第53講 事件的獨立性、條件概率和全概率公式（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第53講事件的獨立性、條件概率和全概率公式（精講）題型目錄一覽①事件的相互獨立性②條件概率③全概率公式④貝葉斯公式一、知識點梳理一、知識點梳理一、條件概率1.定義：一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進(jìn)行．2.性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注：已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．二、相互獨立與條件概率的關(guān)系1.相互獨立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．2.事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當(dāng)時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．2.貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注：貝葉斯公式體現(xiàn)了，，，，，之間的關(guān)系，即，，.二、題型分類精講二、題型分類精講題型一事件的相互獨立性策略方法1.判斷事件是否相互獨立的方法（1）定義法：事件，相互獨立?．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)時，可用判斷．2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟（1）首先確定各事件之間是相互獨立的．（2）求出每個事件的概率，再求積．注：使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．【典例1】（單選題）將一顆骰子先后鄭兩次，甲表示事件“第一次向上點數(shù)為1”，乙表示事件“第二次向上點數(shù)為2”，丙表示事件“兩次向上點數(shù)之和為8”，丁表示事件“兩次向上點數(shù)之和為7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】根據(jù)相互獨立事件概率公式，即可判斷選項.【詳解】由題意知，，，，由于，所以甲與丁相互獨立．故選：B【典例2】（單選題）如圖，三個元件，，正常工作的概率分別為，，，將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路正常工作的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由對立事件的概率性質(zhì)可得，至少有一個正常工作的概率為，計算可得其概率，由相互獨立事件的概率乘法公式計算可得答案．【詳解】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，則；電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個正常工作，、不發(fā)生故障即，至少有一個正常工作的概率，所以整個電路不發(fā)生故障的概率為，故選：D【題型訓(xùn)練】一、單選題1．從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從兩個口袋內(nèi)各摸1個球，那么概率為的事件是（

）A．兩個都不是白球 B．兩個不全是白球C．兩個都是白球 D．兩個球中恰好有一個白球【答案】B【分析】由條件可直接求出兩個球全是白球的概率為，從而得到兩個球不全是白球的概率為，由此得出結(jié)論.【詳解】解：∵從甲口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，從乙口袋內(nèi)摸出一個白球的概率是，故兩個球全是白球的概率為，故兩個球不全是白球的概率為，故選：B.2．某次乒乓球單打比賽在甲、乙兩人之間進(jìn)行.比賽采取三局兩勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽的勝利，比賽結(jié)束.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝出的概率都為，比賽不設(shè)平局，各局比賽的勝負(fù)互不影響.這次比賽甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲戰(zhàn)勝乙包含兩種情況：①甲連勝2局，②前兩局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝，由此利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲戰(zhàn)勝乙的概率．【詳解】結(jié)合題意：甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊包含兩種情況：甲連勝2局，概率為，前兩局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝，概率為，則甲戰(zhàn)勝乙的概率為．故選：D．3．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”．丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙不相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可．【詳解】依題意可得P(甲)，P(乙)，兩次取出的球的數(shù)字之和為8，有，，，，，共5種情況，則P(丙)，兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有，，，，，共6種情況，則P(丁)，對于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A錯誤；對于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正確；對于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C錯誤；對于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D錯誤．故選：B．4．一個正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)，，則（

）A．與互斥 B．與相互對立C．與相互獨立 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出概率，結(jié)合互斥事件，相互獨立及概率的乘法公式進(jìn)行計算即可.【詳解】依題得，，，，對A，有共同的樣本點2,3，所以不互斥，A錯誤；對B，與共同的樣本點，所以，B錯誤；對C，，，則，則，，，則，則C錯誤；對D，，，D正確.故選：D5．現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（

）A．乙與丙相互獨立 B．乙與丁相互獨立C．甲與丙相互獨立 D．甲與乙相互獨立【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，結(jié)合相互獨立事件的概念及判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意得，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回地取撲克牌兩次的試驗的基本事件總數(shù)是，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的撲克牌花色相同包含的基本事件數(shù)為，則事件丙的概率，所以事件丁的概率，對于A中，事件乙與丙同時發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以乙與丙不相互獨立，所以A錯誤；對于B中，事件乙與丁同時發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以乙與丁不相互獨立，所以B錯誤；對于C中，事件甲與丙同時發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以甲與丙不相互獨立，所以C錯誤；對于D中，事件甲與乙同時發(fā)生所包含的基本事件數(shù)為，其概率，所以甲與乙相互獨立，D正確．故選：D．6．同時擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”.則下列說法中正確的是（

）①A與C互斥

②B與D對立

③A與D相互獨立

④B與C相互獨立A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、獨立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】①；因為兩枚骰子的點數(shù)相同，所以兩枚骰子的點數(shù)之和不能為5，所以A與C互斥，因此本序號說法正確；②：當(dāng)紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)，藍(lán)色骰子的點數(shù)是奇數(shù)時，B與D同時發(fā)生，因此這兩個事件同時發(fā)生，所以本序號說法不正確；③：，顯然，所以A與D不相互獨立，所以本序號說法不正確；④：，顯然，所以B與C相互獨立，所以本序號說法正確，故選：B7．某中學(xué)運動會上有一個項目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進(jìn)行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)對應(yīng)的概率，最后各種情況概率相加即可求解.【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)，分類討論如下：（1）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（2）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（3）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．（4）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過局比賽獲勝的概率．所以所求概率，故A項正確.故選：A.8．同時拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點數(shù)，表示綠色骰子的點數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A與對立 B．C．A與相互獨立 D．與相互獨立【答案】C【分析】對于A：根據(jù)對立事件概念分析判斷；對于B：事件的運算結(jié)合古典概型運算求解；對于CD：根據(jù)古典概型結(jié)合獨立事件的概念分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：事件“”，事件“為奇數(shù)”，例如，則，不為奇數(shù)，即A事件和事件可以同時不發(fā)生，所以A事件與事件不對立，故A錯誤；對于選項B：樣本空間共個樣本點，且，共個樣本點，所以，，共個樣本點，，，共個樣本點，，則，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以與不相互獨立，故D錯誤；對于選項D：因為，則，且，可得，所以與相互獨立，故C正確．故選：C．二、多選題9．甲?乙兩個口袋中裝有除了編號不同以外其余完全相同的號簽.其中，甲袋中有編號為的三個號簽；乙袋有編號為的六個號簽.現(xiàn)從甲?乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲?乙兩袋抽取號簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽6；事件C：抽取的兩個號簽和為3；事件D：抽取的兩個號簽編號不同.則下列選項中，正確的是（

