中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版)

專題09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【模型證明】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，已知VAE>E:VA8C,若A。:AB=1:3,VABC的面積為9,則VADE的面積為（）

A

A.1B.2C.3D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出萍=（：T，代入求出即可.

>ABCv?/

【詳解】解：VΔADE^ΔABC,AD：AB=I:3,

...皂』ITl[

SABC13J

:△ABC的面積為9,

?SE_?

??一AD——,

99

?*?SΔADE=1>

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)定理，能熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在AABC中，DE//BC,若4E=2,EC=3,則△A。E與△ABC的面積之比為（）

A.4：25B,2：3C.4：9D.2：5

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到AAOEsZviBC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相

似比的平方計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：?.NE=2,EC=3,

.,.AC=AE+EC=5,

'：DE//BC,

.".Δ,ADE^∕?ABC,

,

SABC[AC）25

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在AABC中，ZC=90o,BC=3,D,E分別在AB、AC±,將△ADE沿DE翻

折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，若A，為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（）

B

L?

CA,EA

A.?B.3C.2D.1

【答案】D

【詳解】試題解析：由題意得：DEA.AC,

：.NOE4=90。，

'：AC=ZDEA,

???ZΛ=ZA,

J?AED^?ACfi,

.DEAE

??正一就‘

為CE的中點(diǎn)，

,,

.?CA=EAf

.?CA,=EA,=AE,

.AEDE1

,?-——,

ACBC3

ΛDE=1.

故選D.

4.如圖.在AABC中，DE//BC,ZB=ZACD,則圖中相似三角形有（）

A

A.2對B.3對C.4對D.5對

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】VZB=ZACD,ZA=ZA,

：.∕?ACD^ΛΛBC,

9

?DE//BCf

：.?ADE^?ABC,

,?ΛCD^ΔADE,

YDE〃BC,

：.ZEDC=ZDCB,

?：NB=NDCE,

：.ACDEsABCD,

故共4對,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意平行于三角形

的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

5.如圖，ΔABC中，A8=8,AC=6,NA=90。，點(diǎn)。在ΔABC內(nèi)，且。B平分NABC,

OC平分/AC8,過點(diǎn)Z）作直線PQ,分別交A5、AC于點(diǎn)P、Q,若AAPQ與ΔABC相似,

則線段PQ的長為（）

35

A.5C.5或？D.6

O

【答案】B

【分析】分△APQS∕?ABC,△APQs∕?ACB兩種情況，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和三角形

內(nèi)切圓求解即可.

【詳解】解：若AAPQS∕?ABC,

ΛZAPQ=ZABC,

.RBC條強(qiáng)矍,

.?.ZPDB=ZDBC,

：BD平分NABC,

ΛZPBD=ZCBD,

.?.ZPBD=ZPDB,

PB=PD,同理，DQ=CQ,

VAB=8,AC=6,ZA=90o,

?'?BC=√62÷82=10^

...用山APAQgAPAB4

設(shè)AP=x,m—=——=—=

3

.*.AQ=WX,

3

/.PB=PD=8-x,CQ=DQ=6--x,

7

ΛPQ=PD+QD=14--x,

若^APQ^?ACB,

則理=絲=絲，

ACABBC

由題意知：D為aABC的內(nèi)心，設(shè)AABC的內(nèi)切圓交AB于M,交AC于N,

可知四邊形AMDN為正方形，

/.NA=NAMD=NAND=NMDN=90。,

ΛAM√DN,AN〃DM,

ΛZMPD=ZNDQ,ZMDP=ZNQD,

Λ?MPD<^?NDQ,

.MPMD

'u~ND~~NQ1

VAB=8,AC=6,BC=IO,

6+8-10

/.DM=DN==2,

2

ΛAM=AN=2,

X2

設(shè)PM=x,則片質(zhì),

4

.'.NQ=-,

X

4

..APAQ-+2

?就一布?’即土吆=工_

/*!V-*/1D/C

68

3

解得：x=5或-2（舍）,

37

.*?AP=—∏2=—,

22

735

.*.PQ=AP×BC÷AC=-×10÷6=—.

