2023年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）己知復(fù)數(shù)Z滿足（1-i）z=2-i,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

1133

A.-B.-iC.-D.-i

2222

2.（5分）設(shè)集合M={x∣x=g+/,〃eZ},2={小=$n∈Z},則CNM=（）

A.0B.{x∣x="∈Z）C.{x∣X=竽，n∈Z}D.{x?x=2n,n∈Z}

3.（5分）核酸檢測是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù).經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試

劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響.己

知國外某地新冠病毒感染率為0.5%,在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為

99%.若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為

（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

4.（5分）將函數(shù)y=sin（Zr+φ）（∣φ∣<J）圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的;，再向左平移

B個單位得到曲線C.若曲線C的圖象關(guān)于），軸對稱，則φ的最小值為（）

6

πππTl

λ?3d-6J123

22

5.（5分）已矢口p：x+y>0,q?.∕n（√x+1+%）—ln（<y∕y+1-y）>0,貝∣]p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（5分）已知線段PQ的中點(diǎn)為等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A,且AB=PQ=2,當(dāng)PQ繞點(diǎn)A

轉(zhuǎn)動時，而?C?的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-3,1]D.[-1,3]

7.（5分）拋物線E：y2=4χ的焦點(diǎn)為凡曲線/：y=4∣x-l∣交拋物線E于A,B兩點(diǎn),

則aABF的面積為（）

A.4B.6C.3√5D.8

8.（5分）已知正方體ABC￡）-4BICl￡>1的棱長為4,M,N分別是側(cè)面CDl和側(cè)面BCI的

中心，過點(diǎn)M的平面α與直線ND垂直，平面a截正方體ACi所得的截面記為S,則S

的面積為（）

A.5√3B.4√6C.7√6D.9√6

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每個小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知“>0,函數(shù)/（x）=Xfl-〃（x>0）的圖象可能是（）

（多選）10.（5分）已知數(shù)列3）滿足。"=4"+入（-2）"I若對V"WN+,都有。"+1>所成

立，則整數(shù)人的值可能是（）

A.-2B.-IC.OD.1

（多選）11.（5分）已知圓錐S。（。是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長為√7,

高為√5.若P,。為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三角形SpQ面積的最大值為2次

B.三棱錐O-S尸。體積的最大值羊

C.四面體SOPQ外接球表面積的最小值為llπ

D.直線SP與平面SoQ所成角的余弦值的最小值為呼

（多選）12.（5分）已知函數(shù)f（x+l）是偶函數(shù)，且/（2+x）=-∕（x）.當(dāng)Xe（0,1]時，

f（x）=xcos],則下列說法正確的是（）

A.f（x）是奇函數(shù)

B./（x）在區(qū)間（耳?,包守）上有且只有一個零點(diǎn)

C.f（x）在（白，1）上單調(diào)遞增

D./（%）區(qū)間（J,1）上有且只有一個極值點(diǎn)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.

13.(5分)函數(shù)/(x)=x3在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線2%+y+l=0平行，則實

數(shù)a—.

14.(5分)二項式(x+l)2(x+65展開式中，9的系數(shù)是.

15.(5分)已知AB為圓C：(χ-2)2+S-m)2=3的一條弦，M為線段48的中點(diǎn)，若

CM2+OM2^3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

X2y2

16.(5分)已知雙曲線氏—=l(α>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為四，F(xiàn)ι,A為其右

頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PB與y軸交于。點(diǎn).若A?！ā阜?，則雙曲線E的

離心率的取值范圍為.

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛“"｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前"項和為S”45=2.2,S3=aj.

(1)求｛“"｝的通項公式如；

1111

(2)求證：-7+-7+-7+---+-7<l(n∈N*).

ɑlgɑ?an

18.(12分)如圖，正方體ABC。-AIBICIOI的棱長為4,點(diǎn)M為棱441的中點(diǎn)，P,Q分

別為棱BBi,CCI上的點(diǎn)，且BIP=CQ=1,PQ交BCl于點(diǎn)M

(1)求證：MN〃平面ABC

(2)求多面體BQMPQ的體積.

19.(12分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為4,b,c,且廿+2,2-2/=0.

(1)若tαnC=/，求4的大小;

(2)當(dāng)4-C取得最大值時，試判斷AABC的形狀.

