模糊控制基礎(chǔ)知識

模糊控制基礎(chǔ)知識補充：模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識1.模糊集合及其運算

(1)模糊集合①隸屬函數(shù)：用于描述模糊集合，并在[0，1]閉區(qū)間連續(xù)取值的特征函數(shù).Ex1青年集合A經(jīng)典集合:模糊集合：圖1青年的特征函數(shù)和隸屬函數(shù)

a)特征函數(shù)b)隸屬函數(shù)②常用的隸屬函數(shù)a.三角型隸屬函數(shù)的解析式隸屬函數(shù)曲線圖如圖2a所示。b.正態(tài)型隸屬函數(shù)的解析式隸屬函數(shù)曲線圖如圖2a所示。μA

1-

0bacxAμA

1-

0axA(b)

圖2隸屬函數(shù)曲線圖

③模糊集合的定義定義1：給定論域X,是X中的模糊集合是指用這樣的隸屬函數(shù)表示其特征的集合。

④模糊集合的表示形式

i(1)iiX連續(xù)(2)X離散Ex1

青年模糊集合

Ex2設(shè)論域X={1，2，3，4，5}，可定義X上的如下模糊集，A表示“大”，B表示“小”，C表示“中”，并設(shè)各元素的隸屬函數(shù)分別為

論域X是離散的，則A可表示為(2)模糊集合的運算①等集：②子集：③空集：④并集：⑤交集：⑥補集：Ex3設(shè)論域，A和B是論域X上的兩個模糊集合，已知2.模糊語言定義2語言變量是以五元組（x,T(x),X,G,M)來表征的，其中x是變量的名稱，

T(x)是語言變量值的集合，每個語言變量值是定義在論域X上的一個模糊集合，G是用以產(chǎn)生語言變量x值名稱的語法規(guī)則，而M是語義規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊集合的隸屬度函數(shù)。Ex4xT(x)X圖3模糊語言變量的五元體3模糊關(guān)系(1)模糊關(guān)系的定義設(shè)X、Y為兩非空集合，各任取一元素組成序?qū)?x,y)，稱所有序?qū)?gòu)成的集合為X和Y的直積，并記為：定義：從X到Y(jié)的模糊關(guān)系R是指在直積XxY中的一個模糊子集，其模糊關(guān)系由隸屬函數(shù)：來刻劃，隸屬度表示序?qū)?x,y)具有關(guān)系R的程度。

當(dāng)X,Y是有限的離散集合時，X和Y的模糊關(guān)系R可以用矩陣表示，稱為關(guān)系矩陣，即Ex5設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積即整個平面。模糊關(guān)系“x遠遠大于y”的隸屬函數(shù)確定為

在X中取10，20，40，80四個點，在Y中取10，20，30，40四個點，則模糊關(guān)系矩陣為（2）模糊關(guān)系的運算模糊關(guān)系是積空間上的模糊集合，它的運算法則與一般的模糊集合完全相同。

a.合成運算合成定義：設(shè)X、Y、Z是論域，R是X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系，S是Y到Z的一個模糊關(guān)系，則R到S的合成T也是一個模糊關(guān)系，記為它具有隸屬度Max-mincompositionEx6

已知模糊關(guān)系矩陣b.冪運算設(shè)R是上的模糊關(guān)系，則它的模糊關(guān)系矩陣為方陣，R的冪定義為：c.逆運算設(shè)R是X到Y(jié)的模糊關(guān)系，則其逆模糊關(guān)系是Y到X的一個模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

Ex7設(shè)X為橫軸，Y為縱軸，直積即整個平面。模糊關(guān)系“y遠遠小于x”的隸屬函數(shù)確定為(3)模糊關(guān)系的性質(zhì)設(shè)R是上的模糊關(guān)系自反性：若，都有；對稱性：若，都有；傳遞性：若有；等價性：若R同時具有自反性、對稱性和傳遞性，R具有等價性4模糊推理廣義前向推理（abbrev.GMP)

大前提：如果X是A，則Y是B

小前提：X是A’

結(jié)論：Y是B’

