北師大初中數(shù)學(xué)教案八年級(jí)下冊(cè) 第五章 數(shù)據(jù)的收集與處理

《認(rèn)識(shí)分式》

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解分式的概念，明確分式中分母不能為O是分式成立的條件.

2、使學(xué)生能求出分式有意義的條件.

3、通過(guò)對(duì)分式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解分式的概念，明確分式成立的條件.

難點(diǎn)：明確分式有意義的條件.

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題情境

1、在小學(xué)人們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，那么5÷3可以寫成什么？

2、根據(jù)上面的問(wèn)題，填空：

（1）長(zhǎng)方形的面積為IoC啟長(zhǎng)為Icni,寬—cm；長(zhǎng)方形的面積為S,長(zhǎng)為a,寬應(yīng)為.

（2）把體積為200C勿的水倒入底面積為33<√的圓柱形容器中，水面高度為C你把

體積為「的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，水面高度為.

二、新課講授

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)問(wèn)題1的回答，回答出第2題的問(wèn)題.教師與學(xué)生一起及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)

誤.

10s200V

學(xué)生回答，教師寫出答案：（1）亍，W^.（2）33,7.

新課：下面請(qǐng)同學(xué)們看一下這四個(gè)式了，看它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

10200

學(xué)生根據(jù)自己的觀察，說(shuō)出丁、辛-是分?jǐn)?shù)，是整式.而另兩個(gè)式子，看他們有什么特

點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們自己總結(jié)一下，學(xué)生說(shuō)出分母中有字母.

請(qǐng)大家歸納一下這個(gè)式子是什么式子，有什么特點(diǎn)？學(xué)生回答分母中含有字母.

A

學(xué)生歸納：一般地，如果/、6表示兩個(gè)整式，并且8中含有字母，那么式子萬(wàn)叫分式.

引導(dǎo)學(xué)生回答出，（1）分式與分?jǐn)?shù)一樣，力叫分子，6叫分母.那么小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的分?jǐn)?shù)中的

分母有什么限制，（分母不能為零.）分式中對(duì)分母的要求也是分母不能為零，對(duì)于分式分母

為零時(shí)分式才有意義.

（2）分母中含有字母.

請(qǐng)同學(xué)們?cè)倥e出一些分式的例子.

例：填空

2X

（1）當(dāng)X時(shí)，分式五有意義.（2）當(dāng)X時(shí)，分式X-I有意義.

1

（3）當(dāng)6—時(shí)，分式5-3占有意義.

（4）當(dāng)x、y滿足關(guān)系時(shí)，分式X-V有意義.

2

解：（1）當(dāng)分母3?Y≠0時(shí)，x≠0時(shí)，分式3x有意義.

X

（2）當(dāng)分母片1W0時(shí)，x≠l時(shí)，分式X-I有意義.

5_]

（3）當(dāng)分母5-38/0時(shí)，。關(guān)行時(shí)，分式5-35有意義.

χ+y

（4）當(dāng)分母方y(tǒng)#0時(shí)，＜v≠y時(shí)，分式X-J7有意義.

教師與學(xué)生共同討論完成.學(xué)生說(shuō)出解題過(guò)程，教師板書.

學(xué)生歸納總結(jié)：（1）分式有意義，分母不能為0.這是分式有意義的前提.

（2）注意解題格式，分式有意義與分子無(wú)關(guān).

（3）請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下分式什么條件下沒(méi)有意義？

三、小結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課里你有哪些收獲？

學(xué)生說(shuō)出結(jié)論，教師補(bǔ)充.

四、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生對(duì)什么是分式掌握較好，能區(qū)分整式與分式，對(duì)保證分式有意義需滿足什么條件

能很好地指出來(lái).

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生理解分式的基本性質(zhì).

2、使學(xué)生運(yùn)用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行恒等變形.

3、通過(guò)對(duì)分式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解分式的基本性質(zhì).

難點(diǎn)：分式基本性質(zhì)的運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

1、什么叫分式？

2、小學(xué)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么？舉例說(shuō)明.

引言：我們小學(xué)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，今天我們?yōu)閷W(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì).

二、新課講授

根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分式可仿照分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

aα?Ca以

b=bc；b=b÷c(6≠0).

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上面的式子和以前學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，總結(jié)出分式的基本性質(zhì)是什么？學(xué)

生回答出來(lái)，教師及學(xué)生補(bǔ)充完整.

分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于O的整式，分式的值不變.

aa?Caα^÷^c

b=b?c?b=b÷c(C≠O)

注意：分式的基本性質(zhì)的條件是乘(除以)一個(gè)不等于。的整式.

指出分式的性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的不同，乘以(除以)一個(gè)不等于0的整式，分?jǐn)?shù)是乘以(除

以)一個(gè)不等于0的數(shù).

例：填空

α+?(r)2a-b(C)

(1)ab；(2)a2=&b.

χ21χyx+/?—()

(3)X2^-=C)；⑷K-2X=X-2.

分析：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分式的基本性質(zhì)，來(lái)對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn).

(1)是乘以一個(gè)整式a4注意是分子和分母都乘以這個(gè)整式.