綜上：PQ的值為三.

O

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查J'相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓，角平分線的定義，有一定難

度，解題的關(guān)鍵是將三角形相似分兩種情況討論.

6.如圖，在心ΔA8C中，NACB=90。，取AC的中點(diǎn)￡>,連接30,點(diǎn)C關(guān)于線段BD的對

稱點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)F為線段CQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE.BD.BE.DE,已知AC=2后，BC=2,

AE=-,BDHAE,當(dāng)EF+BF的值最小時(shí)，則一的值為()

3BF

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG,AC于G,過

點(diǎn)E作EN_LBC,交BC延長線于點(diǎn)N,根據(jù)題意得出當(dāng)EF+BF最小時(shí)點(diǎn)F的位置，再通

過平行線的性質(zhì)得到∕EAG=∕BDC,從而求出EG的長，再判定四邊形EGCN為矩形，得

EFNC

到CN,最后利用^MFCSMEN將,轉(zhuǎn)化為"77求值即可.

BFCM

【詳解】解：當(dāng)EF+BF最小時(shí)，如圖，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點(diǎn),

過點(diǎn)E作EGj_AC于G,過點(diǎn)E作ENJ_BC,交BC延長線于點(diǎn)N,

此時(shí)EF+BF的最小值即為EF+FM,即EM,

??'AC=2不，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，BC=2,

ΛAD=CD=?/?，

..∕Rn小BC2>∕5

..IanZBDC=-----=------,

DC5

?；AE〃BD,

.?.ZEAG=ZBDC,

.β.tanNEAG=,設(shè)EG=X,

AG5

解之得：X二入20或一20與（舍），

由題意可得：ZN=ZACB=ZEGC=90o,

???四邊形EGCN為矩形,

/.EG=NC=-，

9

VAClBC,EN±BC,

.,.AC〃EN,

Λ?MFC^MEN,

.MCMFl,,EFEFNC20C10

CNEFBFFMCM99

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問

題，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行利用三角函數(shù)得到FG的長.

二、填空題

7.如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CA（點(diǎn)尸、

A、C在一條直線上，點(diǎn)尸、B、。在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB〃C￡>.已知AS=I.5”,

CD=45〃，點(diǎn)P到橫桿AB的距離是bn,則點(diǎn)尸到地面的距離等于機(jī).

A/.____?B

/\

/\

Z、

Cz---------------------------D

【答案】3

【分析】易得A%BsZ?PCC,利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可得AB與Co

間的距離.

【詳解】解：如圖，作PFLCD于點(diǎn)F,

ξ

Z：\

A/._??B

/tW

/\\

Z:、

Cz----------------?——-D

F

?'AB∕∕CD,

：.XPABsXPCD,PELAB,

：.XPABsXPCD,

.ABPE

"^CD~~PF,

即：—??,

4.5PF

解得：PF=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為:相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比.

8.如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=A,AC為對角線，E、F分別為邊AB.CD±

的動(dòng)點(diǎn)，且EFlAC于點(diǎn)M,連接AF,CE,求AF+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】AF與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，

