數(shù)學(xué)中分類討論思想應(yīng)用的

數(shù)學(xué)中分類討論思想應(yīng)用的困惑與對(duì)策 一、問(wèn)題的提出1、從分類討論思想應(yīng)用情況看。分類討論思想的應(yīng)用是學(xué)校市級(jí)立項(xiàng)課題〔教師研修工程〕中的一個(gè)研修工程，通過(guò)對(duì)分類討論思想的實(shí)踐和研究遇到了三個(gè)主要問(wèn)題，即“該用的不用”、“不該用的在用”、“用的沒(méi)有用好”，通過(guò)對(duì)這三個(gè)主要問(wèn)題的思考，筆者以為在重視分類討論數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的根底上，要注意“何時(shí)應(yīng)用？如何應(yīng)用？怎么巧用”三個(gè)問(wèn)題，更要注意克服動(dòng)輒加以分類討論的思維定勢(shì)，同時(shí)要充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中潛在的特殊性和單一性，盡力打破常規(guī)，對(duì)應(yīng)該討論的要正確討論，對(duì)不必討論的要防止分類討論，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。2、從數(shù)學(xué)分類討論思想在學(xué)科中的地位看。分類討論是一種常用的數(shù)學(xué)思維方法和解題策略，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)學(xué)思想對(duì)人的思維開(kāi)展起著重要影響。因而分類討論問(wèn)題現(xiàn)已逐漸滲透到整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)章節(jié)，成為促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的熱點(diǎn)問(wèn)題和重點(diǎn)方法，由于這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，邏輯嚴(yán)密又富有探索性，自然也是學(xué)習(xí)和教學(xué)的難點(diǎn)。3、從高考中的地位看。近年來(lái)，高考中每一道題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，同時(shí)也檢驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)，分類討論思想題深透在各種類型的題目中。故對(duì)數(shù)學(xué)解題思想方法的研修就更顯得有現(xiàn)實(shí)意義，分類討論作為一種重要的數(shù)學(xué)思想更顯其地位的顯著。下面就此作一個(gè)分析，以拋磚引玉。二、面臨的三個(gè)主要困惑1、該用的不用對(duì)于有的問(wèn)題因需要進(jìn)行分類討論，但因沒(méi)有進(jìn)行分類討論而導(dǎo)致出錯(cuò)，如對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究就要對(duì)低數(shù)進(jìn)行分類討論；對(duì)于含有絕對(duì)值的問(wèn)題一般也要進(jìn)行分類討論；對(duì)于有關(guān)含有參數(shù)或變量的問(wèn)題等常因沒(méi)有進(jìn)行分類討論而造成錯(cuò)解。如：例1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間錯(cuò)解：設(shè)，那么，即，在R上為單調(diào)遞減函數(shù).錯(cuò)解分析：錯(cuò)解中雖然依據(jù)了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，也符合定義的要求，但根本的一點(diǎn)是沒(méi)有考慮到自變量的取值范圍，無(wú)視了和的取值情況，從而在判斷上模糊不清導(dǎo)致錯(cuò)解.對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明沒(méi)有進(jìn)行分類討論致錯(cuò).正解：的定義域?yàn)?，時(shí)，，即，故在上為單調(diào)遞減函數(shù).同理可知，在上單調(diào)遞減.點(diǎn)評(píng)：此題還需注意的是：不能說(shuō)在上單調(diào)遞減，要注意防止這類錯(cuò)誤.2、不該用的在用對(duì)于含有參數(shù)，不一定就要用分類討論，而有的同學(xué)不管條件，只要含有參數(shù)一味進(jìn)行分類討論，結(jié)果花了時(shí)間不算，還大大增加了解題的出錯(cuò)率.如例2、函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，n(m<n)，使的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m，n的值，如不存在，說(shuō)明理由．錯(cuò)解：，對(duì)于定義域需要分三種情況討論，即或或然后分別求解，特別是對(duì)于種情況對(duì)于求最小值又要分兩種情況求解，對(duì)于，那么馬上可解得，即,那么m=-4，n=0；而對(duì)于時(shí)，那么由，即，這樣無(wú)論是否可解運(yùn)算量都是很大的，往往會(huì)導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)求解下去；對(duì)于第三種情況那么因要再分兩種情況而導(dǎo)致運(yùn)算量加大，以致阻礙了解題的進(jìn)程。錯(cuò)解分析：以上錯(cuò)解主要是沒(méi)有很好地利用條件，特別隱含的二次函數(shù)的最大值不可能大于1，這樣只需考慮一種情況即可化解，也就是此根本不用討論便可求解。正確：≤,∵3n≤n≤,又,∴m<,∴[m，n](-∞，1).∵(x)在[m，n]單調(diào)增加,∴,即,那么m=-4，n=0．此題是《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》課標(biāo)高一必修1版第十期的測(cè)試卷中第20題，題中的錯(cuò)解就是因分類討論的應(yīng)用不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)解甚至無(wú)法求解，在學(xué)生的練習(xí)中遇阻和致錯(cuò)的現(xiàn)象較多。