高中數(shù)學（人教A）必修4：3同步試題（含詳解）

PAGEPAGE6高中數(shù)學(人教A版)必修4同步試題1．給出下列四個結論①eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))；②0(a)＝0；③0(0)＝0；④若兩個非零向量a，b滿足a＝kb(k≠0)，則a，b方向相同．其中正確結論的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析①eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，∴①錯．②0(a)＝0，∴②錯．③0(0)＝0正確．④a與b共線，方向可能相同，也可能相反，∴④錯．因此正確的只有③，應選B.答案B2．下列敘述不正確的是()A．若a，b共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb.B.b＝3a(a為非零向量)，則a，bC．若m＝3a＋4b，n＝eq\f(3,2)a＋2b，則m∥nD．若a＋b＋c＝0，則a＋b＝－c解析判斷a與b共線的方法是：存在實數(shù)λ，使a＝λb.在A中，若b＝0時不成立．B正確．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正確．D也正確，所以應選A.答案A3．下列說法不正確的是()A．若eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up15(→))，則A，O，B三點共線B．若eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up15(→))，則eq\o(AO,\s\up15(→))∥eq\o(OB,\s\up15(→))C．若|λa|＝|λ||a|(λ∈R)，則λa與a方向相同D．若a＝4m＋n，b＝m＋n則a－b＝解析A、B、D正確，C錯．應選C.答案C4．若AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且eq\o(AD,\s\up15(→))＝a，eq\o(BE,\s\up15(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up15(→))為()A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b解析如右圖所示，設AD與BE相交于O，則eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up15(→))，eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up15(→)).∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))＝2(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→)))＝2(eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up15(→)))＝eq\f(4,3)b＋eq\f(2,3)a，應選B.答案B5．已知O是直線AB外一點，C，D是線段AB的三等分點，且AC＝CD＝DB.如果eq\o(OA,\s\up15(→))＝3e1，eq\o(OB,\s\up15(→))＝3e2，那么eq\o(OD,\s\up15(→))等于()A．e1＋2e2 B.2e1＋e2C.eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2 D.eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2解析如圖所示，eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＝e1＋2e2，應選A.答案A6．已知|a|＝4，b與a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，則實數(shù)m＝________.答案－27．若a，b為已知向量，且eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，則c＝________.解析eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，eq\f(8,3)a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－eq\f(8,3)a，∴c＝eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a.答案eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a8．有下面四個命題：①對于實數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②對于實數(shù)m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③對于實數(shù)m和向量a，b，若ma＝mb，則a＝b；④對于實數(shù)m，n和非零向量a，若ma＝na，則m＝n.其中真命題有________．解析由實數(shù)與向量積的運算知，①、②、④正確．答案①②④9．如圖所示，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝eq\f(1,3)OB.DC與OA交于E，設eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→)).解因為A是BC的中點，所以eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))，即eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.10．已知：eq\o(AD,\s\up15(→))＝3eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))＝3eq\o(AC,\s\up15(→))，且B，C，D，E不共線．求證：BC∥DE.證明∵eq\o(AD,\s\up15(→))＝3eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))＝3eq\o(AC,\s\up15(→))，∴eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝3eq\o(AC,\s\up15(→))－3eq\o(AB,\s\up15(→))＝3(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝3eq\o(BC,\s\up15(→)).∴eq\o(BC,\s\up15(→))與eq\o(DE,\s\up15(→))共線．又∵B，C，D，E不共線．∴BC∥DE.教師備課資源1.若5eq\o(AB,\s\up15(→))＋3eq\o(CD,\s\up15(→))＝0，且|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．等腰梯形解析由于5eq\o(AB,\s\up15(→))＋3eq\o(CD,\s\up15(→))＝0知，eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))且|eq\o(AB,\s\up15(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up15(→))|，∴此四邊形為梯形．又|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|，∴梯形ABCD為等腰梯形．答案D2．點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若eq\o(CB,\s\up15(→))＝λeq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))，其中λ∈R，則點P一定在()A．△ABC的內(nèi)部B．AC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上D．BC邊所在的直線上解析∵eq\o(CB,\s\up15(→))＝λeq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))，∴eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(PB,\s\up15(→))＝λeq\o(PA,\s\up15(→))，即eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＝λeq\o(PA,\s\up15(→)).∴eq\o(CP,\s\up15(→))＝λeq\o(PA,\s\up15(→)).∴C，P，A三點共線．∴點P在AC邊所在的直線上．答案B3．已知向量a，b不共線，實數(shù)x，y滿足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，求x，y.解∵a與b不共線，根據(jù)向量相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＝3y＋27，,8－y＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－4.))∴x＝3，y＝－4.4．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→)) B.eq\o(AO,\s\up15(→))＝2eq\o(OD,\s\up15(→))C.eq\o(AO,\s\up15(→))＝3eq\o(OD,\s\up15(→)) D．2eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))解析∵2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，而eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OD,\s\up15(→))，∴2eq\o(OA,\s\up15(→))＋2eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，即eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→)).答案A5．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，則表示a，b，c的有向線段能否一定構成三角形？錯解在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，再以B為起點作eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，則由向量的三角形法則知，eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，又a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－eq\o(AC,