）A．B．C．事件與事件C相互獨立D．事件A與事件D相互獨立【答案】ABD【分析】利用相互獨立事件的定義及概率乘法公式判斷A,C,D選項，根據(jù)古典概型判斷B選項.【詳解】對于A:A,B相互獨立,,A正確；對于B：基本事件共有18種，事件C包括2種情況,,B正確；對于C:由，得相互不獨立，C錯誤；對于D:由，得相互獨立，D正確；故選：ABD.10．拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點數(shù)，用x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示綠色骰子的點數(shù)，定義事件：A=“”，B=“為奇數(shù)”，C=“”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件A與B互斥B．事件A與B是對立事件C．事件B與C相互獨立D．事件A與C相互獨立【答案】AD【分析】根據(jù)題意，利用列舉法，結(jié)合互斥事件、對立事件的概念，可判定A正確，B不正確；再由相互獨立事件的判定方法，可判定C不正確，D正確.【詳解】拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點數(shù)，用x表示紅色骰子的點數(shù)，y表示綠色骰子的點數(shù)，定義事件：A=“”，B=“為奇數(shù)”，C=“”，對于A中，事件包含的基本事件為，事件包含的基本事件為，事件與不能同時發(fā)生，所以事件與為互斥事件，所以A正確；對于B中，事件與不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以不是對立事件，所以B錯誤；對于C中，事件“”，可得，又由且，則，所以事件與不相互獨立，所以C錯誤；對于D中，由，且，則滿足，所以事件與相互獨立，所以D正確.故選：AD.11．下列對各事件發(fā)生的概率的判斷正確的是（）A．一個袋子中裝有2件正品和2件次品，任取2件，“兩件都是正品”與“至少有1件是次品”是對立事件;B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，假設(shè)他們破譯密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．甲袋中有除顏色外其他均相同的8個白球，4個紅球，乙袋中有除顏色外其他均相同的6個白球，6個紅球，從甲、乙兩袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為D．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是【答案】ACD【分析】應(yīng)用對立事件的定義判斷A，密碼被破解的對立事件是三個人同時沒有破譯密碼，由此求出密碼被破譯的概率判斷B，從每袋中各任取一個球，利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出取到相同球的概率判斷C，利用對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率乘法公式列方程，求判斷D.【詳解】對于A，袋子中有2件正品和2件次品，任取2件，“兩件都是正品”與“至少有1件是次品”是對立事件，故A正確；對于B，密碼被破譯的概率為，故B錯誤；對于C，設(shè)從甲袋中取到白球為事件，則，從乙袋中取到白球為事件，則，故取到同色球的概率為，故C正確；對于D，因為，即，即，所以，又，所以，所以，故D正確，故選：ACD.12．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算概率判斷AB，根據(jù)相互獨立事件的定義結(jié)合概率的求法判斷CD.【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，則基本事件總數(shù)為，，，，，，共36種情形，滿足事件的有，共4種情形，其概率，故A正確；滿足事件的有，共2種情形，其概率，B不正確；滿足事件的有，，，共18種情形，其概率，滿足事件的有共2種情形，所以，則，所以與相互獨立，C正確；滿足事件的只有一種情形，所以，因為，所以與相互獨立，D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知，，人進(jìn)行射擊比賽，且，，一次射擊命中環(huán)的概率分別為，，，若他們每人射擊一次，則至少有人命中環(huán)的概率為.【答案】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式直接求解.【詳解】人中至少有人命中環(huán)即人命中環(huán)或人命中環(huán)，故所求概率，故答案為：.14．若兩個事件相互獨立，且，則.【答案】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式，即可得答案.【詳解】由于兩個事件相互獨立，且，故，故答案為：15．某公司招新面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，小明答對每道題目的概率都是0.7.若每位面試者共有三次機(jī)會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，則小明最終通過面試的概率為.【答案】【分析】根據(jù)獨立事件概率乘法公式可求得無法通過面試的概率，根據(jù)對立事件概率的求法可求得結(jié)果.【詳解】小明無法通過面試的概率為，小明最終通過面試的概率為.故答案為：.16．某高中的獨孤與無極兩支排球隊在校運會中采用五局三勝制（有球隊先勝三局則比賽結(jié)束）．第一局獨孤隊獲勝概率為，獨孤隊發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加，反之降低．則獨孤隊不超過四局獲勝的概率為．【答案】0.236【分析】根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)為獨孤隊第局取勝，由題意，獨孤隊取勝的可能結(jié)果為四個互斥事件：，，，，所以獨孤隊取勝的概率．故答案為：17．某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為．【答案】【分析】根據(jù)互斥事件、獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】記“這名同學(xué)答對第個問題”為事件，則，，這名同學(xué)得300分包括兩種情況，一是答對第一和第三兩個題目，二是答對第二和第三兩個題目，這兩種情況是互斥的，所以.故答案為：18．同時擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”.①A與C互斥

