2023年全國高考數(shù)學(xué)真題匯編-導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)一2023年全國高考數(shù)學(xué)真題匯編

選擇題(共4小題)

1.（2023?新高考H）已知函數(shù)f（x）阮r在區(qū)間（I,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）

A.e2B.eC.e1D.e2

2.（2023?甲卷）曲線>=二_在點(diǎn)（1,且）處的切線方程為（）

'x+12

A.y=XrB.y=XrC.y=Xv+且D.y=Xx+-^-

'424424

3.（2023?甲卷）已知函數(shù)/（x）=Q-（X-1）2.記a=/（亞），b=f（近c(diǎn)=fCB-）,則（）

e222

A.h>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

4.（2023?全國）已知函數(shù)f（x）=9+蘇+苫+匕在》=1處取得極小值1,貝（）

A.-1B.0C.1D.2

二.多選題（共1小題）

（多選）5.（2023?新高考II）若函數(shù)f（x）=Hnr+也?+_￡-（“/（））既有極大值也有極小值，則（）

xx2

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.nc<0

三.填空題(共2小題)

6.(2023?乙卷)設(shè)“€(0,1),若函數(shù)/(x)=〃+(1+a)，在(0,+~)上單調(diào)遞增，則a的取

值范圍是.

7.(2023?全國)曲線y=2阮計(jì)/在(1,1)處切線方程為.

四.解答題(共9小題)

8.(2023?新高考I)已知函數(shù)/(x)=a(d+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)〃>0時，f(x)>2lna+—.

2

9.(2023?北京)設(shè)函數(shù)/(x)=x-曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為y=-

x+1.

(I)求mb的值；

(II)設(shè)g(x)=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)求/(x)的極值點(diǎn)的個數(shù).

10.(2023?甲卷)已知/(x)xE(0,―).

cosx2

(1)若。=8,討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)Vsin2x恒成立，求a的取值范圍.

11.(2023?甲卷)己知函數(shù)f(x)=--sinx,xE(0,匹).

cosx2

(1)當(dāng)4=I時，討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)+siar<0,求。的取值范圍.

12.(2023?乙卷)己知函數(shù)/(x)=(A+a)In(1+x).

X

(1)當(dāng)。=-1時，求曲線y=/a)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=/(工)關(guān)于直線對稱，若存在，求a,b的值，若不存

x

在，說明理由；

(3)若f(x)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

13.(2023?乙卷)已知函數(shù)/(x)=(工+a)In(1+x).

x

(1)當(dāng)a=-1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

14.(2023?天津)已知函數(shù)/(x)=(A+A)In(x+1).

x2

(1)求曲線y=/(x)在x=2處的切線斜率；

(II)當(dāng)x>0時，求證：f(x)>1；

(JII)證明：—<ln(〃!)-(M+A)Inn+n^：1.

62

15.(2023?新高考H)(1)證明：當(dāng)0cx<1時，x-fVsiiirCx；

(2)已知函數(shù)f(x)—cosax-In(1-x2),若x=0為/'(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

16.(2023?上海)己知函數(shù)/(x)=ax3-(a+1)x2+x,g(x)=kx+m(其中a'O,k,n?6R),若

任意x@0,1]均有/(x)Wg(x),則稱函數(shù))，=g(x)是函數(shù)y=f(x)的“控制函數(shù)”，且對所

有滿足條件的函數(shù)y=g(x)在x處取得的最小值記為彳(x).

(1)若a=2,g(x)=x,試判斷函數(shù)y=g(x)是否為函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)”，并說明

理由；

(2)若a=0,曲線y=/(x)在》=工處的切線為直線(x),證明：函數(shù)(x)為函數(shù)y

4

=f(x)的“控制函數(shù)”，并求彳(1)的值；

4

(3)若曲線y=f(x)在X=M),x()G(0,1)處的切線過點(diǎn)(1,0),且c€[x(),1],證明：當(dāng)且

僅當(dāng)C=XO或c=l時，f(c)=f(c).