作CGuEF,且CG=E/，連接AG,又因點(diǎn)F是CC上是一動(dòng)點(diǎn)，由三角形的邊與邊關(guān)系

AF+FG≥AG,只有當(dāng)點(diǎn)尸在直線4G上時(shí)，A尸+FG最小，由平行四邊形CEFG可知

FG=EC時(shí)?，可求AP+CE的最小值

【詳解】解；如圖所示：過點(diǎn)C作CG〃后，且CG=EF,連接FG,

設(shè)。F=X,則尸C=4—X,

當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，Ab+FG的最值小,

'：CGHEF,RCG^EF,

.?.四邊形CEFG是平行四邊形；

ΛECHFG,EC=FG,

又；點(diǎn)4、F、G三點(diǎn)共線，

,AFHEC,

又Y四邊形A8C。是矩形，

ΛAEHDC.NO=90°,

.?.四邊形4ECB是平行四邊形，

又：EFIAC,

.?.四邊形AECF是菱形，

.?.AF=FC=4-x,

在MADF中，由勾股定理得：

AD2+DF2=AF2

又?.?AZ>=2,DF=x,則AF=4—x,

22+x2=(4-X)2,

3

解得：X==,

2

.?.AF=-,

2

在RfAZ)C中，由勾股定理得，

AC'=AD-+DC'=22+42,所以AC=26

?*.AM=曲,

又,：MF/CG、

：.ZAMF=ZACG,NAFM=NAGC,

.?.VAMFSVACG,

.AMAF

??---=---，

ACAG

5

即正=2,

2√5AG

：.AG=5,

又；AG=AF+尸G,FG=EC,

：.AF+EC=5,即最小值是5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾

股定理和最短距離問題等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與

判定.

9.如圖，正方形ABeD邊長為3,點(diǎn)E是Ao上一點(diǎn)，且AE=I,連接BE,過C作CF

垂足為F,CF交對角線80于G,將=BCG沿CG翻折得到∕?HCG,CH交對角線8。于M,

貝IJSHGM=---------

AED

【答案*

【分析】過點(diǎn)G作GRLBC于凡過點(diǎn)H作HN〃BC交BD于N,由正方形性質(zhì)可證明:

?ABE^?FCB,由勾股定理可求8凡由翻折性質(zhì)可得△”GC也Z?8GC,進(jìn)而可證明：

S

△BHNs∕?BED,可求得HM再由AaNMS∕?C8M,可求得?^3,再由△CGRs△(73尸

3,HGC

即可求得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GRJ_BCrR,過點(diǎn)、H作HN〃BC交BDTN

則NBRG=NCRG=90°,

,.?CFlBE

.-.ZSFC=90°

NCBF+ZBCF=90。

正方形ABCD

.?.ZA=ZASC=90o,AB=AD=BC=3

；.ZABE+NCBF=90。

:.ZABE=NBCF

.?.ABE^.FCB

在RtABE中，BE=y∣AB2+AE2≈√32+l2?√10

BFAEπr,BF1

BCBE3√10

oc.3√10

10

由翻折知：FH=BF=^-,8”二竺O,HC=BC=3,HGCnBGC

105

HNHBC:.BHNSBED

—,BPHN

DEBEV?

:?HN=三HNMSoCBM

.HMHN_2

,~MC~~BC~~5

HM2

.?.---=—,

HC7

.*jSHGMHM_2

SHGCHc~1

GRLBC,ZCBG=45°

:.BGR是等腰直角三角形，設(shè)BR=GR=X,則CR=3—x,

CGRSYCBF

GRBF_1X_13

即解得、

~CRCF-33≡x^3

1139

.,.SRCC=-XBCXGR=—×3×-=—

BCG2248

??0HGC-&

.C一冥_29_2

-eHGM.IXW一女，

Q

故答案為：—■.

2o

【點(diǎn)睛】本題考查/正方形性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等

三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點(diǎn)；解題關(guān)鍵是利用平行線

證明相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有一定難度，屬于中考填空壓軸題類型.

10.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，連接AO,將三角形ABZ）沿直線Az）翻

折至三角形ABC平面內(nèi)，使得B點(diǎn)與E點(diǎn)重合，連接CE、BE,分別與邊AC交于點(diǎn)H,

與AO交于點(diǎn)。,若A”=C”，AB=2√B,OB=4,則點(diǎn)A到線段BC的距離為.

【答案】y

【分析】如圖，過點(diǎn)A作AT_LcB交CB的延長線于T.利用勾股定理求出A。，利用三角形

重心的性質(zhì)求出。D,再利用勾股定理求出3。，利用相似三角形的性質(zhì)求出AT即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AT，。交CB的延長線于T.

由翻折的性質(zhì)可知，AO垂直平分線段班,

???ZAQB=90。，

VΛB=2√13,OB=4,

OA=^AB2-OB2=√(2√13)2-42=6,

???AH=C",點(diǎn)。為邊5C的中點(diǎn)，

點(diǎn)。是AABC的重心，

.?OA=2OD,

.?.OD=3,

.?.BD=√OB2+OD2=√42+32=5，

ZBDO=ZADTYNBOD=NT=90。，

,ADOBSΔD7A,

OBDB

??--=---?