②B與D對立

③A與D相互獨立

④B與C相互獨立則上述說法中正確的為.【答案】①④【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對應(yīng)的組合，結(jié)合互斥、對立、獨立事件的定義或性質(zhì)判斷事件間的關(guān)系即可.【詳解】若表示(紅,藍(lán))的點數(shù)組合，則所有可能組合有：，，，，，.事件A的組合有，共4種；事件B的組合有，，，共18種；事件C的組合有，共6種；事件D的組合有，，，，，，共27種；事件的組合有，故；事件的組合有故；綜上，A與C互斥，B與D不對立，，，，，所以，.A與D不相互獨立、B與C相互獨立.故答案為：①④四、解答題19．為普及法律知識，弘揚憲法精神，某校教師舉行法律知識競賽.比賽共分為兩輪，即初賽和決賽，決賽通過后將代表學(xué)校參加市級比賽.在初賽中，已知甲教師晉級決賽的概率為，乙教師晉級決賽的概率為.若甲?乙能進(jìn)入決賽，在決賽中甲?乙兩人能勝出的概率分別為和.假設(shè)甲?乙初賽是否晉級和在決賽中能否勝出互不影響.(1)若甲?乙有且只有一人能晉級決賽的概率為，求的值；(2)在（1）的條件下，求甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式可分別計算甲、乙贏得比賽的概率，可得到結(jié)論；（2）根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲在初賽中晉級”，事件表示“乙在初賽中晉級”，由題意可知，，解得.（2）設(shè)事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，為“甲能參加市級比賽”，為“乙能參加市級比賽”，則，，所以.20．某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否回答正確互不影響．求：(1)該選手進(jìn)入第三輪考核才被淘汰的概率；(2)該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率公式計算可得.（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對立事件的概率公式計算可得.【詳解】（1）記“該選手正確回答第輪問題”為事件，則事件，，相互獨立，且，，.因為該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，所以該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率為.（2）因為選手至多進(jìn)入第二輪考核意味著第一輪淘汰或者第一輪通過第二輪淘汰,且事件和互斥.所以該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率為.21．甲、乙兩位同學(xué)參加某項知識競賽，比賽共有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每道題的概率都為，乙同學(xué)答對每道題的概率都為，且在比賽中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知同一道題甲、乙至少一人答對的概率為，兩人都答對的概率為．(1)求和的值；(2)求本次知識競賽甲同學(xué)答對的題數(shù)小于乙同學(xué)答對的題數(shù)的概率．【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)設(shè)“甲同學(xué)答對該題”，“乙甲同學(xué)答對該題”，再根據(jù)所給概率列式求解即可；（2）設(shè)m，n分別表示甲、乙兩位同學(xué)答對的題目數(shù)，由題意得所求概率為，再分別計算求和即可.【詳解】（1）設(shè)“甲同學(xué)答對該題”，“乙甲同學(xué)答對該題”，則．由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立，所以，，即，解得．（2）設(shè)m，n分別表示甲、乙兩位同學(xué)答對的題目數(shù)，由題意得，所求概率為．22．一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學(xué)問題的最終結(jié)論，一題多解不但達(dá)到了解題的目標(biāo)要求，而且讓學(xué)生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學(xué)生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數(shù)學(xué)解題更加豐富而多彩．假設(shè)某題共存在4種常規(guī)解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．(1)求的值；(2)求小紅不能正確解答本題的概率；(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算得解.（2）利用對立事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.（3）利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.【詳解】（1）記小紅使用解法一、二、三、四答對分別為事件，則，因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為，于是，解得，所以.（2）若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，所以小紅不能正確解答本題的概率是．（3）記事件為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，則，所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為．23．在2023年成都大運會的射擊比賽中，中國隊取得了優(yōu)異的比賽成績，激發(fā)了全國人民對射擊運動的熱情．某市舉行了一場射擊表演賽，規(guī)定如下：表演賽由甲、乙兩位選手進(jìn)行，每次只能有一位選手射擊，用抽簽的方式確定第一次射擊的人選，甲、乙兩人被抽到的概率相等；若中靶，則此人繼續(xù)射擊，若未中靶，則換另一人射擊．已知甲每次中靶的概率為，乙每次中靶的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射擊后甲得20分的概率；(2)求第n次射擊的人是乙的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，把3次射擊后甲得20分的情況，第1次、第2次都是甲射擊且中靶，第3次甲射擊且未中靶和第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，結(jié)合相互獨立的概率乘法公式，即可求解；（2）設(shè)“第n次射擊的人是乙”為事件，得到，得到為等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，3次射擊后甲得20分的情況有以下兩種：第1次、第2次都是甲射擊且中靶，第3次甲射擊且未中靶，其概率；第1次乙射擊且未中靶，第2次、第3次甲射擊且均中靶，其概率．所以3次射擊后甲得20分的概率．（2）解：設(shè)“第n次射擊的人是乙”為事件，則，所以，又由，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，故第n次射擊的人是乙的概率為．題型二條件概率策略方法1.判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼．但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問題．運用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析．2.求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.【典例1】（單選題）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】設(shè)第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，則，，所以.故選：C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．