2023年云南省紅河州高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年云南省紅河州高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1C

1.（5分）若集合M={X∣X2<9},N={X∣∕21},則MrIN=（）

A.{x∣x≤-1,或IWXV3}B.(Λ∣1≤X<3}

C.{x∣l≤x<811D.{x∣x≤-1,或/?81}

1

2.（5分）復(fù)數(shù)L示與下列哪個(gè)復(fù)數(shù)相等（)

耳烏7

22

√31

A.cos(―^)+zsin(―^)B.一—7

22

π

C.I-ZD.-I

3

3.(5分)已知向量；=(2,〃z),b=(4,-1),且(Z-b)_LQ+b),則實(shí)數(shù)，〃=()

1

A.2B.-C.8D.±√13

2

4.（5分）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把沏茶、賞茶、聞茶、飲茶、

品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特

征.其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求.把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的

溫度是空氣的溫度是經(jīng)過f分鐘后物體的溫度為?！?滿足公式。=。0+（。1

-θo）e^0?25,?現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52°C時(shí)口感最

佳，若空氣的溫

度為12℃,那從沏茶開始，大約需要（）分鐘飲用口感最佳（參考數(shù)據(jù)：∕∏3≈1.099,

/"2^0.693)

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

5.（5分）如圖所示是一塊邊長為10c%的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯

形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來，并將其拼接成一個(gè)無上蓋的容器（鋁片厚

度不計(jì)），則該容器的容積為（）

6.(5分)一組數(shù)據(jù)為148,150,151,153,153,154,155,156,156,158,163,165,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是()

A.151B.152C.156D.157

7.(5分)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與

兩定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)G(%>0且AWI)的點(diǎn)的軌跡為圓.后人將這個(gè)圓稱為阿波羅

尼奧斯圓，已知點(diǎn)O(0,0),A(5,0),圓C：(χ-4)2+y2=r2(r>0)上有且只有一

個(gè)點(diǎn)P滿足粵=I-則r的值是()

?PO?2

A.2B.8C.8或14D.2或14

8.(5分)已知函數(shù)/(K)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣V分,若/(x+看)為偶函數(shù)，y=∕(x)

TT

的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為3的等差數(shù)列.將函數(shù)/(X)圖象上每一點(diǎn)的

橫坐標(biāo)縮短為原來的右縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g(X)的圖象.則

ππ

∕q)+g.)=()

A.OB.-2C.1D.-1

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得O分

(多選)9.(5分)某校高三一名數(shù)學(xué)教師從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取男、女生各50名進(jìn)

行了身高統(tǒng)計(jì)，得到男?女身高分別近似服從正態(tài)分布N(173,11)和N(164.9),并

對其是否喜歡體育鍛煉進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下2X2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計(jì)

男生37tn50

女生n3250

合計(jì)5545100

2

參考公式?%2=_____n(αdic)______

“芍A%(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

ɑ0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

則下列說法正確的是（）

A.∕π=13,〃=18

B.男生身高的平均數(shù)約為173,女生身高的平均數(shù)約為164

C.男生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為11,女生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為9

D.依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián)

（多選）10.（5分）已知x>0,y>0,且x+y-孫+3=0,則下列說法正確的是（）

111

A.3<Λy≤12B.x+y^6C.√+∕>18D.0<-+-≤?

（多選）11.（5分）三棱錐P-48C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，且南?1底面ABC,PA^2AB

=2AC=2,ZBAC=?,則下列說法正確的是（）

A.BC=√3

B.球心。在三棱錐的外部

C.球心O到底面ABC的距離為2

D.球。的體積為8七√2一π

（多選）12.（5分）已知函數(shù)/（幻=|四'"￡（°'+8）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.若關(guān)于X的方程/（x）=f恰有1個(gè)解，則f>l

C.函數(shù)/（x）的圖象與直線x+y+c=0（c∈R）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

D.若f（x∣）=f（X2）=f（X3））且1X<X2<X3,則（I-XI）（X2+A3）無最值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。

13.（5分）（1+9（χ-y）7的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.(5分)在數(shù)列｛<?｝中，G=3,。5=7,若｛2即-〃｝為等比數(shù)列,則GI=.

