甘肅省天水一中2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（理科）數(shù)學(xué)試題

20192020學(xué)年甘肅省天水一中高二第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式確定集合，再判斷集合的關(guān)系．【詳解】由已知，，所以．故選：B．【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，確定集合中的元素是解題關(guān)鍵．2.已知函數(shù)(且的圖像恒過定點，點在冪函數(shù)的圖像上，則（）A. B.C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出定點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)，從而求出的值．【詳解】解：函數(shù)中，令，解得，此時，所以定點；設(shè)冪函數(shù)，則，解得；所以，所以，．故選D．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由，可得，，，且，所以.故選：A【點睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小，掌握對數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義及單調(diào)性定義判斷．【詳解】A選項是偶函數(shù)且在為增；B選項不是偶函數(shù)；C選項是偶函數(shù)，但是在不恒為增函數(shù)；D選項不是偶函數(shù)，故選:A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握奇偶性與單調(diào)性定義是解題關(guān)鍵．5.下列有關(guān)命題的說法正確的是()A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B.若為真命題，則均為真命題.C.命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”．D.命題“若，則”的逆否命題為真命題．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：A．利用否命題的定義即可判斷出；B．利用“或”命題定義可知：若p∨q為真命題，則p與q至少有一個為真命題；C．利用命題的否定即可判斷出；D．由于命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，而逆否命題與原命題是等價命題，即可判斷出．解：對于A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，因此不正確；對于B．若p∨q為真命題，則p與q至少有一個為真命題，因此不正確；對于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“對任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正確對于D．由于命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，因此其逆否命題為真命題，正確．故選D．考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．6.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A.在時刻，兩車的位置相同B.時刻后，甲車在乙車后面C.在時刻，兩車的位置相同D.在時刻，甲車在乙車前面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據(jù)路程與速度和時間的關(guān)系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【詳解】由圖象可知，在時刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時刻，甲車在乙車前面本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確選取臨界狀態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.7.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20% C.50% D.100%【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，計算出的值即可；【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為所以將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查運算求解能力，求解時注意對數(shù)運算法則的運用.8.在中，D，E分別為，上的點，且，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的三角形法則和共線定理，可得，即可求出值，進而求出結(jié)果.【詳解】由題意，作出草圖，如下圖所示：由平面向量的三角形法則和共線定理，可知，所以，，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量的加法運算、共線定理和平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的奇偶性，結(jié)合的值以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對于函數(shù)，，得，所以，函數(shù)的定義域為.，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B、D選項；又，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)的解析式選擇圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10.已知定義在上的偶函數(shù)，對任意不相等的，有，當(dāng)時，有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知不等式得函數(shù)在上的單調(diào)性，再由偶函數(shù)性質(zhì)得在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得距離軸越遠(yuǎn)的自變量的函數(shù)值越小，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，，距離軸越遠(yuǎn)的自變量的函數(shù)值越小，則，故選：C.【點睛】本題考查的奇偶性與單調(diào)性，利用奇偶性性質(zhì)得函數(shù)在關(guān)于軸對稱區(qū)間上的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值大小．11.已知M、N分別是圓和圓上的兩個動點，點P在直線上，則的最小值是（）A. B.10 C. D.12【答案】C【解析】【分析】計算圓心關(guān)于直線的對稱點為，計算，得到最值.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，關(guān)于直線的對稱點為，，故的最小值是.故選：C.【點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱，與圓相關(guān)的距離的最值，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化能力.12.已知定義在上的函數(shù)對任意的都滿足，當(dāng)時，．若函數(shù)恰有6個不同零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意作出與的圖像，討論當(dāng)時，，當(dāng)，，分別解不等式組即可求解.【詳解】由條件可知函數(shù)恰有6個不同的零點，轉(zhuǎn)化為與恰有6個不同的交點，∵，∴的周期，且時，，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，如圖，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象，①當(dāng)時，的圖象如圖所示，軸左側(cè)有4個交點，右側(cè)有2個交點，此時應(yīng)滿足，解得；②當(dāng)時，與在軸左側(cè)有2個交點，右側(cè)有4個交點，此時應(yīng)滿足，解得：；綜上可知，的取值范圍是．