核酸檢測是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解.【詳解】記感染新冠病毒為事件,感染新冠病毒的條件下,標(biāo)本為陽性為事件則,故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為，故選：A2．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】記“兩動車相鄰”，“動車停在道”，則.故選：C3．有首歌道“大理三月好風(fēng)光，蝴蝶泉邊好梳妝”，近年來大理州一直致力開發(fā)旅游事業(yè)，吸引著大批的游客前往大理旅游.現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到大理，準(zhǔn)備從蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五個景點中隨機(jī)選擇一個景點游玩，記事件為“甲和乙至少一人選擇蝴蝶泉”，事件為“甲和乙選擇的景點不同”，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】使用列舉法，利用古典概型和條件概率公式可得.【詳解】分別記景點蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分別為a，b，c，d，e.則事件A包含的樣本點有，共9種情況，其中“甲和乙選擇的景點不同”有，共8種情況，所以.故選：B4．小明先后投擲兩枚骰子，已知有一次投擲時朝上的點數(shù)為偶數(shù)，則兩次投擲時至少有一次朝上的點數(shù)為4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記“有一次投擲時朝上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件A，“兩次投擲時至少有一次朝上的點數(shù)為4”為事件B，根據(jù)古典概型公式求出的值，進(jìn)而根據(jù)條件概率公式求解即可得出答案.【詳解】記“有一次投擲時朝上的點數(shù)為偶數(shù)”為事件A，包含27種情況，“兩次投擲時至少有一次朝上的點數(shù)為4”為事件B，包含11種情況.則，，所以，.故選：B.5．2023年8月31日貴南高鐵實現(xiàn)全線貫通運營，我國西南和華南地區(qū)新增一條交通大動脈，黔桂兩地間交通出行更加便捷、西南與華南地區(qū)聯(lián)系將更加緊密.貴南高鐵線路全長482公里，設(shè)計時速350公里，南寧東到貴陽東旅行時間由原來的5個多小時縮短至最快2小時53分.貴陽某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個來自南寧的旅行團(tuán)對貴陽兩種特色小吃腸旺面和絲娃娃的喜愛情況，了解到其中有的人喜歡吃腸旺面，有的人喜歡吃絲娃娃，還有的人既不喜歡吃腸旺面也不喜歡吃絲娃娃.在已知該旅行團(tuán)一游客喜歡吃腸旺面的條件下，他還喜歡吃絲娃娃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出事件，求出既喜歡腸旺面又喜歡絲娃娃的概率，從而利用條件概率公式求出答案.【詳解】設(shè)喜歡吃腸旺面設(shè)為事件，喜歡吃絲娃娃設(shè)為事件，喜歡腸旺面或絲娃娃為事件，既喜歡腸旺面又喜歡絲娃娃為，由題意知，，從而，因此由條件概率的公式得.故選：B.6．箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機(jī)摸取1個球，已知其中一人摸到的是白球，則另外一人摸到的也是白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，箱子中裝有2個白球和2個黑球，兩人先后從中有放回地隨機(jī)摸取1個球，設(shè)事件為“其中一人摸到的是白球”，事件為“另一人摸到的是白球”因為兩人先后從中有放回地隨機(jī)摸取1個球，可得，所以所求概率為.故選：A.7．已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機(jī)從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)“從1號箱中取到紅球放入2號箱”為事件A，“從2號箱中取到紅球”為事件B.由題意，知，，所以，所以兩次都取到紅球的概率為.故選：C.8．一個不透明的袋中裝有4個紅球，4個黑球，2個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個球，事件A：“這3個球的顏色各不相同”，事件B：“這3個球中至少有1個黑球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用分類加法與分步乘法分別求得、，再結(jié)合條件概率的公式計算即可.【詳解】由題意知，，，所以.故選：D.9．湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地，王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)校選擇萬華巖中小學(xué)生研學(xué)實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用條件概率公式計算即得.【詳解】依題意，甲，乙隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)的試驗有個基本事件，事件A含有的基本事件數(shù)是，則，事件含有的基本事件數(shù)為，則,所以.故選：B10．某市計劃開展“學(xué)兩會，爭當(dāng)新時代先鋒”知識競賽活動．某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人士，并從中隨機(jī)選取4人組成代表隊參賽．在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式計算即可.【詳解】既有黨員又有民主黨派人士有種，其中黨員甲被選中有種，所以在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中的概率為.故選：C.11．將三枚骰子各擲一次，設(shè)事件為“三個點數(shù)都不相同”，事件為“出現(xiàn)一個6點”，則概率的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由古典概型求出和，結(jié)合條件概率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，將三枚骰子各擲一次，有種情況，其中，若三個點數(shù)都不相同，有種情況，，若三個點數(shù)都不相同且出現(xiàn)一個6點，有種情況，，故概率．故選：B．12．甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用排列組合及計數(shù)原理，求出和，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，，，所以，故選：B.13．甲盒中有2個紅球和1個黃球，乙盒中有1個紅球和2個黃球，丙盒中有1個紅球和1個黃球．從甲盒中隨機(jī)抽取一個球放入乙盒中，攪拌均勻，然后從乙盒中隨機(jī)抽取一個球放入丙盒中，攪拌均勻后，再從丙盒中抽取一個球，則從丙盒中抽到的是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】事件從丙盒抽到的是紅球可視為事件甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球，事件甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，事件丙盒抽到紅球，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球，事件甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的和事件，利用互斥事件的概率加法公式和概率乘法公式求解即可.【詳解】甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為，甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為，因此丙盒中抽到的紅球的概率為．故選：A．二、多選題14．某校高三班有學(xué)生人，其中共青團(tuán)員人．全班平均分成個小組，其中第一組有共青團(tuán)員人．從該班任選一人作為學(xué)生代表，下列說法錯誤的是（

