數(shù)學(xué)建模小論文-彩票中的數(shù)學(xué)

彩票中的數(shù)學(xué)論文摘要彩票發(fā)行者的最終目的是實(shí)現(xiàn)彩票銷售收入的最大化，而要增加銷售收入，就要考慮采用什么樣的方案才能吸引廣闊彩民積極地購置彩票；再者，我國彩票業(yè)的開展尚處于初級階段，彩票市場較為單一的票種和玩法制約了彩票發(fā)行規(guī)模的擴(kuò)大。本文以常見的彩票發(fā)行方案為研究，從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、概率論等有關(guān)知識，對方案的合理性進(jìn)行評價(jià)，從而判斷限行方案時候符合實(shí)際情況，并討論了能否通過彩票發(fā)行規(guī)那么的制定來提高彩民吸引力的問題，使得國家和彩民的利益得到雙贏，進(jìn)一步促進(jìn)我國彩票事業(yè)的健康開展。主要工作有：一、對問題進(jìn)行進(jìn)一步分析；二、綜合考慮總中獎概率、高項(xiàng)獎中獎概率以及中大獎的期望收益等影響彩民的吸引力的因素，采用分類加權(quán)法構(gòu)造吸引度函數(shù)來評價(jià)方案的合理性；三、引入彩民心理曲線建立模型來描述方案對彩民的吸引力；在此根底上考慮各種約束條件，建立尋求更有彩票方案的模型。關(guān)鍵詞：彩票方案吸引度函數(shù)心理曲線合理性評價(jià)一、問題重述彩票發(fā)行方案，在某種意義上即為游戲規(guī)那么。目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1〔6+1/10〕”方案：先從6組1~9號球中搖出6個根本號碼，每組搖出一個，然后從0~4號球中搖出一個特別的號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選6個根本號碼〔可重復(fù)〕，從0~4五個號碼中選一個特別的號碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級?！皹吠感汀庇卸喾N不同的形式，比方“33選7”的方案：先從01~33個號碼球中一個一個地?fù)u出7個根本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~33個號碼中任選7個組成一注〔不可重復(fù)〕，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案，先從01~36個號碼球中一個一個地?fù)u出6個根本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01~36個號碼中任選7個組成一注〔不可重復(fù)〕，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注假設(shè)已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎?，F(xiàn)在常見的銷售規(guī)那么及相應(yīng)的獎金設(shè)置方案如表三，其中一、二、三等獎為高項(xiàng)獎，后面的為低項(xiàng)獎。低項(xiàng)獎數(shù)額固定，高項(xiàng)獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項(xiàng)獎額的計(jì)算方法為：[(當(dāng)期銷售總額×總獎金比例)-低項(xiàng)獎總額]×單項(xiàng)獎比例。問題：〔1〕根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎項(xiàng)和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價(jià)各方案的合理性。〔2〕設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議?！?〕給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。二、問題分析在[(當(dāng)期銷售總額×總獎金比例)-低項(xiàng)獎總額]×單項(xiàng)獎比例中比例一般為固定比例，假設(shè)假設(shè)彩票發(fā)行本錢在發(fā)型活動中為常值，那么有以下結(jié)論：實(shí)行發(fā)行利潤最大化及實(shí)現(xiàn)彩票資金最大化，也即投注數(shù)的最大化。