北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)題

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北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)壓軸題

-?解答題（共8小題）

1已知四邊形ABCC中，AB=BCZABC=120,ZMBN=60,ZMBh繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

ADDC（或它們的延長線）于E,F.當(dāng)NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF寸（如圖1）,易證AE+CF二E；當(dāng)NMBN

繞B點旋轉(zhuǎn)到AE/CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給

予證明；若不成立，線段AECF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.

2.(1)如圖，在四邊形ABCDhAB=ADZB=ZD=90,E、F分別是邊BCCD上的點，且NEAF=「NBAD

求證:EF=BE+FD

（2）如圖，在四邊形ABCDhAB=ADZB+ZD=180,E、F分別是邊BCCD上的點,

且NEAF號NBAD（1）中的結(jié)論是否仍然成立?

⑶如圖，在四邊形ABCD中，AB=ADZB+ZADC=180,E、F分別是邊BCCD延長線上的點,

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且NEAFiZBAD(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明.

3.如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90,ZB=ZE=30°

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,固定△ABC使ZxDEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段

DE與AC的位置關(guān)系是;

②設(shè)△BDC的面積為S,△AEC的面積為S,則S,與S的數(shù)量關(guān)系是.

B⑥

H102

(2)猜想論證：當(dāng)ZxDEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S與S2的數(shù)量關(guān)系仍

然成立，并嘗試分別作出了△BDCffiAAEC中BCCE邊上的高，請你證明小明的猜想.

(3)拓展探究：已知NABC=60,點D是角平分線上一點，BD=CD=QE//AB交BC于點E(如圖4)?

若在射線BA上存在點F,使SADCF=SXBD,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

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H3JH4

4.如圖1，已知線段AB的長為2a,點P是AB上的動點（P不與A,B重合），分別以ARPB為邊向線段AB

的同一側(cè)作正△APC和正ZxPBD

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（1）_____________________________________________當(dāng)ZxAPC與八PBD勺面積之和取最小值

時，AP；（直接寫結(jié)果）

（2）連接ADBC相交于點Q,設(shè)NAQCa，那么a的大小是否會隨點P的移動而變化？請說明理由;

（3）如圖2,若點P固定，將aPBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180。），此時a

的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

5.如圖1,RtAABC中AB=AC點DE是線段AC上兩動點，且AD=ECAM垂直BD垂足為MAM的延長線

交BC于點N,直線BD與直線NE相交于點F.試判斷△DEF的形狀，并加以證明.

說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來

（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補(bǔ)充或者更

換已知條件，完成你的證明.1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、

點K在線段BD上，且四邊形AKNc為等腰梯形（AC//KN如圖2）.

附加題：如圖3,若點DE是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷ZxDEF的形狀，并說明理由.

6.如圖，已知等邊三角形ABC中，點D,E,F分別為邊AB,ACBC的中點，M為直線BC上一動點,

△DMNfe等邊三角形（點M的位置改變時，△DMNfc隨之整體移動）.

（1）如圖1,當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點F是否在直線NE±?

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都請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)點M在BC上時，其它條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?

若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由;

(3)若點M在點C右側(cè)時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷⑴的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量

關(guān)系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由.

圄①

7.已知：等邊三角形ABC(1)如圖1,P為等邊△ABC外一點，且NBPC=120?試猜想線段BR

PCAP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

⑵如圖2,P為等邊△ABC內(nèi)一點，且NAPD=120.求證:PA+PD+PSBD

8.認(rèn)真閱讀材料，然后回答問題：

1

我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng)的，我們可以計算出多項式的展開式，如：G+h)=A+h

(a+b)2-a2+2ab+6,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,???

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F面我們依次對（a+b）"展開式的各項系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的

形式：

（日也1...................................11

（a+b>?...................................121

[a+b）%...............................1331

（a+b>t..........................14641

（□+b）1=......15101051

（a+b>s..............1615201561

上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問

題：

（1）多項式（a+b）0的展開式是一個幾次幾項式?并預(yù)測第三項的系數(shù)；

（2）請你預(yù)測一下

多項式（a+b）”展開式的各項系數(shù)之和.__________________________________________

（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b）”（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S,（結(jié)果用

含字母n的代數(shù)式表示）.

北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)培優(yōu)壓軸題參考答案與試題解析

1、【解答】VAB±AD,BC±CDAB=BCAE=CF

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ZA=ZC=90*,r?△ABE^ACBF（SAS；/-ZABE=ZCBFBE=BFVZABC=120,ZMBN=60

iAE=CF

???ZABE=/CBF=30,AAE±BE,CF±BF;：/MBN=60,BE=BF；BEF為等邊三角形；2

2

AAE+CF-BE±BF=BE=EjF

22

圖2成立，圖3不成立?證明圖2.延長DC至點K,使CK=AE連接BK在ZxBAE和ZxBCK中，

rAB=CB

ZA=ZBCK=90”貝9ZxBAE^ABCKABE=BKZABEZKBCVZFBE=60,NABG=120,,AE=CK

ANFBC+ZABE=60,ANFBC+ZKBC=60,AZKBFZFBE=60，在ZXKBF和ZXEBF中，CBK=BE

ZKBF=ZEBKAKBF^AEBFAKF=EFAKC+CF=EF即AE+CF=EF

IBF=BF

圖3不成立，AECF、EF的關(guān)系是AE-CF=EF

2.【解答】(1)延長EB至UG,使BG=DF連接AG

,AB=ADAAABWAADFAAG=AFZ1=Z2.

NBADANGAEZEAF又VAE=AEAEG^AEFAEG=EF

VEG=BE+BGAEF=BE+FD(1)中的結(jié)論EF=BE+F仍然成立.