15.(5分)已知函數(shù)/(X)-x,+2x-1+(siαr-cosx)2)則不等式/(X2-2x)+f(2-x)

>0的解集為.

X2V2

16.(5分)已知雙曲線氏--γ-=↑(^>0,?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)i,若七

α2b2

上存在點(diǎn)尸，滿足|。Pl=3尸1尸2|(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，且4PF1F2的內(nèi)切圓的半徑等于α,則

E的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S”且滿足2的+1=2必1

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若仇—，數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為2”證明：TnVM

^anan+l/

,_sinCb

18.(12分)在①,~~：—+----=1,②CCOSCSirLA=(2〃-C)SinCcosA這兩個(gè)條件中

smA+smBa+c

任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答.

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且.

(1)求乙4；

(2)^?CB-CA?=4,cosB+cosC=1,求4A8C的面積.

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.)

19.(12分)如圖，在多面體ABCOE尸中，A,B,C,。四點(diǎn)共面，AB=AC=A尸=CE=2,

AF//CE,AF±5FM∣ABCD,DE2+DF2=I2.

(1)求證：Ce平面AOF；

(2)若AO=CZλABLAC,求平面BEF和平面DEF的夾角的余弦值.

20.(12分)在某校舉辦“，強(qiáng)國有我新征程”的知識能力測評中，隨機(jī)抽

查了100名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學(xué)中每

次隨機(jī)抽1人在全校作經(jīng)驗(yàn)分享，每位同學(xué)最多分享一次記第一次抽到女生為事件A,

第二次抽到男生為事件8?

(1)求P(B),P(B∣A)i

(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，記被抽

取的3人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)已知P為拋物線E：∕=2pχ(p>0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸Q_Ly軸，垂足

為。，C(7,8)在拋物線上方，且IPel+1PQl的最小值為9.

(1)求拋物線E的方程；

(2)若直線y=x+〃?(力WO)與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A、B,線段48的垂直平分

線交X軸于點(diǎn)N,且aABN為等邊三角形，求機(jī)的值.

?2

22.(12分)已知函數(shù)/(x)^alnx~~x(α>0),曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的

切線與直線X-),+1=0平行.

(1)求α的值；

(2)若x∈[l,+o°)時(shí)，不等式/(x)≤(.m-1)X-恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

2023年云南省紅河州高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)若集合M={X∣6<9},N={XU211},則MnN=()

A.{x∣x≤-1,或l≤x<3}B.{x∣l≤x<3}

C.{x∣l≤x<8l}D.{x∣x≤-1,或∕≤x<81}

1.

【解答】解：集合M={M%2V9}={x∣0≤v<81},N={小2》1}={小21或％≤-I},

則M∩N={x∣l≤x<81}.

故選：C.

1

2.(5分)復(fù)數(shù)1瓦與下列哪個(gè)復(fù)數(shù)相等()

2r2i

Tr71,^31

A.cos(―?-)+zsin(-?-)B.———i

3322

π

C.1-ZD.-i

3

【解答】解：W1y/3

r=-———i=Cos(一豆)+Zsin(一豆)?

2233

廣2:

故選：A.

3.(5分)已知向量熱=(2,∕π),b=(4,-1),K(α—e)±(α+6),則實(shí)數(shù)m=()

1-

A.2B.-C.8D.±√y13

【解答】解：(α-b)±(α+fe),

則(Q—b)?(ɑ+b)=0,即Q2=?2,

Va=(2,"?),b=(4,-1),

Λ22+∕n2=42+(-1)2,解得加=±√13.

故選：D.