）A．選到的是第一組的學(xué)生的概率為B．選到的是第一組的學(xué)生的概率為C．已知選到的是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率為D．已知選到的是共青團(tuán)員，則他是第一組學(xué)生的概率為【答案】AC【分析】由古典概型的概率可判斷選項A、B；再由條件概率可判斷選項C、D.【詳解】設(shè)事件表示“選到第一組學(xué)生”，事件表示“選到共青團(tuán)員”，由題意，，故選項A錯誤，選項B正確；要求的是在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，在事件發(fā)生的條件下即已所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提，有種不同的選擇，其中屬于第一組的有種選擇，因此，故選項C錯誤，選項D正確.故選：AC．15．若、分別為隨機(jī)事件、的對立事件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BD【分析】利用條件概率公式逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，因為，但與不一定相等，故不一定等于，A錯；對于B選項，因為，，所以，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，因為，所以，，所以，事件、獨立，故，D對.故選：BD.16．某校開展羽毛球比賽，甲組有選手6名，其中3名男生，3名女生；乙組有選手5名，其中3名男生，2名女生．現(xiàn)從甲組隨機(jī)抽取一人加入乙組，再從乙組隨機(jī)抽取一人，A表示事件“從甲組隨機(jī)抽取的一人是女生”，表示事件“從乙組隨機(jī)抽取的一人是男生”，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】AB選項，在A發(fā)生情況下，結(jié)合古典概型求概率公式計算出答案；CD選項，在發(fā)生的情況下，結(jié)合古典概型求概率公式計算出答案.【詳解】A選項，在A發(fā)生時，從乙組隨機(jī)抽取一人，有6種可能情況，其中抽取的一人是男生有3種可能情況，所以，A正確；B選項，在A發(fā)生時，從乙組隨機(jī)抽取一人，其中抽取的一人是女生有3種可能情況，所以錯誤；C選項，在發(fā)生時，從乙組隨機(jī)抽取一人，有6種可能情況，其中抽取的一人是男生有4種可能情況，所以，C正確；D選項，在發(fā)生時，從乙組隨機(jī)抽取一人，有6種可能情況，其中抽取的一人是女生有2種可能情況，所以，D錯誤.故選：AC．17．給定事件，且，則下列選項正確的是（