要實(shí)現(xiàn)投注數(shù)的最大化，方案必須能吸引廣闊彩民積極踴躍地購置彩票。方案的合理性意味著在保證方案的可行性和可操作性前提下，盡量使發(fā)行部門和彩民群體都滿意，假設(shè)假設(shè)在投注時，彩民有充分的自由和選擇余地，那么發(fā)行部門實(shí)現(xiàn)利潤最大化的唯一途徑是實(shí)現(xiàn)彩票資金最大化，吸引更多彩民投注。而彩民的滿意度直接決定彩民的參與程度，反映為投注數(shù)。因此，方案的合理性可以定義為：在保證可行性和課操作性的前提下，該方案對某彩民群體的吸引力。事實(shí)上，方案的差異可歸結(jié)為各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎項(xiàng)和獎金的設(shè)置的差異。某種彩票對彩民的吸引最大，其銷售量也就越大，從而認(rèn)為這種發(fā)型方案就是合理的。而影響彩票對彩民的吸引力的因素主要有：中獎概率、高項(xiàng)獎中獎率以及中大獎的期望收益，綜合考慮這些因素，構(gòu)造合理性指數(shù)來度量彩民對第種方案的喜好程度。三、模型假設(shè)與符號說明3.1模型假設(shè)：1、在選擇投注時，彩民有充分的自由和選擇余地，各彩民的投注行為可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的；2、設(shè)彩票銷售總額為彩票資金，總獎金占彩票資金的比例為50%，投注者單注為2元，單注假設(shè)已經(jīng)得到高級別的獎就不在賺得低級別的獎；3、當(dāng)期末中出的一等獎獎金滾入下期一等獎獎金池；4、彩票中獎號碼的搖出是嚴(yán)格的隨機(jī)事件，不考慮彩球質(zhì)量、角度、搖桿搖動的時間等因素的影響，所有號碼的中獎概率都是相等的；5、購置彩票均采用單注式投注。3.2符號說明：：本期彩民購置第種方案中彩票的總注數(shù)；：第種方案中設(shè)置的獎項(xiàng)數(shù)；：高項(xiàng)獎中，第種方案中第等獎獎金占高項(xiàng)獎總獎金的比例；：第種方案中，單注彩票中等獎的概率；：第種方案單注彩票中第等獎的獎金額。四、模型建立及求解4.1模型提出由以上分析，評價(jià)方案合理性的關(guān)鍵在于確定某方案對彩民的吸引程度，設(shè)為第種方案對彩民的吸引度評價(jià)函數(shù)。因此，方案合理性的評價(jià)問題轉(zhuǎn)化為如何確定的具體形式。任一彩票發(fā)行方案都可表達(dá)為{高項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎出現(xiàn)概率，低項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎出現(xiàn)概率，高項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎比例，低項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎金額}。記為。事實(shí)上，確定的具體形式即：確定與的函數(shù)關(guān)系。但中數(shù)據(jù)繁多，很難建立兩者之間的關(guān)系，并且彩民往往不直接關(guān)注其數(shù)值，而是在此根底上得到一些指標(biāo)量，如返獎面、一等獎期望金額、高項(xiàng)獎出現(xiàn)概率等典型指標(biāo)。因此以下將在根底上建立一系列方案評價(jià)指標(biāo)，再討論與這些評價(jià)指標(biāo)的關(guān)系。4.2模型建立以及求解方案中各獎項(xiàng)的概率計(jì)算某方案下各獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性，即各獎項(xiàng)出現(xiàn)的概率，可以在一定條件下由古典概率模型得到。合理地假設(shè)各號碼被選為中獎號碼的概念是相等的，雖然待定彩民選好有一定的傾向，當(dāng)整個彩民群體長期投注行為應(yīng)趨于等概率地選擇各個號碼，且易知各獎項(xiàng)出現(xiàn)概率與獎金額的分配無關(guān)。彩票的常見銷售規(guī)那么及相應(yīng)獎金設(shè)置方案參加下表序號獎項(xiàng)方案一等獎比例二等獎比例三等獎比例四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎金額備注16+1/1050%20%30%50