CC(X=X

20.(12分)已知曲線C/+y2=2,對曲線C上的任意點(diǎn)尸(x、y)做壓縮變換M=工得

√2

到點(diǎn)P'(χ',y).

(I)求點(diǎn)P(X',y)所在的曲線E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(-1,0)的直線/交曲線E于A,8兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直

線X=-2的位置關(guān)系，并寫出分析過程.

21.(12分)研究表明，溫度的突然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng),

從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與

該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)

務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X47891412

(℃)

新增就診人??加)丐州

數(shù)y(位)

2

參考數(shù)據(jù)：∑匕y↑=3160,∑f=1(yi-y)=256.

(1)已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7位女生，從第一天新增的患感冒而就診

17

的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為廣，求yι的值；

24

(2)已知兩個變量X與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=弗，請用最小二乘法求出y關(guān)于X的

經(jīng)驗回歸方程y=bx+α,據(jù)此估計晝夜溫差為15℃時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)(結(jié)

果保留整數(shù)).

參考公式：h=∑k(XL嗎一刃

22

∑a(XL幻物=1(χi-χ)??1(yi-y)

22.(12分)己知函數(shù)/(x)=欣+嘿■.

(1)討論函數(shù)/(χ)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的方程F(X)=〃有兩個實數(shù)解，求〃的最大整數(shù)值.

2023年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知復(fù)數(shù)Z滿足(l-z)z=2-i,則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

1133

A.—B.-iC.-D.-i

2222

【解答】解：由(1-i)z=2-i可得Z=若=涉那搗=詈三產(chǎn)=|+2?，

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為士

2

故選：A.

2.(5分)設(shè)集合M={X∣X=^+4,"GZ},N={x∣x=%"6Z},則CNM=()

Ltτ,

rirλγι

A.0B.{x?x=2，∕7∈Z)C.{x?x=-ξ-,∏∈Z}D.{x?x=2nt∕t∈Z}

【解答】解：：集合M={x∣x=?+!,"CZ}={XIX=與i,"∈Z},

N={小=今，"∈Z},

則CNM={X∣X=竿=貨∕7∈Z}.

故選：B.

3.(5分)核酸檢測是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù).經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試

劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響.已

知國外某地新冠病毒感染率為0?5%,在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為

99%.若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為

()

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

【解答】解：記感染新冠病毒為事件A,感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本為陽性為事件B,

貝IJP(A)=0.5%,P(BH)=99%,

故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為PCAB)=P(A)P(B∣A)=0.5%×99%

=0.495%.

故選：A.

4.(5分)將函數(shù)y=sin(2x+φ)(∣φ∣<J)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的M再向左平移

三個單位得到曲線C若曲線C的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值為()

6

πTTTTTC

A——R――C――D—

j36123

【解答】解：將函數(shù)y=sin(2x+φ)(∣φ∣<y)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的：，再向

左平移三個單位得到曲線c：g(X)=Sin(4x+φ+冬)，

6?

由于曲線C的圖象關(guān)于y軸對稱，

故<p+=ZTT+今(AeZ),

整理得φ=∕στ一強(qiáng)(jt∈Z);

由于：lφl<^

當(dāng)A=O時，φ=-5,

十6

故選：B.

5.(5分)已知p：x+y>0,q：∕n(√x2+1+%)—ITl(Jy?+1—y)>0,則P是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：令Jf(X)=In(S?+1+無),χwR,f(0)=0,

且/(X)+/(—%)=仇(V/+1+x)+InZX2+1—χ)=Inl=0,

故/(x)=^∏(Vx2+1+X)為奇函數(shù),尤>0∏?,√x2+1+X遞增,則∕Q)=∕n(√x2+1+%)

也遞增，

又一(κ)為奇函數(shù)，則/(x)在R上遞增，〃=g,若無+y>0,貝∣Jx>-y,

則/(冗)>f(-?),即"(VX2+1+χ)>lnQ丫2+/一y)

22

即InsJX2+1÷%)—In(Jy2+1-y)>0；PUq,若ln(y∕x÷1+%)—Zn(λ∕y+1-y)

>0,

則等價于正(V%2+1+%)>仇(Jy2+1—y),即/(尤)>f(-y),

由/(X)在R上遞增，則x>-y,即x+y>0,

故〃是9的充要條件，

故選：C.