導(dǎo)數(shù)一2023年全國高考數(shù)學(xué)真題匯編

參考答案與試題解析

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?新高考II）已知函數(shù)/（x）/nx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）

A.e2B.eC.e'D.e-2

【答案】C

【解答】解：對函數(shù)/（x）求導(dǎo)可得，釬（x）=ae*」，

X

依題意，ae*」》0在（1，2）上恒成立，

X

即在（1,2）上恒成立，

xex

設(shè)g（x）T，xE（l,2），則g，（x）

xeIxe）kxe）

易知當(dāng)xE(1,2)時,g‘易)<0,

則函數(shù)g（x）在（1,2）上單調(diào)遞減,

則a>g(x)=g(1)=^=e-1-

JIK1A巳

故選：c.

2.（2023?甲卷）曲線_在點(diǎn)（1,且）處的切線方程為（

-X+12

A.y=—xB.y=—xC.y=-^x+—D.y=—x+-^-

-42-44-24

【答案】C

【解答】解：因?yàn)?，=_￡_,

x+1

z=e'(x+1)-e，(x+1)'=xe'

(x+1)2(x+1)2

故函數(shù)在點(diǎn)（1,且）處的切線斜率4=且，

24

切線方程為丫一旦=旦（x-I）,即），=且、他.

24-44

故選：C.

3.（2023?甲卷）已知函數(shù)/（x）=Q-（XT）2.記a=f（JL）,b=f（近c(diǎn)=/（近），則（）

e222

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解答】解：令g(x)=-(x-1)2,則g(x)的開口向下，對稱軸為x=1,

??娓l(]+V3_4；

而(V6+V3)2-42=9+6V2-16=-7>0,

.?.近_卜(1巫)避+氏4〉

.工1〉1巫，

22__

二由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知g(迎)<g(返)，

__22

,:垣"一(1五)避用.

而(V6+V2)2-42=4V3-8<0'

.嚕一1〈邛?，4(亨)〉g殍)，

綜合可得g(喙)<g(除)<g(喙)，又)="為增函數(shù)，

>\a<c<hf即h>c>a.

故選：A.

4.(2023?全國)已知函數(shù)/(x)=/+以2+式+〃在兀=1處取得極小值],則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

2

【解答】解：f(x)=x^+ax+x+bf

則/(x)=3/+2or+l,

:函數(shù)f(x)=x3+or2+x+/?在x=l處取得極小值1,

.J1+a+1+b=1,解得(a=W

l3+2a+l=0lb=l

故f(x)=J？-2/+X+1,

f(x)=3x2-4x+l,

令/(x)=0,解得?或x=l,

3

/(X)在(-8,A),在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(1_,1)上單調(diào)遞減，

33

故f(x)在1=1處取得極小值,

故匕=1,符合題意.

故選：C.

多選題（共1小題）

（多選）5.（2023?新高考n）若函數(shù)/（x）以計(jì)電+上（〃W0）既有極大值也有極小值，則（）

xx2

A.bc>0B.ab>0C.廬+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）,

由題意，方程/(%)=0即ox2-fcv-2c=0有兩個正根，設(shè)為xi,X2,

則有xi+x2=—>0.XIJQ=N￡>0,A=b2+Sac>0,

aa

.\ab>0,ac<09

：.ah'ac=(rhc<0,即hc<0.

故選：BCD.

三.填空題（共2小題）

6.（2023?乙卷）設(shè)坯（0,1）,若函數(shù)/（x）=〃+（1+〃），在（0,+8）上單調(diào)遞增，則a的取

值范圍是1）.

2

【答案】。的取值范圍是［近二L1）.

