山東省郯城第二中學2022-2023學年高一年級上冊期末考試數學試題

鄭城二中高一上學期期末數學試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.設S=a=ku+],kGZ=a\a=2阮keZ1§=a\a=Hc-,kGZ,

2

則下列結論錯誤的是（）

A.SI、u-SB.52c5

c.S]<JS2=SD.S\CS?=S

2.已知扇形的半徑是2,面積是8,則扇形的中心角的弧度數是（)

1

A.1B.4C.2D.一

4

jr

3.設0<x<],記。=5畝工，b=esinx,c=lnsinx,則a,dc的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

4.如圖，函數/（x）的圖象類似漢字中的“冏”字，則其解析式可能為（）

A」（'）=點￥?1

B」(x)=flqC.“x)=ND./(x)=

5.記地球與太陽的平均距離為R,地球公轉周期為T,萬有引力常量為G,根據萬有引

4儲外

力定律和牛頓運動定律知：太陽的質量”=(kg).已知

GT2

R3

lg2。0.3,1g兀b0.5,1g券。28.7,由上面的數據可以計算出太陽的質量約為（）

A.2xl030kgB.2xl029kgC.3xl0MkgD.3xl029kg

ax~\x<\

6.已知函數〃x）=-x2-(2a-3)x-a,l<x<2(a>0且a.l)對于任意的實數再。馬，

-2a-ln(x-l),x>2

都有（再-制（〃再）-/（七））<。成立，則°的取值范圍是（）

試卷第1頁，共5頁

12

7.記函數/（工）=面"%+力+/。:>0）的最小正周期為7.

若丁<7〈乃，且y=/（無）

的圖象關于點（技？]中心對稱，貝九/[5）=（）

35

A.1B.C.D.3

22

8.已知函數/(X)=E：6X,X%

若關于x的方程4/（耳-4”（*）+2幾+3=0有5個不

同的實根，則實數2可能的取值有（）

873

A.-1B.—C.——D.—

762

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，

有選錯的不得分）

9.下列各式的值等于1的有（）

A.sin2(-x-l)+cos2(x+1)

C.cos(-5K)

sin(-3n+a)

10.歐拉公式（EulerFormula）e'"+1=0被數學家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理

數

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274如果記e小數點后第"位上的數

字為打，則機是關于〃的函數，記為機=/（〃）.設此函數定義域（domain）為A,值域

（range）為B,則關于此函數，下列說法正確的有（）

A./（5）=8B.函數/（"）的圖像是一群孤立的點

C.〃是相的函數D.BQA

11.下到說法正確的是（）.

A.若函數“X）的定義域為[0,2],則函數/（2x）的定義域為[0,4]

v*-L1

B.〃x）=3圖象關于點（-2,1）成中心對稱

C.基函數/（x）=（/-3m+3）戶…在（0,+句上為減函數，則加的值為1

D.若x>0,則一廠+*-4的最大值是-3

X

試卷第2頁，共5頁

12.己知函數/3=m"+<：。50(〃€曠)，則下列說法正確的是()

A.”=1時，/(x)的最大值為近

B.〃=2時，方程〃x)=2sinx+|sinx|在［0,2可上有且只有三個不等實根

C.〃=3時，/(x)為奇函數

D.〃=4時，/'(X)的最小正周期為

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫

線上)

13.tana=2,則sin’a+sinacosa-cos,au.

14.如圖，單位圓被點4,4,…，4分為12等份，其中4(1,0).角a的始邊與工軸的非負

半軸重合，若a的終邊經過點4,則cosa=；^sina=sinfa+yj-則角。

的終邊與單位圓交于點.(從4,4,…中選擇，寫出所有滿足要求的點)

15.寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數〃x)=.

①對€(0,+8),有/(中2)=/(百)+/(%)；

②當xe(4,+00)時，/(X)>1恒成立.

16.若定義在R上的函數/(x)滿足：當國4；時，/(-sinx)+2/(sinx)=3sinxcosx,

且〃x+2)=/(x),則/(曰卜.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時寫出必要的文字、證明過程

或演算步驟)

17.已知命題p：3x0e—x0—/n>0是假命題.