6.(5分)已知線段PQ的中點(diǎn)為等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A,且A3=PQ=2,當(dāng)PQ繞點(diǎn)A

轉(zhuǎn)動時，BP?CQ的取值范圍是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-3,1]D.[-1,3]

【解答】解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以與BC平行的直線為X軸，與BC垂直的直線為y軸，建

則4(0,0),B(-l,-√3),C(l,-√3),易知P、。兩點(diǎn)都是圓4：/+y2=l上的動

點(diǎn)，

當(dāng)直線PQ斜率不存在時，P(0,-1),Q(0,1),

此時而=(1,√3-1),CQ=(-1,l+√3),則而?C?=-1+3-I=1,

當(dāng)直線PQ斜率不存在時，可設(shè)直線P0的方程為y=履，

當(dāng)心。時，聯(lián)立卷串=］，解得P.iQ‘一點(diǎn)’一點(diǎn))’

TlkI~~T

則BP=Cy==+1,-T==+√3),CQ=(―i1-1,—fi+?/?),

22

√l+k√l+∕ci

TTl1

'BPCQ=(而+】)YfD+(/2+?/?)(----1+V3)=

-(T=L=+1)2+3-(-^)=1—『2=,

X√1÷k2乒

Λ-l≤BP?CQ<1,

1_k?

同理，當(dāng)ZWo時，P(-ηJ=,-1=),QL

?fc2Jl+必

：.BQ-CQ=1+,2,JΛ<BPCQ≤3,

Jw

綜上所述，后?C?的取值范圍是［-1,3］,

故答案選：D.

7.（5分）拋物線E：∕=4χ的焦點(diǎn)為F,曲線/：y=*|久一1|交拋物線E于A,B兩點(diǎn),

則AABF的面積為（）

A.4B.6C.3√5D.8

【解答】解：；曲線/：y=4∣x-1|,當(dāng)x>l時,y=*（x-1）；當(dāng)XVl時,y=4（1一X）,

當(dāng)x>l時，聯(lián)立直線與拋物線'=2"一D,

y2—4x

解得卜=9y后，設(shè)4（9+4隗，4+2√5）,

（y=2√5—4

當(dāng)XVl時，聯(lián)立直線與拋物線卜=2Q一X）,

?y2=4x

解得卜=9[4勺設(shè)8（9-4√5,2√5-4）.

Iy=2v5—4

又尸（1，。），3藕.

.*.IAB:X—y∕5y+1=0,

.?.點(diǎn)F到直線AB的距離為d=-?=堂，又MBl=√320+64=8√6,

V5+1?

：.S?ABF=Iμβ∣?d=∣×8√6×^=8.

故選：D.

8.（5分）已知正方體ABC￡>-AIBICloI的棱長為4,M,N分別是側(cè)面CD和側(cè)面BCI的

中心，過點(diǎn)M的平面α與直線ND垂直，平面a截正方體ACi所得的截面記為S,則S

的面積為（）

A.5√3B.4√6C.7√6D.9√6

【解答】解：：正方體ABCD-AIBICIol的棱長為4,M,N分別是側(cè)面C￡>1和側(cè)面BCl

的中心，

.?.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

側(cè)面CA的中心M(O,2,2),側(cè)面BCl的中心N(2,4,2),D(0,0,0),

：.DN=(2,4,2),點(diǎn)M在平面α與平面CDDIcj的交線上，設(shè)P(O,yι,zι)為這

條交線上任意一點(diǎn)，

MP=(0,y?-2,z?-2),

VMP-DN=4(jι-2)+2(Zl-2)=0,Λ2y∣+z∣=6,

令zι=0,得F(0,3,0),令zι=4,得G(0,1,4),連接FG,

平面a與平面ABCQ必相交，設(shè)Q(x,y,0)為這條交線上任意一點(diǎn)，

FQ=(x,y-3,0),

?：FQ-DN=2x+4(y-3)=0,.,.x+2y=6,令x=4,得E(4,1,0),連接PE,

：平面48ιCιZ)ι〃平面ABa),平面a與平面AIBICIOI的交線過點(diǎn)G,與直線FE平

行，

過G作GH〃/7E,交AiDi于HG,0,4),GH=Ct,-L0),FE=(4,-2,00,

由港〃∕?,得t=2,：.H(2,0,4),

.?.平面a與平面ABBlA1,平面AQDiAi都相交，

則平面a與直線AAl相交，令交點(diǎn)為K(4,0,〃i),EK=(0,-1,加)，

由皮?加=-4+2m=0,得K(4,0,2),

連接EK,HK,得截面五邊形EFGHK,即截面。為五邊形EFG/7K,

EF=FG=2?GH=EK=√5,HK=2y∕2,取EF中點(diǎn)L(2,2,0),連接GL,EH,

則GL=EH=√∏,

在AEHK中，CoS乙EKH=_√10jSinNEKH=羋，

Zca,ΠA??