廣義反向推理（abbrev.GMT)

大前提：如果X是A，則Y是B

小前提：Y是B’

結(jié)論：X是A’模糊推理中的前提和結(jié)論都含有模糊概念的陳述句稱為模糊命題。模糊命題中常用到極、很、相當(dāng)、比較、略、微等副詞修飾程度，這些詞稱為語氣算子。如：

（1）模糊蘊含

模糊命題：“如果x是

A，則

y是B”，表示模糊集合A和B之間有蘊含關(guān)系：用模糊關(guān)系矩陣表示：一些常見的模糊規(guī)則的關(guān)系矩陣的表達式：如果x為A，則y為B,否則y為C，：如果x為A，y為B,則z為C：如果x為A，y為B,z為C，否則z為D

：Ex8設(shè)論域上的模糊集合分別為：“小”=。模糊關(guān)系“如果x為小，則y為大”的模糊關(guān)系矩陣為：Ex9設(shè)論域，已知模糊集合模糊規(guī)則“如果x為A，并且y為B，則z為C”的關(guān)系矩陣R為：

廣義前向推理：廣義反向推理：練習(xí)：在Ex9中，若已知求C’4.36模糊控制系統(tǒng)框圖4.5.1模糊控制系統(tǒng)的組成4.5.2模糊控制器的輸入輸出變量及其模糊化1．模糊控制器的輸入、輸出變量模糊控制器的輸入變量通常取E或E和EC或E，EC和ER，分別構(gòu)成所謂一維、二維、三維模糊控制器。一維模糊控制器的動態(tài)性能不佳，通常用于一階被控對象；二維模糊控制器的控制性能和控制復(fù)雜性都比較好，是目前廣泛采用的一種形式。一般選擇控制量的增量作為模糊控制器的輸出變量。2．描述輸入和輸出變量的詞集

在模糊控制中，輸入輸出變量大小是以語言形式描述的，一般都選用“大、中、小”三個詞匯來描述模糊控制器的輸入、輸出變量的狀態(tài)，再加上正負兩個方向和零狀態(tài)，共有七個詞匯：｛負大，負中，負小，零，正小，正中，正大｝一般用這些詞的英文字頭縮寫為：｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

為了提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度，通常在誤差接近于零時增加分辨率，將“零”又分為“正零”和“負零”，因此，描述誤差變量的詞集一般取為：｛負大，負中，負小，負零，正零，正小，正中，正大｝用英文字頭簡記為：｛NB，NM，NS，NO，PO，PS，PM，PB｝

注意，上述“零”、“負零”、“正零”和其他詞匯一樣，都是描述了變量的一個區(qū)域。｛NB，NM，NS，O，PS，PM，PB｝

3．變量的模糊化某個變量變化的實際范圍稱為該變量的基本論域。記誤差的基本論域為[-xe，xe]，誤差變化的基本論域為[-xc，xc]，模糊控制器的輸出變量(系統(tǒng)的控制量)的基本論域為[-yu，yu]?；菊撚騼?nèi)的量是精確量，因而模糊控制器的輸入和輸出都是精確量，但是模糊控制算法需要模糊量。因此，輸入的精確量(數(shù)字量)需要轉(zhuǎn)換為模糊量，這個過程稱為“模糊化”(Fuzzification)；另一方面，模糊算法所得到的模糊控制量需要轉(zhuǎn)換為精確的控制量，這個過程稱為“清晰化”或者“反模糊化”(Defuzzification)。比較實用的模糊化方法是將基本論域分為n個檔次，即取變量的模糊子集論域為｛-n.-n+1,...,0，...,n-1,n｝

從基本論域[a，b]到模糊子集論域[-n，n]的轉(zhuǎn)換公式為

(4—51)