(1)求實數的取值集合3；

(2)設不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集為4,若xe8是xe/的必要不充分條件，求

實數。的取值范圍.

試卷第3頁，共5頁

a

18.己知函數/(x)aeR,若/⑴=T

x

⑴求。值；

(2)判斷函數/(x)的奇偶性，并用定義給出證明;

(3)用定義證明/(X)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增.

&sinZ+l_sin2C

19.記—SC的內角4仇。的對邊分別為刑瓦c,已知

1—V2cosJ1+cos2C

(1)若B=E，求C；

⑵若3毓求篝的范圍?

20.已知函數

,/'(x)=-2sin2R-(OC+(0>O,O<8<7r,xeR)為奇函數,

⑴求“X)的最小正周期和單調增區(qū)間；

TT57r

(2)若時，方程/(x)=,w有解，求實數機的取值范圍.

_o12_

(3)將函數/(x)的圖象向左平移方個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標

不變，再向上平移一個單位，得到函數g(x)的圖象.填寫下表，并用“五點法”畫出g(x)

在［0,2可上的圖象.

71兀13K

XH--

66~6~

02兀

g(x)

試卷第4頁，共5頁

21.2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現了傳染性更強的“德爾塔”、

“拉姆達”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好

的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然

艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松.某科研機構對變異毒株在一特定環(huán)境下進行觀測,

每隔單位時間7進行一次記錄，用x表示經過單位時間的個數，用y表示此變異毒株的

數量，單位為萬個，得到如下觀測數據：

x(T)123456

y(萬個)1050150

若該變異毒株的數量共單位：萬個)與經過x(xeN')個單位時間T的關系有兩個函數模

型y=px2+q與y-kax(k>Q,a>1)可供選擇.

(1)判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；

(2)求至少經過多少個單位時間該病毒的數量不少于1億個.(參考數據:

收”2.236,癢2.449,lg2?0.301,lg6?0.778)

22.若在定義域內存在實數與，使得/(x°+l)=/(x°)+/⑴成立，則稱函數有“飄移點”看.

(1)函數〃x)=L是否有“飄移點”？請說明理由；

X

(2)證明函數/(x)=/+2,在(0,1)上有“飄移點”；

(3)若函數/(x)=1glM］在(°，+°°)上有“飄移點”，求實數a的取值范圍.

試卷第5頁，共5頁

參考答案

1.D

【分析】根據集合中角的特征分析集合間的關系即可得解.

【詳解】因為S={a[a=表示終邊落在y軸上角的集合，

5=1a|a=^7r+|,Aez|表示終邊落在V軸正半軸上角的集合，

邑={ala="兀-]火ezj>表示終邊落在V軸負半軸上角的集合，

所以E±S,S2^S,，uS?=S正確；S,nS2=0^S,故錯誤.

故選：D

2.B

【分析】扇形的圓心角的弧度數為半徑為R,弧長為/,面積為S,由面積公式和弧長公式可

得到關于/和R的方程，進而得到答案.

【詳解】由扇形的面積公式得:S=；伏，

因為扇形的半徑長為2,面積為8,則8=gx2x/

所以扇形的弧長/=8.

設扇形的圓心角的弧度數為a,

由扇形的弧長公式得：/=|a|R,且R=2

即8=2同，解得|a|=4,所以扇形的圓心角的弧度數是4.

故選：B.

3.D

【分析】由0<x<5，可得0<sinx<l,從而可得0<a<l,c<0,[<b<e,即可比較a,6,c

的大小.

【詳解】解：因為0<x苦，

所以0<sinx<1,即0<a<1；

所以ln(sinx)<0,即c<0；

所以lve*n*<e,即1幼<e；

所以c<a<6.

故選：D.

答案第1頁，共13頁

4.C

【分析】根據圖象判斷出函數的奇偶性，然后結合函數值的正負即可判斷答案.

【詳解】由題可知〃x）的圖象關于夕軸對稱，故/（X）為偶函數，排除B,D：對于A,/（x）＞0

恒成立，不符合題意.

