專題25電場線和等效重力場模型（精講）

專題25電場線和等效重力場模型模型歸納1．兩種等量點(diǎn)電荷電場線的比較比較等量異種點(diǎn)電荷等量同種正點(diǎn)電荷電場線分布圖電荷連線上的電場強(qiáng)度沿連線先變小后變大O點(diǎn)最小，但不為零O點(diǎn)為零中垂線上的電場強(qiáng)度O點(diǎn)最大，向外逐漸減小O點(diǎn)最小，向外先變大后變小關(guān)于O點(diǎn)對稱位置的電場強(qiáng)度A與A′、B與B′、C與C′等大同向等大反向2．等效最高點(diǎn)模型描述方法示例在“等效重力場”中做圓周運(yùn)動的小球，經(jīng)常遇到小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的臨界速度問題。小球能維持圓周運(yùn)動的條件是能過最高點(diǎn)，而這里的最高點(diǎn)不一定是幾何最高點(diǎn)，而應(yīng)是等效最高。將重力與電場力進(jìn)行合成，如圖所示，則F合為等效重力場中的“重力”，g'＝F合m為等效重力場中的“等效重力加速度”，F(xiàn)方法歸納1.電場線與粒子運(yùn)動軌跡的綜合問題的分析方法（1）如果帶電粒子只受電場力作用，根據(jù)帶電粒子所受的電場力沿著電場線的切線方向且（或等勢面的垂線）指向運(yùn)動軌跡彎曲的凹側(cè)，確定帶電粒子所受電場力的方向；（2）再結(jié)合電場線的方向（或等勢面的電勢）確定帶電粒子的電性；（3）最后根據(jù)帶電粒子運(yùn)動軌跡與電場線的分布情況，確定電場力做功、電勢能的變化情況等。2.等勢面（線）與粒子運(yùn)動軌跡的綜合問題的分析方法（1）如果帶電粒子只受電場力作用，根據(jù)電場力沿著垂直于等勢面方向且指向運(yùn)動軌跡彎曲的凹側(cè)，確定帶電粒子所受電場力的方向；（2）再結(jié)合等勢面的電勢高低關(guān)系確定電場線的方向，進(jìn)而確定帶電粒子的電性；（3）最后根據(jù)帶電粒子在不同的等勢面之間移動，結(jié)合題意確定電場力做功、電勢能的變化情況等。3．電場中常見的功能關(guān)系（1）若只有靜電力做功，電勢能與動能之和保持不變。（2）若只有靜電力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變。（3）除重力之外，其他各力對物體做的功等于物體機(jī)械能的變化量。（4）所有外力對物體所做的總功等于物體動能的變化量。模型1電容器動態(tài)分析模型【例1】（2023?河北模擬）如圖所示，豎直平面內(nèi)有兩個(gè)固定的點(diǎn)電荷，電荷量均為，與其連線中點(diǎn)的距離均為；質(zhì)量為帶電量為的試探電荷以為圓心做勻速圓周運(yùn)動，、為圓周上的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)與正點(diǎn)電荷連線與連線的夾角均為，已知靜電力常量為，重力忽略不計(jì)，則A．試探電荷做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力大小為 B．試探電荷做勻速圓周運(yùn)動的角速度為 C．若增大，試探電荷仍能以為圓心做勻速圓周運(yùn)動，則試探電荷的向心力一定變小 D．若在點(diǎn)由靜止釋放負(fù)點(diǎn)電荷，該電荷將在連線上做簡諧運(yùn)動【答案】【分析】試探電荷做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力是由兩個(gè)點(diǎn)電荷對其庫侖力的合力，根據(jù)庫侖定律進(jìn)行解答；根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合向心力的計(jì)算公式進(jìn)行解答；根據(jù)等量同種正電荷中垂線的電場強(qiáng)度分布情況進(jìn)行解答；根據(jù)簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)進(jìn)行解答。【解答】解：、試探電荷做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力是由兩個(gè)點(diǎn)電荷對其庫侖力的合力，即為：，解得：，故錯(cuò)誤；、試探電荷做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑為：根據(jù)牛頓第二定律可得：解得試探電荷做勻速圓周運(yùn)動的角速度為：，故正確；、等量同種正電荷周圍的電場線分布情況如圖所示：兩個(gè)點(diǎn)電荷中垂線的電場強(qiáng)度從點(diǎn)向無限遠(yuǎn)的變化情況是先增大后減小，由于不知道現(xiàn)在試探電荷所在位置處電場強(qiáng)度是不是最大，所以若增大，試探電荷仍能以為圓心做勻速圓周運(yùn)動，則試探電荷的向心力不一定變小，故錯(cuò)誤；、兩個(gè)點(diǎn)電荷中垂線的電場強(qiáng)度從點(diǎn)向無限遠(yuǎn)的變化情況是先增大后減小，若在點(diǎn)由靜止釋放負(fù)點(diǎn)電荷，該電荷將在之間受力可能是先增大后減小，受力情況不滿足，所以電荷將在連線上不可能做簡諧運(yùn)動，故錯(cuò)誤。