新教材一輪復習人教A版第8章第8節(jié)第2課時范圍、最值問題學案

第2課時范圍、最值問題

——、關(guān)鍵能力?研析考點強“四翼”/------

考點1范圍問題—綜合性

「典例引領(lǐng)」

例U,(2020.蚌埠市高三第三次質(zhì)檢)如圖，設(shè)拋物線G：x2=4y與G：/=

2px(">0)在第一象限的交點為取，/點A,B分別在拋物線C2,Ci±,AM,

分別與G,。2相切.

(1)當點M的縱坐標為4時，求拋物線C2的方程；

⑵若r∈[l,2],求AMBA面積的取值范圍.

解：(1)由條件，1=4且>0,解得r=4,即點M(4,4).

代入拋物線C2的方程，得8p=16,所以p=2,則拋物線Q的方程為V=

4x.

(2)將點Mɑ,2的坐標代入拋物線C2的方程，得P=L

設(shè)點A(X1,yι),直線AM的方程為y=Zι(χ-f)+疝

P

y=k?(χ-f)+-7,、C

聯(lián)立方程，4消去y,化簡得A2—4%尤+40f—Z2=O,

Λ2=4y,

則/=16后一4(4Zιf一戶)=0,

解得?ι=2?

t2t2t2

y'~4y'~4y'~4pt

從而直線AM的斜率為嘉二7=超二=FK=4(4VI+P)=7

2pZ3

解得yi=一三，即點A(",—0

產(chǎn)

設(shè)點B(X2,*),直線BM的方程為y=Aa(χ-。+不

聯(lián)立方程卜奴I)+*

消去尤，化簡得V-*,-2p(/—奈)=0.

則/=誓+8P(L奈1=0,代入P=三，解得依

)2444X2+1tt

從而直線BM的斜率為-----=----T=F-=6，解得X2=—7，即點

X2-tX2-t482

+?+?2

4|_9/

1Tlt5

故4"B4的面積為SΛMBA=^?MB??d=-^τ:.?

K"+644y∕t2+64Z1Zo

∕∈[1,2],

^2727'

所以AMBA面積的取值范圍是.

解題通法

圓錐曲線中的取值范圍問題的解題策略

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或聯(lián)立方程后的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確

定參數(shù)的取值范圍：

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個

參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，

從而確定參數(shù)的取值范圍.

「多維訓練」

已知橢圓C5+g=l(α>0,b〉0)的離心率為半，短軸長為2.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)直線/：y=Ax+m與橢圓C1交于M,N兩點,O為坐標原點，若kowkoN

求原點O到直線/的距離的取值范圍.

解：(1)由題意知e=?=1?,2b=2.

又/=爐+。2,所以。=1,a=2.

X2

所以橢圓C的標準方程為z+y2=L

y-kχ-?-m,

(2)設(shè)M(X1,?i),N(X2,>2),聯(lián)立方程<X2I>

彳+尸1，

得(4R+l)√+8Jlwu+4∕n2-4=0.

依題意，J=(8M2-4(4?2+l)(4m2-4)>0,

化簡得∕TJ2<4A2?1.①

8Azzz4〃於一4

Xi+x2=-4尸+］，XIX2=43+］，W=(Axι+m)(kx2+m)=Icx1x2+km(x?+

x2)+m2.

5VlV25

若kθM?koN=1,則七7=疝即4yιy2=5xiX2.

4T?∣A?2Ti

所以(4?2-5)汨及+4攵加(Xl÷X2)÷4m2=0.

所以(4'—5).4.+I+必加｛_^TTj+4m2=0,

即(43一5)5?—1)—8??72+λ722(4d+1)=0,

化簡得機2+d=/②

由①②得0或加2<1,^<?2≤∣.

因為原點O到直線/的距離d=∣m∣

'1+廬

“…，加222,,9

所以*=1+F=1+R=—?+4(l+?2)?

58

≤--

K-?<47,所以原點。到直線/的距離的取值范圍是

考點2最值問題----綜合性

「典例引領(lǐng)」

考向1利用幾何性質(zhì)求最值

例即，在平面直角坐標系Xo)，中,P為雙曲線f-y2=i右支上的一個動點.若

點P到直線x~y+l=0的距離大于C恒成立，則實數(shù)C的最大值為.