4.(5分)中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把沏茶、賞茶、聞茶、飲茶、

品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特

征.其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求.把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的

溫度是日℃,空氣的溫度是。0℃,經(jīng)過f分鐘后物體的溫度為滿足公式。=。0+（。1

-θo）e^0?25,?現(xiàn)有一壺水溫為92C的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52。C時(shí)口感最

佳，若空氣的溫

度為12℃,那從沏茶開始，大約需要（）分鐘飲用口感最佳（參考數(shù)據(jù)：/〃3七1。99,

/∕ι2≈0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【解答】解：由題意可得，52=12+（92-12）√0?25Γ

/o.25r_1

e-2'

1

Λ-025f=In-,

2

_ln20.693?

/=0?5≈^025^“2刀，

即大約需要2.77分鐘飲用口感最佳.

故選：B.

5.（5分）如圖所示是一塊邊長為IOC〃，的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯

形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來，并將其拼接成一個(gè)無上蓋的容器（鋁片厚

C.80√3C∕W3D.104√3cm3

【解答】解：由題知，該容器的容積就是正四棱臺的體積,

如圖，連接正四棱臺上下底面的中心。，02,取上底面正方形一邊中點(diǎn)F,對應(yīng)下底面

正方形一邊中點(diǎn)E,連接E凡OιF,O2E,

則OIF〃O2E,故01,F,。2,E四點(diǎn)共面,

過點(diǎn)F作FQ〃OIO2交02后于點(diǎn)Q,則四邊形OIo2QF為矩形，

故0?0ι-QF,

因?yàn)樵撜睦馀_上、下底面邊長分別為2,6,等腰梯形的斜高為4,

所以O(shè)lF=O2。=1,O2E=3,EF=4,

故QE=O2E-。2。=2,

所以該棱臺的高/i=QF=[EF2-QE2=、42—22=2百,下底面面積Si=36,上底面

面積S2=4,

所以該容器的容積是U=例⑸+S2+醫(yī)m)=∕X2√5X(4+36+√R?=竺普

(cmi),

故選:B.

6.(5分)一組數(shù)據(jù)為148,150,151,153,153,154,155,156,156,158,163,165,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是()

A.151B.152C.156D.157

【解答】解：該組數(shù)據(jù)共有12個(gè)，

5

故這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是I'+"'=157,

2

故選：D.

7.(5分)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與

兩定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)k(k>0且左≠1)的點(diǎn)的軌跡為圓.后人將這個(gè)圓稱為阿波羅

尼奧斯圓，已知點(diǎn)0(0,0),A(5,0),圓C：(X-4)2+y1=ι2(r>0)上有且只有一

個(gè)點(diǎn)P滿足緇=,，則r的值是()

A.2B.8C.8或14D.2或14

IPAI3

【解答】解：設(shè)尸(x,y)>'?'0(0.0),A(5,0),又;—^=

?P0?2

.?.4∣Λ4∣2=9∣PO∣2,

Λ4[(X-5)2+√]=9(/+)2),

整理可得(x+4)2+y2=36,

,P點(diǎn)的軌跡方程為圓。：(x+4)2+y2=36,

22222

又根據(jù)題意可知圓C：(χ-4)+y=l(r>0)與圓D：(x+4)+y=36僅有一個(gè)公共

點(diǎn)，

兩圓內(nèi)切或外切，又圓C的圓心C為(4,0),半徑為r；圓。的圓心。為(-4,0),

半徑為6,

；?∣CO∣=r+6或ICR=K-6|,又∣CD∣=8,

,8=r+6或8=∣r-6∣,(r>0),

r—2或r=14,

故選：D.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣φ∣V5),若/(x+苓)為偶函數(shù)，γ=∕(x)

TT

的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為5的等差數(shù)列.將函數(shù)/(x)圖象上每一點(diǎn)的

橫坐標(biāo)縮短為原來的右縱坐標(biāo)不變，再向左平移盤個(gè)單位后得到函數(shù)g(X)的圖象.則

ππ

/(-)+g(-)=()

A.OB.-2C.1D.-1

Tl

【解答】解：由y=∕(x)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為a的等差數(shù)列，

可以得到函數(shù)/(x)的周期T=π,3=竿=2；由/(x+第為偶函數(shù)，

可得/(x)的圖象關(guān)于直線X=例稱，所以2x看+φ=*+?π,?∈Z,

因?yàn)楱Oφ∣<^g,所以k=0,<P=專,則/(x)=Sin⑵+看)，

將函數(shù)/(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的點(diǎn)得到y(tǒng)=sin(4x+J),

TC

再向左平移石個(gè)單位，得到函數(shù)g(X)=cos4x,

TTTCπTTTr

f(―)+g(-)=Sin(2×?-+7-)+cos(4×■=-)=0.