2

【解答】解：?.?函數(shù)/（x）=〃+（1+a）X在（0,+8）上單調(diào)遞增，

:.f（x）=/加。+（1+a）xln（1+〃）20在（0,+°0）上恒成立，

即（1+a）x/〃（1+?）/加7,化簡可得（上旦）_Ina_在（0,+8）上恒成立,

aIn（1+a）

而在（0,+8）上盧包）X>1,

a

故有——中J

由（0,1）,化簡可得/〃（1+。）^ln—f

In(1+a)a

即-12o,

a

解答告《a〈l，

故。的取值范圍是［V5-11).

2

故答案為：［運(yùn)11,1).

2

7.(2023?全國)曲線y=2勿x+x2在(1,1)處切線方程為v=4x-3

【答案】y=4x-3.

【解答】解：由)，=2/3+，可得y'=—+2X，x>0,

x

曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為&=4,

所以所求切線方程為y-1=4(x-1)即y=4x-3.

故答案為：y—4x-3.

四.解答題(共9小題)

8.(2023?新高考I)已知函數(shù)/(x)=a(e'+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時，/(%)>2lna+l.

2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)f(x)=a(/+a)-x,

則/(x)=aex-1,

①當(dāng)。W0時，f(x)V0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞減，

②當(dāng)。>0時，令/(%)=0得，x=11r

a

當(dāng)工E(-°°,In—)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xEUn—,+°°)時，f(x)>0,f(x)

aa

單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)aWO時，/(X)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)〃>0時，/(X)在(-8,妨工)上單調(diào)遞減,

a

在Un—f+8)上單調(diào)遞增.

a

2

證明：(2)由(1)可知，當(dāng)。>0時，f(x)min=f(In—)=a(1+。)-ln—=\+a+lnaf

aaa

要證f(x)>2lna+—,只需證1+〃2+/〃4>2松+旦，

22

只需證a2-lna-1->6

2

設(shè)g(a)=a-lna-^-.?>0.

2

則g'(a)=2a--=a,

aa

令g，(a)=0得，

2

當(dāng)花(0,LL)時，g'(a)<0,g(〃)單調(diào)遞減，當(dāng)(乂2,+8)時，￡(a)>0,g(a)

22

單調(diào)遞增，

所以g(a)2g(^-^)=—_i-—=-

22irr222

即g(a)>0,

所以a2Tna-/〉。得證，

即/G)>2打〃+3得證.

2

9.(2023?北京)設(shè)函數(shù)/(x)叫曲線尸/⑴在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=-

x+1.

(I)求a,b的值；

(H)設(shè)g(x)=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)求f(X)的極值點(diǎn)的個數(shù).

【答案】(I)a=-1,b=\.

(II)在(-8,o)和(3-M，3+我)上單調(diào)遞增，在(0,3-V3)和(3+愿，+8)上

單調(diào)遞減；

(III)3個極值點(diǎn).

【解答】解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)

所以/(x)=1-(3/6。""+加才狀”=1-(3+ax)*/戶外

因?yàn)?'(X)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為y=-x+1,

所以「⑴=°,即［卜產(chǎn)=。

a4b

If'(1)=-1l-(3+a)e=-l

解得a=-1,b=l.

(II)由(I)知，/(x)=x-x3?二計(jì)1所以/(%)=1-(3/-/)/"1,

所以g(x)=/(x)=1-Ox2-x3)/戶1

所以g'(x)=-(6x-3?)一戶1+(3x2-?)/戶1=-x(?-6x+6)/戶】，

令g'(x)=0,解得x=0或x=3土百，

所以/(x)與g(x)的關(guān)系列表如下：

X(-0(0,3-3-V3(3-3+V3(3+V3，

V3)V3.