故選：?！咀兪骄?】（2023春?南京期末）靜電透鏡被廣泛應(yīng)用于電子器件中，如圖所示，陰極射線示波管的聚焦電場由四個(gè)電極構(gòu)成，其中實(shí)線為電場線，虛線為等勢線，任意兩條相鄰等勢線間電勢差相等，軸為該電場的中心軸線，一電子從其左側(cè)進(jìn)入聚焦電場，、、為其軌跡上的三點(diǎn)。已知點(diǎn)所在等勢線的電勢為零，電子僅在電場力作用下從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，電場力做功為。下列說法正確的是A．點(diǎn)的電勢高于 B．從至的運(yùn)動過程中，電子的電勢能減小 C．電子在點(diǎn)的加速度小于在點(diǎn)的加速度 D．從至的運(yùn)動過程中，電子的動能先減小后增大【答案】【分析】解答本題需要掌握：沿電場線電勢降低，電場強(qiáng)度的大小與電場線的疏密的關(guān)系；明確電子在電場中的受力特點(diǎn)以及電場力做功情況，從而進(jìn)一步判斷電勢能、動能等變化情況【解答】解：．設(shè)相鄰等差等勢線電壓為，由公式可得，電子從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，電場力做功為：解得：所以點(diǎn)電勢大于小于，故錯(cuò)誤；．由題可知，電子從至的運(yùn)動過程中，電場力與電子運(yùn)動軌跡方向一直為銳角，電場力一直做正功，由能量守恒定律得：電子的電勢能減小，動能增大，故正確，錯(cuò)誤；．由圖，根據(jù)電場線越密電場強(qiáng)度越大可知，點(diǎn)的電場強(qiáng)度大于點(diǎn)的電場強(qiáng)度，由牛頓第二定律可知，電子在點(diǎn)的加速度大于在點(diǎn)的加速度，故錯(cuò)誤；故選：?！咀兪骄?】（2023春?金鳳區(qū)校級期中）如圖所示的實(shí)線為某靜電場的電場線，虛線是僅在電場力作用下某帶負(fù)電粒子的運(yùn)動軌跡，、、、是電場線上的點(diǎn)，其中、兩點(diǎn)在粒子的軌跡上，下列說法正確的是A．該電場可能是正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的 B．電勢，場強(qiáng) C．將該粒子在點(diǎn)由靜止釋放，它可能一直沿電場線運(yùn)動 D．該粒子在點(diǎn)的速度一定大于在點(diǎn)的速度【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)電荷周圍電場線的分布特點(diǎn)判斷；根據(jù)物體受力方向在軌跡凹側(cè)判斷電場力的方向，可得知電場線的方向，從而知道電勢的變化；電場線的疏密程度表示場強(qiáng)的大小；電場中的帶電粒子受力的方向沿電場線的切線方向，故帶電粒子由靜止釋放，只受電場力時(shí)，一定不能沿著彎曲的電場線運(yùn)動；根據(jù)粒子軌跡的彎曲方向可明確受力方向，判斷做功情況，進(jìn)而判斷粒子在兩點(diǎn)速度的大小?！窘獯稹拷猓?、點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場線是直線，故該電場不可能是正點(diǎn)電荷產(chǎn)生的，故錯(cuò)誤；、根據(jù)物體做曲線運(yùn)動的條件可知，粒子所受的電場力指向凹測，該粒子是負(fù)電荷，所以電場線的方向由到。沿著電場線方向電勢降低，故點(diǎn)的電勢一定高于點(diǎn)的電勢，電場線的疏密程度表示場強(qiáng)的大小，則，故錯(cuò)誤；、電場中的帶電粒子受力的方向沿電場線的切線方向，由于點(diǎn)所在電場線為曲線，所以將該粒子在點(diǎn)由靜止釋放，它一定不能沿電場線運(yùn)動，故錯(cuò)誤；、粒子帶負(fù)電，受力方向斜向下，故從到電場力對粒子做負(fù)功，粒子的動能減小，則粒子在點(diǎn)的速度大于在點(diǎn)的速度，故正確。故選：?！咀兪骄?】（2023春?安化縣期末）圖中實(shí)線是點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區(qū)域時(shí)的運(yùn)動軌跡。、是軌跡中的兩點(diǎn)，若帶電粒子在運(yùn)動中只受電場力作用，根據(jù)此圖可作出正確判斷的是A．帶電粒子在，兩點(diǎn)的運(yùn)動是方向?yàn)檫\(yùn)動到 B．點(diǎn)動能大于點(diǎn)動能 C．可以確定電場線的方向 D．點(diǎn)電勢能大于點(diǎn)電勢能【答案】【分析】粒子的運(yùn)動方向無法判斷；根據(jù)電場力做功情況判斷電勢能和動能的變化；無法確定電場線的方向?！窘獯稹拷猓海蓤D只能判斷出帶電粒子受力方向指向軌跡的凹側(cè)，粒子的運(yùn)動方向無法判斷，故錯(cuò)誤；．假設(shè)粒子由運(yùn)動到，粒子受力方向與運(yùn)動方向夾角為鈍角，靜電力做負(fù)功，動能減小，點(diǎn)動能大于點(diǎn)動能；假設(shè)粒子由運(yùn)動到，粒子受力方向與運(yùn)動方向夾角為銳角，靜電力做正功，動能增大，點(diǎn)動能大于點(diǎn)動能，故正確；．