數(shù)值分析實驗期末真題及答案

本試卷適應(yīng)范圍信科本試卷適應(yīng)范圍信科南京農(nóng)業(yè)大學(xué)試題紙2012-2013學(xué)年1學(xué)期課程類型：必修試卷類型：A課程數(shù)值分析實驗班級：學(xué)號：姓名題號一二三四五六七八九總分簽名裝訂線裝訂線裝訂線裝訂線注：測試時間為100分鐘，測試結(jié)束將測試報告與M-文件打包命名為：學(xué)號姓名〔如2130213劉剛〕，監(jiān)考老師分班級打包發(fā)至郵箱*********@126【問題】湖水中氯和磷的濃度之間有一定的關(guān)系，下面是一組不同湖水中的測量值。湖泊磷濃度〔P〕mg/m3氯濃度〔Cl〕mg/m314.50.828.02.035.51.2439.011.0519.54.4617.53.8721.05.5〔1〕試建立用磷濃度預(yù)報氯濃度的經(jīng)驗公式?！?〕如果測得某一湖泊磷濃度為16mg/m3，試推測該湖泊氯的濃度?！蔡崾荆翰逯?、最小二乘法〕【解答】1、理論概述與算法描述〔25分〕1.拉格朗日插值法是基于基函數(shù)的插值方法，插值多項式可表示為其中稱為i次基函數(shù)：2.利用均差的牛頓插值法函數(shù)f的零階均差定義為，一階定義均差為一般地，函數(shù)f的k階均差定義為：利用均差的牛頓插值法多項式為3.數(shù)據(jù)多項式擬合的最小二乘法假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為由多元函數(shù)取極值的必要條件得即即引入記號:那么由內(nèi)積的概念可知顯然內(nèi)積滿足交換律方程組(4)便可化為將其表示成矩陣形式并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法那么,法方程組有唯一解即是因此2、計算過程與計算結(jié)果〔25分〕〔1〕試建立用磷濃度預(yù)報氯濃度的經(jīng)驗公式。實驗數(shù)據(jù)如下：4.55.58.017.519.521.039.00.81.22.03.84.45.511.0編寫對任意數(shù)據(jù)表求Lagrange插值多項式的程序。Lagrange.m>>X=[4.55.58.017.519.521.039.0];Y=[0.81.22.03.84.45.511.0];L=Lagrange(X,Y)L=>>編寫對任意數(shù)據(jù)表求Newton插值多項式的程序。Newton.m>>X=[4.55.58.017.519.521.039.0];Y=[0.81.22.03.84.45.511.0];N=Newton(X,Y);N=>>4.數(shù)據(jù)多項式擬合的最小二乘法。nihe.m二次擬合圖像如下：系數(shù)a=//a=polyfit(x,y,2)>>四次擬合圖像如下,效果已經(jīng)相當可觀：系數(shù)a=//a=polyfit(x,y,4)Columns1through4Column5-3.895060114464974e+000〔2〕如果測得某一湖泊磷濃度為16mg/m3，試推測該湖泊氯的濃度。1．編寫用Lagrange多項式插值法計算函數(shù)近似值的程序。Lagr.m>>u=16;z=Lagr(x,y,u)z=3.695495880082876e+000>>此即為該湖泊氯的濃度?！簿帉懹肗ewton插值法計算函數(shù)近似值的程序，可以用第一題中的程序結(jié)果，同上〕2．數(shù)據(jù)多項式擬合的最小二乘法,采用四次擬合的結(jié)果估計。Fnihe.m>>x=16;fnihe(x)ans=3.2249>>3、計算結(jié)果分析、討論與結(jié)論〔20分〕1.經(jīng)過編程計算問題一，得到了拉格朗日插值多項式也進一步掌握了拉格朗日插值的原理也會進一步分析誤差。通過程序計算還得到了在插值點處的函數(shù)值解決的問題。2.編寫出牛頓插值多項式的主程序，雖然此次并未要求用其解決問題但是通過編程掌握了牛頓插值的根本原理理論轉(zhuǎn)變成實踐。3.在實驗的中用MATLAB中自帶的最小二乘多項式擬合。由于數(shù)據(jù)本身的線性相關(guān)性很強，2次最小二乘多項式擬合的結(jié)果已經(jīng)很不錯了。對于4次最小二乘多項式擬合的結(jié)果更是對數(shù)據(jù)的描述很好了。4、源程序代碼〔30分〕Lagrange.mfunctionL=Lagrange(X,Y)symstN=length(X);L=0;fori=1:NW=1;forj=[1:i-1,i+1:N]W=(t-X(j))/(X(i)-X(j))*W;endL=L+W*Y(i);endL=expand(L);Newton.mfunctionN=Newton(x,y)n=length(x);symst;f=zeros(n-1,n);f(1,1)=y(1);fori=2:nf(1,i)=(y(i)-y(1))/(x(i)-x(1));endfori=2:n-1forj=i+1:nf(i,j)=(f(i-1,j)-f(i-1,j-1))/(x(j)-x(i));endendN=f(1,1);fori=2:nl=f(i-1,i);forj=1:i-1l=l.*(t-x(j));endN=N+l;endN=expand(N)nihe.mx=[4.55.58.017.519.521.039.0];y=[0.81.22.03.84.45.511.0];formatlongea=polyfit(x,y,2)y=polyval(a,x);plot(x,y,'-')Lagr.mfunctionz=Lagr(x,y,u)n=length(x);z=0;fori=1:n;A=1;forj=1:(i-1);A=A*(u-x(j))/(x(i)-x(j));endfork=(i+1):n;A=A*(u-x(k)