3+V3)

g'(x)

g(x)單單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減

增

所以g（x）在區(qū)間（-8,0）和（3-45,3+V3）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,3-近）和（3+禽,

+8）上單調(diào)遞減；

（III）由（II）知，當(dāng)xe（-8,0）時，/（X）單調(diào)遞增，

當(dāng)X<-1時，/'（x）<f（-1）=1-4e2<0,，（0）=1>0,

所以存在xi€（-8,o）,使得/Cxi）=0,

又因?yàn)?（x）在（-8,xi）上單調(diào)遞減，在（xi,0）上單調(diào)遞增，

所以XI是/（X）的一個極小值點(diǎn)；

當(dāng)xe（0,3-百）時，，（x）單調(diào)遞減，且/（3-73）</（1）=1-2<0,

所以存在X2C（0,3-愿），使得/（A2）=0,所以/（x）在（0,X2）上單調(diào)遞增，在（X2,3

-V3）上單調(diào)遞減，

所以X2是/（X）的一個極大值點(diǎn)；

當(dāng)xe（3-通，3）時，f（x）單調(diào)遞增，

又因?yàn)?（3）=1>0,所以存在X36（3-V3，3）,使得/（X3）=0,

所以/（x）在（3-我，%3）上單調(diào)遞減，（與，3）上單調(diào)遞增，

所以X3是/（X）的一個極小值點(diǎn)，

又因?yàn)楫?dāng)x>3時，/（x）>0,所以/（X）在（3,+8）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

綜上，/（x）在定義域R上有3個極值點(diǎn).

10.（2023?甲卷）已知=℃-巨號一，%e（0,A）.

cosX

（1）若4=8,討論/（X）的單調(diào)性；

（2）若/（x）<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

【答案】（1）當(dāng)OVxV三時，于（x）單調(diào)遞增；當(dāng)匹VxV匹時，/（x）單調(diào)遞減;

(2)(-8,3].

【解答】解：(1)已知/"(X)=ox-sinx，函數(shù)定義域?yàn)?0,21),

39

cosx乙

若〃=8,此時/(x)=8x-sinx,

cosx

32

可得,(X)=8_cosx-cosx+sinx/3cocx'sinx

6

cosx

_(4COS2X+3)(2COS2X-1)

---------------------------,

4

COSX

因?yàn)?cos2X+3>0,COS4X>0,

所以當(dāng)cosx>*2,即0VKV?ZL時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

24

當(dāng)cosxV義工，即-ZLvxvE』寸，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

242

(2)不妨設(shè)g(x)=or-si*_sin2x,函數(shù)定義域?yàn)?0,—),

39

COSX乙

2

/(x)=a-3-2c°sx_2cos2x=。-3-2c°sx_2(2cosx-1),

44

COSXCOSX

令COS2*=30<r<1,

此時g'Ct)=a+2-4/4-2.__3_；

tt2

不妨令k(r)=a+2-4r+--W-,

tt2

可得k'(r)=-4-2+_§_=-,2(T)(2j+2t+3)->O,

所以無(r)單調(diào)遞增，

此時“(r)<jt(1)=a-3,

①當(dāng)aW3時，g'(x)=k(f)<a-3W0,

所以g(x)在(0,21)上單調(diào)遞減，

2

此時g(x)<g(0)=0,

則當(dāng)。<3時，f(x)Vsin2x恒成立，符合題意；

②當(dāng)43時，

當(dāng)1-0時，2-2=-3(A-A)2+A--8,

tt2t33

所以k(/)-—8,

又k(1)=〃-3>0,

所以在區(qū)間(0,1)上存在一點(diǎn)m,使得左(?))=0,

即存在xo€(0,-2L),使得g'(xo)=0,

2

當(dāng)ZO<Z<1時，k(力>0,

所以當(dāng)0<X<J?)時，g'(x)>0.g(x)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)0<》<次時，g(x)>g(0)=0,不符合題意，

綜上，a的取值范圍為(-8,3].

11.(2023?甲卷)已知函數(shù)/(x)=-—-s/xxE(0,

cosx2

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)+sinx<0,求〃的取值范圍.

【答案】(1)/1)在(0,2L)上單調(diào)遞減；(2)(-8,0].

