2023版高考數(shù)學一輪總復習檢測8-2空間點線面的位置關系

8.2空間點、線、面的位置關系

一、選擇題

1.（2021河南名校聯(lián)考,4）已知m,n為兩條不同的直線，α,B為兩個不同的平面,則下列結論

正確的是（）

A.若a〃B,m〃a,則m〃B

B.若mCɑ,nCa,m//β,n〃B,則a〃B

C.若m±n,m±a,n〃B,則aJ_B

D.若m_Lɑ,m〃n,a〃6,則n?β

答案D對于選項人,若&〃B,m〃a,則m〃。或mUB,所以選項A錯誤；

對于選項B,若InUa,11匚（1,111〃6,11〃8,則＜1〃8或（1與8相交,只有加上條件m與n相交,

才有結論a〃B,所以選項B錯誤；

對于選項C,若m±n,m_La,n〃B,則a〃B或a與B相交,所以選項C錯誤；

對于選項D,若m±ɑ,m∕∕n,則n_La,又a〃B,則n_LB,所以選項D正確.故選D.

2.（2022屆昆明摸底,5）設a,b為兩條不同的直線，a,B為兩個不同的平面,則下列命題正確

的是（）

A.若2〃&,1）〃￡1,則@〃6

B.若@〃。，|0_1（1,貝1」2_16

C.若2〃（1,@〃6,則（1〃B

D.若a_Lɑ,b_Lβ,a?b,則α〃B

答案B在A中,若a〃a,b〃a,則a與b相交、平行或異面,故A錯誤;在B中,若

a//a,b_La,則a±b,故B正確;在C中，若a〃a,a〃B,則a與B相交或平行,故C錯誤；

在D中，若a,a,b,B,a±b,則由面面垂直的判定定理得α，B,故D錯誤.故選B.

3.（2022屆河南中原名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,7）已知平面α,B,Y兩兩垂直,直線a,b,c滿足

aCα,b?β,cCγ,則直線a,b,c不可能滿足的關系是（）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

答案B設αCB=I,且1與a,b均不重合,假設a〃b〃c,由a〃b可得a〃B,b〃α,又

ɑ∩B=I,可知@〃1,1）〃1,又@〃1）〃5可得（:〃1,因為&,β,Y兩兩垂直,所以1與Y相交，

故1與C相交或異面;若1與a或b重合,同理可得1與C相交或異面,可知假設不成立，故三

條直線不可能兩兩平行，故選B.

4.（2022屆西安三校9月聯(lián)考,7）己知直線IC平面α,直線mU平面α,給出下面四個結

論:①若1與m不垂直,則1與a一定不垂直;②若1與m所成的角為30°,則1與a所成的

角也為30°;③l〃m是1〃a的必要不充分條件;④若1與a相交,則1與m一定是異面直線.

其中正確的結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案A對于①,當1與m不垂直時,假設ILa,則一定能得到l，m,這與已知條件矛盾，

因此1與ɑ一定不垂直，故①正確;對于②，易知1與m所成的角為30°時，1與a所成的角不

一定為30°,故②不正確;對于③，l〃m可以推出1〃a,但1〃a不能推出l〃m,因此l〃m

是1〃a的充分不必要條件,故③不正確;對于④,若1與a相交,則1與m相交或異面,故④

不正確.故選A.

5.（2022屆合肥8月聯(lián)考,9）已知直三棱柱ABC-AIBG中,點M,N分別是線段BB,,A1C1的中點,

若直線B1C1∩平面AMN=Q1則縹=（）

Λ?B.2C;D.3

23

答案A延長AN,CG交于點P,連接PM交Bc于點Q,則縹=警筆,故選A.

6.（2022屆長春調研,7）在長方體ABCD-ABC。中，AB=Z,AD=1,AA,=√2,則異面直線ADI與A,3

所成角的余弦值為（）

?-fB』CTD4

答案D如圖,在長方體ABCD-ABCD中,連接AC,CD”因為AC〃AC,所以ZDlAC為異面直

線ADl與Ae所成的角（或其補角），由長方體的性質及已知可得,AD∣=g,ΛC=√6,D,C=√7,所以

在4ACD∣中，由余弦定理的推論可得,cos/RAC/：空汽叱?整薩）4即異面直線

ADl與Ac所成角的余弦值為故選D.

O

2

7.（2022屆湖南永州一中月考）已知α,β,Y是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線，下

列命題為真命題的是（）

A.若則α

B.若m//ɑ,n//a,則m∕∕n

C.若m?ɑ,n±a,貝IJm∕∕n

D.若a，γ,B，γ,則a〃B

答案C對于A,若則a與B平行或相交,故A中命題是假命題.對于B,若

m〃a,n〃a,則m與n平行或異面或相交,故B中命題是假命題.對于C,若m_La,n_La,則

m〃n,垂直于同一平面的兩條直線平行,故C中命題為真命題.對于D,若a，γ,6_LY,則a

與β平行或相交,故I）中命題是假命題.故選C.

8.（2022屆遼寧師大附中期中,5）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為底面邊長的2

倍,M是側棱CC1的中點,則異面直線AB1和BM所成的角的余弦值為（）

a--B?下CF—

答案C取BBl的中點N,AB的中點K,連接NC”NK,CK,GK,可得四邊形BNCM為平行四邊形，

則CN〃BM,由K為AB的中點,N為BBl的中點,可得NK〃AB”則NKNG（或其補角）為異面直線

ABl和BM所成的角.

設正三棱柱的底面邊長為1,側棱長為2,則NC,=BM=√FH=√2,NK=IAB廠與-苧,在RtACKC1

中,可得GK=JG?2+CCf=J∣+4=^,

-+2-orr∩

11

在4KNG中，cosZKNC1=--由異面直線所成角的范圍可得異面直線ABl和BM所成

2×^×√220

的角的余弦值為嚼,故選C.