(2)是分子和分母都乘以6,分式的值不變.

(3)是分子f+x片x(x+y),對(duì)照分子，可以看出分子和分母都除以X,分式的值不變，所

以填X.

(4)把分母分解因式V-2尸x(尸2),對(duì)照分母，可以看出分子、分母都除以X,分式的值

不變，所以填L

三、小結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課里你有哪些收獲？

分式的基本性質(zhì)成立的條件是都乘以或除以一個(gè)不等于0的整式.

四、教學(xué)反思：

這一課學(xué)生能用類比的方法很快從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)得到分式的基本性質(zhì).但在實(shí)際運(yùn)用中還

有些同學(xué)對(duì)用字母表示的式子不習(xí)慣.

《認(rèn)識(shí)分式》

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號(hào)感.

2.了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系.

3.掌握分式有意義的條件，認(rèn)識(shí)事物間的聯(lián)系與制約關(guān)系.

（-）能力訓(xùn)練要求

1.能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，經(jīng)歷對(duì)具體問(wèn)題的探索過(guò)程，進(jìn)一步培養(yǎng)

符號(hào)感.

2.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊與一般的辯證關(guān)系.

（三）情感與價(jià)值觀要求

通過(guò)豐富的現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”

的信心.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

1.了解分式的形式乙8是整式），并理解分式概念中的一個(gè)特點(diǎn)：分母中含有字母；

B

一個(gè)要求：字母的取值限制于使分母的值不得為零.

2.掌握分式基本性質(zhì)的內(nèi)容，并有意識(shí)地運(yùn)用它化簡(jiǎn)分式.

教學(xué)難點(diǎn)：

1.分式的一個(gè)特點(diǎn)：分母含有字母；一個(gè)要求：字母的取值限制于使分母的值不能為零.

2.分子分母進(jìn)行約分.

教學(xué)過(guò)程

I.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］我們先試著解答下面的問(wèn)題：

面對(duì)日益嚴(yán)重的土地沙化問(wèn)題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計(jì)劃在一定期限固沙

造林2400公頃,實(shí)際每月固沙造林的面積比原計(jì)劃多30公頃,結(jié)果提前4個(gè)月完成任務(wù).原

計(jì)劃每月固沙造林多少公頃？

這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？

如果原計(jì)劃每月固沙造林X公頃，那么原計(jì)劃完成一期工程需要個(gè)月，實(shí)際完

成一期工程用了個(gè)月；根據(jù)題意，可得方程.

［生］根據(jù)題意，我認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題的等量關(guān)系是：實(shí)際固沙造林所用的時(shí)間+4=原計(jì)劃固沙

造林所用的時(shí)間.（1）

［生］這個(gè)問(wèn)題的等量關(guān)系也可以是：原計(jì)劃每月固沙造林的公頃數(shù)+30=實(shí)際每月固沙造林

的公頃數(shù).（2）

［師］這兩位同學(xué)真棒！在這個(gè)問(wèn)題中，誰(shuí)能告訴我涉及到哪些基本量呢？它們的關(guān)系是什

么？

［生］涉及到了三個(gè)基本量：工作量、工作效率、工作時(shí)間.工作量=工作效率X工作時(shí)間.

［師］如果用第（1）個(gè)等量關(guān)系列方程，應(yīng)如何設(shè)出未知數(shù)呢？

［生］因?yàn)榈冢?）個(gè)等量關(guān)系是工作時(shí)間的關(guān)系，因此需用已知條件和未知數(shù)表示出工作

時(shí)間.題中的工作量是已知的.因此需設(shè)出工作效率即原計(jì)劃每月固沙造林X公頃.

2400

原計(jì)劃完成一期工程需——個(gè)月，

X

實(shí)際完成一期工程需C,變Q個(gè)月，

x-30

根據(jù)等量關(guān)系（1）可列出方程：

24002400

--------+4=-------.

%-30X

［師］同學(xué)們可接著思考：如何用等量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)，列方程呢？

［生］因?yàn)榈攘筷P(guān)系（2）是工作效率之間的關(guān)系，根據(jù)題意，應(yīng)設(shè)出工作時(shí)間.不妨設(shè)原

計(jì)劃X個(gè)月完成一期工程，實(shí)際上完成一期工程用了（x—4）個(gè)月，那么原計(jì)劃每月固沙造

林的公頃數(shù)為—24一00公頃，實(shí)際每月固沙造林2二400？公頃，根據(jù)題意可得方程

Xx-4

2400CC2400

XX-4

［師］同學(xué)們觀察我們列出的兩個(gè)方程，有什么新的發(fā)現(xiàn)？

［生］我們?cè)O(shè)出未知數(shù)后，用字母表示數(shù)的方法，列出幾個(gè)代數(shù)式，表示出我們需要的基本

量.如2空40上0，2400,上24絲0叱0.這些代數(shù)式和整式不同.我們雖然列出了方程，但分母中

XX-4X+30

含有字母，要求出它的解，好像很不容易.

［師］的確如此.像軍”,空”,必史■這樣的代數(shù)式同整式有很大的不同，而且它是以

Xx-4-?-30

分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)的，它們是不同于整式的一個(gè)很大的家族，我們把它們叫做分式.