‘解析:直線x—y+l=。與雙曲線/一y2=l的一條漸近線x—y=0平行,

這兩條平行線之間的距離為坐.又P為雙曲線X2—?2=1右支上的一個動點，點P

到直線x—y+l=0的距離大于C恒成立，則CW乎，即實數(shù)C的最大值為乎.

考向2利用函數(shù)、導數(shù)法求最值

例?4如圖，已知橢圓，+V=I上兩個不同的點A,8關(guān)于直線y=∕∕u+/對

⑴求實數(shù)機的取值范圍；

(2)求AAOB面積的最大值(0為坐標原點).

解：由題意知/”≠0,可設(shè)直線AB的方程為y=-9+/?,A(XI,yι),8(九2,

"),AB的中點為M.

?+>'2=1>

聯(lián)立方程

y=-χ+b,

:m，

2

消去必得^x+?-1=0.

I2

1V2

因為直線y=一五x+〃與橢圓5^+γ2=l有兩個不同的交點,

4

所以/=-2廬+2+聲>0,①

Amb,2m2b

則Xl+x2=

m2+2-'+"=而?

、4,.(2mbm2b'代入直線方程y=wc+^,解得b=~

⑴將AB中點MK，方工t

ZΠ2÷2C

k②

由①②得HlV—

故實數(shù)m的取值范圍為一OO+∞.

(2)令Te當,OM0,，則PG(θ,|).

3

-2r4+2r2+∣

則IABl=、產(chǎn)+1」

產(chǎn)+1

「十2

設(shè)AAOB的面積為S(f),

則S(f)=3∣Aq?d=g-2,0+2智.

當且僅當產(chǎn)=3時，等號成立.

故AAOB面積的最大值為少.

考向3利用基本不等式求最值

例?！?2020?青島三模)已知直線Zi過坐標原點。且與圓Λ2+∕=4相交于點

A,B,圓M過點A,B且與直線y+2=0相切.

(1)求圓心M的軌跡C的方程.

(2)若圓心在X軸正半軸上面積等于2兀的圓W與曲線C有且僅有一個公共點.

(i)求出圓W的標準方程；

(ii)已知斜率等于一1的直線/2交曲線C于E,R兩點，交圓W于P,。兩

點，求信的最小值及此時直線/2的方程.

解：⑴設(shè)M(X0,yo),由題意可知,

∣MA∣2=∣W∣2+∣OA∣2=x8+yδ+4.

又圓M與直線y+2=0相切,

所以圓心M到直線y+2=0的距離d=∣yo+2∣.

因為IMAl=d,所以x3+)3+4=(yo+2)2,

整理得Λθ=4γo,

所以圓心M的軌跡方程為x2=4y.

F

(2)(i)由⑴知：曲線C的方程為y=不

X2r

設(shè)式X)=彳,則/(尤)=》

設(shè)圓W與曲線C的公共點為〉0),則曲線C在T處的切線/的斜率

k=f(t)=g.

由題意，直線/與圓W相切于T點，設(shè)圓W的標準方程為(x—4)2+y2=2(α>0),

f

4t2

則直線WT的斜率kwτ=————

LCl4(La)

tt2

因為所以不;；；

WT,L4[7(L—a)=-1,

即P+8(La)=0.

又因為Q-α)2+(j=2,

所以(一打+(守=2,

所以∕6+4r4-128=0.

令β=λ,則Λ3+4λ2-128=0,

所以啰一4乃)+(8乃一128)=0,

即(2—4)0+82+32)=0,

所以2=4.

所以f=2,ct~3,

從而圓W的標準方程為(X-3)2+V=2.

(ii)設(shè)E(X1,yι),F(X2,y2),直線/2:y=-χ+m.

(y=-χ+m,

由，:得Λ2+4X-4"z=0,

X=4y

所以xι+x2=-4,x?X2=~4-ιn,

所以IEFl=/N(Xl+x21-4xιx2=4=2(l+加).

又因為|P。I=2yj2-1號丹=N-2〃及+12m-10,

肛。

IzJEFl_____4^2(1+"I1+s-

IPQl??-2m2+12m-10?∣~fτι2^~6m-5

由于/2與曲線C、圓W均有兩個不同的交點，

解得1＜相＜5.