,33363

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分

（多選）9?（5分）某校高三一名數(shù)學(xué)教師從該校高三學(xué)生中隨機(jī)抽取男、女生各50名進(jìn)

行了身高統(tǒng)計(jì)，得到男.女身高分別近似服從正態(tài)分布N（173,11）和N（164.9）,并

對其是否喜歡體育鍛煉進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下2X2列聯(lián)表:

喜歡不喜歡合計(jì)

男生37tn50

女生n3250

合計(jì)5545100

2

參考公式.2—_____TI(Qd-兒)_______

“年久χ”一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

xa6.6357.87910.828

則下列說法正確的是（）

A.加=13,〃=18

B.男生身高的平均數(shù)約為173,女生身高的平均數(shù)約為164

C.男生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為11,女生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為9

D.依據(jù)α=0?01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián)

【解答】解:由2X2列聯(lián)表知,

37+〃?=50,"+32=50,

故m=13,”=18；

故選項(xiàng)A正確;

由男、女身高分別近似服從正態(tài)分布N（173,11）和N（164,9）知,

男生身高的平均數(shù)約為173,女生身高的平均數(shù)約為164,

男生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為?1,女生身高的標(biāo)準(zhǔn)差約為3；

故選項(xiàng)B正確，C錯(cuò)誤;

IOoX(37x32-13x18)2

由≈14.59>6.635知,

55×45×50×50

依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián),

故選項(xiàng)。正確；

故選：ABD.

（多選）10.（5分）已知x>0,y>0,且x+y-Λ>,+3=0,則下列說法正確的是（）

111

---

A.3VΛ3W12B.x+y≥6D.Xy3

【解答】解:A,Vχ>O,v>0,Λx+y^2√xy,

.?xy-3≥2^Gey,/.(Xy)2-IOxv4-9≥O,

?：x+y-xy+3=O,.*.xy=x+y+3>3,

???孫29,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號，,A錯(cuò)誤，

B,VΛ>0,y>O,??x+y^2yfxy9

'?'x+y-xy+3=O,.*.x+γ22y∣x÷y+3,

即(x+γ)2-4(尤+y)-1220,

Vx+γ>0,?'?x+y26,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號，

Λx+y≥6,...B正確，

C,V√+γ2^2Λ??Λ2(x2+y2)(x+j)2>36,Λx2+y2≥18,當(dāng)且僅當(dāng)％=y時(shí)取等號，

.?.c正確，

11112

D,當(dāng)x=y=3時(shí)，滿足x+y-χy+3=0,但一+—=-+-=一，二。錯(cuò)誤，

X,y333

故選：BC.

(多選)11.(5分)三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，且抬，底面ABC,PA=2AB

=24C=2,ZBAC=?,則下列說法正確的是()

A.BC=√3

B.球心。在三棱錐的外部

C.球心O到底面ABC的距離為2

D.球。的體積為二一

3

2yr

【解答】解：對于A,在aABC中，由余弦定理得BC2=1+1-2義1XIXcos-=3,即

BC=√3,故4正確：

對于8,如圖，設(shè)AABC外接圓的圓心為Oi,連接。。1,則。OiL底面A8C,又B4_L

底面ABC,

r

所以。0|〃勿，由NBAC=竽，得圓心Oi在4A8C外部，故球心。在三棱錐的外部,

故B正確:

對于C,取線段出的中點(diǎn)Q,連接00ι,因?yàn)楦绞乔?。的一條弦，所以0。，以，

所以四邊形OOiAQ為矩形，故Ool=AQ=5?=l,即球心0到底面ABC的距離為1,

故C不正確：

對于。，設(shè)球。的半徑為R,圓Oi的半徑為r,由正弦定理得2r=訴%7=2,所以r

SlTLZ.DZiC

進(jìn)而R=JOOf+/=&球的體積為年R3=亨，故。正確；

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(幻=［河'"6(0’+8),則下列說法正確的是()

A.函數(shù)F(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.若關(guān)于X的方程/(x)=f恰有1個(gè)解，貝h>l

C.函數(shù)F(X)的圖象與直線x+y+c=0(c∈R)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

D.若/(XI)=/(X2)=/(%3),且IXVX2<X3,貝!!(I-XI)(X2+X3)無最值

(1伶，x>l

【解答】解："X)=四‘"e"'+8)=χ,OVxVi,

^∕n(l-x),%∈(-∞,0)

UTI(I-%),%VO

作出/(x)的圖象可得:

對于8：若函數(shù)g(x)=f(%)7恰有一個(gè)零點(diǎn)，則f>l或f=0,故8不正確；

對于C因?yàn)楹瘮?shù)y=/〃(Ir)在點(diǎn)(0,0)處的切線為y=-χ,

函數(shù))'=］在(1，1)處的切線為y=-χ+2,

由圖可知，當(dāng)OW-C<2,即-2WcW0時(shí)，/'(X)的圖象與直線x+y+c=0恰有一個(gè)交點(diǎn)，

?

當(dāng)-c>2,即CV-2時(shí)，令一=—X-c,得f+cx+l=。，

X

令P(X)=x2+cx+l(x>l),

則P(1)=2+c<0,〃(-c?)=1>0,

由二次函數(shù)的圖象及零點(diǎn)存在定理可知，方程P(X)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)-CV0,即c>0時(shí)，令妨(1-4)=-χ-c,

設(shè)

q(X)=In(1-x)+x+cfx≤0,

則q'G)=告≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號)，即函數(shù)q(無)在(-8,0)上單調(diào)

遞增，

由于q(0)=c>0,

√(1-(C+2)2)=bι(c+2)2+l-(c+2)2+c^2In(c+2)-c2-3c-3≤2(c+l)-c2

-3c-3=-c2-c-KO,

所以函數(shù)4(x)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故C正確；

對于￡>：由于/(xι)=于(XI)=/(%3)=t(r∈(0.1)),(xι<x2<x3),

1,1

貝(J∕l=l-e',X2=t,X3=則(1-Xl)(X2+X3)=∕(H?1),

設(shè)h(Z)=/(什彳)，

h'(r)=√(f+∣)+e'=/(儀+;"—1),

設(shè)機(jī)(f)-ti+t2+t-1,

所以〃？G)在(0,1)上單調(diào)遞增，且膽(0)<0,W(I)>0,

所以存在∕o∈(0,1),使得m(zo)=0,

當(dāng)f∈(0,/())時(shí)，h'(/)<0,h(力單調(diào)遞減，

當(dāng)怎(ro,1)時(shí)，h'Ct)>0,hG)單調(diào)遞增，

所以〃(Z)存在最小值∕?(ro),故。不正確，

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)(1+9(x-y)7的展開式中/J的系數(shù)為14(用數(shù)字作答).

【解答】解：：(1+Q(x-y)7=(1+Q[C^x,+C^?x6<-y)+C^Λ5<-y)2+?C^<-

y)",

,它的展開式中的系數(shù)為-0+妗=-21+35=14,

故答案為：14.

14.(5分)在數(shù)列｛〃"｝中，03=3,“5=7,若｛24"-”｝為等比數(shù)列，則Gi=127.

【解答】解：令垢=2z-〃，則｛加｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4，

根據(jù)題意83=243-3=2X3-3=3,加=2。5-5=2X7-5=9,

所以才=賓=|=3,故"ι=2Gl-II=加《6=9X27=243,

所以αιι=127.