從現(xiàn)在開(kāi)始我們就來(lái)研究分式，相信同學(xué)們只要去認(rèn)真了解分式家族中每個(gè)成員的特性，不

久的將來(lái)，一定會(huì)很迅速準(zhǔn)確解出上面兩個(gè)方程.

II.講授新課

1.通過(guò)實(shí)例理解分式的意義及分式與整式的區(qū)別.

［師］下面我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)問(wèn)題：

做一做.

（I）正"邊形的每個(gè)內(nèi)角為度.

(2)一箱蘋果售價(jià)a元，箱子與蘋果的總質(zhì)量為加檢，箱子的質(zhì)量為〃紜，則每千克蘋果

的售價(jià)是多少元？

(3)有兩塊棉田，有一塊X公頃，收棉花R千克，第二塊y公頃，收棉花〃千克，這兩塊

棉田平均每公頃的棉產(chǎn)量是多少？

(4)文林書店庫(kù)存一批圖書，其中一種圖書的原價(jià)是每?jī)?cè)a元，現(xiàn)降價(jià)X元銷售，當(dāng)這種

圖書的庫(kù)存全部售出時(shí)，其銷售額為6元.降價(jià)銷售開(kāi)始時(shí)，文林書店這種圖書的庫(kù)存量是

多少？

［生］(1)(〃-2)/80。；(2)元；

nm-n

(3)也土您千克；(4)上冊(cè).

x+ya-x

［師］很好！我們?cè)賮?lái)看：

議一議.

LH`rnK+,I4240024002400(?-2)?180oamx+nyb

上面問(wèn)題中r出現(xiàn)了代數(shù)式-----,------,-----,?-----------------，------,-------------,它

X%+30X-4-nm-nx+ya-x

們有什么共同特征？它們與整式有什么不同？

(分組討論后回答)

［生］上面的幾個(gè)代數(shù)式的共同特征：

(1)它們都是由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成；(2)分母中都含有字母.

［生］它們與整式的不同點(diǎn)就在于它們的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母.例

如：上,士生它們都含有分母，但分母中不含字母，所以它們是整式.

904

［師］同學(xué)們能夠結(jié)合前后知識(shí)理解上述代數(shù)式，很好！下面我們給出這種代數(shù)式即分式的

概念：

整式4除以整式6,可以表示成全的形式.如果除式6中含有字母，那么稱會(huì)為分式，其

BB

中4稱為分式的分子，8稱為分式的分母.

分式中，字母可以取任意實(shí)數(shù)嗎？

［生］不可以.因?yàn)榉质街蟹帜负凶帜?，而分母是除式，不能為?字母的取值就受到制

約即字母的取值不能使分母為零，否則，分式就會(huì)無(wú)意義.

2.例題講解.

［師］下面我們接著來(lái)看：

想一想.

(1)下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

b-3m{n+P)X2-xy-?-y224

5x—7,3嵬一1,

2G+l72.x—17'5b+c

(2)①當(dāng)斤1,2時(shí)，分別求分式空?的值.

2a

②當(dāng)a為何值時(shí)，分式”1有意義？

2a

③當(dāng)a為何值時(shí)，分式"！的值為零？

2a

92

［生］(1)中5χ-7,3√-l,皿〃+0,-5,2是整式;廠一孫+工

772x-1

是分式.

5b+c

(2)解：①當(dāng)折1時(shí)，---=1；

Ia2x1

、1/C∏-xQ+12+13

當(dāng)爐2時(shí)-，----二-----------二一

2a2×24

②當(dāng)分母的值等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義.

由分母2爐0,得華0.

所以，當(dāng)a取零以外的任何實(shí)數(shù)時(shí)，分式”！有意義.

2a

③分式的值為零，包含兩層意思：首先分式有意義，其次，它的值為零.因此a的取值有兩

2a≠0

個(gè)要求:

α+l=O

所以，當(dāng)，一1時(shí)，分母不為零，分子為零，分式"?為零.

2a

III.隨堂練習(xí)

鞏固分式的概念，討論分式有意義的條件限制.

1.當(dāng)X取什么值時(shí)，下列分式有意義？

Q12

(1)(2)——；(3)—

x-1X2-9X2+\

IV.課時(shí)小結(jié)

［師］通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有何收獲？(鼓勵(lì)學(xué)生積極回答)

［生］今天，我們認(rèn)識(shí)了代數(shù)式里一個(gè)新的成員——分式.

［生］我們從實(shí)例中發(fā)現(xiàn)了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母

中不含字母，并且還由除式不能為零，即分母不能為零，明白了分式中的字母是有條件約束

的，分式中的字母的取值必須保證分母不為零?

［生］……

V.活動(dòng)與探究

-1A+1rs,??+X+1,,,?

已知A=--------,求----ξ-的值

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

(-)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.分式的基本性質(zhì).

2.利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行“等值”變形.

3.了解分式約分的步驟和依據(jù)，掌握分式約分的方法.

4.使學(xué)生了解最簡(jiǎn)分式的意義，能將分式化為最簡(jiǎn)分式.

(-)能力訓(xùn)練要求

1.能類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，推測(cè)出分式的基本性質(zhì).