2

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時，/(x)=X-s/j,xC(0，三>

cosx2

./(x)=[‘osxcos'x-Zcosx(-sinx)sinx

cosx

2,.23.2

cosx+2osinx=cosx+c。sx-2o

cos3xcos3x

7T

令'=(:08^,(0,(0，1)'

/.cos3x+cos2x-2=P+?-2

=(t-1)(?+2r+2)=(t-1)[(r+1)2+l]<0,

又cos3x=/3>0,

=cos%+cos』x-2=(t-1)(t：+2t+2)

(x)<0,

：.f(x)在(0,2L)上單調(diào)遞減；

2

snx,xE

(2)設(shè)g(x)=f(x)+sirLr=ax^+sinx(。，

cos^x2

.2

則g,(x)二a」$1；*+cosx，xE(0，?)'

COSX/

2sinxcoS4X+3(1+sin2x)cos2xsinx.一八

g(x);------------------g----------------sinx、u,

cosx

???/(x)在(0,―)上單調(diào)遞減，

2

若g(x)=f(x)+sinx<0,又g(0)=0,貝ijg'(0)=a-1+1^0,：.a^0,

當(dāng)a=0時，sinx-=sinx(1-------A

cosxcosx

又xW(0,/.0<sinx<l,0<cosx<l,----------->1，

2cos2x

f(x)+sinx=sinx—0，滿足題意；

cosx

當(dāng)。<0時，VxG(0,2L),：.ax<09

2

.*./(x)+sinx=axsinx+sinx<sinxVsinx_sinx.〈0,滿足題意；

cosxcosx

綜合可得：若/(x)+sinx〈0,則〃W0,

所以a的取值范圍為(-8,0J.

12.(2023?乙卷)已知函數(shù)/(x)=(!+。)In(1+x).

x

(1)當(dāng)〃=-1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；

(2)是否存在a,6使得曲線>=/(▲)關(guān)于直線x=〃對稱，若存在，求a,b的值，若不存

x

在，說明理由；

(3)若f(x)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(1)y=-/〃2(x-1)；(2)a=工，匕=」；(3)(0,A).

222

【解答】解：(1)a=-I時，/(I)=0,

f'(x)=—In(x+1)+(A-1)(—^),f(1)=-Ini,

x?xx+1

???曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為y=-歷2(x-1).

(2)f(A)=(x+a)In(311),定義域?yàn)?-8,-1)U(0,+?>),

XX

要使函數(shù)/(上)的圖像關(guān)于x=6對稱，則由XW0,且xw-l,可知人=」，

x2

即/(上)=(x+a)/〃(三包)的圖像關(guān)于x=」對稱，

xx2

則/(I)=(1+a)ln2,/(-2)=(-2+a)%=(2-a)ln2,

得l+a=2-a,解得

2

綜上，a=工，b—」；

22

(3)f(x)=」/〃(x+1)+(A+a)=^-L[ln(x+1)-ax+x],

22

xxx+1xx+1

2a

要使fG)在(0,+8)存在極值點(diǎn)，則方程歷(x+1)?&X+x,=。有正根,

x+1

2

記g(x)=ln(x+1)-x-,x>0,g'(x)=-------~~-X(ax+2a-l)'

x+1(l+x)?

①當(dāng)aWO時，g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,不符合

題意；

②當(dāng)時，g'(x)<0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,不符合

2

題意；

③當(dāng)0<4<工時，令屋(x)<0,0<x<-~^令g'(x)>0,x>-l2a,

2aa

故g(x)在(0,上&_)上單調(diào)遞減，在（上至，+8）上單調(diào)遞增,

aa

故g(x)在工=1一22時,取得最小值，令相(x)=1-x+lnx(0<x<l),則機(jī)'(x)=-"1>

ax

0,

函數(shù)(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，m(x)<m(1)=0,

據(jù)此可得17+阮cVO恒成立，

則g'(lz2a)=1-2。+伍2。<0,

a

2

令人(x)=lnx-x2+x(x>0),則(x)="2x+x+1,

x

當(dāng)(0,1)時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)(1,+°°)時，hr(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