1?ιJΛC

AEHK的面積SΔEHK=^EK.HKSiMEKH=^×√5×2√2×^=√6,

在LFGL中，cos/GFL=涓界:產(chǎn)=?SinNGFL=半，

Zur,Lr??

AFGL邊FL上的高h(yuǎn)=FG?sinZGFL=羋，

√5

梯形EFGH面積SEFGH=∣(GW+FF)?∕ι=∣(√5+2√5)X?=6√6,

.'.S的面積為S=S4EHK+SEFGH=1遍.

故選：C.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每個小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得()分.

(多選)9.(5分)已知a>0,函數(shù)f(x)=xa-ax(x>0)的圖象可能是()

【解答】解：當(dāng)OVaVl時，函數(shù)y=/在(O,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=/在(0,+

°°)上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)f(X)=Jtfl-Or在(O,+∞)上單調(diào)遞增，而/(O)=-I,f(α)=0,函數(shù)圖

象為曲線，A可能；

當(dāng)a-?時，函數(shù)/(x)=X-I在(0,+∞)上的圖象是不含端點(diǎn)(0,-1)的射線，B

可能；

當(dāng)a>?時，取α=2,有f(2)=f(4)=0,即函數(shù)f(x)=x2-2x,x>0圖象與x軸

有兩個公共點(diǎn)，

又Xe(0,+8),隨著X的無限增大，函數(shù)y=/呈爆炸式增長，其增長速度比的

大，

因此存在正數(shù)XO,當(dāng)x>xo時，詔Va力恒成立，即/(x)<0,C可能，。不可能.

故選：ABC.

(多選)10.(5分)已知數(shù)列｛而｝滿足而=4"+入(-2)/1.若對V"∈N+,都有“fl+ι>α”成

立，則整數(shù)人的值可能是()

A.-2B.-1C.0D.1

jl

【解答】解：?.?%l=4+4(-2)n+ι,即即+i=4+1+/1(—2尸+2,

若對VzIeN+,都有0n+ι>α”成立,BP4n+1+λ(-2)n+2>4,,+λ(-2)π+l,

Λ3×4n>λ(-2)/I-入(-2)"2=3入(-2)"I即4">入(-2),l+l對V"∈N+都成

立；

n111

當(dāng)"為奇數(shù)時，av(；；+]=2吁1恒成立,m<(2-)min=2-=1,即入<1；

rιl

當(dāng)〃為偶數(shù)時，￡=一2吁1恒成立，則λ>(-2^)nuιx=-2,即入>-2；

(-2)n+1

故整數(shù)人的取值范圍是-2<入<1,則整數(shù)入的值可能是-1,0,

故選：BC.

(多選)11.(5分)已知圓錐SO(O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn))的母線長為行,