2.培養(yǎng)學(xué)生加強(qiáng)事物之間的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

(三)情感與價(jià)值觀要求

通過(guò)類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及分?jǐn)?shù)的約分，推測(cè)出分式的基本性質(zhì)和約分，在學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)

驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

1.分式的基本性質(zhì).

2.利用分式的基本性質(zhì)約分.

3.將一個(gè)分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式.

教學(xué)難點(diǎn)：

分子、分母是多項(xiàng)式的約分.

教學(xué)過(guò)程

I.復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，推想分式的基本性質(zhì).

［師］我們來(lái)看如何做不同分母的分?jǐn)?shù)的加法：-+

23

［師］這里將異分母化為同分母，1=—

22×36

?=-?-.這是根據(jù)什么呢？

33x26

［生］根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，分

數(shù)的值不變.

［師］很好!分式是一般化了的分?jǐn)?shù),我們是否可以推想分式也有分?jǐn)?shù)的這一類似的性質(zhì)呢？

II.新課講解

1.分式的基本性質(zhì)

31

（1）3=上的依據(jù)是什么？

62

（2）你認(rèn)為分式已與工相等嗎？二與巴呢？與同伴交流.

2a2mntn

［生］（1）將3的分子、分母同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)3得到.即3=2=?L.

666÷32

依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母同乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的

值不變.

（2）分式4與L相等，在分式_E_中，a#0,所以烏=與巴=1；

2a22a2a2a÷a2

2222

77~F7n~nn"-?-nn

分式2?與己也是相等的.在分式L中，λ≠0,所以L=JΔ=K.

mnmmnmnnuι÷nm

［師］由此，你能推想出分式的基本性質(zhì)嗎？

［生］分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們可推想出分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變.

［師］在運(yùn)用此性質(zhì)時(shí)，應(yīng)特別注意什么？

［生］應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式中的“都”“同

一個(gè)”“不為零”.

［師］我們利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行等值變形.同樣我們利用分式的基本性質(zhì)

也可以對(duì)分式進(jìn)行等值變形.

下面我們就來(lái)看一個(gè)例題.

［例2］下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？

⑴2上（7≠O）;⑵竺二一

2x2xybxb

h

［生］在（1）中，因?yàn)閥≠O,利用分式的基本性質(zhì)，在2的分子、分母中同乘以外即

可得到右邊，即-L=S_="；

lx2x??Ixy

［師］很好！在（1）中，題目告訴你后0,因此我們可用分式的基本性質(zhì)直接求得.可（2）

中右邊又是如何從左邊得到的呢？

［生］在(2)中，竺可以分子、分母同除以X得到，即竺=竺E=2.

bxbxbx÷xb

［生］“x”如果等于“0”，就不行.

在竺中，X不會(huì)為“0”，如果是“0”，竺中分母就為“0”，分式M將無(wú)意義，所以(2)

bxbxbx

∩Y∩∩Y

中雖然沒(méi)有直接告訴我們x≠0,但要由巴得到包，竺必須有意義，即bx≠O由此可得b≠0

bxbbx

且x≠0.

［師］這位同學(xué)分析得很精辟！

2.分式的約分.

［師］利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)?利用分式的基本性質(zhì)也可以對(duì)分式化簡(jiǎn).

我們不妨先來(lái)回憶如何對(duì)分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn).

［生］化簡(jiǎn)一個(gè)分?jǐn)?shù)，首先找到分子、分母的最大公約數(shù)，然后利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就可將

分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn).例如2，3和12的最大公約數(shù)是3,所以3=壬9=L.

121212÷34

［師］我們不妨仿照分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)，來(lái)推想對(duì)分式化簡(jiǎn).

［例3］化簡(jiǎn)下列各式：

,、a2be,八x2-1

(1)------；(2)-------------.

abX-2x+l

［師］在分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)中，我們約去了分子、分母的公約數(shù)，那么在分式化簡(jiǎn)中，我們應(yīng)如何辦？

［生］約去分子、分母中的公因式.例如(1)中才歷可分解為ac?(a6).分母中也含有

因式a)因此利用分式的基本性質(zhì)：

erbea^bc÷［ab')(ac-ab)÷(ab)

----=-----------=---------------ac.

abab÷{ab)ab÷(ab)

［師］我們可以注意到(D中的分式，分子、分母都是單項(xiàng)式，把公有的因式分離出來(lái)，

然后利用分式的基本性質(zhì)，把公因式約去即可.這樣的公因式如何分離出來(lái)呢？同學(xué)們可小

組討論.

［生］如果分子、分母是單項(xiàng)式，公因式應(yīng)取系數(shù)的最大公約數(shù)，相同的字母取它們中最低

次幕.

［師］回答得很好.可(2)中的分式，分子、分母都是多項(xiàng)式，又如何化簡(jiǎn)？

［生］通過(guò)對(duì)分子、分母因式分解，找到它們的公因式.

［師］這個(gè)主意很好.現(xiàn)在同學(xué)們自己動(dòng)手把第(2)題試著完成一下.