按序26+1/1060%20%20%300205

按序36+1/1065%15%20%300205

按序46+1/1070%15%15%300205

按序57/2960%20%20%300305

66+1/2960%25%15%200205

77/3065%15%20%50050155

87/3070%10%20%20050105

97/3075%10%15%20030105

107/3160%15%25%500502010

117/3175%10%15%320305

127/3265%15%20%5005010

137/3270%10%20%5005010

147/3275%10%15%5005010

157/3370%10%20%600606

167/3375%10%15%50050105

177/3465%15%20%500306

187/3468%12%20%50050102

197/3570%15%15%300505

207/3570%10%20%500100305

217/3575%10%15%1000100505

227/3580%10%10%20050205

237/35100%20002042

無特別號246+1/3675%10%15%500100105

256+1/3680%10%10%50010010

267/3670%10%20%50050105

277/3770%15%15%150010050

286/4082%10%8%200101

295/6060%20%20%30030

假定彩民購置彩票是獨(dú)立的隨機(jī)事件。將29種方案分為如下四類：，，，，，，，，，，，，，，，，各種方法的各個獎項(xiàng)獲獎概率計(jì)算如下表：序號方案16+1/100.200.8018.00261.002~46+1/100.200.8018.00261.003420.0042039.0057/290.644.4894.18282.552825.514909.1866+1/290.6414.1084.57888.022220.0414800.297~97/300.493.4475.65226.942382.853971.4126476.08107/310.382.6661.23183.682020.483367.4123572.25117/310.382.6661.23183.682020.483367.4112~147/320.302.0849.91149.741722.002870.00157/330.231.6440.96122.891474.702457.84167/330.231.6440.96122.891474.702457.8418843.42177/340.191.3033.83101.491268.682114.46187/340.191.3033.83101.491268.682114.4616915.71197/350.151.0428.1184.321096.411826.9020~227/350.151,0428.1184.321096.411826.9015224.14237/350.1529.151180.4617051.03106568.94246+1/360.123.4720.84291.82729.546565.908754.53256+1/360.123.4720.84291.82729.546565.90267/360.120.8423.4870.44950.921584.8713735.55277/370.100.6819.7259.15828.131380.22286/400.261.5651.58128.962063.372751.16295/600.180.9249.4498.872620.154.2.1.2高項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎期望金額先來計(jì)算底項(xiàng)獎期望獎金金額〔表示單注平均可獲低項(xiàng)獎金額的期望〕：再來計(jì)算一下高項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎期望金額〔表示單注中此高項(xiàng)獎時可獲獎金金額的期望〕：由于高項(xiàng)獎金額為浮動金額，其實(shí)際獎金數(shù)額有賴于低項(xiàng)獎獲獎人數(shù)、高項(xiàng)獎獲獎比例分配及可能獲獎人數(shù)〔同時獲獎的人將平分獎金〕。假設(shè)彩票每注為2元，那么計(jì)算高項(xiàng)獎的單項(xiàng)獎期望金額為：評價(jià)指標(biāo)的建立評價(jià)一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和廣闊彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。要提高銷售額，就是要考慮對彩民的吸引力，某一種彩票對才買的吸引力越大，其銷售額也就會越高。而影響吸引力的因素有很多，通常來說，彩民對方案的三個方面較為關(guān)注：總中獎概率即返獎面、高項(xiàng)獎出現(xiàn)概率和一等獎期望金額。多數(shù)彩民傾向于以此來作為選擇彩票的依據(jù)。