高為g?若P,。為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.三角形SPQ面積的最大值為2g

B.三棱錐O-SPQ體積的最大值竽

C.四面體SOPQ外接球表面積的最小值為llπ

√21

D.直線SP與平面SOQ所成角的余弦值的最小值為、一

【解答】解：對選項A,由母線長為夕，高為療，

可得底面半徑為夜/=2,設(shè)BC是底面圓的一條直徑，

貝UcoSNBSC=(2+乎)屐4=<0,即NBSC是鈍角，

2×√7×√77

[17

又SASPQ=2XSPXSQXsinZ-PSQ=[x巾XV7XSin乙PSQ=《sin(PSQ,

則存在點(diǎn)P,Q,當(dāng)NPSQ=900時，

7

SinNPSQ=1,三角形SPQ面積的最大值為5，故4錯誤；

選項8,VSΔSOP=∣×SO×OP=∣×√3×2=√3,當(dāng)OQJ_面SOP時，

(Vθ-SPQ^max=(VQ-S0p)max=WXSASOPXOQ=WX8X2=—?->故B正:確；

選項C,設(shè)aOPQ的外接圓半徑為r,

：S0J_底面圓，；.四面體SOPQ外接球半徑R,

.?.R2=r2+(S0yt若外接球表面積的最小，即外接球的半徑R最小，

又7?2="+率即在底面圓中，AOPQ的外接圓半徑最小，

由正弦定理2r=Si2PQ=SinloPQ,

二點(diǎn)P經(jīng)過線段。。的中垂線時，/0PQ最大,AOPQ的外接圓半徑最小,

34325

22

此時勿=薪=竽，R=r+-=-+-=--

43412

即四面體SOPQ外接球表面積的最小值為4萬/?2=竽兀，故C錯誤;

選項。,設(shè)點(diǎn)P到平面SOQ的距離為d,直線SP與平面SOQ所成角θ的正弦值為SinO=

dd

點(diǎn)=方

則當(dāng)OPL面SoQ時，(Sine)mtn=*=緣'

√21

此時直線SP與平面SOQ所成角的余弦值最小，最小值為十，故力正確；

故選：BD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(x+l)是偶函數(shù)，且f(2+x)=-∕(x).當(dāng)x∈(0,1］時,

/(x)=XCoSg則下列說法正確的是()

A./(?)是奇函數(shù)

B./(x)在區(qū)間(出尹，包吳)上有且只有一個零點(diǎn)

C.f(x)在(右，1)上單調(diào)遞增

D./(Λ)區(qū)間6，1)上有且只有一個極值點(diǎn)

【解答】解：函數(shù)∕α+i)是偶函數(shù)，故/(-χ+i)=∕(χ+i),

因為/(2+x)=-∕(x),所以/(l+x)=-f(χ-l),

故/(-x+?)=-/(?-1),

將X替換為x+1，得到/(-x)=-∕(x),故F(X)為奇函數(shù)，A正確；

因為/(2+x)=-∕(x),故/(4+x)=-∕(x+2),故/(4+x)=f(x),

所以/(x)的一個周期為4,

故/(x)在區(qū)間(曳畀，包ML)上的零點(diǎn)個數(shù)與在區(qū)間牛?)上的相同，

因為點(diǎn))=那s*=0,而/(2+x)=-∕(x)=∕(-χ),故“2-9=%)=0,

,2212π-l

其中l(wèi)一，2一一∈(一，-----)，

TCTlTlTC

故/(無)在區(qū)間6,與與至少有2個零點(diǎn)，B錯誤；

X6(焉，1)時，/(x)=XcosK則/'(%)=cos<+<s譏9，

?/l????

令t=pt∈(1/?),h(r)=cosr+∕si∏r,

所以(/)=-sinr+sinr+Zcosr=Zcosr,

當(dāng)t∈(i,芻時，n(r)=3sf>o,h⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)t∈g,第)時，h,(r)=FcosrVO,h(/)單調(diào)遞減，

-V-/j/1\_l??--?>∕5τΓ?5ττ5ττ.5TT5ττ/35π-6/3、八

乂h??)=CoSl+sin1>(),∕ι(-g-)=cos-g—I—g-sιπ-g~—--2=^—>0'

故∕?(Z)>0在te(l,節(jié))上恒成立，

所以/(x)>0在1)上恒成立，故f(x)在(右，1)上單調(diào)遞增，C正確；

11

。選項，X∈(-/1)時，/(x)=XCOS-,

Ill1

故/'(X)=COS7+-SMj令t=7,r∈(1,π),h(r)=cosz+rsi∏r,

XXXX

則萬(力=rcosn

當(dāng)t∈(l,芻)時，h'(/)=rcosr>0,h(r)單調(diào)遞增，

當(dāng)t∈g,兀)時，〃'(f)=∕cosr<0,h(/)單調(diào)遞減，

因為Zz(1)=Cosl+sin?>0,∕ιG)=CoS+譏*=*>0,h(Tr)=cosπ+πsinπ=-

<0,

由零點(diǎn)存在性定理，七o∈g,7T）,使得力（/（））=0,

當(dāng)∕∈(1,ro)時?，h(r)>0,當(dāng)f∈Co,π)時，h(f)<0,%∈(?/：)時，f(X)V

1

O,f(X)單調(diào)遞減，X∈(―,1)時，/(X)>0,f(X)單調(diào)遞增，

所以/(x)區(qū)間6,1)上有且只有一個極值點(diǎn)，。正確.