ATAD

.45

..=—9

AT9

匹

5

故答案為：y

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

11.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接CE,將△BCE沿

CE折疊得到AFCE,CF與BO交于點(diǎn)P,則。尸的長為—.

B

【答案】晅

17

【分析】由勾股定理可求出EC的長,連接BF交CE于點(diǎn)G,作FHLBC于點(diǎn)”,PQlBC

于點(diǎn)。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出8G的長，再根據(jù)面積等式列方程求出尸，的長，再根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ與CQ的比，進(jìn)而求出QP的長.

【詳解】解：如圖，連接8尸交CE于點(diǎn)G,作F4L8C于點(diǎn)從2。_1_8。于點(diǎn)。，

；四邊形ABCO是矩形，

：.AB=DC=2,ZABC=ZBCD=90o,

?.?8C=3,

?"?.BD=y∣BC2+DC2=√32+22=√13；

"：AE=BE=-AB=-×2=?,

22

?*?EC=yjBE2+BC2=√l2+32=√10；

由折疊得，CE垂直平分8尺

.,.NBGC=NEBC=9。°,

,：NGCB=NBCE,

MBGCSAEBC,

.GBBC

.?----------,

BEEC

.BCBE3×13√10

..GB=----------=.—=--------,

EC√ioio

?R□?3√io3√10Y/i2Lz3√iδλ,9√K)

??BF=2GB=2×-------=--------,CG=√BC~-GB~=3~-(--------)~=-------;

105λV1010

由LBGFH=LBF-CG得，-×3FH=-×^^-×2^,

2222510

9

解得，F(xiàn)H=-；

VZC∕∕F=90o,FC=BC=3,

.?.CH=y∣FC2-FH2=J32-φ2=y

?,PQ∕∕FH,

.?ΛCPQ^∕?CFH,

.CQPQ

"CH~FH'

12

?4=空=S=d

,"PQ~FH~9-]，

5

4

:?CQ=]PQ,

；/BQP=/20X90。,

ΛPQ//DC,

:ABPQSABDC,

?BQ_PQ

??一，

BCDC

.BQBC_3

^~PQ~~DC~2,

3

：?BQ=QPQ,

3

.BPBQJ”9

'~DP=CQ=T^=^

3

.?.。尸」3。JXa=M?

171717

故答案為：巫.

17

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

二次根式的化簡以及用面積等式列方程等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔

助線，此題難度較大，計(jì)算煩瑣，應(yīng)注意檢驗(yàn)所求的結(jié)果是否正確.

三、解答題

12.如圖，AABO中，乙4=90。，AB=6cm,AD=12cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿

AB方向以ICm/s的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)Q出發(fā)沿OA方向以2cm∕s的

速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

2

(1)求f為何值時(shí)，AAMN的面積是AABO面積的§；

(2)當(dāng)以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與AABO相似時(shí)，求，值.

【答案】(1)A=4,t2=2.(2)r=3或M

【分析】(1)由題意得￡＞汽=2￡(cm),AN=(12-2r)cm,AM=tcm,根據(jù)三角形的面積

公式列出方程可求出答案；

(2)分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出f的值.

【詳解】解：(1)由題意得。N=2r(cm),AN=(12-2/)cm,AM=tcm,

...△AMN的面積=LANMM=LX(12-2r)χt=6t-12,

22

VZΛ=90o,48=6Cm,AD=12cm

.?.Z?ABO的面積為LAB?AD=Lx6x12=36,

22

2

???叢AMN的面積是^ABD面積的§,

2

.β.6∕-t2=-×36,

9

Λ?-6/+8=0,

解得〃=4及=2,

,2

答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△面積的§；

(2)由題意得IW=27(cm),AN=(12-2/)cm,AM=√cm,

若△AMVSA43D,

∣→-.AMAN12-2r

l則lll有方=茄'

12

解得r=3,

若4AMNSAADB,

皿士AMAN口t12-2/

則有——=—，即π——=-----

ADAB126

解得，=2/4，

答：當(dāng)1=3或M時(shí)'以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與AABD相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進(jìn)

行分類討論是解題的關(guān)鍵.