參照上述可建立如下評價(jià)指標(biāo)：指標(biāo)1：總中獎概率上下即返獎面，用第種方案的中獎率與所有方案中最大的中獎率之比即來表示指標(biāo)2：中高項(xiàng)獎的難易程度，用第種方案的高項(xiàng)獎中獎概率與所有方案中最大的高項(xiàng)獎概率之比即來表示。指標(biāo)3：一等獎的期望金額是否接近500萬元，用第中方案得一等獎的期望收益除以即來度量。計(jì)算所給方案的評價(jià)指標(biāo)間附錄A吸引度函數(shù)的建立于求解彩民的投注行為大致可分為：理智行為與隨意行為，后者在投注時甚至可能對方案一無所知，更談不上分析比照各方案了，而且后者對方案相當(dāng)不敏感，行為是難預(yù)測的。此外，彩民投注動機(jī)一般可分為：中獎為主與福利為主，后者往往更關(guān)注于彩票分析活動背景，如福利、震災(zāi)、體育等，獲獎動機(jī)不強(qiáng)烈，投注行為有一定的隨意性。專業(yè)彩民通常即指，以獲獎為主要目的，投注前經(jīng)過理性分析和比擬的這類彩民，統(tǒng)計(jì)結(jié)果反映專業(yè)彩民在彩民中約占35%以上，占主導(dǎo)地位，也是對方案最為敏感的群體，對該群體的分析將對方案確實(shí)定起指導(dǎo)作用。因此，以下將針對專業(yè)彩民群體進(jìn)行。某種方案對彩民的吸引度，可看作該方案對群體中不同彩民的吸引度之和，而該方案對單個彩民的吸引度又可以表示為三個評價(jià)指標(biāo)的線性疊加。即方案的吸引度函數(shù)課表示為是哪個評價(jià)指標(biāo)的線性疊加。而權(quán)系數(shù)與待定的彩民群體密切相關(guān)。也可以說某種方案對待定彩民群體的吸引度表示為：其中，向量表達(dá)該方案的特點(diǎn)，向量表達(dá)該彩民群體對彩票的喜好傾向，前者僅與方案有關(guān)，后者僅與彩民有關(guān)，方案的合理性表達(dá)了兩者〔方案的特點(diǎn)與彩民的喜好〕的吻合程度模型中用概率的比值金額的比值來計(jì)算吸引度函數(shù)，不但統(tǒng)一了單位，而且有利于各種方案之間的比擬，每個方案的指標(biāo)值前面已經(jīng)計(jì)算過了，現(xiàn)在只要知道權(quán)系數(shù)的值，就可以求出各個方案的吸引度。方案的吸引度越大，就說明方案越合理。權(quán)系數(shù)的選取可通過以下方法確定：1〕根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定，該方法確定的權(quán)系數(shù)較為粗略，當(dāng)優(yōu)勢在于可以表達(dá)人的模糊判斷能力和對彩票開展方向的預(yù)測性；2〕根據(jù)待定群體進(jìn)行彩民類型及其偏好的調(diào)查結(jié)果斷定，最簡單的調(diào)查可以是以下形式：隨機(jī)選擇彩民，詢問一個問題“彩票的返獎面、高項(xiàng)獎中獎率、一等獎金額中，你對哪個更為關(guān)心？”，統(tǒng)計(jì)大量調(diào)查結(jié)果，即可得權(quán)系數(shù)的估計(jì)；3〕根據(jù)在某一特定的彩民群體中已發(fā)行的彩票方案及銷售情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)。具體算法如下：確定彩民群體，通常為某彩票發(fā)行地區(qū)的彩民；統(tǒng)計(jì)該地區(qū)近期發(fā)行或者正在發(fā)行的彩票方案及其銷售情況，確定權(quán)系數(shù)；計(jì)算各方案的評價(jià)指標(biāo)；計(jì)算各方案的吸引度。依據(jù)國家權(quán)威部門的調(diào)查報(bào)告中的數(shù)據(jù)將彩民分為：保守型、中庸型和冒險(xiǎn)型三類，比例分別為31%，32%，37%，即權(quán)系數(shù)向量，可以計(jì)算各個方案對此彩民群體的吸引度如下表A：序號方案吸引度1280.0019.002.470.002240.191320.4940.21935245739.0019.001.930.366410.191320.3860.29836345739.0019.002.090.366410.191320.4180.30732445739.0019.002.250.366410.191320.4500.3162857/297916.5599.310.760.063421.000000.1520.48159618007.6699.310.660.144261.000000.1320.5002477/3033136.8579.580.760.265460.801330.1520.4587687/3033136.8579.580.950.265460.801330.1900.4694097/3033136.8579.581.090.265460.801330.2180.47724107/3129208.1464.270.800.233980.467170.1600.38681117/315635.8964.271.700.045150.647170.3400.38056127/324794.0352.291.770.038400.527530.3540