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.

13.(5分)函數(shù)/(x)=X3-H群在點(diǎn)(1,f(D)處的切線與直線2x+y+l=0平行，則實

數(shù)a—5.

【解答】解：V/(x)=x3-alnx,.*.∕,(x)=3%2—p

：.f(1)=3-①

???切線與直線lr+y+l=0平行，

∕√(1)=3-a=-2,.'.a=5.

故答案為：5.

14.(5分)二項式(x+l)2(x+35展開式中，4的系數(shù)是15.

【解答】解：二項式(X+1)2(X+i)5=(x2+2x+I)(X+/)5,

二項式(x+])5展開式的通項公式為Tr+1=Cζx5~r-(i)r=Cζx5~2r,r∈/V,r≤5,

所以在二項式(x+l)2(x+1)5展開式中，χ3的系數(shù)是IXc￡+IxCg=5+10=15.

故答案為：15.

15.(5分)已知AB為圓C：(χ-2)2+(y-w)2=3的一條弦，M為線段A5的中點(diǎn)，若

CM2+OM2^3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實數(shù)〃?的取值范圍是_(-√23,√23).

【解答】解：圓C：(χ-2)2+(y-W2=3的圓心(2,M,半徑為：r=√3,

AB為圓C:(X-2)2+(y-相)2=3的一條弦，M為線段AB的中點(diǎn)，若CA?+OM2=3

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

可知以CO為直徑的圓與已知圓相交，

以C。為直徑的圓：(X-1)(y—52)2=p

可得-亨Vr

解得m∈(-√23,√23).

故答案為：(_723,√23).

X2y2

16.(5分)已知雙曲線E：---=l(α>O,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)ι,F2,A為其右

頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PQ與y軸交于。點(diǎn).若AQHPF1,則雙曲線E的

離心率的取值范圍為_(遮+1,+∞)-.

【解答】解：如下圖所示，根據(jù)題意可得FI(-c,0),F2(c,0),A(a,0),

設(shè)P(X1,yι),則直線PFI的方程為y=H(x+c)，

??~rC

所以直線Pa與y軸的交點(diǎn)Q(0,τ?),

XΛ~ΓC

?-o

由AQ〃PF2可得心Q=kp&,即爺土=?.

整理得(α+C)Xl=c2-ac,即與=%著，

又因為尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以XINm

當(dāng)xι="時，AQ,PF2共線與題意不符，即xι>α,

可得='a+,。>a,整理得C2-a2,-2ac>0,即e?-2e-1>0,解得e>V∑+1或e<^1—

√2(舍),

故雙曲線E的離心率的取值范圍為e>√∑+1.

故答案為：(√∑+1,+8).

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(K)分)已知數(shù)列｛““｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前〃項和為S,45=2G,S3=al.

(1)求｛a”｝的通項公式而；

、4▼Ill1*

(2)求證：-τ÷-τ+-τ+???÷-T<l(n∈N).

ɑig^

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛板｝的公差為d,由45=22,S3=αi,得

a1+4d=2(α1+d)

301+322d=(Ql+d)?

而dWO,解得d=l,a?-2,

所以｛“"｝的通項公式an-n+??,

…，,-11111

證明：(2)由(1)知，-y=--------<--------=~----------,

(n+l)zn(n+l)nn+1

,1111111111

所以-7+?+?+…+=<(1+-??+(--——)=1-——<1.

ɑ??2ɑ?α?2，、23，'nn+l7n+1

18.(12分)如圖，正方體4BCQ-AIBICIDI的棱長為4,點(diǎn)M為棱441的中點(diǎn)，P,。分

別為棱8Bι,CCI上的點(diǎn)，且BlP=CQ=1,PQ交BCl于點(diǎn)、N.

(1)求證：MN〃平面ABCC；

(2)求多面體BZ)MPQ的體積.

