新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 練習(xí) 09 空間向量與平行關(guān)系

09空間向量與平行關(guān)系

目錄

☆【題型一】空間向量與線線平行..................................................................?

☆【題型二】利用基向量法證明線線平行............................................................2

☆【題型三】利用坐標(biāo)法證明線線平行..............................................................3

☆【題型四】空間向量與線面平行..................................................................4

☆【題型五】利用直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩不共線向量共面證明線面平行.........................5

☆【題型六】利用直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線轉(zhuǎn)化為線線平行證明線面平行....................6

☆【題型七】利用直線的方向向量與平面的法向量垂直證明線面平行....................................8

☆【題型八】空間向量與面面平行.................................................................10

☆【題型九】利用兩平面的法向量平行證明面面平行.................................................H

☆【題型十】利用面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行后用向量共線證明面面平行................................13

☆【題型一】空間向量與線線平行

【例題】若直線八和/2的方向向量分別是。=(1,-1,2),6=(-2,2,-4),則()

A.∕∣〃/2B/與/2相交

Cj與12重合口./|〃/2或/|與，2重合

【答案】D

【詳解】-2%.M與/2平行或重合.

【變式訓(xùn)練】

I.與向量。=(1,-3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()

A.(j,?'?]B.(-1,-3,2)

C.[?Γ?]D.(√2,-3,-2√2)

【答案】C

【詳解】a=(l,一3,2)=-2[一5'5'^11

2.已知向量α=(2,4,5),b=(3,X,回分別是直線∕∣,I2的方向向量，若h//h，則()

A.x=6,y=15B.x=3,y~^

C.x—3,7—15D.x—6,y~^

【答案】D

【詳解】由題意得，3=工=2,.?.χ=6,V=".

2452

3.已知直線a,b的方向向量分別為，"=(4,k,上-1)和"=/''+3'J,若?！ㄕ?，貝∣j左=.

【答案】-2

【詳解】①當(dāng)衣=O時(shí)，α與b不平行.

4kk—1

②當(dāng)A≠0時(shí)，由士="-==解得《=-2.

kk+3?

2

4.(多選)已知空間三點(diǎn)/(1,0,3),僅一1,1,4),CQ,-I,3).若力〃虎，且I=標(biāo)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)

【答案】AB

【詳解】V5^=(3,-2,-1),設(shè)辦=(3九-2λ,-λ).X∣J>∣=√14,

??/~3A~^-2λ~^H^~~λ~~^=Λ∕14,解得2=±1,

：.AP=[3,-2,-1)或#=(-3,2,1).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),則成=(χ-l,y,z-3),

χ-1=3,1—1=-3,x=4,X=-2,

或?y=2,解得?y=—2,或?y=2,

y=~2f

z-3=-lZ—3=1,z=22=4.

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,-2,2)或(一2,2,4).

☆【題型二】利用基向量法證明線線平行

【例題】在長(zhǎng)方體一小BIGA中，AB=A,AD=3,AAi=2,P,Q,R,S分別是44∣,D↑Ci,AB,

CCi的中點(diǎn).

求證：PQ//RS.

【詳解】證明=RC+^5=1。C—Dji-?--Di)ι,P^=RI?^?^~DC—DA,

2222

游=苑，；.慈〃苑，又PQ與RS無(wú)公共點(diǎn),

C.RS//PQ.

【總結(jié)】證明兩直線平行的方法

(1)平行直線的傳遞性.

(2)基向量法，分別取兩條直線的方向向量，"，"，證明，"〃"，即，"=2".

(3)坐標(biāo)法，建立空間直角坐標(biāo)系，把直線的方向向量用坐標(biāo)表示，?∕∏1=(X∣,y?,Zl),,"2=(X2,玖，Z2),

即證明m?=λni2,即X∣=λV2且Vl=Ay2且Z∣=ΛZ2.