13.在；ΛBC中，AB=W(加>0),。為AB上一點(diǎn),過。作OE〃BC交AC于點(diǎn)E,連接CO.設(shè)

S

Sdce=s2,Sabc=St,求U的取值范圍.

【答案】o<?≤∣

?l4

【分析】作AG,BC于尸點(diǎn)，交DE于G點(diǎn),設(shè)AO=X,首先結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)

推出于DE和G受F的值，然后結(jié)合面枳公式進(jìn)行列式，得出二次函數(shù)解析式，最后結(jié)合二次函

BCAF

數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：如圖所示，作AGJ_3C于尸點(diǎn)，交OE于G點(diǎn)，設(shè)Ao=X,

YDE〃BC,

Λ?ΛDE^ΔAβC,

.DEADAGAEx

,,βC-Λβ-ΛF^ΛC-∕∏,

.GFm—x

?.---=-----,

AFin

DEGF

.S22'DEGFXm-xx(m-x)

*SlJ_BCA/7BCAFmmm2

2°

?.?點(diǎn)。在AB上，ιn>Of

??O<x<m----<O,

fm~

.?.拋物線今的開口向下，且當(dāng)X=：時(shí)，今取得最大值為

??2??4

當(dāng)X=O和X=E時(shí)，均有今=。，

綜上分析，。?的取值范圍是。＜稱4：.

dIel4

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用等，掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)推出相關(guān)線段的比例，以及熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵.

14.RtABC中，ZC=90o,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿AC向

點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)P的速度是4cm∕s,

點(diǎn)Q的速度是2cm∕s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、。兩點(diǎn)之間的距離為IOCm?

(2)若一CPQ的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)f為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與；ABC相似？

22

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20r-4r)cmi(3)f=3或r=弓

【分析】(1)根據(jù)題意得至!]AP=4rcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4r)cm,根據(jù)三角

形的面積公式列方程即可得答案；

(2)若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs,則CP=(20-4f)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計(jì)算公式，即

可得出S=20f-4*,再結(jié)合各線段長度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；

分①心和②用利用相似三:角形得出比例式，建

(3)RGCPQs4C4BSRfJAQ5A,

立方程求解，即可得出結(jié)論.

【詳解】(I)解：由運(yùn)動(dòng)知，AP=4tcm,CQ=Ilcm,

VAC=20cmι

ΛCP=(20-4r)cm,

在RtACPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

B∣l(20-4r)2+(2∕)2=102:

/=3秒或r=5秒

(2)由題意得AP=4f,CQ=It,則CP=20-4r,

因此Rt..CPQ的面積為S=→(20-4r)×2r=(20z-4r2)cm2；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)Rf"PQs放AC時(shí)，g=當(dāng)，即蘭之=當(dāng)解得/=3；

CACo2。15

②當(dāng)RfACPQsm"BA時(shí)，＜CP=胃CO，即20受-4竺/=2工t，解得f=4:0?

CBCA152011

因此f=3或f=丁40時(shí)，以點(diǎn)C、P、。為頂點(diǎn)的三角形與ΛBC相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

ΛΓAE

15.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊A8上，點(diǎn)E、點(diǎn)尸在邊AC上，DE//BC—=—.

fFEEC

(1)求證：DF//BE；

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6√3.ADE^ΔAEB.

Λ∩ApApΛΓ)

【分析】(1)由題意易得黑=蕓，則有M=黑，進(jìn)而問題可求證;

BDECFEBD

(2)由(1)及題意可知空="=:，然后可得AD=2右，進(jìn)而可證空=42=3，最

BDEF2ABAE3

后問題可求證.