故選：C.

5.A

【分析】利用對數運算性質計算即可.

??3

【詳解】因為lg2“0.3,lg?！?.5,愴彳228.7,

4儲爐

所以由M得:

GT2

...21外

lgM=1g=lg4+lgTt-4-lg^p-

GT\

R3

=21g2+21g7c+lg—2x0.3+2x0.5+28.7=30.3,

Xlg2?0.3=>10°3?2,

所以MwZxQOkg.

故選:A.

6.D

【分析】根據函數的單調性列不等式，從而求得。的取值范圍.

【詳解】由于對于任意的實數x尸3，都有（占-々）（/（司）-/（乙））＜0成立,

所以/（x）在R上單調遞減.

0<。<1

-工1

12

所以2，解得V

a1-1>-l-（2a-3）-a

-4-2（2a-3）-a>-2a-lnl

12

所以。的取值范圍是

故選：D

7.A

答案第2頁，共13頁

【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.

【詳解】由函數的最小正周期T滿足＜萬，得二（生〈"，解得2＜。＜3,

又因為函數圖象關于點L，2〕對稱，所以當。+￡=%乃MeZ,且b=2,

I2）24

所以0=Z,所以0=2，/（x）=sin（；x+f）+2,

632V24J

所以/（￡|=sin（￥+9+2=L

故選：A

8.C

【分析】作出函數/（x）的圖象，結合圖象可知關于的一元二次方程根的分布，根據一元

二次根的分布列出不等式求解即可.

【詳解】作出函數/（x）=的圖象如下，

2x-l,x＞0

因為關于x的方程4/2（x）-44/（x）+2/l+3=0有5個不同的實根,

所以關于/（X）的一元二次方程有兩個不同的根，

且滿足-l</(x)<0,-9<f2(x)<-l,或T</(x)<0,6(x)=0,或

人(x)=T,

令f=，(x),則4/-4力+22+3=0的兩根滿足Tj<0，-9<。2<-1時,

令g(f)=4f2_4〃+2/l+3,

g(-9)>0382+327>0

37

g(-l)<0,BP-62+7<0’解得一5＜2＜一/

g(0)>022+3>0

答案第3頁，共13頁

33

若4」-44+2/1+3=0的兩根滿足一1<4<0,G=0,則4=-,，此時％=0或乙=一5,不

符合要求，舍去，

71

若4/_4?+2；1+3=0的兩根滿足-1J<0,4=-1，貝1」彳=-二，此時/2=T或符

66

合要求，

37

綜上—<—,

26

故選：C

9.AD

【分析】根據誘導公式以及同角關系即可結合選項逐一化簡求解.

【詳解】對于A,sin2(-x-l)+cos2(x+l)=sin21+1&cos?6+1)=1,故A正確,

對于B,sin^-y^=sin^-y+27r^=sin^-y^="sin^=-l,故B錯誤，

對于C,COS(-5TI)=COS5TI=COS7C=-1，故C錯誤，

(n、

cos—+a

對于D,------【--2------)-=-----s-i-n--a----=----s--i-n--a-=[故D正確，

sin(—3冗+a)sin(n+a)-sina

故選：AD

10.ABD

【分析】根據7=/(〃)的定義可知A正確；由〃eN*可知B正確；根據函數定義可知C錯

誤；根據Z=N*,機€1\1.可知口正確.

【詳解】對于A,；e小數點后第5位上的數字為8,.??/(5)=8,A正確；

對于B,?.FGN*,，/(〃)的圖像是一群孤立的點，B正確；

對于C,由e的值可知：當,〃=8時，"=3,5,7,…，不符合函數的定義，C錯誤；

對于D,由題意知：4=N*;又zneN*,D正確.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】利用抽象函數定義域的求法可判斷A選項；利用函數的對稱性的定義可判斷B選

項；利用累函數的定義與單調性求出”的值，可判斷C選項；利用基本不等式可判斷D選

項.