一般選擇模糊論域中所含元素個數(shù)為模糊語言詞集總數(shù)的二倍以上，確保諸模糊集能較好地覆蓋論域，避免出現(xiàn)失控現(xiàn)象。例如在選擇上述七個詞匯情況下，可選擇E和EC的論域均為:｛-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6｝選擇模糊控制器的輸出變量即系統(tǒng)的控制量U的論域為:｛-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，23，4，5，6，7｝4．隸屬度為了實現(xiàn)模糊化，要在上述離散化了的精確量與表示模糊語言的模糊量之間建立關(guān)系，即確定論域中的每個元素對各個模糊語言變量的隸屬度。隸屬度是描述某個確定量隸屬于某個模糊語言變量的程度。例如，在上述E和EC的論域中，6隸屬于PB(正大)，隸屬度為；+5也隸屬于PB，但隸屬度要比+6差，可取為；+4屬于PB的程度更小，隸屬度可取為；顯然，0～-6就不屬于PB了。所以隸屬度取為0。常用的確定模糊變量隸屬度μ的賦值表，如表～。

下面推薦一種根據(jù)系統(tǒng)輸出的誤差及誤差的變化趨勢，消除誤差的模糊控制規(guī)則。該規(guī)則用下述21條模糊條件語句來描述，基本總結(jié)了眾多的被控對象手動操作過程中，各種可能出現(xiàn)的情況和相應(yīng)的控制策略。

1．ifE＝NBorNMandEC＝NBorNMthenU＝PB2．ifE＝NBorNMandEC＝NSorOthenU＝PB3．ifE＝NBorNMandEC＝PSthenU＝PM4．ifE＝NBorNMandEC＝PMorPBthenU＝O5．ifE＝NSandEC＝NBorNMthenU＝PM6．ifE＝NSandEC＝NSorOthenU＝PM7．ifE＝NSandEC＝PSthen；U＝O8．ifE＝NSandEC＝PMorPBthenU＝NS9．ifE＝NOorPOandEC＝NBorNMthenU＝PM10．ifE＝NOorPOandEC＝NSthenU＝PS建立模糊控制規(guī)則11．ifE＝NOorPOandEC＝OthenU＝O12．ifE＝NOorPOandEC＝PSthenU＝NS13．ifE＝NOorPOandEC＝PMorPBthenU＝NM14．ifE＝PSandEC＝NBorNMthenU＝PS15．ifE＝PSandEC＝NSthenU＝O16．ifE＝PSandEC＝OorPSthenU＝NM17．ifE＝PSandEC＝PMorPBthenU＝NM18．ifE＝PMorPBandEC＝NBorNMthenU＝O19．ifE＝PMorPBandEC＝NSthenU＝NM20．ifE＝PMorPBandEC＝OorPSthenU＝NB21．ifE＝PMorPBandEC＝PMorPBthenU＝NB上述21條模糊條件語句可以歸納為模糊控制規(guī)則表。表4.7模糊控制規(guī)則表

PB

PM

PS

O

NS

NM

NB

PB

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PM

NB

NB

NB

NB

NM

O

O

PS

NM

NM

NM

NM

O

PS

PS

PO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NO

NM

NM

NS

O

PS

PM

PM

NS

NS

NS

O

PM

PM

PM

PM

NM

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

NB

O

O

PM

PB

PB

PB

PB

EC

U

E

模糊關(guān)系與模糊推理模糊控制規(guī)則實際上是一組多重條件語句，可以表示為從誤差論域到控制量論域的模糊關(guān)系矩陣R。通過誤差的模糊向量E＇和誤差變化的模糊向量EC＇與模糊關(guān)系R的合成進行模糊推理，得到控制量的模糊向量，然后采用“清晰化”方法將模糊控制向量轉(zhuǎn)換為精確量。根據(jù)模糊集合和模糊關(guān)系理論，對于不同類型的模糊規(guī)則可用不同的模糊推理方法。以下以常用的ifAthenB類型的模糊規(guī)則的推理為例。若已知輸入為A，則輸出為B;若現(xiàn)在已知輸入為A＇，則輸出B＇用合成規(guī)則求取