令1+〃?=〃，則w∈(2,6),

則盟=4正壽?4*再三N啦+#,當且僅當〃=

12

即〃=2小，機=2小一1時取等號.

所以當/”=2小一1時，患于的最小值為6+加，

此時直線/2的方程為y——x+—1.

解題通法

最值問題的2種基本解法

根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系，利用平面幾何和解析幾何知識

幾何法加以解決(如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反

射問題等在選擇題、填空題中經(jīng)?？疾?

建立求解目標關(guān)于某個(或兩個)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值

代數(shù)法

解決(一般方法、基本不等式法、導數(shù)法等)

「多維訓練」

(2020?瀘州市高三三模)已知橢圓及fj+g=l(α>Z>0)的左、右焦點為

F2,離心率為坐過點B且垂直于X軸的直線被橢圓E截得的弦長為L

(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線y=E+〃?U>0)交橢圓E于C,。兩點，與線段為尸2和橢圓短軸分

別交于兩個不同點M,N,且ICM=DN，求ICDl的最小值.

解：⑴由題意可知e=[=坐=)∕L?,且拶=1,

?Λ?∕*?I?ΛV‰

解得α=2,/?=1,c=-?∣3.

9

所以橢圓E的方程為示+)2=1.

X2

(2)把y=依+〃2(Q0)代入彳+)2=1得(1+4?2)?X2+8?+4W2-4=0.

Skm4m2—4

及C(xι,yι),O(X2,”)，則如+x2=-]+43，-無2=]+43.

?CM?=?DN?,所以XM~X?=zX2~XN,即XM^?-XN=X?+x2.

_Skm_m

所以X?+X2=_]+4幺=一萬

因為y=依+m(k>0)與線段RB和橢圓短軸分別交于兩個不同點M,N,所

以m≠0.

又A>0,則&=],

故Xl+x2=-2∕”,XIX2=2加2—2.

因為直線y=依+"z(?>0)與線段F?Fι及橢圓的短軸分別交于不同兩點,

所以一-?∕3≤-2m≤√3,

即一坐WmW坐，且"z≠0,

所以ICDl=√1+Z~∣x∣-Λ2∣

=坐?∕(xi+九2)2—4x1X2

-2m)2_4(2∕n2-2)

=?∣5(2~m2).

,且mWO,

所以，當初=乎或加=—半時，∣Cf>∣的最小值為|.

、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”/

「試題呈現(xiàn)」

在平面直角坐標系Xoy中，已知圓0：x2÷γ2=4,橢圓C：，+y2=l,A為

橢圓C的右頂點，過原點且異于X軸的直線與橢圓C交于M,N兩點,M在X

軸的上方，直線AM與圓0的另一交點為P,直線AN與圓0的另一交點為Q.

(1)若存=3贏/,求直線AM的斜率；

(2)設(shè)aAMN與4AP0的面積分別為S,S2,求得的最大值.

［四字程序］

讀想算思

力=3/而如何轉(zhuǎn)

已知圓的方程和橢

把沏直線AM的

化？

圓的方程，直線與轉(zhuǎn)化與化歸

2.如何表示三角形斜率來表示

圓、橢圓都相交Z

的面積？

A,P,M的坐標表

5ι∣AM∣?∣AΛ1把面積之比的

求直線AM的斜率，示；S2-IAPHAQ進而

最大值轉(zhuǎn)化為

求AAMN與AAPQ

S=^absinC表示并用基本不等式求其一個變量的不

的面積之比

最大值等式

轉(zhuǎn)化

一題多解」

解法

思路參考：設(shè)直線AM的方程為y=?r—2),k<0,利用切=3加求解.

解：(1)設(shè)直線AM的方程為y=A(χ-2),k<0,將)，=A(X—2)與橢圓方程亍+

J2=I聯(lián)立,得評Q-2)2=∕(2+χ)(2—x).

8?2-2

求得點M的橫坐標為x"=4F+U

—4k

縱坐標為yM=4尸I]?

將y=Z(χ-2)與圓方程x2+y2=4聯(lián)立，得?2(χ-2)2=(2+x)(2-χ).