☆【題型三】利用坐標(biāo)法證明線線平行

【例題】在長(zhǎng)方體—小中,分別是

4SCDBICQlAB=4,AD=3,AA↑=2,P,Q,R,S44∣,DiCi,AB,

CG的中點(diǎn).

求證：PQ//RS.

【詳解】證明以。為原點(diǎn)，DA,DC,Z)Dl所在直線分別為X軸、N軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一平.

則P(3,0,1),0(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),

???用=(-3,2,1),游=(-3,2,1),

二苑=游，苑〃琳,

又P。與HS無(wú)公共點(diǎn),

C.PQ//RS.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，在正方體488—48ιGA中，E,尸分別為。G和8歷的中點(diǎn).求證：四邊形/EG尸是平

行四邊形.

【詳解】證明以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,Z)Ql所在直線為X軸，V軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則企,總,反t,肅分別為直線∕E,FCι,ECi,Z尸的方向向量，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則Z(l,0,0),J°'θ,2),C∣(0,l,l),ft、1,2,

Λ?(-1,o,3相Jr,o,3fc↑=(°,ι,#=「1'3,

；.助=同,^EC↑=Ap,.?λk∕∕^FC^,~EC↑∕∕Ap,

又<F"E,FiEC?,J.AE∕∕FC?,ECi//AF,

.?.四邊形AECyF是平行四邊形.

2.如圖，在正方體力8C。一小SiG。中，尸0與直線4。和XC都垂直，則直線尸。與8。的位置關(guān)系是

()

A.異面B.平行

C.垂直不相交D.垂直且相交

【答案】B

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,取。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后，罰=(1,0,1),祀=(—1,1,0),

α+c=0,/

設(shè)電=(α,b,c),則取Tr苑=(1/，-1),

~a+b=O,

?.謝=(OQl)-(1,1,0)=(—1,-1,1)=一成,

：.P^//~BD?,J.PQ∕∕BD↑.

☆【題型四】空間向量與線面平行

【例題】如圖，在正方體NBC。一小BiClz)I中，M,N分別為48,NC的中點(diǎn)，則MN與平面BBiGC的位

置關(guān)系是()

B.平行

C.垂直D.不能確定

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則4(2,2,2),4(2,2,0),C(0,0,2),以2,0,2),

2∣

.V

ΛΛ∕(2,1,1),N(l,1,2),，加=(一1,0,1).

又平面BBICIC的一個(gè)法向量為"=(0,1,0),

ΛΛ^V?π=-l×0+0×l+l×0=0,：.Mkln,

又；MNC平面88ιGC,MV〃平面881GC

【變式訓(xùn)練】

1.若直線/的方向向量為4=(1,-2,3),平面α的法向量為"=(2,x,0),若/〃α,則X的值為.

【答案】1

【詳解】由/〃α可知"?"=0,即2—2x=0,所以x=l.

2.(多選)若直線/的方向向量為α,平面α的法向量為"，能使/〃α的是()

A.Q=(l,0,0),"=(0,-2,0)B.α=(l,3,5),"=(1,0,1)

C.α=(0,2,l),“=(-1,0,-1)D.α=(l,—1,3),,?=(0,3,1)

【答案】AD

【詳解】若/〃α,則α?"=0.而A中優(yōu)”=0,B中α?"=l+5=6,C中優(yōu)”=-1,D中3+3=0.

☆【題型五】利用直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩不共線向量共面證明線面平行

【例題】

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在長(zhǎng)方體力8C。一/山IGA中，AAl=AD=?,E為CZ)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱44∣上，且。尸〃平面

B↑AE,則ZP的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

A∣D

【答案】1

2

【詳解】分別以力8,AD,44所在直線為X軸，》軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)∕6=α,4P=6點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,0,?),

則囪5,0,1),O(0,1,0),￡(?1'°),

//=(4,0,1)助=匕，1,J,加=(0,

—1,b),

“尸〃平面B↑AE,

，存在實(shí)數(shù)L”，使赤=4旃+/次，

aπ_.lR,I,Om+絲，〃，力

tψ(0,—1,b)—z(α,0,1)^F∕√l2J—L2J.