犬—1(%—l)(?+1)x+1

［生］解：(2)

x~—2x+1(X-I)~7≡T

［生］老師，我明白了，遇到分子、分母是多項(xiàng)式的分式，應(yīng)先將它們分解因式，然后約去

公有的因式.

［師］在例3中，巡=ac,即分子、分母同時(shí)約去了整式9；√r~1,即分

αbX-2x+lx-?

子、分母同時(shí)約去了整式x-l.把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形我們稱

為分式的約分.

下面我們親自動(dòng)手,再來(lái)化簡(jiǎn)幾個(gè)分式.

做一做

化簡(jiǎn)下列分式:

a{a+h)

⑴20?s(2)

b(a+b)

［生］解：(1)總卜=一也一??

20x'^y(4%)?(5孫)4x

a(a+b)a

⑵麗F萬(wàn)

［師］在剛才化簡(jiǎn)第（1）題中的分式時(shí)，一位同學(xué)這樣做的:

議一議.

5xy_5x

在化簡(jiǎn)時(shí)，小穎是這樣做的:

20x2y20x2y^2OX2

你對(duì)上述做法有何看法？與同伴交流.

元

［生］我認(rèn)為小穎的做法中，一5之中還有公因式5x,沒(méi)有化簡(jiǎn)完，也就是說(shuō)沒(méi)有化成最

20X2

簡(jiǎn)結(jié)果.

［師］很好！二^二如果化簡(jiǎn)成」說(shuō)明化簡(jiǎn)的結(jié)果中已沒(méi)有公因式，這種分式稱為最

20x2y4x

簡(jiǎn)分式.因此，我們通常使結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或者整式.

III.鞏固、提高

1.填空：

(1)士」」.；⑵4=,

x-y(尤一y)(x+y)y^-4()

2.化簡(jiǎn)下列分式:

(1)(2)x—>

9x3y2(x-y)3

IV.課時(shí)小結(jié)

［師］通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，同學(xué)們有何收獲？（鼓勵(lì)學(xué)生積極回答）

［生］數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就可推想出分式的基本性質(zhì).

［生］分式的約分和化簡(jiǎn)可聯(lián)系分?jǐn)?shù)的約分和化簡(jiǎn).

［生］化簡(jiǎn)分式時(shí)，結(jié)果一定要求最簡(jiǎn).

V.活動(dòng)與探究

實(shí)數(shù)a、。滿足a爐1,記林—L—+—L,游，_+/_,比較以A'的大小.

1+。1+/?l+tz1+z7

《認(rèn)識(shí)分式》

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1、經(jīng)歷實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程，從中認(rèn)識(shí)分式，并能概括分式.

2、使學(xué)生能正確地判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式.

3、能通過(guò)回憶分?jǐn)?shù)的意義，類比地探索分式的意義及分式的值如某一特定情況的條件，滲

透數(shù)學(xué)中的類比，分類等數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：探索分式的意義及分式的值為某一特定情況的條件.

教學(xué)難點(diǎn)：能通過(guò)回憶分?jǐn)?shù)的意義，探索分式的意義及分式的值為某一特定情況的條件.

教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)與情境導(dǎo)入（填空）

（1）面積為2平方米的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為3米，則它的另一邊長(zhǎng)為米.

（2）面積為S平方米的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為a米，則它的另一邊長(zhǎng)為米.

（3）一箱蘋果售價(jià)P元，總重加千克，箱重〃千克，則每千克蘋果的住售價(jià)是元.

（4）根據(jù)一組數(shù)據(jù)的規(guī)律填空：1,—……（用〃表示）.

4916

觀察你列出的式子,與以前學(xué)過(guò)的有什么不同？像這樣的式子叫分式.先根據(jù)題意列代數(shù)式,

并觀察出它們的共性：分母中含字母的式子.

（二）實(shí)踐與探索

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（I）L（2）（3）（4）

X2x+y3

例2、探究1、當(dāng)X取什么值時(shí)，下列分式有意義？

探究2、當(dāng)”是什么數(shù)時(shí)，分式尤二+的2值是零?

2x-5

根據(jù)分式的意義判斷；可類比分?jǐn)?shù)有意義來(lái)解決該問(wèn)題；可類比分?jǐn)?shù)值為O來(lái)解決.

探究3、X取何值時(shí)，分式土里的值為正？可能為負(fù)嗎？

%-1

探究4、X取何整數(shù)值時(shí)，一宜的值為整數(shù)?

%-1

（三）練習(xí)：討論探索

∣x∣-2

當(dāng)X取什么數(shù)時(shí)，分式勺匕，（1）有意義；（2）值為零?

X2-4

例3、已知分式?-",當(dāng)尸3時(shí)，分式值為0,當(dāng)下-3時(shí)，分式無(wú)意義，求a,A的值.可

2αx+b

類比分?jǐn)?shù)來(lái)解.

（四）小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)：分式的概念和分式有意義的條件.

作業(yè)：

1、下列各式分別回答哪些是整式？哪些是分式？

x+2J2,34?,V一93

m,-3(X-?)(?—2)5

2、分式上土2,當(dāng)y為_(kāi)____時(shí)，分式有意義；當(dāng)y為_(kāi)____時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)y為_(kāi)_____

），-3

時(shí)，分式的值為0.