）A．若，則A，B互為對立事件B．若，且A，B互斥，則A，B不可能相互獨立C．D．若A，B為相互獨立事件且，則【答案】BCD【分析】利用條件概率和對立事件的的概念判斷選項A；利用事件的互斥和獨立的概念判斷選項B；利用條件概率公式判斷選項C；利用獨立事件的概率乘法公式判斷選項D.【詳解】對A，由表明在事件發(fā)生的前提下，事件或事件發(fā)生的概率為1，并不能得出A，B互為對立事件，A錯誤；對B，若，且A，B互斥，則,所以A，B不可能相互獨立，B正確；對C，當(dāng)互斥時，；當(dāng)不互斥時，，C正確；對D，若A，B為相互獨立事件，則，,D正確.故選:BCD.18．盒子中共有4只黑球，2只白球，現(xiàn)從中不放回地每次任取一球，連取兩次，則下列選項正確的是（

）A．第一次取到黑球的概率為B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不對立C．在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率為D．第二次取到黑球的概率為【答案】AC【分析】求出第一次取到黑球的概率可判斷A；列出“第一次取到黑球”、“第一次取到白球”包含的基本事件可判斷B；根據(jù)條件概率公式計算可判斷C；求出第二次取到黑球的概率可判斷D.【詳解】對于A，第一次取到黑球的概率為，故A正確；對于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，或者第一次取到黑球第二次取到白球兩種情況；“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，或者第一次取到白球第二次取到黑球兩種情況，所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又對立，故B錯誤；對于C，設(shè)第一次取到白球為事件，第二次取到黑球為事件，則第一次取到白球第二次取到黑球的概率為，，所以在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率為，故C正確；對于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，或者第一次取到白球第二次取到黑球兩種情況，所以第二次取到黑球的概率為，故D錯誤.故選：AC.19．設(shè)，是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】因為，，所以，.因為與為互斥事件，所以，所以，所以，故，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，，所以，故D錯誤.故選:AB.三、填空題20．袋中有10個外形相同的球，其中5個白球，3個黑球，2個紅球，從中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率是.【答案】【分析】先設(shè)事件A、B，寫出，；再利用條件概率計算公式計算即可得出答案.【詳解】用A表示事件“從中任意取出一球，它不是白球”，用B表示事件“從中任意取出一球，它是黑球”.則，所以故答案為：21．已知事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，若在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為.【答案】【分析】利用條件概率公式計算出的值，再利用條件概率公式可求得的值.【詳解】由已知可得，，，由可得，故.故答案為：.22．從這個連續(xù)正整數(shù)中不放回地任取2個數(shù)，設(shè)“第一次取到的是質(zhì)數(shù)”為事件A，又設(shè)“第二次取到的不是質(zhì)數(shù)”為事件，且，則的所有可能值的和為.【答案】15【分析】根據(jù)條件概率得出在中質(zhì)數(shù)比不是質(zhì)數(shù)的數(shù)多一個，由質(zhì)數(shù)合數(shù)的定義判斷可得的可能值，再求和即得．【詳解】由知在中質(zhì)數(shù)比不是質(zhì)數(shù)的數(shù)多一個，因此只可能為3，5，7共3個，而．故答案為：15.23．現(xiàn)有10張獎券，有且僅有2張為有獎獎券，甲、乙兩人輪流依次不放回地抽取獎券，甲先抽取，然后乙再抽取為一個輪次．則在第一輪甲、乙都未中獎的條件下，第二輪甲、乙都中獎的概率為．【答案】【分析】設(shè)出事件，利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)事件為在第一輪甲、乙都未中獎，事件為第二輪甲、乙都中獎，則，，所以.故答案為：24．當(dāng)前，我國各年齡段青少年的近視呈現(xiàn)發(fā)病年齡早?進(jìn)展快?程度深的趨勢，其中很大一部分是青少年長時間玩手機(jī)導(dǎo)致的.據(jù)調(diào)查，貴陽市某高中學(xué)生大約0.3的人近視，而該校大約有0.4的學(xué)生每天玩手機(jī)超過2.5小時，這些人的近視率約為0.6.現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過2.5小時的概率為.【答案】【分析】根據(jù)條件概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他是近視記為事件，且，從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他每天玩手機(jī)超過記為事件，且由題可知，，所以從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為.故答案為：25．1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是.【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“甲在五一假期期間值班2天”為事件，“甲連續(xù)值班”為事件，則種，種，所以，所以已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為.故答案為：.26．五一長假期間，某單位安排這3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一長假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率是.【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“在五一長假期間值班2天”，“連續(xù)值班”，則種，種，所以.所以已知在五一長假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率為.故答案為：.27．現(xiàn)有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)抽取兩瓶，若取出的兩瓶中至少有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為．【答案】【分析】先用大寫字母表示各個事件，然后根據(jù)條件概率公式，分別求出各事件的概率即可.【詳解】設(shè)事件A為“取出的兩瓶中至少有一瓶是藍(lán)色”，事件B為“取出的兩瓶中另一瓶是紅色”，事件C為“取出的兩瓶中另一瓶是黑色”，事件D為“取出的兩瓶中另一瓶是紅色或黑色”，則，且B與C互斥．由題意得，，，，所以，故取出的兩瓶中至少有一瓶是藍(lán)色，另一瓶是紅色或黑色的概率為．故答案為：.題型三全概率公式策略方法全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮．【典例1】（單選題）在2023亞運會中，中國女子籃球隊表現(xiàn)突出，衛(wèi)冕亞運會冠軍，該隊某球員被稱為3分球投手，在比賽中，她3分球投中的概率為，非3分球投中的概率為，且她每次投球投3分球的概率為，則該球員投一次球得分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件A為“該球員投球得分”，事件B為“該球員投中3分球得分”，由全概率公式：，故選：C【題型訓(xùn)練】一、單選題1．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張光片，則取得的光片是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【答案】A【分析】運用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】取得的光片是次品的概率為.故選：A2．甲、乙兩個袋子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲袋中有2個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有3個紅球，1個白球和1個黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球.若用事件和分別表示從甲袋中取出的球是紅球，白球和黑球，用事件表示從乙袋中取出的球是紅球，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由全概率公式可得.【詳解】易知，，所以.故選：A3．現(xiàn)有甲乙兩個箱子，分別裝有除顏色外其它都相同的黑色和白色兩種球，甲箱裝有2個白球3個黑球，乙箱有3個白球2個黑球，先從甲箱隨機(jī)取一個球放入乙箱，再從乙箱隨機(jī)取一個球是白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行計算.【詳解】設(shè)“從乙箱中取出白球”，“從甲箱中取出白球”，則，，，，故由全概率公式得．故選：C．4．長時間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩手機(jī)時間超過的學(xué)生”，“玩手機(jī)時間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B5．隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.077【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】記小明步行上班為事件，騎共享單車上班為事件，乘坐地鐵上班為事件，小明上班遲到為事件，則，，，，所以，所以某天上班他遲到的概率是.故選：D.6．設(shè)A，B為兩個事件，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計算即得.【詳解】由，得，顯然，因此，所以．故選：B7．重慶八中味園食堂午餐情況監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，小唐同學(xué)周一去味園的概率為，周二去味園的概率為，且小唐周一不去味園的條件下周二去味園的概率是周一去味園的條件下周二去味園的概率的2倍，則小唐同學(xué)周一、周二都去味園的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，根據(jù)題意利用全概率公式可得，進(jìn)而結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，則“小唐同學(xué)周一、周二都去味園”為事件AB，由題意可知：，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故選：A8．已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機(jī)選取一箱，再從該箱中隨機(jī)取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，，然后根據(jù)題意求出，,的值，再根據(jù)全概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，,則由題意知，，,,所以故選：C二、多選題9．某市場供應(yīng)多種品牌的N95口罩，相應(yīng)的市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表：在該市場中隨機(jī)買一種品牌的口罩，記表示買到的口罩分別為甲品牌、乙品牌、其他品牌，記表示買到的口罩是優(yōu)質(zhì)品，則（）品牌甲乙其他市場占有率優(yōu)質(zhì)率A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于A，利用互斥事件的概率公式求解判斷，對于BD，由條件概率公式計算判斷，對于C，由全概率公式計算判斷.【詳解】由題意得，對于A，因為與互斥，所以，所以A正確；對于B，，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D錯誤.故選：AC10．甲盒中有3個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，3個白球．先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒，用事件表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件表示“從甲盒中取出的是白球”；再從乙盒中隨機(jī)取出一球，用事件表示“從乙盒中取出的是紅球”，則（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件是獨立事件C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)對立事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷B；分第一次取白球和紅球兩種情況討論，從而可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.【詳解】對于A：事件A與事件是對立事件，故A正確；對于B：事件發(fā)生與否與事件C有關(guān)，故B錯誤：對于C：，故C錯誤；對于D：，，所以，故D正確．故選：AD.11．某市場供應(yīng)多種品牌的N95口罩，相應(yīng)的市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：品牌甲乙其他市場占有率優(yōu)質(zhì)率在該市場中隨機(jī)買一種品牌的口罩，記表示買到的口罩分別為甲品牌、乙品牌、其他品牌，記表示買到的口罩是優(yōu)質(zhì)品，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于A，利用互斥事件的概率公式求解判斷，對于BD，由條件概率公式計算判斷，對于C，由全概率公式計算判斷.【詳解】由題意得，對于A，因為與互斥，所以，所以A正確，對于B，，所以B錯誤，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤，故選：AC12．有3臺機(jī)器生產(chǎn)同一種零件.第1臺機(jī)器加工的次品率為10%，第2，3臺機(jī)器加工的次品率均為8%，加工出來的零件混放在一起.已知三臺機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%，35%，45%，則下列選項正確的有（