【解答】解：(1)證明：?.?BιP=CQ=l,正方體的棱長為4,

.".BP=CiQ=S,又BP〃C?Q,

.?.△8RV絲△CiQN,

BN=CiMΛ點(diǎn)N為線段BCi的中點(diǎn)，

過點(diǎn)N作NELBC,垂足點(diǎn)為E,

貝IJNE〃CCi,且NE=*CCι=2,

J.NE//AM,且NE=AM=2,

；?四邊形AMNE為平行四邊形，

，MN〃AE.又MNC平面ABC。，AfcTfflABCD,

.?.MN〃平面ABCD-,

(2)設(shè)多面體Bf)MPQ的體積為匕連接。P,

則V=VB-MPD+VB.PQD

=2Vβ.PQD=2VD-PBQ

11

=2×?×(2×3X4)×4=16,

故該多面體BDMPQ的體積為16.

19.(12分)已知4A8C的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為“，b,c,且序+2c2-2/=0.

1

(1)若tanC=^,求A的大?。?/p>

(2)當(dāng)A-C取得最大值時，試判斷aABC的形狀.

【解答】解：(1)V?2+2C2-2α2≈0,

...序=2(b2+c2-02),根據(jù)余弦定理可得：

h2=4hccosA,

Λ?=4ccosA,根據(jù)正弦定理可得：

4sinCcosA=SinB=SinACOSe+cosASinC,

二.3sinCcosA=SinACoSC,

ΛtanA=3tanC,

當(dāng)tQ∏C=!時,則tanA=3tanC=1,

又A∈(0,π),.X=半

(2)由⑴知tanA=3tanC,.?0<C<A<≡,

.A-tα幾>一tα-C—2tατιC—22—73

..αn(-)-1+tanA.tanC-1+3tan2c-ι+3tanC-麗一丁

tanc

當(dāng)且僅當(dāng)----=3tanCf即當(dāng)tgτιC=*,C=，時，等號成立，

tanC36

tan(4-O的最大值為w，

又0V4—CV/,.?.A-C的最大值為V,此時4=生

TT

ΛB=τr-(Λ+Q=

???ZXABC為直角三角形.

χ,—X

V=上■得

{5/2

到點(diǎn)PCx',y').

(1)求點(diǎn)P'(x',/)所在的曲線E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(-1,0)的直線/交曲線E于A,B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓與直

線X=-2的位置關(guān)系，并寫出分析過程.

(x'=X

【解答】解：⑴由壓縮變換Iy=馬得到X=X，，y=√Iy.

代入曲線C：X2+J2=2,得到(X')2+23)2=2,

化為第+(y')2=1,即為點(diǎn)P(』，y)所在的曲線E的方程.

(2)設(shè)4(xι,W),B(Λ2,”)，線段AB的中點(diǎn)M(M),W),

比2

直線/的斜率不為0時，設(shè)直線/的方程為my=%+l,代入曲線E的方程萬+),2=1,化

為：(川+2)y2-2my-1=0.

A、C2m1

△>0,y"鬲記”=-薩而

1TYl—2

.?.”=2(-+")=昕'Xo=ZM?昕T=

22

網(wǎng)=√(1+^)[(y1+y2)-4y1y2]=J(l+嗎/：?-忌?]=之怨曹之),

2

點(diǎn)M到直線X=-2的距離d=-?+2=鋁尊>V2(l+m)=1

：.以AB為直徑的圓與直線X=-2相離.

直線I的斜率為0時，以AB為直徑的圓的方程為了+『=2與直線X=-2相離.

綜上可得：以AB為直徑的圓與直線X=-2相離.

21.(12分)研究表明，溫度的突然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng),

從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與

該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)

務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下:

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X47891412

（0C）

新增就診人yi)4

數(shù)y（位）

參考數(shù)據(jù)：∑P=1W=3160,∑f=1（%-為2=256.

（1）已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7位女生，從第一天新增的患感冒而就診

17

的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為京，求），1的值；

（2）已知兩個變量X與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r=登，請用最小二乘法求出y關(guān)于X的

經(jīng)驗回歸方程y=bx+α,據(jù)此估計晝夜溫差為15℃時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)

果保留整數(shù)）.

參考公式：b=$(XT(y?■刃,”一∑F=1(X]](y「力

22

%(XiF?1(Xi-X)??1(yi-y)

17

【解答】解一（1）抽取的3人中至少有一位男生的概率為焉,

則ι-??=?即7×6×57

,

Lylyι(7ι-l)(yι-2)-24

Λγι(yι-1)(W-2)=720=10X9X8,

.*.yι=10;

(2)V∑^1xi=54,

Λx=9,

?'?∑f=ι(Xi-初2=64,

∑匕(X「幻(X一力