9

【詳解】解：⑴：DE//BC9

.ADAE

??=,

BDEC

AFAE

?~FE~~EC

.AFAD

't~FE~^D

.?DF∕∕BE;

(2)VAF=2,EF=49

Δ∩Δ?！?/p>

???由(1)可知，—=—=AE=6

BDEF2f

VAβ=6√3，

：.AD=-AB=2y∕i,

3

.AE_6√3AD_266

"AB'

?.?-A-E-=-A--D=-√-3-,

ABAE3

?/ZA=ZA,

二?ADE∞?AEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

16.矩形ABC。中，AB=Cr)=3cm,AD=BC=Acm,AC是對角線，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿

方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，

ACCIem/s;CCO

速度為2cm∕s.過點(diǎn)P作BC的垂線段P”，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持P"與BC互相垂直，連接

HQ交AC于點(diǎn)0.若點(diǎn)P和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/(s)(0<Γ<l.5),解答下列

問題：

(1)求當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；

(2)是否存在一個(gè)時(shí)刻，使”。與AC互相垂直？如果存在請求出f值；如果不存在請說明

理由；

75

(3)是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCC的面積是四邊形PHCQ面積的9，如果存在請求

44

出，值；如果不存在請說明理由.

【答案】⑴t=j∣;⑵存在，f=等(3)存在，E

【分析】(1)當(dāng)四邊形PHCQ為矩形時(shí)，PH=CQ,利用相似三角形的性質(zhì)求出尸”，CH,

構(gòu)建方程求解即可；

(2)證明-“CQ-ABC,由相似的性質(zhì)得出，工筆,由此構(gòu)建方程求解即可;

ABBC

75

(3)根據(jù)矩形ABCD的面積是四邊形P”CQ面積的,構(gòu)建方程求解即可.

τ447

【詳解】解：(1)?.?AB=3,BC=4,

ΛAC=√32+42=5,

由題可得：AP=tfCP=5-t,CQ=Z,

四邊形ABCO是矩形，

.?.NB=90。，

PH上BC,

.?.NeHP=ZB=90。,

ZPCH=ZACB,

.?.PCHACB,

PHCHPC,PHCH5-t

——=——=——,π即1——=——=-----,

ABCBAC345

34

.?.Pλ∕=j(5-r),c∕7=-(5-r),

當(dāng)四邊形P"c。為矩形時(shí)，PH=CQ,

?^(5~Z)=2/,

解得：r=∣∣,

當(dāng)f=j∣時(shí)，四邊形麗。為矩形；

(2)存在一個(gè)時(shí)刻，使AQ_LAC,

當(dāng)HQ_LAC時(shí)，ZQHC+ZACB^90°,

z≤R4C+ZACB=90°,

/.ZQHC=ZBACT

,NHCQ=NB=90。,

HCQ.ABC,

.?,生=絲，β?lCHBC=ABCQ,

ABBC

4

.?.-(5-r)×4=3×2r,

解得：f=去40,

23

當(dāng)，="40時(shí)，HQ1AC；

23

(3)存在,

由題意得：3x4=至χLχ[2∕+2(5-f)]χW(5-r),

44255

13

解得：f=l或/(舍去),

??.當(dāng)E時(shí)，矩形ABCo的面積是四邊形映Q面積的去

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合問題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相

關(guān)的知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

17.圖，AB〃GH〃CD,點(diǎn)、H在BCk,AC與BD交于點(diǎn)G,AB=2,Cn=3,求GH的

長.

D

【答案】I

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB〃G〃，可證由性質(zhì)得出

器=器由的〃S,可證△BG…DC由性質(zhì)得出黑=黑，將兩個(gè)式子相加,

即可求出G”的長.

【詳解】解：：A8〃CW,

ΛZA=ZHGC,ZABC=ZGHC,

：.XCGHS[?CAB,

.GHCH

Φ"AF-BC

'：GH//CD,

JND=NHGB,NDCB=NGHB,

ΔBGHSABDC,

.GHBH

'~CD~~BC

.GHGHCHBH,

1*ABCDBCBC'

VAB=2,CD=3,

.GHGH

..-----÷------=1a,

23

解得：GW=I.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.一塊直角三角形木板的面積為1.5n√,一條直角邊AB為1.5m,怎樣才能把它加工成一

個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪

位木匠的方法符合要求(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留).

C

(Φ)(Z)

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.說明見解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊

長最大就符合要求；由已知三角形的面積和條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)

乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例，可求出正方形的

邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對

比兩方案的邊長即可知誰符合要求.