答案第4頁，共13頁

【詳解】對于A選項，若函數/(x)的定義域為[0,2],對于函數/(2x),則042x42,解

得04x41,

故函數〃2x)的定義域為[0,1],A錯;

-4-x+lx+1x+1x+3

對于B選項，對任意的*=-2,/(-4-x)+/(x)=----------------1------—--F---

-4-x+2x+2x+2x+2

故函數/(X)的圖象關于點(-2,1)對稱，B對;

對于C選項，若募函數/(x)=(/n、3加+3)--4在(0,+“)上為減函數,

nr—3m+3=1

解得加=1,C對;

3加一4<0

對于D選項,若x>0,-/土x--=l-^x+—l<l-2^r--=-3,

4

當且僅當x=—nx=2時，等號成立，D對.

x

故選：BCD.

12.AD

【分析】A中，利用輔助角公式化簡/(切，由正弦型函數最值求法可知A正確；B中，分

別在XE[0，可和不武兀,2可的情況下化簡方程，根據sinx的值可求得方程根的個數，知B錯

誤；C中，由奇函數定義可知C錯誤；D中，利用同角三角函數關系和二倍角公式化簡可得

/(X)=1COS4A+1,由余弦型函數最小正周期求法可知D正確.

【詳解】對于A,當〃=1時，/(x)=sinx+cosx=^sin[x+：],則/(x)的最大值為友,

A正確；

對于B,當〃=2時，,/'(x)=sin2x+cos2x=l,則方程為2sinx+|sinx|=1；

當XE[0,可時，2sinx+|sinx|=2sinx+sinx=3sinx=1,貝ijsinx=g,

此時存在毛€(0,胃，使得sinx()=g,且sin(兀-%)=；；

當》€(wěn)(兀,2兀]時，2sinx+|sinx|=2sinx-sinx=sinx=l,此時方程無解；

.?J(x)=2sinx+卜inx|在[0,2可有且僅有兩個不等實根，B錯誤；

答案第5頁，共13頁

對于C,當〃=3時，/(x)=sin3x+cos3x,

則/(-x)=sin3(-x)+cos3(r)=-sin'+cos^xw-/(x),\/(x)不是奇函數，C錯誤;

對于D,當〃=4時,

f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos*12x]-2sin?xcos2x=1--sin22x

72

i1-cos4x1/3

=1--------------=-cos4x+—,

444

\/(x)的最小正周期7=專=；,D正確.

故選：AD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角恒等變換與三角函數性質的綜合應用問題，解題關鍵是

能夠將函數化簡為N=/sin(5+p)或y=4cos(s+e)的形式，結合正弦函數和余弦函數的

性質來進行求解.

13.1

【分析】根據齊次式，利用弦切互化即可求解.

【詳解】

22

.4/-222?\.sina-cosa+sinacosa

sin4a+sinacosa—cosa=(sina+cos~a)fein"a-cosa>sinacosa=------------；----------；-----------

'八)sin"a+cosa

tan2a-1+tan?_4-1+2_

tan2?+l4+1

故答案為：1

14.--4,4

【分析】求出終邊經過4則對應的角。和i的關系.

【詳解】=p所以終邊經過4則a=12,/Z)

角a的始邊與x軸的非負半軸重合，若a的終邊經過點4,則a=彳,

r廠i、i27r7t1

朋，以cosa=cos—=-cos—=——

vsina-sin/.sina=sin(7cos^+coscrsin即

1/T71Tx4兀

sina=sina?—+cosa-----/.tana=V3z.a=—Hx,^=—

2233

即12/螭Z)3或午=(-#i12,/?螭Z)/=9

答案第6頁，共13頁

經過點4,4

故答案為：-］；4,4

15.1空2工(答案不唯一)

【分析】由/(X)滿足的兩個條件可以聯(lián)想到對數函數，再根據對數函數的性質時行判斷即可

得答案.

【詳解】解：因為由/(X)滿足的兩個條件可以聯(lián)想到對數函數，

當/(x)=logzX時,

對VX1,x,e(0,+oo),/(中2)=log2(x,x2)=log2xt+log,x2=/(%()+/(x,)，滿足條件①；

當X€(4,E)時，/(x)>k>g24=2>l,滿足條件②.