3、討論探索

當(dāng)X取什么數(shù)時(shí)，分式I,（1）有意義；（2）值為零？

X2-4

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

掌握分式的基本性質(zhì)，掌握分式約分方法，熟練進(jìn)行約分，并了解最簡(jiǎn)分式的意義.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分式約分方法.

教學(xué)難點(diǎn)：分子、分母是多項(xiàng)式的分式約分.

教學(xué)過(guò)程

（-）復(fù)習(xí)與情境導(dǎo)入

分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.

用式子表示是：

—=--------=-------------(縣中必是小學(xué)丁專tr、J蟄六九

BB×MBB÷M

與分?jǐn)?shù)類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以對(duì)分式進(jìn)行約分和通分.可類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來(lái)

識(shí)記.

(二)實(shí)踐與探索

例1、下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？

x~+xy_x+y

(2)7="OZ(y≠-1).

/-I

特別提醒：對(duì)三等=蟲(chóng)，由已知分式可以知道XHO,因此可以用X去除以分式的分

子、分母,因而并不特別需要強(qiáng)調(diào)XH°這個(gè)條件,再如E=±*F是在已知分式

/-1

的分子、分母都乘以刀1得到的，是在條件ZHWO下才能進(jìn)行的，所以，這個(gè)條件必須附

加強(qiáng)調(diào).

例2、不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù).

12

—X+—?

(1)j——|—；(2)0.3。+0.56

0.2a—b

仔細(xì)觀察分母(分子)的變化利用分式的基本性質(zhì)來(lái)解題.深入理解.嘗試解題.

例3、約分.

解⑵J-4=(x+2)(x∕)=W.

X—Ax+4(%—2)%—2

說(shuō)明：在進(jìn)行分式約分時(shí)，若分子和分母都是多項(xiàng)式，則往往需要先把分子、分母分解因式

(即化成乘積的形式)，然后才能進(jìn)行約分.約分后，分子與分母不再有公因式，我們把這

樣的分式稱為最簡(jiǎn)分式.

(Ξ)練習(xí)：約分

2axzy-2”(α+b)(α-x)2x2-4m2-3m992-1

3axy23b(a+b)(x-a)3xyjr2y'9-m298

先思考約分的方法，再解題，并總結(jié)如何約分：若分子和分母都是多項(xiàng)式，則往往需要先把

分子、分母分解因式(即化成乘積的形式)，然后才能進(jìn)行約分.約分后，分子與分母不再

有公因式，我們把這樣的分式稱為最簡(jiǎn)分式.

（四）小結(jié)：1、請(qǐng)你分別用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和文字表述分式的基本性質(zhì).

2、分式的約分運(yùn)算，用到了哪些知識(shí)？

讓學(xué)生發(fā)表，互相補(bǔ)充，歸結(jié)為：（1）因式分解；（2）分式基本性質(zhì)；（3）分式中符號(hào)變換

規(guī)律。約分的結(jié)果是，一般要求分、分母不含“一”.

《認(rèn)識(shí)分式》

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.能用分式表示現(xiàn)實(shí)情景中的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)分式的模型思想，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.

2.了解分式的概念，明確分式與整式的區(qū)別.

3.在土地沙化問(wèn)題中，體會(huì)保護(hù)人類生存環(huán)境的重要性.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解分式的概念.

教學(xué)難點(diǎn)：能用分式表示現(xiàn)實(shí)情景中的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)情景

面對(duì)日益嚴(yán)重的土地沙化問(wèn)題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計(jì)劃在一定期限內(nèi)固

沙造林2400公頃，實(shí)際每月固沙造林的面積比原計(jì)劃多30公頃，結(jié)果提前4個(gè)月完成原計(jì)

劃任務(wù)，原計(jì)劃每月固沙造林多少公頃？

（1）這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？

（2）如果設(shè)原計(jì)劃每月固沙造林X公頃，那么原計(jì)劃完成一期工程需要個(gè)月，

實(shí)際完成一期工程用了——個(gè)月；根據(jù)題意，可得方程——.

分析：（1）等量關(guān)系包括：實(shí)際每月固沙造林的面積=原計(jì)劃每月固沙造林的面積+30公頃;

原計(jì)劃完成一期工程的時(shí)間-實(shí)際完成一期工程的時(shí)間=4個(gè)月

2400公頃

=完成一期工程的時(shí)間（月）

實(shí)際每月固沙造林的面積

“、2400240024002400，

（2）------，--------，----------------=4

XX+30X%+30

通過(guò)土地沙化問(wèn)題，讓學(xué)生探索問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并用分式表示，進(jìn)而認(rèn)識(shí)分式，體會(huì)分

式的意義，發(fā)展符號(hào)感.

二.做一做

1.正"邊形的每個(gè)內(nèi)角為度.

2.一箱蘋果售價(jià)a元，箱子與蘋果的總質(zhì)量為麻B，箱子的質(zhì)量為∕?g,則每千克蘋果售價(jià)

是多少元？

分式的分母不能為0(對(duì)此可

以讓學(xué)生類比分?jǐn)?shù)加以理

解，也可以讓學(xué)生結(jié)合前邊

的實(shí)際問(wèn)題去理解)

進(jìn)一步豐富分式的實(shí)際背景，使學(xué)生體會(huì)分式的意義.