【詳解】解：作AC于H,交DE于M,如圖

2×1.5

BC==2

1.5

?.?AC=yjAB2+BC2=√1.52+22=*

2

SΛHC=-

ZAAΛt>C2ACBH

×?,DE∕∕AC

.DEBM

6

----XOΛ

*=??,解得X哼

25

設(shè)正方形的邊長為X米，如圖乙

YDE//AB

.DECD

X2-x，解得Xq

1.52

??6、30

?一>—

737

，乙木匠的加工方法符合要求.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析、解決問題的能力，正確理

解題意，建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知。是BC的中點(diǎn)，M是Ao的中點(diǎn).求⑷V:NC的值.

【答案】?

【分析】解法1:過點(diǎn)力作Ae的平行線交8N于點(diǎn)，,構(gòu)造“A”型和“8”型,得出BDHS二BCN

和HMSANM,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法2：過點(diǎn)C作A。的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H,構(gòu)造力”型和“8”型，得出4BDMSBCH

和AAMNsACHN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案：

解法3：過點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H,構(gòu)造“A”型和“8”型，得出

AAHMSADBM和AAHNsMBN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答

案；

解法4：過點(diǎn)。作BN的平行線交AC于點(diǎn)，，根據(jù)三角形中位線定理得出AN=NH=C”,

即可得出答案;

【詳解】解法1：如圖2,過點(diǎn)力作AC的平行線交BN于點(diǎn)"

所以BDHSBCN,

所以也=處

CNBC

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以瑞=器

因?yàn)镈HllAN,所以DHMs：ANM,

所以黑嗡

所以也=也=I

因?yàn)槔秊锳O的中點(diǎn),

ANAM

所以。H=⑷V,

所噎I

解法2：如圖3,過點(diǎn)C作4〃的平行線交BN的延長線于點(diǎn)機(jī)

因?yàn)镈MUCH,所以ABDMSBCH,

所以也=處

CHBC

「、，c、，C八,,,.L,…DMBD1

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以Kr===彳

CnBC2

因?yàn)镸為4。的中點(diǎn)，所以40=DM,

AM1

所ecμ以l石廠5

因?yàn)镈MUCH,

所以AAMNsACHN,

所以跑=州」

CNCH2

因?yàn)锳4//8。，所以AAHMSADBM,

所以也=國￡

BDDM

因?yàn)镸為4。的中點(diǎn)，所以AM=DW,所以AW=B￡>.

因?yàn)锳”∕∕8f),所以AAHNsACBN,

所以我=桀

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，且A"=3E>,

≡≡=≡4

在，ADH中,

因?yàn)镸為A。的中點(diǎn)，MNHDH,

所以N為A”的中點(diǎn)，即AN=N

在ACBN中,因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，DHHBN,所以〃為CN的中點(diǎn)，即CN=HN,

所以AN=NH=CH.

由ZAN1

所以而=子

20.如圖，A3C中，中線AD,BE交于點(diǎn)F,EG//8C交AO于點(diǎn)G.

（2）如果BO=4百，DF=4,請找出與aBDA相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明.

【答案】（1）3；（2）ΛBDA^ΛFGE,證明見解析

【分析】（1）先證明MGESAM）C,再證明aG"S435P,得到。F=2G∕7,則問題可解;

（2）根據(jù)題意分別證明△瓦M(jìn)SzλFDB,問題可證.

【詳解】解：（1）。是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，

BD=CD，AE=CE，

GEHBC,

..ΛAGE^ΛADC,

.AGGEAEI

,'AD~CD~AC~2f

.?.AG=GDf2GE=CD=BD,

GEHBC,

:.AGEFSADBF,

.GEGF1

,β5^DF-2,

.?.DF=2GF,

.'.AG=DG=3GF,

.?羋=3.