故答案為：log/(答案不唯一)

16.——##-1.44

25

【分析】將-x代入已知等式，結合正余弦函數的奇偶性可構造方程組求得

/(sinx)=3sinxcosx,結合cosx20可化簡得到/(sinx)=3sinx-71-sin2x；利用周期性可

知所求函數值為/1令sinx=-［即可求得結果.

【詳解】當卜歸：時，卜乂45，

?./(-sin(-x))+2/(sin(-x)j=f(sinx)+2/(-sinx)=-3sinxcosx；

[/(-sinx)+2/"(sinx)=3sinxcosx/、

由〈)、/(得：/'(sinx)=3sinxcosx,

(sinx)+If(-sinx)=-3sinxcosx

當國時，cosx>0,cosx=Vl-sin2x，/(sinx)=3sinx?、-sin2K；

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數周期性求解函數值的問題，解題關鍵是能夠靈活應

答案第7頁，共13頁

用正余弦函數的奇偶性，采用構造方程組的方式求得/'(sinx),利用周期性將自變量轉化到

卜1川的范圍內即可.

17.⑴8=(2,+8)

【分析】(1)由題意得到9是真命題，從而將問題轉化為二次函數在區(qū)間內恒成立問題，

由此得解；

(2)先由必要不充分條件的性質得到集合A是集合8的真子集，再分類討論得到解集A,

從而列不等式求得。的取值范圍.

【詳解】(1)因為命題-加20是假命題，

所以命題-:Vxe[―1,l],x2—X—m<0是真命題，

所以m>x2-x在上恒成立，

令〃X)=X2-X(-14X41),則/(x)開口向上，對稱軸為x=g,

所以/(x)在-1,；)上單調遞減，在(g,l上單調遞增，

2

又/(T)=(T)2-(-l)=2,/(1)=1-1=0,所以/⑺耐=/(7)=2,

所以加>2,即用w(2,+oo),故8=(2,+8).

(2)因為xe8是xe/的必要不充分條件，

所以集合A是集合B的真子集，又3=(2,+8),

因為(x-3a)(x-a-2)<0對應的方程(x-3a)(x-a-2)=0的根為x=3a或x=a+2,

當3a>a+2,即a>l時，由(x-3a)(x-a-2)<0得a+2cx<3a,則Z=(a+2,3a),

所以a+222,則a20,故“>1；

當34=a+2,即a=l時，由(x-3a"x—a—2)<0得(x-3「<0,顯然xe0,即/=0,滿

足題意；

當3〃<“+2,即a<l時，由(x-3a)(x-a-2)<0得3a<x<a+2,則/=(3a,“+2),

22

所以3a22,貝1」“士—，故-4。<1；

33

答案第8頁，共13頁

2「2、

綜上：fl>y,即"

18.（l）a=2；

（2）奇函數，理由見解析；

（3）證明見解析.

【分析】（1）將給定自變量及對應函數值代入計算即可.

（2）利用奇偶函數的定義直接判斷作答.

（3）利用函數單調性定義，按步驟推理作答.

【詳解】（1）函數/（.，）="-￡中，因為/⑴=-1,則有解得。=2,

所以“=2.

2

（2）由（1）知，函數/（x）=x——是奇函數，

x

函數/。）=冗一一定義域為（一8,0）U（0,+8）,f（-X）=-X---=-U-4=~/W，

X-XX

2

所以函數/（》）=%—-是奇函數.

x

22

（3）Vx15x2G（0,+oo）,且石<工2，fW-f（x2）=xi----（x2一一）二（不一々）（1-

因為0<玉<X2，則再一/<°，再工2>0，即有/<1）一/（%2）<0，因此。（再）</（%2），

所以/（'）在區(qū)間（0,+力）上單調遞增.