9.（2022屆重慶一中9月檢測,6）在正方體ABCD-A耳CD中,E為棱Ca的中點，則異面直線AE

與CD所成角的正切值為（）

AWB.塔C.?DW

2222

答案C以D為原點,DA所在直線為X軸,DC所在直線為y軸,DD所在直線為Z軸,建立空

間直角坐標系,則D（0,0,0）.設正方體ABCD-AECD的棱長為2,則

A（2,0,0）,E（0,2,1）,C（0,2,0）,則正（-2,2,1）,CD=（0,-2,0）,設異面直線AE與CD所成角為

3

?

0，貝UCoSθ???????sin?=JHD4??tanθ喙..?異面直線AE與CD所成

角的正切值為苧.故選C.

10.（2022屆全國新高考月考一,5）如圖是正方體的平面展開圖，下列命題正確的是（）

A.AB與CF成45°角B.BD與EF成45°角

CAB與EF成60。角D.AB與CD成60。角

答案D由題意,將正方體的平面展開圖還原為正方體,如圖，因為CF_L平面ACBG,ABU平

面ACBG,所以ΛB±CF,故AB與CF成90°角，故A中命題錯誤.因為BD√CF,CF±EF,所以

BD±EF,故BD與EF成90°角，故B中命題錯誤.因為EF/∕CG,AB與CG成90°角，所以AB與

EF成90。角，故C中命題錯誤.因為CD〃AE,所以NEAB（或其補角）為異面直線AB與CD所成

的角，在三角形AEB中，AE=EB=AB,所以∕EAB=60°,所以AB與CD成60°角，故D中命題正確.

故選D.

11.（2022屆成都名校聯(lián)盟聯(lián)考（-）,6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CCl的中點,則

過三點A,D,,E的截面過（）

4

A.AB的中點B.BC的中點

C.CD的中點D.BB∣的中點

答案B如圖，取BC的中點F,連接AF,EF,B&,則EF〃BC,由正方體的性質可知

ABD,Cl,AB=D1C,,所以四邊形ABCD為平行四邊形，貝UBC,√AD1,所以EF√DlA,所以D”A,F,E

四點共面,所以截面過BC的中點，故選B.

12.（2021山東濱州二模,7）在正方體ABCD-ABeD中,M是棱DD1的中點,P是底面ABCD（包括

邊界）內的一個動點,若MP〃平面A1BC,,則異面直線MP與Ac所成角的取值范圍是（）

a?(0>τ]B??>T]C?[T?T]D?[T)Π)

答案C如圖，

以0為原點,DA,DC,DDl所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標系,設AB=2,則

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Aι(2,0,2),C1(0,2,2),D,(0,0,2),M(0,0,1),則印=(2,0,-2),

取AD的中點E,DC的中點F,連接EM,EF,MF,則E(l,0,0),F(0,1,0),則密(1,0,-1),孕=2磁

所以C1B#ME,同理,EF√A1C1.又MEQ平面A,BC1,QBU平面A1BC1,所以ME〃平面A1BC1,同理

EF〃平面A1BC1,而EF∩ME=E,EF,MEU平面MEF,所以平面MEF〃平面A,BCl.P是底面ABCD（包

括邊界內）的一個動點，若MP〃平面A1BC1,則P在線段EF上.因為EFZZA1C1,所以MP與AC所

成的角就是MP與EF所成的角.易知aMEF是等邊三角形，則MP與EF所成角最大為B（P為EF

的中點時），最小為?（P與E或F重合時），所以所求角的范圍是E，?].故選C.

13.（2022屆廣西名校聯(lián)考,7）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體表面上的點P在正視

圖上的對應點為點P,點A,B,C在俯視圖上的對應點為A,B1C,則異面直線PA與BC所成角的

余弦值為（）

5

答案B由三視圖還原直觀圖可知,該幾何體是四棱錐P-ABCD,且PDJ_平面ABCD,如圖所示,

取CD的中點M,連接AM,PM,則AB//MC,且AB=MC,所以四邊形ABCM是平行四邊形,所以AM//BC,

所以NPAM或其補角就是異面直線PA與BC所成的角，在APAM中，易知PA=2√2,ΛM=PM=√5,

14.（2022屆四川綿陽11月聯(lián)考，10）已知四面體ABCD的所有棱長均為近,M,N分別為棱AD,BC

的中點,F為棱AB上異于Λ,B的動點.有下列結論:①線段MN的長度為1;②若點G為線段MN

上的動點，則無論點F與G如何運動,直線FG與直線CD都是異面直線;③NMFN的余弦值的

取值范圍為［θ,零）；④Z?FMN周長的最小值為近+1.其中正確的結論為（）

A.①②B.②③C.③④I).①④

答案D將正四面體ABCD放置在正方體中，如圖1,設正方體的棱長為a則

a=y×√2=l,ΛMN=a=l,故①正確.當G為線段MN的中點,F為線段AB的中點時，直線FG與直

線CD相交且垂直,故②錯誤.若F在線段AB的中點處，則MF=NF邛,此?

cos/MFN-my-O;若F在線段AB的端點A處（在B處同理），易知MN±AD,NF=?MF造

此時CoSNMFN卡仔〉",故③錯誤.將平面ABC和平面ABD沿AB展開在一個平面上,如圖2,

NF35

6

當且僅當M、F、N三點共線時,MF+NF取得最小值,此時MF+NF=AC=BD=√I,AFMN周長的最

小值為近+1.故④正確.故選D.

二、填空題

15.（2022屆廣東惠州調研，15）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相

垂直,動點M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點,設異面直線EM與AF所成的角為θ,

則CoSθ的最大值為.