(4—52)其中模糊關(guān)系R定義為

μR(x，y)＝min[μA(x)，μB(y)，](4—53)例如，已知當(dāng)輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B分別為:A＝／al／a2／a3／a4／a5B＝／bl／b2／b3／b4這里采用模糊集合的Zadeh表示法，其中ai，bi表示模糊集合所對應(yīng)的論域中的元素，而μi表示相應(yīng)的隸屬度，“／”不表示分數(shù)的意思。則當(dāng)輸入A′＝12345B′由下式求取B'＝A'R＝=[(0.4∩0.7)∪(0.7∩0.7)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩1.0)∪(0.7∩0.8)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.6)∪(0.7∩0.6)∪(1.0∩0.5)∪(0.6∩0.2)∪(0.0∩0.0),(0.4∩0.0)∪(0.7∩0.0)∪(1.0∩0.0)∪(0.6∩0.0)∪(0.0∩0.0)]=[(0.40.70.50.20.0),(0.40.70.50.20.0),(0.40.60.50.20.0),(0.00.00.00.00.0)]=(0.7,0.7,0.6,0.0)則B'＝1234在上述運算中，“∩”為取小運算，“∪”為取大運算。R=R1∪R2∪……∪Rn=

(4—53)

由于系統(tǒng)的控制規(guī)則庫是由若干條規(guī)則組成的，對于每一條推理規(guī)則都可以得到一個相應(yīng)的模糊關(guān)系，n條規(guī)則就有n個模糊關(guān)系：Rl，R2，...，Rn，對于整個系統(tǒng)的全部控制規(guī)則所對應(yīng)的模糊關(guān)系及可對n個模糊關(guān)系Ri(i＝l，2，...，n)取“并”操作得到，即4.5.5模糊控制向量的模糊判決—“清晰化”兩種簡單實用的方法。1．最大隸屬度法這種方法是在模糊控制向量中，取隸屬度最大的控制量作為模糊控制器的控制量。例如，當(dāng)?shù)玫侥：刂葡蛄繛?U'＝由于控制量隸屬于等級5的隸屬度為最大，所以取控制量為:U＝5這種方法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是完全排除了其他隸屬度較小的控制量的影響和作用，沒有充分利用取得的信息。2.加權(quán)平均判決法（1）普通加權(quán)平均法為了克服最大隸屬度法的缺點，可以采用加權(quán)平均判決法，即

U=(4—54)例如U'＝則

U＝＝4（2）權(quán)系數(shù)加權(quán)平均法其中ki為權(quán)系數(shù)。（3）中位數(shù)判決法將隸屬函數(shù)的曲線與橫坐標(biāo)所圍成的面積平均分成兩部分，以分界點對論域元素ui作為判決輸出。設(shè)模糊推理的輸出為模糊量C’,若存在u*,使得則u*為控制量的精確值。模糊控制表模糊關(guān)系、模糊推理以及模糊判決的運算可以離線進行，最后得到模糊控制器輸入量的量化等級E，EC與輸出量即系統(tǒng)控制量的量化等級U之間的確定關(guān)系，這種關(guān)系通常稱為“控制表”。對應(yīng)于節(jié)中的21條控制規(guī)則的“控制表”如表所示。

表4.8模糊控制表

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

-6

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-5

6

6

6

6

6

6

6

4

4

2

0

0

0

-4

7

6

7

6

7

7

7

4

4

2

0

0

0

-3

7

6

6

6

6

6

6

3

2

0

-1

-1

-1

-2

4

4

4

5

4

4

4

1

0

0

-1

-1

-1

-1

4

4

4

5

4

4

1

0

0

0

-3

-2

-1

-0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+0

4

4

4

5

1

1

0

-1

-1

-1

-4

-4

-4

+1

2

2

2

2

0

0

-1

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+2

1

2

1

2

0

-3

-4

-4

-4

-3

-4

-4

-4

+3

0

0

0

0

-3

-3

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+4

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

+5

0

0

0

-2

-4

-4

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

+6

0

0

0

-2

-4

-4

-7

-7

-7

-6

-7

-6

-7

EC

U

E

4.5.7確定實際的控制量顯然，實際的控制量u應(yīng)為從控制表中查到的量化等級U乘以比例因子。設(shè)實際的控制量u的變化范圍為[a，b]，量化等級為(-n，-n+1，…，o，...，