GF

（2）≡k∣BD=4√3,W=4時(shí)，

由（1）可得

GF=-DF=2,AG=DG=3GF=6,AD=2AG=12,

2

GE=LBD=26,

2

處=遞=5歿=∕=G,

DF4BD4√3

.ADBD

''~BD~~DFi

又?ZBDG=ZADB9

:.ABDA^AFDB,

色=6黑=與=5

GFBD4√3

.ADGE

'~BD~~GF,

GEHBC,

：.ZADB=∕EGF,

AS△/?GE.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當(dāng)方法證明三角

形相似.

APAD

21.如圖，在A48C中，點(diǎn)EV分別在4B,AC上，且爺=罷.

AFAC

（1）求證：MEFMBC；

（2）若點(diǎn)。在8C上，AD與EF交于點(diǎn)G,求證：—.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接利用兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的判定方法可得E/〃8C,于是可得^AEG^?ABD,

ΔAGF?^∕?ADC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論.

【詳解】解：（1）在△AfiF和△ABC中，

AEAB

,.?ZEAF=ZBAC,

AF~AC

.??AEF^?ABCi

(2)VΛAEF^∕?ABC,

：.NAEF=NABC,

.".EF∕∕BC,

.??AEG?^∕?ABD,ΔAGF^?ADC,

.EGAGFGAG

.EGFG

"~BD^^CD'

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=AC,NAZ)C=α,點(diǎn)E為射線3A上一動(dòng)點(diǎn)，且

AE<AB,連接。E,將線段0E所在直線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a交84延長線于點(diǎn)H,DE所

在直線與射線CA交于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，求證：ZAD曄XCDG;

(2)當(dāng)a≠60。時(shí)，

①如圖2,連接HG,求證：&ADC-XHDG;

②若A8=9,BC=I2,AE=3,請直接寫出EG的長.

【答案】(1)證明見詳解；(2)①證明見詳解；②EG的長為之叵或士叵.

22

【分析】(I)AO=AC,ZADC=60°,可證△ACD為等邊三角形，根據(jù)四邊形ABeQ為平

行四邊形，可得AB=CO=BC=AO,ZB^ZADC=60°,AD^BC,可得N/MO=N8=60。=NGCO,

由/GOH=/CD4=60°,可證//MO=NCOG,即可證△AOH卷ZXCQG(ASA)；

(2)①根據(jù)AO=AC,ZADC=a,可得∕4CO=N4OC=a,根據(jù)四邊形48C。為平行四邊

形，可得∏ΓWZHAD=ZADC=a=ZGCD,由NGOH=a=NAOC,可得/AOH

=NCDG即可：

②根據(jù)點(diǎn)E的位置分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，過C作CN上ABTN,過G作GMlAE

于M,根據(jù)四邊形ABC。為平行四邊形，AB^DC,AB=DC=9,AD=BC=U,可證

ΔAGE-ΔCGD,得出AG=3,CG=AC-AG=I2-3=9,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得

AN=BN=3AB=3,根據(jù)勾股定理CN=NBC°-B儲=等5,由GM〃CN,再

證△AΛ∕GsZsAM7,p?>j<AM=?AN--,GM=?CN-,EM=AE-AM=3--=—,根

484888

3√55?述，當(dāng)點(diǎn)在延長線上，過作

22E84C

據(jù)勾股定理EG=yJME+GM=

2

CNLAB于N,過G作GM_LAE于M,由AE^CD,?GAES∕?GCD,可求GA=6,由GM〃CN,

可證AGMASZ^CΛ?,可得GM=LCN=L公匡=逮"AM=J∕W=Lχ2=2,

22224

93I---------------33√14

EM=AE-AM=3--=~根據(jù)勾股定理EG=JGM?+EM

【詳解】(1)證明：'：AD=AC,ZADC=60°,

Λ?ACD為等邊三角形，

???四邊形ABCD為平行四邊形，

,AB=CD=BC=AD,NB=NAoC=60。，AD〃BC,

/.NHAD=/8=60。=NGCD,

?：NGDH=NCDA=6。。,

：.N"∕λ4+NAOG=NCDG+∕AOG=60°,

.'.ZHDA=ZCDG1

?ΔADHCQG中

ZADH=ZCDG

AD=CD

NHAD=NGCD

>ADHQ/XCDG(A5A)；

A

D

E

B