λa+4=0,

2jj

/.`..,.b=λ=~,即ZP=

〃=-1,22

λ=b,

☆【題型六】利用直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線轉(zhuǎn)化為線線平行證明線面平行

【例題】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體Z8CD-∕∕∣C∣O∣中，E,F,M,N分別是棱/8,AD,A↑B?,A↑Dt

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，。分別在棱。A,881上移動(dòng)，且。P=BQ=L

證明：直線8G〃平面EFPQ.

【詳解】證明以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則8(2,2,0),Cl(0,2,2),E(2,1,0),F(l,0,0),尸(0,0,λ),M[2,1,2),N(I,0,2),

βζι=(-2,0,2),Fp=(-?,0,λ),F?=(l,1,0),

加=(-1,-1,0),∕v>=(-l,0,2-2),Fp=(-],0,1),

因?yàn)榉磇∣=(-2,0,2),

所以圮尸2毋，即配i〃可＞,又BCI與FP無(wú)公共點(diǎn)、,所以BG〃/?P.

而FPU平面EFPQ,且BGC平面￡770,故直線BC〃平面EFP0.

【變式訓(xùn)練】

I.如圖，已知正方形/8CO和矩形4CE尸所在的平面互相垂直，Aβ=λ∣2,/斤=1,M是線段E尸的中點(diǎn).求

證：/M〃平面8ZM.

【詳解】證明以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CDC8,CE所在直線為X,Nz軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)/S8。=M連接NE,則知點(diǎn)JPT,0),￡(0,0,1).

又因?yàn)辄c(diǎn)4M的坐標(biāo)分別是(迫，√2,0),[2,2'J,

.J也—也]

所以戒=I2,2,J.

所以難：=Gf.

而NE與∕Λ∕不共線，

所以NE//AM.

又因?yàn)镹EU平面BDE,NMc平面BDE,

所以〃平面BDE.

2.如圖，已知尸是正方形NBC。所在平面外一點(diǎn)，MN分別是口,8。上一點(diǎn)，目PM：MA=BN：ND=I:

2,求證：Λ∕N〃平面P8C.

【詳解】證明由題意知該=庇＞+河+前=一：用+協(xié)+：臥

=―/扇-明+協(xié)+：屈+刪="-沙

在BC上取點(diǎn)E,使命=1反\于是加=4防一屏))=2星，

233

所以MN〃尸E因?yàn)镻Eu平面PBC,MNC平面PBC,

所以MV〃平面P8C.

☆【題型七】利用直線的方向向量與平面的法向量垂直證明線面平行

【例題】如圖，已知矩形Z8C。和矩形/OE尸所在平面互相垂直，點(diǎn)MN分別在對(duì)角線8。,AE上，且

AN=-AE,求證：MV〃平面CDE.

3

【詳解】證明因?yàn)榫匦?8。和矩形”?！晔谄矫婊ハ啻怪?，所以/8,力DZF互相垂直.

不妨設(shè)NA/O,NP的長(zhǎng)分別為3α,3b,3c,以｛力，λb,辦｝為正交基底,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則知點(diǎn)B(3a,0,0),Z)(0,3b,0),F(0,0,3c),￡(0,3b,3c),

所以防=(-3α,340),E^=(0,-3b,-3c).

因?yàn)榍?；W)=(—a,b,0),協(xié)=涉=(O,-b,-c),

所以麗=m+力+蕩=(0,-b,-c)+(3α,O,0)+(-α,b,0)=(2a,0,一c).

又平面CDE的一個(gè)法向量是力=(0,3b,0),

由汕?T)=(20,0,-c)?(0,3b,0)=0,得加工小

因?yàn)镸V不在平面CDE內(nèi)，所以MN〃平面CoE

【總結(jié)】利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：

(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示.