?P—2

求得點P的橫坐標為XP=標+[，

-Ak

縱坐標為切=標+「

由協(xié)=3而得yp=3yM,

-4k-12k

即西T=福不T

又M0,解得攵=一√i

一83+24k

(2)由M,N關(guān)于原點對稱，得點N的坐標為XN=43+1'>"=4∕+<

4Λ2+11

所以直線AN的斜率為ICAN=

-83+2正

2

4?2+l

IAM

麗=班=43+「

Rm∣AN(一m+]16.+1

四「4(-濟+1一⑹-4?

ΛSI~?AP?-?AQ?

?2+l16?2+1

=4必+116標+4

16?4+17?2+1

=4(16V+8廬+1)

-If——理——?]

-4C1十+163+8F+D

-111

=4?16?2+^73+8

(9、

--

<11+■I,=25

'42Λ∕16H/+8-64,

當且僅當163=￡即％=—［時等號成立，所以自?的最大值為

KL3204

解法

思路參考：設(shè)直線AM的方程為y=Z(χ-2),k<0,由AP=3AM轉(zhuǎn)化為加一

XA=3(XM-XA)求解.

解：(1)設(shè)直線AM的方程為y=k{χ-T),k<0,代入橢圓方程，整理得(43

22

7794(4?-1)2(4?-1)

+1)JΓ-16lcx+4(4k-χAXM=4^+1,而XA=2,所以XM—4^+1,

4優(yōu)一1)

將y=1v—2)代入圓的方程，整理得(3+1)/—4RX+4(廬XAXP=,而

?2+l

“一2街—1)

XA=2.,所以J?=-B1]-.

由AP=3AM,得Xp-XA=3(XM-XA)9

2(?2-1)Γ2(4?2-1)"I

即rt裊「一2=3匕百7一2〕解得-2.

又MO,所以z=一√i

1

-

(2)因為MN是橢圓的直徑，直線AM,AN斜率均存在，所以kAMkAN=4

即kkAN=一5,所以JCAN=一/.

下同解法1(略).

解法

思路參考：設(shè)直線AM的方程為x=,*+2,利用力=3加求解.

解：(1)設(shè)直線AM的方程為X=畋+2(mW0),將其代入橢圓方程，整理得

—4772

(7/72+4)γ2÷4my=0,得點M的縱坐標為yw=裾

#x=my+2代入圓的方程，整理得(〃+l)>2+4my=0,得點P的縱坐標為

~4m

"∕n2+1'

由AP=3AM，得yp=3yw,即H1=〃/+4,

因為機≠o,解得M=3，即機=±，￥

又直線AM的斜率々=,<0,所以A=一也.

(2)因為MN是橢圓的直徑，直線AM,AN斜率均存在，又日MfcAN=—"，由

l

-%

則以-

知∣iΛM=-,所以有二kAN=N-

(1)I4,4?

-4m—4/77

又W=新B滬訴?

∣ΛM∣VMm2+l

所以而—沖一聲？

+∣/"+16

同理麗2

+1-4(m+4),

YSlIAMHAN加2+1〃尸+16

“S2IAPHAQlw2+44(m2+4),

下同解法1(略).

「思維升華」

1.本題考查三角形面積之比的最大值，解法較為靈活，其基本策略是把面

積的比值表示為斜率人的函數(shù)，從而求其最大值.

2.基于新課程標準，解答本題一般需要掌握數(shù)學閱讀技能，運算求解能力,

體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

「類題試練」

已知點A(0,-2),橢圓E：/+g=l(α>b>O)的離心率為坐，JF是橢圓的右

焦點，直線AF的斜率為畢，。為坐標原點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過點A的直線/與E相交于P,。兩點，當AOPQ的面積最大時，求/

的方程.

解：⑴設(shè)F(C,0),由題意知(=2^,解得C=小.

因為e=a=29

所以α=2,b2=a2~c2=?.

2

所以橢圓E的方程為亍+γ=l.

(2)(方法一)顯然直線/的斜率存在.設(shè)直線/:y=kx-2,P{x?,jι),Q(X2,

”)，且尸在線段AQ上.

y=Jζ