新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案8-6-1直線與直線垂直

8.6空間直線、平面的垂直8．6.1直線與直線垂直[目標(biāo)]理解異面直線的定義，會(huì)求兩異面直線所成角．[重點(diǎn)]異面直線的定義及兩異面直線所成的角；直線與直線垂直的證明．[難點(diǎn)]求兩異面直線所成的角．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)異面直線所成的角[填一填][答一答]1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎？提示：根據(jù)等角定理可知，異面直線a′與b′所成角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)．但是為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線上的某些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、中點(diǎn)等)．2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為提示：∵B1C1∥BC，∴異面直線AE與B1C1所成的角是∠典例講練破題型類型一異面直線所成的角[例1]如圖，P是平面ABC外一點(diǎn)，PA＝4，BC＝2eq\r(5)，D、E分別為PC和AB的中點(diǎn)，且DE＝3.求異面直線PA和BC所成角的大小．[分析](1)PA、BC移至同一個(gè)三角形中．(2)找出PA和BC所成的角．[解]如圖，取AC中點(diǎn)F，連接DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補(bǔ)角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq\f(1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(5)，∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即異面直線PA與BC所成的角為90°.eq\a\vs4\al(求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟,1作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；,,,)2證：證明作出的角就是要求的角；3計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括.同時(shí)注意異面直線所成角α的取值范圍為0°<α≤90°.[變式訓(xùn)練1]如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角．(2)FO與BD所成的角．解：(1)如圖，因?yàn)镃G∥BF，所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖，連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.類型二線線垂直的證明與應(yīng)用[例2]直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1中點(diǎn)為M，BC中點(diǎn)為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1.證明：AB1⊥MN[分析]先找到異面直線AB1與MN所成角，再利用勾股定理進(jìn)行證明．[證明]由題得MN∥B1C所以∠AB1C就是異面直線AB1與MN由題得AC＝eq\r(4＋1－2×2×1×cos\f(2π,3))＝eq\r(7)，AB1＝eq\r(5)，B1C＝eq\r(2)，因?yàn)?eq\r(2))2＋(eq\r(5))2＝(eq\r(7))2，∴∠AB1C＝eq\f(π,2)，所以AB1⊥MN.證明空間中的異面直線的垂直問(wèn)題，往往先作出異面直線所成的角，再利用勾股定理進(jìn)行證明.[變式訓(xùn)練2]如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1相互垂直，試求AA1的長(zhǎng)．解：連接CD1，AC，如圖．由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1∵異面直線A1B和AD1相互垂直，∴∠AD1C∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3)，且側(cè)面都是矩形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.∵底面四邊形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，∴AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，∴AA1＝eq\r(AD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,1))＝eq\r(3\r(2)2－2\r(3)2)＝eq\r(6).課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)P作與直線a成60°角的直線，這樣的直線有(D)A．0條 B．1條 C．有限條 D．無(wú)數(shù)條解析：這些直線可以是以P為頂點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線為軸的圓錐的母線所在的直線，共有無(wú)數(shù)條直線．2．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為(B)A．0° B．90°C．60° D．45°解析：如圖所示，把正方體的平面展開(kāi)圖還原成正方體ADNE-CMFB，連接CD，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為90°.3．如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若EF＝eq\r(3)，則異面直線AD、BC所成角的大小是60°.解析：設(shè)G為AC的中點(diǎn)，如圖，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋、F分別是AB、CD中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC＝1，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AD＝1，所以∠EGF為異面直線AD、BC所成的角(或其補(bǔ)角)，∵EF＝eq\r(3)，∴三角形EGF中，cos∠EGF＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，即異面直線AD、BC所成的角為60°.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，六個(gè)面內(nèi)與BD成60°角的對(duì)角線共有8解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，六個(gè)面內(nèi)與BD成60°角的對(duì)角線共有AB1，BA1，DC1，CD1，AD1，DA1，BC1，CB15.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若EF＝eq\r(2)，求AD，BC所成的角．解：如圖，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，F(xiàn)H＝1，所以∠EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AD，BC所成的角，又因?yàn)镋F＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的