故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類與整合的思想，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.把箸案填在箸題卡上的相應(yīng)位置.13.設(shè)函數(shù)，則_________．【答案】15【解析】【分析】先求內(nèi)層函數(shù)值，再求外層函數(shù)值即可，【詳解】∵函數(shù)，∴，．故答案為：15【點睛】本題考查由分段函數(shù)求解函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題14.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積是.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，底面等邊三角形底邊長為，高為，棱錐的高為.如圖所示，側(cè)面全等，且垂直于底面，側(cè)面是等腰三角形，邊長分別為.所以幾何體各面的面積分別為，故面積最大的面的面積是.考點：1.三視圖；2.幾何體的特征及其表面積.15.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．【點睛】準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算，避免繁分式計算．16.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，分類討論解不等式．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，是極小值點，是極大值點．定義域是，由于，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然合乎題意；當(dāng)，即時，函數(shù)遞增，顯然不合乎題意；當(dāng)，即，可得，解得，當(dāng)，即有，由題意可得，解得，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然合乎題意；綜上可得的范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查解函數(shù)不等式，解題方法是利用函數(shù)的單調(diào)性求解，作出圖象觀察單調(diào)區(qū)間然后求解，只是要注意分類討論．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：每題12分，共60分17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，.（1）求角A的大小；（2）求周長的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將利用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡得，從而可得A的值.（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形兩邊之和大于第三邊，可得周長范圍.【詳解】（1）由已知，得.由正弦定理，得.即，因為.所以.因為，所以，因為，所以.（2）由余弦定理，得即.因為所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.又∵，即，所以，即周長的范圍為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值問題，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組，解得，，代入通項公式即可得解；（2）求出后，根據(jù)錯位相減法可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由，得，解得，.，.（2）由題意知：，所以，所以，兩式相減得，所以，所以所以數(shù)列的前n項和.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的基本量的運算，考查了錯位相減法，考查了運算求解能力，屬于中檔題.19.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；（3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質(zhì)量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【答案】（1）（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1，即可求得的值；（2）由平均數(shù)與中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率分布直方圖即可得解.（3）由分層抽樣性質(zhì)可分別求得抽取的5個口罩中一等品、二等品的數(shù)量，利用列舉法列舉出抽取2個口罩的所有情況，即可求得2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【詳解】（1）由，得.（2）平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，則，得.故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.（3）由頻率分布直方圖可知：100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個，由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品、二等品各有3個、2個.記這3個一等品為，，，2個二等品為，，則從5個口罩中抽取2個的可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10種，其中恰有1個口罩為一等品的可能結(jié)果有：，，，，，.共6種.故這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率為.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)及由頻率分布直方圖求平均數(shù)與中位數(shù)的方法，列舉法求古典概型概率，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖，四棱錐中，為正方形，平面，是的中點，是上一點，．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）90°．【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，則由是的中點，可得，而由可得，所以可得到，從而由線面平行的判定定理可證得平面；（2）由已知可知兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的大小.【詳解】解：（1）連接，交于，連接，∵是的中點，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵平面，在平面內(nèi)，∴，∵四邊形為正方形，所以,∴兩兩垂直，∴建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，．，，，，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則．設(shè)平面法向量為，∴，令，則，∴，，即二面角的大小為90°．【點睛】此題考查了線面平行的證明，利用空間向量求二面角的平面角，考查空間想象能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將不等式變?yōu)椋枚魏瘮?shù)的性質(zhì)求出的最小值，從而得到，即可確定的取值范圍；(2)將方程化簡為，利用換元法得到，結(jié)合判別式以及韋達(dá)定理，列出不等式，求解即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）即，∴，∵，時取等號，∴，∴即的取值范圍是，（2）即，∴，∴，∵有兩個實數(shù)解，∴有兩個的實數(shù)解，令，即，有兩個正的實數(shù)解.∴，，∴即的取值范圍是.【點睛】本題主要利用了分離系數(shù)法求解參數(shù)的范圍以及根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍，屬于難題.選考題：共10分，請考生任選一題