二、采取的主要對(duì)策針對(duì)以上困惑和問(wèn)題，面對(duì)學(xué)生在解題中遇到的種種問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)，分類計(jì)論思想的教學(xué)必須注意破解三個(gè)主要問(wèn)題，即“何時(shí)用？如何用？怎么巧用？”，并從更高層次要求尋求如何防止分類討論，不斷提高解題的水平和能力。1、何時(shí)應(yīng)用？對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究就要對(duì)低數(shù)進(jìn)行分類討論；對(duì)于含有絕對(duì)值的問(wèn)題一般也要進(jìn)行分類討論；對(duì)于含有參數(shù)函數(shù)問(wèn)題；對(duì)于含有參數(shù)的定義域問(wèn)題等等。因沒(méi)有確定的情況，需要分門別類進(jìn)行研究時(shí)那么需要討論.如二次函數(shù)中含有參數(shù)的值域問(wèn)題例4、函數(shù)在上，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：此題是只在二次函數(shù)中含有參數(shù)值域問(wèn)題，它可用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決，從圖象中我們可以對(duì)對(duì)稱軸移動(dòng)分類解決此值域問(wèn)題。解：由題意，即令，在上恒成立，由于的對(duì)稱軸是，結(jié)合函數(shù)圖象可分類討論：當(dāng)時(shí)，要求，解得；當(dāng)時(shí)，只要求，解得； 當(dāng)時(shí)，只要求，解得。綜合上述三種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)為。評(píng)析：此題是在二次函數(shù)中含有參數(shù)并給定區(qū)間的二次函數(shù)問(wèn)題，屬動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題，是二次函數(shù)問(wèn)題中最為典型的類型之一，只有在結(jié)合函數(shù)圖象，合理利用圖象的根底上，才能正確對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而求得正確的答案。一句話就是：分類討論是指在需要討論的時(shí)候進(jìn)行，即這個(gè)時(shí)候?qū)τ趨?shù)或變量假設(shè)不討論不能直接進(jìn)行化解.2、如何應(yīng)用？應(yīng)用分類討論思想解決有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是正確地進(jìn)行分類，而分類一般有以下幾個(gè)原那么：〔1〕、要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；〔2〕、對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏，即分成假設(shè)干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；〔3〕、當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行，以防止混亂，分大類時(shí)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，每一大類中再分幾小類可另有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)局部或幾種情況，化整為零，一一解決，實(shí)際上是一種“分而治之，各個(gè)擊破”的策略。其操作步驟主要可分為以下四步①、確定分類討論的對(duì)象——理解分類討論的概念；②、進(jìn)行恰當(dāng)合理的分類——掌握分類討論的原那么；③、逐類逐級(jí)討論——學(xué)會(huì)分類討論的方法；④、綜合概括——培養(yǎng)邏輯思維能力。下面以不等式的分類討論為例進(jìn)行說(shuō)明：〔1〕、不含參數(shù)的不等式型。這種題型解決的關(guān)鍵是對(duì)變量進(jìn)行分類討論。例5不等式的解集是()(A){x∣-2≤x≤2}(B)(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤(D)

分析：使不等式有意義的x的范圍是4-x2≥0，x≠0。即-2≤x＜0或0＜x≤2，題設(shè)不等式的左邊為兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)為二次算術(shù)根式，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)帶絕對(duì)值的分式。宜先分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為無(wú)理不等式處理。解：(1)當(dāng)x>0時(shí)，，原不等式等價(jià)于。由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；(2)當(dāng)x＜0時(shí)，，原不等式等價(jià)于，由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得，所以原不等式的解集為。故應(yīng)選(B)。點(diǎn)評(píng)：此題是關(guān)于自變量的分類討論，運(yùn)用分類討論可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，使問(wèn)題得到順利解決?！?〕、含有參數(shù)的不等式型。這種題型解決的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。例6、〔2014年天津高考題理科〕分析：此題主要考查分式不等式的解法，著重考察化歸思想及分類討論思想。因?yàn)?，所以此不等式可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，因與大小不能確定，故需分類討論。