）A．任取一個零件是第一臺機(jī)器生產(chǎn)出來的次品概率為0.02B．任取一個零件是次品的概率為0.084C．如果取到的零件是次品，且是第2臺機(jī)器生產(chǎn)的概率為D．如果取到的零件是次品，且是第3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率為【答案】ABD【分析】應(yīng)用乘方公式、全概率公式求第一臺機(jī)器生產(chǎn)出來的次品概率、次品的概率，再由條件概率含義，應(yīng)用古典概型的概率求法求次品條件下第2、3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率.【詳解】A：任取一個零件是第一臺機(jī)器生產(chǎn)出來的次品概率為，對；B：任取一個零件是次品的概率為，對；C：如果取到的零件是次品，且是第2臺機(jī)器生產(chǎn)的概率為，錯；D：如果取到的零件是次品，且是第3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率為，對.故選：ABD三、填空題13．某車企為了更好地設(shè)計開發(fā)新車型，統(tǒng)計了近期購車的車主性別與購車種類（新能源車或者燃油車）的情況，其中新能源車占銷售量的，男性占近期購車車主總數(shù)的，女性購車車主有購買了新能源車，根據(jù)以上信息，則男性購車時，選擇購買新能源車的概率是.【答案】0.7【分析】根據(jù)題意，由全概率公式將購買新能源的分為男性購買新能源和女性購買新能源列出關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)男性中有購買了新能源車，則，解得，所以男性購車時，選擇購買新能源車的概率是0.7.故答案為：0.714．浙江省高考實行“七選三”選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%，60%，50%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機(jī)選取一個學(xué)生，則這個學(xué)生選了物理的概率為．【答案】【分析】先求得這個學(xué)生來自每個學(xué)校并且選擇了物理的概率，最后由分類加法算出總概率.【詳解】設(shè)：事件：這個學(xué)生來自甲學(xué)校；事件：這個學(xué)生來自乙學(xué)校；事件：這個學(xué)生來自丙學(xué)校；事件：甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；由題意知：這個學(xué)生選擇是物理的概率：.故答案為：.15．現(xiàn)有兩個罐子，1號罐子中裝有3個紅球?2個黑球，2號罐子中裝有4個紅球?2個黑球.現(xiàn)先從1號罐子中隨機(jī)取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.【詳解】記1號罐子中取出紅球的事件為，取出黑球的事件為，從2號罐子中取出紅球的事件為，顯然互斥，，所以.故答案為：.16．某學(xué)校有，兩家餐廳，某同學(xué)第1天等可能地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4，則該同學(xué)第2天去餐廳的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此該同學(xué)第天去餐廳用餐的概率為.故答案為：.17．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去廣西桂林旅游的概率分別為0.1，0.2，0.15，且該地居民青少年、中年人、老年人的人數(shù)比例為4:3:3，若從該地居民（僅指青少年、中年人、老年人）中任選一人，則此人暑期去桂林旅游的概率為．【答案】0.145【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.【詳解】記該地居民為青少年、中年人、老年人的事件分別為，顯然，且兩兩互斥，記任選一人去桂林旅游的事件為，則，,由全概率公式得.故答案為：0.145四、解答題18．年是共青團(tuán)建團(tuán)一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校組織了共青團(tuán)團(tuán)史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.(1)若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率：(2)若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機(jī)會的概率為，乙搶到答題機(jī)會的概率為，丙搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算出乙、丙分別答題正確的概率，再利用獨立事件和對立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率；（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.【詳解】（1）解：設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以，若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率為.（2）解：記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件為“這道題被答對”，則，，，，，，由全概率公式可得.19．為了考察學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個同學(xué)來抽題回答；每個同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中逐個隨機(jī)抽取兩道題作答．每個同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個題目抽取概念敘述題的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式計算即可；（2）先設(shè)事件，然后求出相關(guān)概率，再根據(jù)全概率公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)表示“第次從甲箱中抽到概念敘述題”，則，，所以第二題抽到的是概念敘述題的概率（2）設(shè)事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是概念敘述題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出的兩道題都是計算題，事件表示同學(xué)甲從甲箱中取出1個概念敘述題1個計算題，事件表示B同學(xué)從乙箱中抽取兩道題目，第一個題目抽取概念敘述題，，，，，20．莆田是歷史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的爭相打卡點，莆田文旅局調(diào)查打卡二十四景游客，發(fā)現(xiàn)75%的人至少打卡兩個景點.為提升城市形象，莆田文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是莆田文化金屬書簽?莆陽古厝徽章?廣化寺祈福香包?湄洲藝術(shù)擺件.若打卡二十四景游客至少打卡兩個景點，則有兩次抽獎機(jī)會；若只打卡一個景點，則有一次抽獎機(jī)會.每次抽獎可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡二十四景游客打卡景點情況相互獨立.(1)從全體打卡二十四景游客中隨機(jī)抽取3人，求3人抽獎總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡二十四景游客，求此游客抽中廣化寺祈福香包的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）用間接法，先求其對立事件“3人抽獎總次數(shù)低于4次”的概率即可；（2）應(yīng)用全概率公式求解.【詳解】（1）設(shè)3人抽獎總次數(shù)為，則的可能取值為3，4，5，6.由題意知，每位打卡二十四景游客至少打卡兩個景點的概率為，只打卡一個景點的概率為，隨機(jī)抽取3人，3人打卡景點情況相互獨立.表示抽獎總次數(shù)為3次，即3人都只打卡一個景點.依題意可得，，所以.（2）記事件“每位打卡二十四游客至少打卡兩個景點”，則“每位打卡二十四景游客只打卡一個景點”，事件“一位打卡二十四景游客抽中廣化寺祈福香包”，則，，因為每次抽獎可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物，所以游客抽到每個香包的概率都是.一個游客至少打卡兩個景點，抽中廣化寺祈福香包的概率為，一個游客打卡一個景點，抽中廣化寺祈福香包的概率為，由全概率公式得，.21．某大學(xué)生創(chuàng)客實踐基地，甲、乙兩個團(tuán)隊生產(chǎn)同種創(chuàng)新產(chǎn)品，現(xiàn)對其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗.(1)為測試其生產(chǎn)水準(zhǔn)，從甲、乙生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽檢15個樣本，評估結(jié)果如圖：現(xiàn)將“一、二、三等”視為產(chǎn)品質(zhì)量合格，其余為產(chǎn)品質(zhì)量不合格，請完善列聯(lián)表，并說明是否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量”與“生產(chǎn)團(tuán)隊”有關(guān)；甲乙總和合格不合格總和151530附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828(2)將甲乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各自進(jìn)行包裝，每5個產(chǎn)品包裝為一袋，現(xiàn)從中抽取一袋檢測（假定抽取的這袋產(chǎn)品來自甲生產(chǎn)的概率為，來自乙生產(chǎn)的概率為），檢測結(jié)果顯示這袋產(chǎn)品中恰有4件合格品，求該袋產(chǎn)品由甲團(tuán)隊生產(chǎn)的概率（以（1）中各自產(chǎn)品的合格頻率代替各自產(chǎn)品的合格概率）.