19.⑴鳥

v712

rry[6+y/2

（2）V2,---

【分析】（1）利用二倍角、輔助角和兩角和差公式化簡已知等式可求得sin（c-；]=；,結

合C的范圍可求得結果：

（2）由正sinBuS'sin（C-可知C=8+四或C=亞一8,結合8的范圍可確定C=8+2,

I41444

利用兩角和差公式化簡得到包￡=克+變一由tan8的范圍可求得結果.

sinB22tanB

■、斗心、八、二&sinZ+lsin2cV2sin+12sinCcosCsinC

【詳解】（1）由一7=----=-----—得zs：—-----=—~~7TT-；=-7；，

1-V2cosJ1+cos2Cl-yr]2cosAl+2cos~C-lcosC

V2sinAcosC+cosC=sinC->/2cosAsinC，

答案第9頁，共13頁

即收sin4cosc+&cos4sinC=V"^si，A+。=sinC-cosC,

V2sinB=y/^sinfc—，,,,sinC——,

571

(2)由(1)知：J^sin8=j?sin(c-：

It兀「兀兀，7兀,

*/B€A+CeC——e——A,---A

6544212

=C--|=--C,即C=8+二或C=^_8；

4V4J444

.?.當C=2_8時，Cw兀，二，不合題意，.?.C=8+f,

_64J4L12」4

sin(8+4]①sin8+立cos8rr

.sinC_I4)22V21,

sinBsinBsinB22tanB

...熹中可?.篝小學

jrjr

20.⑴最小正周期7=兀：單調遞增區(qū)間為-彳+桁，7+也（AreZ）

(2)[-73,2]

（3）表格和圖象見解析

【分析】（1）根據相鄰兩個對稱軸之間距離為半個最小正周期可得T;利用二倍角和輔助角

公式化簡得到/（》）=2疝（2郎+。-。|,由最小正周期和正弦型函數奇偶性的定義可求得

,由此可得〃x）=2sin2x；利用整體代換的方式，令-：+2版42》4尹2日［€Z）即

可解得單調遞增區(qū)間；

（2）根據正弦型函數值域的求法可求得了（x）的值域，即為根的取值范圍;

（3）根據三角函數的平移和伸縮變換原則可求得g（x）,根據五點法可補全表格，并描點得

到g（x）圖象.

【詳解】（1）???/（X）相鄰兩個對稱軸之間的距離為\/（萬）的最小正周期7=兀;

v/（X）=cos--2cax-（p\-\-6cosQm+0）+?1=sin@?+9>工os,3+9）

答案第10頁，共13頁

=2sin(26yx+(p-yj,

-解得：co=\,A/(x)=2sinf2x+^-^.|,

2(ov5)

??,/(X)為奇函數，.,.e-1=E(左eZ),解得：*=g+E(“€Z),

*/0<^?<7t,:.(p=],f(A:)=2sin2x；

令一5+2E<2x+2ATE(kGZ),解得：一:+EKxK：+ht(%￡Z),

\/(x)的單調遞增區(qū)間為一；+而,：+"(金Z).

「IrrI—-

(2)當xe時，2xe—y,-^—,sinlxe--—,1,則/(x)e〔—6,2〕；

???若方程/(x)=機有解，則〃[的取值范圍為[-G,2].

(3)/(x)向左平移巳個單位長度得：y=2sin2卜=2sin(2x+1,

將y=2sin(2x+￡)橫坐標伸長到原來的2倍得：y=2sin卜+J

將y=2sin(x+^向上平移一個單位得：g(x)=2sinQ+己)+1；

則g(x)在［0,2兀］上的圖象如下圖所示:

21.(l)y=初.(%〉0,4>1)更合適，y=2.郃)x；

答案第11頁，共13頁

(2)11.

【分析】⑴將x=2,y=10和x=4,y=50分別代入兩種模型求解解析式，再根據x=6的

值，即可判斷.

(2))設至少需要x個單位時間，則2(6)'刊0000,再結合對數的計算方法即可求解.

4p+q=10

［詳解］(1)若選y-px2+q(p>0),將x=2,y=10和x=4,y=50代入可得,

\6p+q=50'

P=Hy10210..K.10210…