由于帶電粒子電性不知，故無法確定電場線的方向，故錯(cuò)誤；．由于粒子由運(yùn)動到，靜電力做負(fù)功，電勢能增大，點(diǎn)電勢能小于點(diǎn)電勢能；如果粒子由運(yùn)動到，靜電力做正功，電勢能減小，點(diǎn)電勢能小于點(diǎn)電勢能，故錯(cuò)誤。故選：。模型2帶電粒子在電場中的運(yùn)動模型【例2】（2023秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖所示，豎直平面內(nèi)的固定光滑圓形絕緣軌道的半徑為，、兩點(diǎn)分別是圓形軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，圓形軌道上、兩點(diǎn)的連線過圓心且與豎直向下方向的夾角為?？臻g存在方向水平向右且平行圓形軌道所在平面的勻強(qiáng)電場，一質(zhì)量為的帶負(fù)電小球（視為質(zhì)點(diǎn)）恰好能沿軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓形軌道運(yùn)動，且小球通過點(diǎn)時(shí)的速度最小。重力加速度大小為。下列說法正確的是A．小球受到的電場力大小為 B．小球通過點(diǎn)時(shí)的速度大小為 C．小球在運(yùn)動過程中的最大速度為 D．小球通過點(diǎn)時(shí)所受軌道的作用力大小為【答案】【分析】在點(diǎn)對小球進(jìn)行受力分析求解電場力大??；在點(diǎn)根據(jù)合外力提供向心力求解小球在點(diǎn)速度大小；小球通過點(diǎn)的速度最大，從點(diǎn)到點(diǎn)根據(jù)動能定理求解點(diǎn)的速度大小；在點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律求解支持力?！窘獯稹拷猓?、已知帶電小球在光滑的豎直圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，經(jīng)點(diǎn)時(shí)速度最大，因此，點(diǎn)是豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的物理“最低點(diǎn)”，也就是小球在點(diǎn)受力情況滿足合外力完全充當(dāng)向心力，如圖所示：因此電場力為：，故錯(cuò)誤；、小球恰好能沿軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓形軌道運(yùn)動，且小球通過點(diǎn)時(shí)的速度最小，在點(diǎn)滿足：解得，故錯(cuò)誤；、根據(jù)題意可知為等效最低點(diǎn)，小球通過點(diǎn)的速度最大。從點(diǎn)到點(diǎn)根據(jù)動能定理知：解得：，故錯(cuò)誤；、小球通過點(diǎn)時(shí)所受軌道的作用力大小為，在點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律可得：解得：，故正確。故選：。【變式練1】（2023秋?江陰市月考）如圖所示，足夠長的斜面靜止在水平地面上。先后兩次將帶正電的小球從斜面底端處以相同的速度拋出，不計(jì)空氣阻力。第一次不加電場，小球恰好沿水平方向撞到斜面上點(diǎn)。第二次施加范圍足夠大，豎直向下的勻強(qiáng)電場，則小球A．仍然水平撞擊斜面 B．撞擊點(diǎn)在點(diǎn)上方 C．飛行時(shí)間比第一次長 D．撞擊斜面時(shí)的速度比第一次大【答案】【分析】斜拋運(yùn)動的上升過程可看作是平拋運(yùn)動的逆過程，平拋運(yùn)動的位移偏角與速度偏角的關(guān)系為：；同時(shí)也要注意由運(yùn)動的合成與分解的知識，結(jié)合分運(yùn)動的獨(dú)立性分析判斷打到斜面上的水平速度及豎直速度、水平位移和豎直位移等問題?！窘獯稹拷猓骸⒌谝淮尾患与妶?，小球恰好沿水平方向撞到斜面上，采用逆向思維，將其看成平拋運(yùn)動，則小球撞上斜面時(shí)與斜面的夾角為，設(shè)斜面傾角為，即平拋運(yùn)動位移方向與水平方向夾角為，則平拋運(yùn)動的末速度方向與水平方向夾角為，則有：，且兩者關(guān)系為：第二次施加范圍足夠大，豎直向下的勻強(qiáng)電場，小球豎直方向的加速度變大，初速度不變，小球的逆運(yùn)動為類平拋運(yùn)動，上述結(jié)論：依然成立，所以小球仍然水平撞擊斜面，故正確；、加電場與不加電場小球水平方向速度不變，根據(jù)逆向思維可知，所以兩次撞擊斜面時(shí)的速度一樣大，故錯(cuò)誤；、不加電場時(shí)，設(shè)小球運(yùn)動時(shí)間為，有：施加電場后，小球的加速度變大，設(shè)小球運(yùn)動時(shí)間為，則有：由于豎直方向的加速度：，所以總的時(shí)間：加電場后，小球的水平分速度不變，小球做平拋運(yùn)動的水平位移：變小而位移的方向滿足：故豎直分位移變小，即撞擊點(diǎn)在點(diǎn)下方，故錯(cuò)誤。故選：。【變式練2】（2023春?