Ξ.議一議

上面問(wèn)題中出現(xiàn)了的這些代數(shù)式理,空9,"-2)x180,一嘰,它們有什么共同特

XX+30nm-n

征？它們與整式有什么不同？

AΛ

整式/除以整式3,可以表示成芻的形式.如果除式6中含有字母，那么稱色■為分式，其

BB

中/稱為分式的分子，方稱為分式的分母.對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零.

這里是對(duì)前面出現(xiàn)的分式的討論，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納，總結(jié)出整式與分式的異同,

從而獲得分式的概念.教學(xué)時(shí)不宜直接給出定義讓學(xué)生死記硬背.

四.鞏固應(yīng)用

例：對(duì)于分式空?:

2a

(1)當(dāng)戶1,2時(shí)，求分式竺?的值;

2a

(2)當(dāng)a取何值時(shí)，分式”！有意義？

2a

+a+?_2+1_3

答案：(1)當(dāng)天1時(shí),=??=1;當(dāng)a=2時(shí),

2x12a2×24

(2)當(dāng)分母的值等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義.

由分母2a=0,得年0,所以，當(dāng)a取零以外的任何實(shí)數(shù)時(shí)，分式”?有意義.

2?

對(duì)于例題(2),可以引導(dǎo)學(xué)生從兩方面理解：其一，與分?jǐn)?shù)類比(由特殊到一般)；其二，

字母a本身是可以表示任何數(shù)的，但這里a作為分母，要求它不能等于零(由一般到特殊).

五.回顧

想一想：什么是分式？分式中分母應(yīng)注意些什么？

通過(guò)問(wèn)題的回答，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，把分散的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.能用分式表示現(xiàn)實(shí)情景中的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)分式的模型思想，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.

2.掌握分式的基本性質(zhì)，會(huì)化簡(jiǎn)分式.

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分式的基本性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：化簡(jiǎn)分式.

教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)情景

31I?3

1.±=上的依據(jù)是什么？上呢？

62164

2.你認(rèn)為分式與L相等嗎？

2a2

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽質(zhì)疑：為什么可以類比？因?yàn)樽帜缚梢员硎救魏蔚臄?shù).

二.探索交流

討論后得出結(jié)論

3131123

1.-=-的依據(jù)是將士的分子、分母同除以3得到上；將上的分子、分母同除以4得到±.

6262164

2.當(dāng)爐O時(shí)，分式色無(wú)意義；當(dāng)a#O時(shí)，—=

2a2a2

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不

變.

Ξ.鞏固應(yīng)用

2121

1.例題：(1)化簡(jiǎn)：U;(2)化簡(jiǎn)：-W匚-

abX-2x+l

KrcfcX/八cι~bcX~-1X+1

答案：(1)------=QC;(2)—-----------=------

abX-2x+lX-I

本例承上啟下.一方面它是分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，另一方面由此例引出分式的約分.教學(xué)時(shí)

注意引導(dǎo)學(xué)生找出分子與分母的公因式.

..a~bc八gf=ι□?+M+7妣Tx~-lx÷1日π八工八

例iu題h中----=ac,即分子、分母同時(shí)約去/整式ab；------------=------，即分子、分

abX-2x+1x-1

母同時(shí)約去了整式『1.

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

a(a÷b)

2.化簡(jiǎn)分式:

b(a+b)

注意在約分訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)使學(xué)生明確如下幾點(diǎn)：①對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子分母

都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；②約分的關(guān)鍵是確定分式的分子分母的公因

式，其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式的思考過(guò)程相似；③約分是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)

行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式.

四.議一議

在化簡(jiǎn)-?-時(shí).，小穎和小明出現(xiàn)了分歧.

20X2J

,5孫5x.,5xy5XV1

小穎：一）=——α小明rπ：—介=———

20x^y20x^20x^y4x?5xy4

你對(duì)他們兩人的做法有河看法？與同伴交流.

約分不徹底是學(xué)生容易出現(xiàn)的問(wèn)題.教學(xué)時(shí)要根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的具體問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流.

在小明的化簡(jiǎn)結(jié)果中，分子和分母已沒(méi)有公因式，這樣的分式稱為最簡(jiǎn)分式.化簡(jiǎn)分式時(shí)，

通常要使結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或整式.

五.練習(xí)鞏固

1.學(xué)校用一筆錢買獎(jiǎng)品，若以1支鋼筆和2本日記本為一份獎(jiǎng)品，則可買60份獎(jiǎng)品，若以

1支鋼筆和3本日記本為一份獎(jiǎng)品，則可買50份獎(jiǎng)品，問(wèn)這筆錢全部用來(lái)買筆或日記本，

可買多少？

答案：設(shè)鋼筆每支X元，日記本每本y元，則60（戶2y）=50（戶3y）,則產(chǎn)3y,于是，這

筆錢全用于買鋼筆，可買6（Xx+2y）=I（XX支）；

X

這筆錢全用于買日記本，可買6（KX+2y）=3oo（支）

y

2.下列分式的恒等變形是否正確，為什么？

,?、babbe

（1）-=—；（2）-=—

aa^aac

答案：（1）由已知分式中隱含著a≠0的條件，所以可以用a分別乘以分式的分子與分母，

分式的值不變，固（1）是正確的.