故h(x)Wh(1)=0,即依rWx2-x(取等條件為x=l),

所以g'(x)=2ax-In(x+1)>2ax-[(x+1)2-(x+1)]=2ax-(Phx),

g’(2a-\)>2a(2?-1)-[(2〃-1)2+(2〃-1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：g'(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)刈，

當(dāng)聯(lián)(0,xo)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)xE(刈，+8)時，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%o)<g(0)=0,

令n(x)=lnx-^/x?貝(x)=—-----1_=2-Vxy

則函數(shù)”(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃(x)W”(4)=加4-2,所以/以〈。彳，

所以g(-4..)—(-4-+1)[(a(-4一+1)-In(-4-+1)-~-2(/+1]

22224,

aaaa—+1

a

>(-^-+1)|(A+?-In(_A+1)+?-1-2a+l]

2o2

a"a

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號零點(diǎn)，符合題意；

綜合上面可知：實(shí)數(shù)。得取值范圍是(0,.1).

2

13.(2023?乙卷)已知函數(shù)/(x)=(A+a)In(1+x).

x

(1)當(dāng)a=-1時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/GO在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

【答案】(1)(加2)x+y-/n2=0；

⑵[1.叼

【解答】解：(1)當(dāng)〃=-1時，

則f(x)=(A-1)In(1+x),

x

求導(dǎo)可得，f(x)=一yin(1+x)+(―-1)

X/Xx+1

當(dāng)x=l時，/(I)=0,

當(dāng)x=1時，/(1)=-ln2,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線方程為：y-0=-/〃2(x-1),即(加2)x+y-ln2=0；

(2)f(x)=(工+a)In(1+x),

x

則/(工)=(y)In(x+1)+(—+a)*—

VNXx+l

函數(shù)/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，

則(一、)如(x+1)+(工+a)?—^―》0，化簡整理可得，-(x+1)G+1)+X+O￥220,

2

xxx+1

令g(x)=ax1+x-(x+1)In(x+1)(x>0),

求導(dǎo)可得，g'(x)=2ax-In(x+1),

當(dāng)時，

則2orW0,In(x+1)>0,

故p(x)<0,即g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)<g(0)=0,不符合題意，

令m(x)=g'(無)=2奴-加(1+1),

則加(x)=2a-——,

x+1

當(dāng)4W，即2Q21時，

—-—<],ni(x)>0,

x+1

故m(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，即/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以戈(x)>g'(0)=0,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(0)=0,符合題意，

當(dāng)0V〃V』時，令/(x)=Oo-——=0,解得x=—L.i，

2x+12a

當(dāng)犬6(0,時，ni(x)<0,m(x)在區(qū)間(0,1一_])上單調(diào)遞減，即g，(x)單調(diào)遞

2a2a

減，

g'(0)=0,

當(dāng)xe(0,J__])時，g'(%)<g'(o)=0,g(%)單調(diào)遞減,

2a

?:g(0)=0,

???當(dāng)xW(0,2」_])時，g(%)<g(0)=0,不符合題意,

2a

綜上所述，a的取值范圍為［a,-KO).

14.(2023?天津)已知函數(shù)/(x)=(1+_1)In(x+1).

x2

(I)求曲線y=/G)在尤=2處的切線斜率；

(II)當(dāng)x>0時，求證：f(x)>1；

(Ill)證明：—<ln("!)-(?+—)

62

【答案】(I)工上運(yùn)；(H)證明過程見解答；(IID證明過程見解答.