漣源市期末）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向左的勻強(qiáng)電場，在勻強(qiáng)電場中有一根長為的絕緣細(xì)線，細(xì)線一端固定在點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為的帶電小球。小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向成角，此時(shí)讓小球獲得初速度且恰能繞點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動，重力加速度為。下列說法正確的是A．勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度 B．小球動能的最小值為 C．小球運(yùn)動至圓周軌跡的最高點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最小 D．小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動一周的過程中，其電勢能先增大后減小，再增大【答案】【分析】首先，對小球受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡求出電場強(qiáng)度；其次，根據(jù)小球恰能做圓周運(yùn)動的臨界條件求出小球的最小動能；接著，根據(jù)功能關(guān)系，結(jié)合小球所帶電性判斷小球運(yùn)動至圓周軌跡的最高點(diǎn)時(shí)機(jī)械能是否最小；最后，根據(jù)小球受到的電場力的方向判斷小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動一周的過程中電場力的做功情況，進(jìn)而判斷電勢能的變化情況?！窘獯稹拷猓?、小球靜止時(shí)懸線與豎直方向成角，受重力、拉力和電場力，三力平衡，根據(jù)平衡件，有解得，故錯(cuò)誤；、如圖所示小球恰能繞點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在等效最高點(diǎn)速度最小，根據(jù)牛頓第二定律，有則最小動能為，故正確；、小球的機(jī)械能和電勢能之和守恒，則小球運(yùn)動至電勢能最大的位置機(jī)械能最小，小球帶負(fù)電，則小球運(yùn)動到圓周軌跡的最左端點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最小。故錯(cuò)誤；、小球從初始位置開始沿逆時(shí)針方向在豎直平面內(nèi)運(yùn)動一周的過程中，電場力先做正功，后做負(fù)功，再做正功，則其電勢能先減小后增大，再減小。故錯(cuò)誤。故選：?！咀兪骄?】（2023?西湖區(qū)校級模擬）如圖所示，質(zhì)量為、帶電荷量為的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）與長為的絕緣輕繩相連，輕繩另一端固定在點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)處在與豎直方向夾角為的勻強(qiáng)電場中。已知、、、、、為圓周上的點(diǎn)，為水平直徑，為豎直直徑，過點(diǎn)且與的夾角為，當(dāng)小球繞點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做半徑為的圓周運(yùn)動時(shí)，小球運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)的速度最小，最小速度為，為重力加速度的大小，則下列說法正確的是A．勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小為 B．小球從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，合力做的功為 C．小球運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)輕繩拉力的大小為 D．小球運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大【答案】【分析】小球運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)的速度最小，說明點(diǎn)是等效最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求解合外力，根據(jù)幾何關(guān)系求解電場力，進(jìn)而求出電場強(qiáng)度；根據(jù)功的計(jì)算公式求解小球從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)合力做的功；根據(jù)動能定理、牛頓第二定律求解運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)輕繩拉力的大??；根據(jù)功能關(guān)系