⑶結(jié)論EF=BE+F不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD證明：在BE上截取Bq使BG=DF連接AG

vZB+ZADC=180,ZADF+ZADC=180,ANB=ZADFVAB=ADABG^ADF

ANBAGZDAFAG=AFANBAGZEADZDAFZEADZEAF二ZBAD

???ZGAEZEAFVAE=AE^△AEG2AEF二EG=EF'EG=BEBG-EF=BE-FD

3?【解答】（7）@DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，二AC=CP

VZBAC=90-ZB=90°-30°=60°,~AACD是等邊三角形，?NACD=60,

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XvZCDEZBAC=60,?ZACDZCDE-~DE//Aq

②VNB=30°,ZC=90°,-??CD=AC二AB-BD=AD=AC

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AGAD上的高相等，

?△BDC的面積和^AEq勺面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，

即S產(chǎn)S2；故答案為:DE//AqS=S；

(2)如圖，???△DEC是由ZxABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，???BC=CEAC=CD

vZACNZBCN=90,ZDCMZBCN=180-90°=90°,?ZACNZDCMV在ZxACN^nADCM中，f

ZACN=ZDGnI

ZGffID=ZN=90:,???△ACN^ADCM(AAS,■AN=DM

[AC=CD

?△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即$=$;

(3)如圖，過點D作DF〃BE,易求四邊形BEDF是菱形，所以BE=DF,

且BE、DF上的高相等,此時&DCF=S'E；過點D作DF±BDvZABC=60,FQ〃BE,

?ZF2FID=ZABC=60,VBF=DF,ZFiBD=-ZABC=30,ZHDB=90,-ZFiDF=ZABC=60,

?△DFF2是等邊三角形，?DF=DF,VBD=CDZABC=60，點D是角平分線上一點，

?ZDBCZDCB=X60°=30°,-ZCDF=180°-ZBCD=180-30°=150°,

ZCDF=360°-150°-60°=150°,?ZCDF=ZCDF,v在ZxCDF和ZxCDF中，

r

DFi=DF2

,ZCD?FZCEFZ,ZCDF^ACDF(SAS,?點Fz也是所求的點，LCD=CDvZABC=60，點D是角平分

線上一點，DE//AB-ZDBCZBDEZABD=X60°=30°,

又VBD=4?BEV8-X44-COS30°=24"加聆?BF]BFz=BF+FF21,

2233333

故BF的長為土二或二二.

33

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B

=X2—：ax+"a2,X=L7A=a時ZxAPC與△PBD勺面積之和取最小值，故答案為：a；

當(dāng)三a

(2)a的大小不會隨點P的移動而變化，理由：???△APC是等邊三角形，???PA=PCZ

APC=60,???△BDP是等邊三角形，???PB=PDZBPD=60,AZAPCZBPD/?ZAPDZ

CPB???AAPD^ACPB???ZPADZPCBvZQAPZQACZACP=120,

ZQCPZQACZACP=120,-°?ZAQC=180一120°=60°

⑶此時a的大小不會發(fā)生改變，始終等于60°.理由：???△APC是等邊三角形,

PA=PCZAPC=60BDP是等邊三角形，二PB=PDZBPD=60,ANAPCZBPD

ZAPDZCPBAPD^CPB-ZPADZPCBvZQAPZQACZACP=120,

ZQCPZQACZACP=120,-ZAQC=180—120°=60°

5?【解答】△DEF是等腰三角形；證明：如圖，過點C作CP±AC交AN延長線于點P

VRtAABC中AB=AC-ZBAC=90,ZACB=45-ZPCNZACBZBADZAGP

VAM±BD'ZABDZBAMZBAMZCAP=90;???/ABDZCAP?△BAD^AAGP

-AD=CPZADBZP；VAD=CE-CE=CPVCN=CN?△CP『CEN

?ZP=ZCEN-ZCENZADB-ZFDEZFED?△DEF是等腰三角形.

附加題：/DEF為等腰三角形，?證明：過點C作CPLAC交AM的延長線于點P

VRtAABe中AB=AC-ZBAC=90,ZACB=45;-ZPCNZACBZECNVAMLBD

?ZABDZBAMZBAMZCAP=90ABDZCAP?△BADW八AGP-AD=CPZD=ZP；

VAD=ECCE=CP又VCN=CN?△CPN^ACEN-ZP=ZE;

-ND=ZE;A^DEF為等腰三角形.

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6.【解答】⑴判斷：EN與MF相等（或EN=MF,點F在直線NE上，（2）成立.

連接DF,NF,證明△DBMFnaDFN全等（AAS,ABC是等邊三角形，二AB=AC=BC又VD,E,F是三邊的

中點，???EF=DF=BFvZBDMZMDF=60,NFDNNMDF=60,???ZBDMZFDN

rZBM=ZFBN

在ZxDBMfyDFN中，上U又二DFN,「?△DBM^ADFN二BM=FNNDFNZFDB=60,

DM=EN

?-?NF//BDVE,F分別為邊ACBC的中點，???EF是ZxABC的中位線，二EF〃BD

???F在直線NE上,VBF=EF二MF=EN

⑶如圖③，MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）?連接DFDE

由（2）知DE=DFNNDEZFDMDN=DM

rDE=DF

在aDN麗△DM沖，-ZNDE=ZFDM.?.△DNE^DMFMF=NE

DN=DK

1

7.【解答】AP=BP+PC（1）證明：延長BP至E,使PE=PC連接CEvZBPC=120,

???ZCPE=60,又PE=PL△CPE為等邊三角形，二CP=PE=CEZPCE=60,

???△ABC為等邊三角形，???AC=BCZBCA=60,ANACBZPCE-ZACBZBCPZ

PCEZBCP即：NACPZBCE?△ACP^B