.33178137/324794.0352.291.910.038400.526530.3820.33962147/324794.0352.292.050.038400.526530.4100.43746157/334098.2742.842.460.032830.431380.4920.32879167/3322941.6942.842.390.183780.431380.4780.37015177/343519.9535.323.140.028200.355650.6280.33367187/3420435.6635.323.040.163710.355650.6080.36873197/353036.6529.304.290.024330.295040.8580.37146207/3518260.7829.303.380.146290.295040.6760.35708217/3518260.7829.303.220.146290.295040.6440.34812227/3518260.7829.304.390.146290.295040.8780.41364237/35124829.7329.304.280.146290.295040.8780.540312416366.2224.444,210.131110.246100.8420.37846257611.7024.444.780.060980.246100.9560.37846267/3616366.2224.444.870.131110.246100.9740.41542277/372288.0020.495.47286/404996.9053.412.990.040030.537810.5980.40533295/602769.5650.542.920.022190.508910.58840.383924.2.1.5方案的合理性評價(jià)從結(jié)果中可以看出：同種類型的“傳統(tǒng)型”彩票方案1~4中，方案4的吸引度最大，可判斷是較合理的?！皞鹘y(tǒng)型”彩票方案〔1~4〕中的加權(quán)目標(biāo)函數(shù)值即吸引度總體上小于“樂透型”彩票方案〔5~29〕的加權(quán)目標(biāo)函數(shù)值，可判斷“樂透型”方案的合理性更優(yōu)?！皞鹘y(tǒng)型”彩票的優(yōu)勢在于返獎面廣，較高的中獎率是中小彩民經(jīng)常有獎可中，對他們的吸引力較大，但相對而言浮動獎金額少。“樂透型”彩票的“大盤玩法”的特點(diǎn)是浮動金額較大，一等獎出現(xiàn)概率偏低，造成一等獎期望獎金較高，百萬的巨額獎金極大地吸引了彩民的關(guān)注?！皞鹘y(tǒng)型”彩票與“樂透型”彩票的大盤玩法相比，各有優(yōu)勢，前者返獎面廣。但在相同一等獎金額下，后者一等獎金出現(xiàn)概率更大。后者特色鮮明，更有開展?jié)摿?。“樂透型”彩票的特別號碼對二等獎一下的獎項(xiàng)進(jìn)行了細(xì)分，使得相同概率條件下可設(shè)的獎項(xiàng)增多，即相同獎項(xiàng)設(shè)置時，返獎面降低。因此，無特別號碼的“樂透型”彩票更受歡送，況且后者簡化了規(guī)那么，便利于彩民參與。4.2.2問題二的求解由分析知，一個合理的方案應(yīng)包含兩層含義：(1)方案的根本合理性：高項(xiàng)獎的期望金額高于低項(xiàng)獎；固定獎的最低金額不能過低等；獎項(xiàng)的設(shè)置一般以4-7項(xiàng)為宜。(2)方案對彩民的吸引力：吸引力越大，彩民購置的越多。為了取得最合理的彩票發(fā)行方案，就要使得吸引力的目標(biāo)函數(shù)到達(dá)最大值，根據(jù)查資料知道，吸引力函數(shù)為：其中高項(xiàng)獎獎金額均值和心理曲線由查資料知為：表示彩民平均收入的相關(guān)因子，查資料知取什么樣的方案、設(shè)置高項(xiàng)獎的比例為多少，低項(xiàng)獎的獎金額為多少使吸引力函數(shù)取最大值，其約束條件如下：(1)高項(xiàng)獎的獎金比例和為1，所以；(2)合理的彩票方案的一等獎期望金額應(yīng)介于保底金額與封頂金額之間，這是彩票長期穩(wěn)定發(fā)行的前提。因此，；(3)為了能夠吸引想得大獎的彩民，其他高項(xiàng)獎的獎金比例也應(yīng)在一個合理區(qū)間內(nèi)，；假設(shè)其浮動范圍為變量浮動區(qū)間(4)同樣要提高彩票方案的吸引力，就要提高彩票方案的中獎率和。所以每一個低項(xiàng)獎的獎金金額同樣要處于某一合理區(qū)間,為低項(xiàng)獎獎項(xiàng)，允許低項(xiàng)獎的獎金金額為0?？杀硎緸椋海患僭O(shè)其浮動范圍為變量浮動區(qū)間(5)實(shí)際中高等獎的概率應(yīng)小于低等獎的概率，即(6)對于方案中的取值范圍也應(yīng)有一定的約束，假設(shè)我們?nèi)　＞C上所述，建立取得最合理彩票發(fā)行方案的目標(biāo)規(guī)劃模型為：五、附錄model:max=p1*u1+p2*u2+p3*u3+p4*u4+p5*u5+p6*u6+p7*u7;p01=@exp(@lgm(2+1));p02=@exp(@lgm(3+1));p03=@exp(@lgm(n+1));p