湖南省九校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.對兩個變量和進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是（）A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)C.決定系數(shù)D.方差2.已知是等比數(shù)列，是其前項和.若，則的值為（）A.2B.4C.D.3.關(guān)于復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)和的點關(guān)于虛軸對稱B.C.必為實數(shù)，必為純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)為實系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根4.已知為雙曲線上一動點，則到點和到直線的距離之比為（）A.1B.C.D.25.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A.B.C.D.6.某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（）A.1.31B.1.32C.1.33D.1.347.已知函數(shù)，若沿軸方向平移的圖象，總能保證平移后的曲線與直線在區(qū)間上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.8.過點的動直線與圓交于兩點，在線段上取一點，使得，已知線段的最小值為，則的值為（）A.1B.2C.3D.4二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)的圖象與直線相切的有（）A.B.C.D.10.在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則為直角三角形C.若為銳角三角形，的最小值為1D.若為銳角三角形，則的取值范圍為11.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（）A.若點滿足，則動點的軌跡長度為B.三棱錐體積的最大值為C.當(dāng)直線與所成的角為時，點的軌跡長度為D.當(dāng)在底面上運動，且溚足平面時，線段長度最大值為三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.對于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為__________.13.已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長與長軸長之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為__________.14.函數(shù)在范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為__________.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.（木小題滿分15分）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點，且.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.16.（本小題滿分15分）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000（1）求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；（2）甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.17.（本小題滿分15分）已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù).18.（本小題滿分17分）已知數(shù)列的前項和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對于給定的正整數(shù)，在和之間插入個數(shù)，使，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.19.（本小題滿分17分）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；（2）若點不在線族：的任意一條直線上，求的取值范和直線族的包絡(luò)曲線；（3）在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的每個這項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345678答案CCDCBDAA1.C【解析】平均致與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的就計量：變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)”的絕對值總大，則變量y和x之間線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；用決定系數(shù)R來刻畫回歸效果，R越大說明擬合效果總好：綜上選C2.C【解析】，化簡得，整理得，又，.故選C.3.D【解析】對于選項A，表示復(fù)數(shù)和的點關(guān)于實軸對稱，故錯誤：對于選項B?選項C，當(dāng)時均不成立，故錯誤.故選D4.C【解析】取雙曲線上一點，則，故選C.5.B【解析】將四面體補(bǔ)形成長方體，長?寬?高分別為，外接球直徑等于體對角線長故，所以外接球表面積為.故選.6.D【解析】存入大額存款元，按照復(fù)利計算，可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，所認(rèn)，可得，故選D.7.A【解析】由題知，，若沿軸方向平移，考點其任意性，不妨設(shè)得到的函數(shù)，令，即，由正弦曲線性質(zhì)知，至少有2解，至多有3解，則自變量的區(qū)間長度在到之間，耶，那，選A.8.A【解析】圓心，半徑為2，所以圓與解相切，設(shè)切點為.則，連接，則，則.設(shè)的中點為，連接，則，語圓心列直線的距離為，則.由可得，因為.所以.因此，解得：，故選A.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）題號91011答案ACABDCD9.AC【解析】選項A中，與相切于點；選項B中，與沒有交點；選項C中，與相切于點；選項D中，與有三個交點，，，均不是切點.10.ABD【解析】對于中，由正弦定理得，由，得.即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即正確：對于，結(jié)合和正弦定理知，又，數(shù)，B正確；對于，在銳角中，，即.故，C錯誤；對于，在銳角中，由.由對勾函數(shù)性質(zhì)知，，D正確；故選ABD.11.CD【解析】對，易知平面平面，故動點的軌跡為矩形，動點的軌跡長度為，所認(rèn)錯誤；對因為，而的面積為定值，要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點到平面距離最大，易知，點是正方體意向到平面距離最大的點，錯誤；對C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，當(dāng)點在線段和弧上時，直線與所成的角為，又，弧長度，故點的軌跡長度為，故正確；對D；取的中點分別為，連接，如圖2所示，因為面面，故面，，面面，故面；又面，故平面面；又，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段：在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的最大值為，故正確.故選：.三?填空題（本大題共3小題，年小題5分，共15分）12.【解析】由題知：可取，若.則，即集合，得，郎的取值范圍為.13.【解析】因為.14.2【解析】.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，和均為單調(diào)減函數(shù)，又在上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知為減函數(shù)，又，故函數(shù)在該區(qū)間上存在一個零點，該零點為函數(shù)的極值點；從而函數(shù)在內(nèi)一共有2個極值點.四?解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.【解析】（1）由是直徑可知，則是是等腰直角三角形，故，由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，因為平面，則平面，而平面，則，因為，則，，所以，因為平面，所以平面，又平面，故.（2）由題意及（1）易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由（1）知平面，故平面的一個法向量是設(shè)是平面的一個法向量，則有取，所以設(shè)平面與平面夾角為，所以，則平面與平面夾角的余弦值為.16.【解析】1）設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，則；則的所有可能取值為，所以；則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該安裝“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率，所以應(yīng)孩按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分，17.【解析】（1）圖為函教的圖象關(guān)于點中心付稱，故為奪函數(shù)，從而有，即.，.所以解得故；（2）法一：由（1）可知，，當(dāng)時，為單調(diào)增函教，，，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，有兩個正根，滿足，且，數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點當(dāng)時，有兩個根，滿足，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函致有且僅有三個零點；綜上，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點法二：由（1）可知，，今，則可以轉(zhuǎn)化為與兩個這數(shù)圖象交點的個數(shù)，今，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞增時，趁于；當(dāng)x趨于1且比1小時，趨于+∞：當(dāng)x趨于1且比1大時，趨于：當(dāng)單調(diào)遞增時，趨于.所以，當(dāng)時，有三個交點；當(dāng)時，有兩個交點；當(dāng)時，有一個交點.綜上，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點.注意，如果是保留參數(shù)b，則答案為：當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.18.【解析】（1）由①，當(dāng)時，②，①-②得，當(dāng)時，，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列.得.綜上：；（2）（i）在和之間新入個數(shù)，使成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，則.⑤則⑥⑤-⑥得：，（ii）由（1），又，由已知，假設(shè)是數(shù)量列或中的一項，不妨設(shè)，因為，所以，而，所以不可能是數(shù)列中的項.假設(shè)是中的項，則.當(dāng)時，有，即，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由知無解.當(dāng)時，有，即.所以存在使得是數(shù)列中的第3項.故存在正整數(shù)使得是數(shù)列中的第3項.19.【解析】（1）由定義可知，與相切，則圓的圓心到直線的距離等于1，則，叔.（2）點不在直線族的任意一條直線上，所以無論取何值時，無解.將整理成關(guān)于的一元二次方程；