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量”與“生產(chǎn)團(tuán)隊”有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算得出結(jié)論；（2）分別用A、B、C表示事件，根據(jù)全概率公式求出，再由計算即可得解.【詳解】（1）完善聯(lián)表如下：甲乙總和合格12618不合格3912總和151530，根據(jù)臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量”與“生產(chǎn)團(tuán)隊”有關(guān).（2）記事件代表“一袋中有4個合格品”，事件代表“所抽取的這袋來自甲生產(chǎn)”，事件代表“所抽取的這袋來自乙生產(chǎn)”，故，,故求：由故.22．雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進(jìn)行，即勝者組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽，之后的每一輪，在負(fù)者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設(shè)四人實力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，求：①A獲得季軍的概率；②D成為亞軍的概率；(2)若A的實力出類拔萃，有4人參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實力旗鼓相當(dāng)，求D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招的概率.【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①分析第一輪比賽后所在組，再確定后續(xù)比賽的勝負(fù)情況使A獲得季軍，應(yīng)用獨立事件的乘法公式求概率即可.②分D首場筆試勝利和失敗兩種情況討論，由全概率公式可得.（2）可通過分類把復(fù)雜事件分為幾個容易分析的事件，再解決問題.【詳解】（1）假設(shè)四人實力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為，①由題意，第一輪比賽一組，一組，要A獲得季軍，則進(jìn)入勝者組，后續(xù)連敗兩輪，或進(jìn)入負(fù)者組，后續(xù)兩輪先勝后敗，所以A獲得季軍的概率為.②設(shè)表示隊伍D在比賽中勝利，表示隊伍D所參加的比賽中失敗，事件：隊伍D獲得亞軍有三種情況：，得（2）由題意，A獲勝的概率為，B、C、D之間獲勝的概率均為，要使D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招，可分為兩種情況：①若A與D在決賽中相遇，分為A：1勝，3勝，D：1負(fù)4勝5勝，或A：1負(fù)4勝5勝，D：1勝，3勝，概率為；②若B與D決賽相遇，D：1勝，3勝，B：2勝3負(fù)5勝，或D：1勝，3負(fù)，5勝，B：2勝3勝，概率為，③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，概率為；所以D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招的概率.題型四貝葉斯公式策略方法1.利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算，即；第二步：計算，可利用求解；第三步：代入求解．2.貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關(guān)系，即．【典例1】（單選題）某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運送書籍，共裝有個紙箱，其中箱英語書、箱數(shù)學(xué)書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用表示丟失的一箱為英語書，表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書，利用全概率公式計算出的值，然后利用貝葉斯公式計算出的值.【詳解】用表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用表示丟失的一箱為英語書，表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書，則，，，由全概率公式可得，所以，.故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．設(shè)有5個袋子中放有白球，黑球，其中1號袋中白球占，另外2，3，4，5號4個袋子中白球都占，今從中隨機(jī)取1個袋子，從所取的袋子中隨機(jī)取1個球，結(jié)果是白球，則這個球是來自1號袋子中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合貝葉斯公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示“取到第號袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，則由貝葉斯公式得，故選：A2．“狼來了”的故事大家小時候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，則，，，，則，，故，故.故選：D3．某貨車為某書店運送書籍，共箱，其中箱語文書、箱數(shù)學(xué)書、箱英語書．到達(dá)目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，則丟失的一箱是英語書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，記事件丟失的一箱是語文書，事件丟失的一箱是數(shù)學(xué)書，事件丟失的一箱是英語書，利用全概率公式求出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件從剩下的箱書中隨機(jī)打開箱，結(jié)果是箱語文書、箱數(shù)學(xué)書，記事件丟失的一箱是語文書，事件丟失的一箱是數(shù)學(xué)書，事件丟失的一箱是英語書，則，，由貝葉斯公式可得.故選：B.4．某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運送書籍，共裝有個紙箱，其中箱英語書、箱數(shù)學(xué)書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用表示丟失的一箱為英語書，表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書，利用全概率公式計算出的值，然后利用貝葉斯公式計算出的值.【詳解】用表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用表示丟失的一箱為英語書，表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書，則，，，由全概率公式可得，所以，.故選：B.5．托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率．假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球．已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設(shè)從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為故選：C6．根據(jù)某機(jī)構(gòu)對失蹤飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤的飛機(jī)中有70%的后來被找到，在被找到的飛機(jī)中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別表示出三個事件：失蹤的飛機(jī)后來被找到、失蹤的飛機(jī)后來未被找到、裝有緊急定位傳送器的概率，再用條件貝葉斯公式計算即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)“失蹤的飛機(jī)后來被找到”，“失蹤的飛機(jī)后來未被找到”，“安裝有緊急定位傳送器”，則，，安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，它被找到的概率為.故選：C.二、多選題7．英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：．某高校有甲、乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲、乙兩家餐廳就餐分別記為事件，，且，，第二天去甲、乙兩家餐廳就餐分別記為事件，，且，，已知王同學(xué)每天按時到甲、乙兩家餐廳中的一家就餐，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對A，因為，所以，所以有，因此選項A正確,對B，，故B正確；對C，，，所以選項C正確；對D，因為為對立事件，則，所以選項D不正確，故選：ABC.8．某校開展“一帶一路”知識競賽，甲組有7名選手，其中5名男生，2名女生；乙組有7名選手，其中4名男生，3名女生．現(xiàn)從甲組隨機(jī)抽取1人加入乙組，再從乙組隨機(jī)抽取1人，表示事件“從甲組抽取的是男生”，表示事件“從甲組抽取的是女生”，B表示事件“從乙組抽取1名女生”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是對立事件 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)對立事件的概念可判斷A正確；根據(jù)全概率公式求出可判斷B正確；根據(jù)條件概率公式計算可判斷C錯誤；D正確．【詳解】A選項：根據(jù)對立事件的概念可知，，是對立事件，A正確；B選項：由題意可知，，B正確；C選項：當(dāng)發(fā)生時，乙組中有5名男生，3名女生，其中抽取的不是1名女生