解：等價(jià)于所以有〔1〕假設(shè)，那么不等式變?yōu)闊o(wú)解，解集為；〔2〕假設(shè)那么，不等式變?yōu)闊o(wú)解，解集為；〔3〕假設(shè)那么所以故解集為〔4〕假設(shè)那么所以故解集為綜上所述，可得，當(dāng)原不等式的解集為；當(dāng)原不等式的解集為當(dāng)原不等式的解集為點(diǎn)評(píng)：此題是含參型不等式題，屬于一級(jí)分類討論問(wèn)題，通過(guò)正確的分類，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答?！?〕、挖掘內(nèi)涵，防止討論例9、解方程組：分析：按常規(guī)解法，根據(jù)絕對(duì)值定義，分類來(lái)解方程組。但由第二個(gè)方程可發(fā)現(xiàn)隱含條件，利用這個(gè)隱含條件，可以防止討論。解：由原方程組：中的第二個(gè)方程可知，那么第一個(gè)方程可化為結(jié)合可以得到，故原方程組的解為：，或〔4〕、引參換元，防止討論引入?yún)⒆兞浚鳛榻沂咀兞块g的內(nèi)在聯(lián)系的媒介，有助于對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程做出定量的刻畫，消化難點(diǎn)，化難為易。例10、解不等式分析：此題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號(hào)，而且需要討論左右的正負(fù)情況，假設(shè)我們注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進(jìn)行三角換元，可防止繁瑣的解題過(guò)程。解：令，，那么原不等式可化為：，解得，故，，所以原不等式的解集為。〔5〕、反客為主，防止討論在含參數(shù)的方程或不等式中，根據(jù)解題的需要合理選擇主元，反客為主，接下去需解有關(guān)主變?cè)瘮?shù)的有關(guān)問(wèn)題，往往可以回避討論。例11、假設(shè)在時(shí)恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：此題形式上是關(guān)于的二次函數(shù)，如果用換元的方法去討論，明顯較繁.假設(shè)能變更主元把原函數(shù)看成是關(guān)于的一次函數(shù)，問(wèn)題便迎難而解了。解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)=當(dāng)時(shí)恒成立。即只須滿足－1<<<x<。評(píng)注：此題的解法側(cè)重于對(duì)題意等價(jià)地“改頭換面”，更直截了當(dāng)?shù)匕盐樟藛?wèn)題的本質(zhì)?！?〕、消除參數(shù)，防止討論回避參數(shù)，運(yùn)用正難那么反、等價(jià)轉(zhuǎn)化等手段可以使問(wèn)題的解決與參數(shù)的討論無(wú)關(guān)，以避開(kāi)對(duì)參數(shù)的煩瑣討論。例12、適合不等式的x的最大值為3，求p的值。分析：此題的第一感覺(jué)是去絕對(duì)值討論不等式組的解的最大值，顯然去絕對(duì)值和后面的分類討論過(guò)程都相當(dāng)煩瑣，計(jì)算復(fù)雜。不妨回避討論：由x的最大值為3知道整數(shù)“3”是不等式解的一個(gè)端點(diǎn)值這一重要信息，利用不等式的性質(zhì)可把參數(shù)問(wèn)題具體化。解：由不等式的性質(zhì)知“3”是不等式解的一個(gè)端點(diǎn)值，“3”是方程的一個(gè)解，代入得p=8或p=－2。當(dāng)p=8時(shí)，不等式為，∵∴或滿足題意。當(dāng)p=－2時(shí)，不等式為，易知5是不等式的解，故x的解顯然大于3，不滿足題意?！鄍=8。評(píng)：把含參不等式具體化顯然比直接分類討論求不等式解的最大值要簡(jiǎn)單得多?！?〕、整體化歸，防止討論例13、函數(shù)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，那么.分析：此題的常規(guī)思維是對(duì)底數(shù)分來(lái)討論確定函數(shù)的單調(diào)性，再分別求出在[0，1]上的最大值與最小值后求值；假設(shè)從整體思維出發(fā)，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值總是在端點(diǎn)處到達(dá)，那么可回避討論，直接求解。解：由題設(shè)得，故說(shuō)明：將數(shù)學(xué)問(wèn)題分成假設(shè)干問(wèn)題，逐個(gè)擊破，分而治之固然重要，但有時(shí)假設(shè)能有意識(shí)地放大看問(wèn)題的視線，將問(wèn)題視為整體，去研究整體的形式與結(jié)構(gòu)，可能會(huì)起到意想不到的效果。oyoyx利用函數(shù)圖像的直觀性能巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，有時(shí)也可以回避問(wèn)題的討論。例14、集合，，假設(shè)，求的范圍。解析按照不等式知識(shí)須分分類討論求出集合，而用數(shù)形結(jié)合來(lái)解就不必討論。由,解得令，如圖，，且2,又，1〔9〕、找出共性，防止討論例15、：，證明：分析：一般常規(guī)解法是分和兩種情況討論?？墒菬o(wú)論或，與都是同號(hào)，這是共性，抓住這共性就可以防止討論。解：與同號(hào)，〔10〕、巧用補(bǔ)集思想，防止討論有些問(wèn)題，分類討論比擬麻煩，假設(shè)用補(bǔ)集法去考慮問(wèn)題的對(duì)立面，即從結(jié)論的反面去思考和探索，得出反面結(jié)論，結(jié)合集合性質(zhì)，可以將題目化難為易，化繁為簡(jiǎn)，開(kāi)拓解題思路。例16、如果二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求的取值范圍.解析：假設(shè)從正面求解，必須要對(duì)“兩交點(diǎn)均在原點(diǎn)右側(cè)”，“一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)另一個(gè)交點(diǎn)