34

【解答】解：(I)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，可得，(X)=—/J"一lln(x+l)，

2

2x(x+1)x

則曲線(x)在x=2處的切線斜率為/(2)

34

(II)證明：當(dāng)x>0時，/(x)>1,即年三1n(x+1)>1/即g(x)=ln(x+1)—^

2xx+2

2

而((x)=------------>0,g(x)在(0，+°0)上單調(diào)遞增，

(x+1)(x+2)2

因此g(x)>g(0)=0,原不等式得證；

(IIP證明：設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和%=ln(n!)-(n蔣)lnn+n，

則G=S1=1;

當(dāng)"》2時，an=Sn-Sn-l=l+(nT)ln^=l-(-4-4)ln(l^T)=l-f(；)，

nnni2n]2n-1n-1

n-l

由(2),〃〃V0(〃22),

故S〃WSi=l,不等式右邊得證；

11

rn1li

要證|<Sn，只需證：對任意的心2,￡(-ak)=r(f(zT)-1)《春，

6k=2k=2『16

2

令h(x)=ln(x+l)-少:譽(yù)則h'(x)=廣~~2'

2(x+l)2(x+l)2

當(dāng)x>0時，h'(x)<0,函數(shù)力(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞減,

x(x+2)

則h(x)<0,即In(x+1)<

2(x+l)

則f(x)-l〈等x(x+2)

2(x+l)14(x+1)4

因此當(dāng)上22時,-i<——±——<-----±-----

fk-14(k-l)24(k-l)2-l22k-32k-l

當(dāng)時，累加得

五(-ak)=￡(f(S)-1)<7]+(尹會+…+(吉為

oo

又-a9=f(l)-l^-ln2-l<-^-X0.694-1=0.041

乙//

?1-0.693)-1=0.0175*

nn1-I

故￡(-ak)=-a2-a3+S(-aQR.041+0.0175七方二0.1585即得證?

k=2k=4iUb

15.(2023?新高考II)(1)證明：當(dāng)OVxVl時，x-x2<sinr<x；

(2)已知函數(shù)/'(x)=cosax-In(1-x2),若x=0為/(x)的極大值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：設(shè)g(x)=x-?-sinx,xG(0,1),

貝！Jg'(x)=1-2x-cosx,:?g"(x)=-2+sinxVO,

：.gr(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

：.gr(x)<g'(0)=0,

：.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

:.g(x)<g(0)=0,

B|Jx--sinx<0,xE(0,1),

**.x-x2<sinx,xE(0,1),

設(shè)力(x)=x-sinx,xE(0,1),

則h'(x)=1-cosx>0,

：.h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

：.h(x)>h(0)=0,xG(0,1),

BPx-sinx>0,xE(0,1),

sinx<x,xE(0,1),

綜合可得：當(dāng)0<x<l時，x-/<sinr〈x；

2

22+2

(2)解：'：f(x)=-asinax+.-2%,：.f"(x)=-acosax+-^—,

1-x2(1-x2)2

且/(0)=0,f(0)=-6Z2+2,

①若/(0)=2-/>(),即~\歷<&</5時，

易知存在fl>0,使得(0,八)時，f"(x)>0,

：.f(x)在(0,fi)上單調(diào)遞增，：.f(x)>f(0)=0,

?V(x)在(0,")上單調(diào)遞增，這顯然與尤=0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去;

②若f"(0)=2-/<(),即或時，

存在Z2>0,使得x€(-(2,12)時，f(x)<0,

：.f(x)在(-⑵f2)上單調(diào)遞減，又/(0)=0,

...當(dāng)-r2cx<0時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)OVxVa時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，滿足x=0為/(x)的極大值點(diǎn)，符合題意；

③若尸(0)=2-42=0,即〃=±&時，?./(X)為偶函數(shù)，

...只考慮。=加的情況，

此時f'(x)=-V2sin(V2x)+-^7>友(0,1)時，

1-x

f'(X)>-2x+-^7=2x(-^y-1)>0>

]-x，1-X

：.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，與顯然與x=0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去.

綜合可得：a的取值范圍