(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.

(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

【變式訓(xùn)練】

1.已知正方體Z8CO-∕∣8∣GG的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BBι,Od的中點(diǎn)，求證:

FCI〃平面/DE.

【詳解】證明如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

則有。(O,O,O),A(2,O,O),C∣(O,2,2),￡(2,2,1),F(O,O,1),βl(2,2,2),

所以定∣=(O,2,1),C3ι=(2,O,O),D^=(2,O,O),Ai=(0,2,1).

設(shè)"∣=(xι,y∣,ZI)是平面4DE的一個(gè)法向量,

,,m-D^=0,2xι=0,

則"i_LD4,n?LAE,所以，即＜

Hi-At-O,2yι+zι=0,

得F°,令zι=2,則Vl=-1,所以"ι=(0,—1,2).

L=-2力，

因?yàn)閼鬍r"ι=—2+2=0,所以元

又因?yàn)镕Gc平面

所以尸Cl〃平面ZOE

2.如圖，在三棱柱/8C一小囪G中，側(cè)棱垂直于底面，ABLBC,E,F分別為4。和8C的中點(diǎn).求證:

GF〃平面/8E

【詳解】證明如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,8囪所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

解。q,上2'ci

設(shè)8C=α,4B=b,BB?=c,則5(0,0,0),4(0,6,0),C∣(α,O,c),

所以港=(0,-?,0),顯=t'-2,Cl

設(shè)平面力BE的一個(gè)法向量為〃=α,乃Z),

成-by=O,

n?=0,即b科c?z=O,

則

nAk=O9

令x=2,則y=0,Z=一-即〃=∣

又B=I-5'0,~cj,所以"?B=o,

又GFC平面ABE,所以GE〃平面ABE.

3.在如圖所示的多面體中，EF_L平面∕E8,AElEB,AD/∕EF,EF/∕BC,BC=IAD=A,EF=3,AE=

BE=2,G是BC的中點(diǎn)，求證：/8〃平面。EG.

【詳解】證明：EF_L平面∕E8,XEu平面NE8,5￡c￥?AEB,

：.EF1,AE,EFVBE,又：AELEB,：.EB,EF,E/兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EF,E4所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知得,/(0,0,2),5(2,0,0),￡>(0,2,2),G(2,2,0),二粉=(0,2,2),茄=(2,2,0),港=(2,0,-2).

設(shè)平面DEG的法向量為"=(x,力z),

?E?n=O,

令N=I,得z=—l,x=—l,則”=(—1,1,—1),

l^??"=0,∣2x+2y=0,

二成?"=-2+0+2=0,即港J_”.

?.75C平面DEG,

二/8〃平面DEG.

☆【題型八】空間向量與面面平行

【例題】已知平面ɑ的法向量是(2,3,-1),平面￡的法向量是(4,λ,-2),若?！?,則2的值是()

A.--B.6C.-6D.—

33

【答案】B

【詳解】〃人.??α的法向量與夕的法向量也互相平行.

【變式訓(xùn)練】

1.若平面ɑ的一?個(gè)法向量為“1=(—3,y,2),平面丑的一個(gè)法向量為“2=(6,—2,z),且α〃尸,則y+z=.

【答案】-3

【詳解】??a∕∕β,.?U↑∕∕U2.

.-3_y_2.....-

..---=-^-=~...y=1,z=-4...y十z=-3.

6-2z

2.設(shè)平面α,”的一個(gè)法向量分別為“=(1,2,-2),v=(-3,—6,6),則α,S的位置關(guān)系為.

【答案】平行

【詳解】Vv=-3(1,2,-2)=-3w,J.a∕∕β.

