)$。群中每個元素都存在一個逆元，滿足$acdota^{-1}=e$或$a^{-1}cdota=e$。群的基本性質(zhì)群中的運(yùn)算是可結(jié)合的，即滿足結(jié)合律。群中的運(yùn)算是可交換的，即滿足交換律。群中的運(yùn)算滿足幺半群的定義，即存在單位元和逆元。群中的運(yùn)算滿足代數(shù)運(yùn)算的基本性質(zhì)，如消去律、分配律等。01020304群的運(yùn)算規(guī)則群的應(yīng)用CATALOGUE02群是研究對稱性的重要工具，如在幾何學(xué)中，群可以描述圖形的對稱性。對稱性研究群是代數(shù)結(jié)構(gòu)的一種，對群的研究有助于理解其他代數(shù)結(jié)構(gòu)，如環(huán)和域。代數(shù)結(jié)構(gòu)群在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在基本粒子物理中，群論被用來描述粒子的不同狀態(tài)和對稱性，如SU(3)群描述了強(qiáng)相互作用中的8種粒子狀態(tài)。在量子力學(xué)中，波函數(shù)具有對稱性，群論可以用來描述這些對稱性。群在物理中的應(yīng)用量子力學(xué)基本粒子物理密碼學(xué)在密碼學(xué)中，群論用于構(gòu)建加密算法和數(shù)字簽名，如RSA算法就是基于數(shù)論中的一些群論性質(zhì)。圖算法在圖算法中，群論用于描述圖的結(jié)構(gòu)和對稱性，如圖的同構(gòu)和子圖同構(gòu)等。群在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用群的分類CATALOGUE03

交換群定義交換群是一種特殊的群，其中任意兩個元素的乘積等于它們的乘積的乘積。例子整數(shù)模n加法群是交換群的例子，其中n是一個正整數(shù)。性質(zhì)交換群具有許多有用的性質(zhì)，例如，其元素都可以被表示為有限階的元素。離散群是一種特殊的群，其中元素都是離散的，即它們之間沒有連續(xù)的元素。定義例子性質(zhì)模n加法群是離散群的例子，其中n是一個正整數(shù)。離散群具有許多有用的性質(zhì)，例如，其元素都可以被表示為有限階的元素。030201離散群連續(xù)群是一種特殊的群，其中元素都是連續(xù)的，即它們之間有連續(xù)的元素。定義實(shí)數(shù)加法群是連續(xù)群的例子。例子連續(xù)群具有許多有用的性質(zhì)，例如，其元素都可以被表示為無限階的元素。性質(zhì)連續(xù)群群的結(jié)構(gòu)CATALOGUE04一個群的階是指該群中元素的個數(shù)。例如，如果群G中有n個元素，則稱G的階為n。階的定義如果群的階是有限的，則稱該群為有限階群。有限階群具有一些特殊的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。有限階群如果群的階是無限的，則稱該群為無限階群。無限階群也有其特殊的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。無限階群群的階如果一個群H是另一個群G的子集，并且H滿足群的運(yùn)算，則稱H是G的子群。子群的定義設(shè)G是一個群，H是G的一個子群，G到H的商空間是一個商群，其元素是G的等價類。商群的構(gòu)造子群與商群同態(tài)的定義兩個群之間的一個映射，該映射保持群的運(yùn)算。如果存在一個同態(tài)映射f:G->H，那么對于任意的a,b屬于G，有f(a*b)=f(a)*f(b)。同構(gòu)的定義兩個群之間的一個一一映射，該映射保持群的運(yùn)算。如果存在一個同構(gòu)映射f:G->H，那么對于任意的a,b屬于G，有f(a*b)=f(a)*f(b)，并且f是一一映射，即每個元素在H中都有唯一的像。群的同態(tài)與同構(gòu)群的表示CATALOGUE05矩陣表示的定義01將群中的元素映射到矩陣，形成一個矩陣群。矩陣表示是群表示中最常用的一種，可以用于研究群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。矩陣表示的優(yōu)點(diǎn)02矩陣表示直觀易懂，便于計算和推導(dǎo)，可以用于解決各種數(shù)學(xué)問題。此外，矩陣表示還可以通過計算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，方便進(jìn)行大規(guī)模的計算和研究。矩陣表示的應(yīng)用03矩陣表示在數(shù)學(xué)、物理、工程等多個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在量子力學(xué)中，波函數(shù)可以用矩陣表示，而在計算機(jī)圖形學(xué)中，變換矩陣也可以用來表示各種幾何變換。群的矩陣表示張量表示的定義將群中的元素映射到張量，形成一個張量群。張量表示是群表示的一種形式，可以用于研究群的更高層次的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。張量表示的優(yōu)點(diǎn)張量表示可以描述更復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)和物理現(xiàn)象，能夠更好地揭示群的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律。此外，張量表示還可以通過計算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，方便進(jìn)行大規(guī)模的計算和研究。張量表示的應(yīng)用張量表示在理論物理、理論化學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在量子力學(xué)中，波函數(shù)可以用張量表示，而在深度學(xué)習(xí)中，各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)也可以用張量表示。群的張量表示量子表示的定義將群中的元素映射到量子態(tài)，形成一個量子群。量子表示是群表示的一種形式，可以用于研究群的量子性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。量子表示的優(yōu)點(diǎn)量子表示可以描述更復(fù)雜的量子現(xiàn)象和量子系統(tǒng)，能夠更好地揭示群的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律。此外，量子表示還可以通過計算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，方便進(jìn)行大規(guī)模的計算和研究。量子表示的應(yīng)用量子表示在量子計算、量子信息、量子物理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在量子計算中，各種量子算法可以用量子態(tài)來表示，而在量子通信中，各種量子態(tài)也可以用量子態(tài)來表示。群的量子表示群的發(fā)展歷程CATALOGUE06群論的起源可以追溯到19世紀(jì)初，當(dāng)時數(shù)學(xué)家開始研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。群論的起源與線性代數(shù)和多項(xiàng)式方程的根式解有關(guān)，特別是對于一些無法通過根式解的多項(xiàng)式方程。群論的起源也與對稱性有關(guān)，數(shù)學(xué)家開始研究幾何圖形和代數(shù)方程的對稱性。群論的起源19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家開始系統(tǒng)地研究群論，并發(fā)現(xiàn)了群的許多重要性質(zhì)和定理。20世紀(jì)初，群論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和應(yīng)用，特別是在物理、化學(xué)和計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域?，F(xiàn)代群論已經(jīng)發(fā)展成為一個非常廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括了許多分支和應(yīng)用，如有限群、無限群、李群、拓?fù)淙旱?。群論的發(fā)展階