（2）字母C可取任意數(shù)，當(dāng)然包括零，當(dāng)LO時(shí)?，分子、分母都乘以c,就會(huì)使分式?jīng)]

有意義，所以（2）只有在cW0時(shí)才是正確的.

六.回顧

想一想：分式化簡(jiǎn)應(yīng)注意些什么？

通過(guò)問(wèn)題的回答，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，把分散的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

《認(rèn)識(shí)分式》

1.用式子表示分式的基本性質(zhì)：

X-1

2.對(duì)于分式

2尤+2

⑴當(dāng)——時(shí)，分式的值為0；

(2)當(dāng)時(shí),，分式的值為1;

(3)當(dāng)—____時(shí),分式無(wú)意義；

(4)當(dāng)—____時(shí)，分式有意義.

3.填充分子，使等式成立；上=.（）.??

4+2（〃+2）~

4.填充分母，使等式成立：.-3W+4=_3人;4

2X2-5X-4（）

.._Sa2b3c

5.化簡(jiǎn)：一L

?2aybc

6.(1)工4cι~÷ci。+1

(a≠0);

ahab()

⑶葛=；⑷

2+3。+2)

a1÷6tz+5a+5

7.（1）二%…=一迎三％一3,對(duì)嗎？為什么？

ax-byax-by

（2）:+y=HL='-對(duì)嗎?為什么？

?一y?-?χ-y

Y

8.把分式一-一(x≠0,y≠0)中的分子、分母的X,y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值（）

x+y

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C,改變D,不改變

9.下列等式正確的是（）

2

b_bC-a+b,,a+bC,0.Ia-0.3。a-3b

A.B.--------?-lCx.------=0Dr.---------------=---------

aa2a-ba+b0.2α+02a+b

10.不改變分式的值，把下列各式的分子和分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù).

⑴鬻蒜⑵言

3

1.不改變分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)都是整數(shù).

1÷X÷x2-2+2/—3χ4

(1)-------(2)—_---v-

1+X—y3x—2—4Λ^

2.將下列各式約分.

32abb4c24a-4b

24a5b6c3Sa2-Sh2

3.將下列各式通分.

3114

(1)_L(2)

a4a2b6ab2cx+2X—2

1]23

(3)(4)

2x-2(?-l)2(X—1)2x2-lU-1)(%-2)

12

(5)

(a-b)(b-c)(b-c)(a-c)

與分式二竺2相等的是（

4.).

-a-b

α+ACa-bCa+bna-b

A.----B.----C.D---------

a-ba+ba-ba+b

5.下列等式從左到右的變形正確的是（).

bh+1DbhmCahbD?Jb2

A.B一C.-

aa+?aamCraaa~

?—2x

6.不改變分式的值,使：的分子、分母中的最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，則分式

7+3x-3

可化為（）.

2x—l2x+l2x+12x-l

A.B.C.D.

f+3x-3x2+3x+3f+3x-3f—3x+3

X

2~y

7.將分式2—的分子和分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù),應(yīng)為（）.

----1—

53

?5x-l5y

A.Bn.--------C15x-3OyDx2y

3x+5y3x+5y6x+1Oy5x+3y

《認(rèn)識(shí)分式》

1.不改變分式的值，使下列各組里第二個(gè)分式的分母和第一個(gè)分式的分母相同.

6x+1-4x+5a

(I)----------------，1----------(2)

x1~+X—3—X—X+3(α-b)(b-c)(h-a)(h—C)

2.下列等式的右邊是怎樣由左邊得到的.

x-l1

(1)---=—~--(x≠3)(2)

x+2x~-X—6x2-5x+4x-4

3.下列各式正確的是（）

c

A.B.----------=-----C---.----------=--------I).

-a+ba+b—ci+bb—a-a-vba+b-a+ba-b

cr—9

4.不改變分式的值,分式F--------可變形為（）

a2一2。一3

α+3Ca-3_。+3_CL—3

A.-------B.------------C.--------D.-------

a+1a-?a-?a+1

5.不改變分式的值，把分式中的分子和分母按a的升暴排列，是其中最

7142

-0-3?+α-l

高項(xiàng)系數(shù)為正，正確的變形是（）

7—α++4。7—Q+礦一4-cι+ci—。+77-Q+Q2+4Q3

-

A.-.........B.---------------?——rC.Σ--------------------D.

CI—3。+。-11—tz÷3優(yōu)+Ci—a—3cι+ci-11—Q÷3〃’+

6已知i=°求代數(shù)式?g???的值?

,_ky3-3X2-5xy+2y2/士

7r.已I知上二一，求一-——一、的值.

X42X2+3Λy-5y2

8.不改變分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“一”號(hào).

⑴一??⑵-瑞

9.下列各式正確的是()

T+y_-?-?-x+yx+y-x+yx-y

A.*z=qB.