☆【題型九】利用兩平面的法向量平行證明面面平行

【例題】如圖所示，在正方體/8CD—小SGOi中，。為底面488的中心，P是。。I的中點(diǎn)，設(shè)0是CG

上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí)，平面。8?！ㄆ矫嬉設(shè)?

【詳解】以。4DC,所在直線為X,?,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,2(0,1,m),

則OU*2'J,ΛO,°,2J,/(l,0,0),5(1,1,0),Z)I(0,0,1).況=G_PJ,O>=l^2,2.

設(shè)平面RlO的法向量為"∣=(xι,",z∣),則有"4次I,辦,

fl1?

四一/=0,

因此11.1?取Xi=I,則"∣=(1,1,2).

—Xi—y?-↑--Zi=O,

2Z2

又因?yàn)辂?(一1,-1,1),困=(0,-1,1-W).

設(shè)平面。山。的法向量為"2=(X2,次，Z2),則有〃2_1■兩，"2，曲,

—Xi—y2+z2=O,

因此,■取Z2=l,則“2=(∕n,l一加,1).

一”十1—/Z2=0,

要使平面。山0〃平面以。，需滿足

因此:=〒=/解得；?=%這時(shí)Q((KI,3

故當(dāng)。為CG的中點(diǎn)時(shí)，平面。出0〃平面為Q

【總結(jié)】證明面面平行問(wèn)題的方法

(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.

(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.

【變式訓(xùn)練】

1.已知正方體48CO-48∣GQl的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是58∣,OZ)I的中點(diǎn)，求證:

平面∕Σ>E〃平面BlCIF.

【詳解】證明如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

則Z)(0,0,0),4(2,0,0),Cι(0,2,2),￡(2,2,1).F(0,0,1)，8∣(2,2,2),

所以而=(0,2,1),扇=(2,0,0),港=(0,2,1),的=(2,0,0),

設(shè)"ι=(x∣,",Zl)是平面45E的法向量,

n??DA=2xι=09xι=0,

則n?VAE,即‘得

〃i%&=2y1+zi=0,31=—2yι.

令zι=2,則刈=—1,所以可取川=(0,—1,2).

同理，設(shè)"2=(X2,丁2,Z2)是平面BiCl尸的一個(gè)法向量.

___.___.W2?FC↑z=2y2÷22-0,

X2=0,

由〃2_L尸G,∏2^-C?B[9得,解得

fiι,C?B?=2x2=0,22=-2%

令Z2=2,得次=—1,所以"2=(0,—1,2).

因?yàn)?1="2,即

所以平面/OE〃平面BCF.

2.如圖所示，平面為￡>，平面/8CZ),四邊形NBCD為正方形，△玄。是直角三角形，且H=NO=2,E,

F,G分別是線段刃，PD,CO的中點(diǎn)，求證：平面EFG〃平面P8C.

【詳解】證明因?yàn)槠矫嬉浴?，平面N8CD,四邊形/88為正方形，

△孫。是直角三角形，且為=4),所以48,AP,兩兩垂直，

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,ZP所在直線分別為X軸，V軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),Q(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,l),F(0,1,1),G(1,2,0).

所以屈=(2,0,-2),星=(0,-1,0),總=(1,1,-1),於=(0,2,0),

設(shè)"∣=(X1,川，ZI)是平面MG的法向量，

π∣?J?=0,口1=0,

則“1，屋，∕I1±F?,即,

IirFb=O,k∣+'LZ∣=0,

令Zl=1,則Xl=1,H=0,所以"ι=(l,0,l).

設(shè)〃2=(X2,加Z2)是平面PHC的法向量.

"2.R?=2x2—2Z2=0,

"2=0,

由/12，或，H2-LBC,得,得

HrBb=Iyi=Q,m―Z2=0,

令Z2=l,得X2=l,次=0,所以〃2=(l,0,l)?

所以W∣=Λ2,

所以平面由G〃平面PBC.

3.設(shè)a,夕是不重合的兩個(gè)平面