故答案為：127.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=x3+2X-1+(Siru■-CoSX)2,則不等式/(/-2x)+f(2-x)

>0的解集為｛x∣x>2或x<l｝.

【解答】解：f(x)=xi+2x-1+(SinX-COsX)2-xi+2x-sin2x,

所以/(-x)=-X3-2x+sin2x=-/(x),即f(X)為奇函數(shù)，

f(X)=3x2+2-2CoS2x20恒成立，

所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

2

由/(x-2Λ)V(2-%)>0可得/(Λ2-2Λ)>-/(2-X)=f(X-2),

所以7-2x>x-2,

解得x>2或χVl.

故答案為：｛x∣x>2或x<l｝.

%2乙V2

16.（5分）已知雙曲線E：--γ-=l（a>0,?>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,Fi,若E

aibz

上存在點(diǎn)P,滿足IOPl=4尸1尸2|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且4PFi尸2的內(nèi)切圓的半徑等于”,則

E的離心率為l+√3.

222

【解答】解：因?yàn)镮OPl=（Fl6],所以PFljLPF2,∣PFι∣+∣PF2∣=4C,

又因?yàn)镻在雙曲線上,所以IPFII-IPF2∣=2α,聯(lián)立可得IPFII?∣PF2I=2產(chǎn),

2222

（∣PF1∣+IPF2D=4c+4/，所以∣PFJ+?PF2?=2y∕b+c,

因?yàn)?PFιF2的內(nèi)切圓的半徑為a,

所以SAPFIF2=±（∣PFι∣+?PF2?+∣F1F2∣）?α,

即IPFIllPF2∣=（IPFlI+1尸尸2∣+∣尸1F2∣）a,BP2b2=（2√h2+c2+2c）α,

所以爐-ac=α√h2+c2,兩邊平方得b1-2ac-a2,

即C?-24c-2J=0,兩邊同時(shí)除以/,得e2—2e—2=0,e=1±V3,

因?yàn)閑>l,所以e=l+√3.

故答案為：1+V5.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛而｝的前"項(xiàng)和為S”且滿足2〃"+1=2序]

（1）求數(shù)列｛z｝的通項(xiàng)公式；

（2）若仇=4」+J數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為刀”證明：Tn<^.

【解答】解：（1）正項(xiàng)數(shù)列｛a”｝的前"項(xiàng)和為2,且滿足2<?+l=2必;，

2

所以（2即+I）=8S",整理得4αJ+4c?+1=BSn,①，

2

當(dāng)〃22時(shí)，4ɑn.1+4αn-1+1=8Sn.1,②，

①-②得：SL加1=1（常數(shù)），

當(dāng)〃=1時(shí)，解得的=

11

,

故Qn=2÷（M-1）=H-2

證明：（2）由（1）得：bn=-T---------=75-----=取G11——-L），

nky

4αnαn+1（2n—l）（2n+l）22n-12n+l

κ∣1-1,11,,11、1?Λ

所lζr以r〃n=2（1_@+可一耳+???+^≡T-5^）=2（1_^TT）V于

siτιCb

18.(12分)在①.~~：—+---=1,②CCoSCSinA=(26-C)SinCcosA這兩個(gè)條件中

sιnA+SinBa+c

任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答.

記aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,且.

(1)求/4

(2)若ICB-C4∣=4,cosB+cosC=1,求zλABC的面積.

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.)

【解答】解：選①，

sinCb

(1)-：----：—+----=1,

sιnA+sιnBa+c

cb

則由正弦定理可得，—-+---=1,即c(α+C)+?(a+?)=(a+b)(4+c),化筒整

a+ba+c

理，b2+c2-a2=be,

由余弦定理可得，CosA=b+2b^a==l,

VA∈(0,π),

Π

???4Δ=于

(2)令Q=CB9h=CA,

?CB-CA?=4f

則∣Q—b∣=0,即(Q—h)2=16,

Λa2+b2-2而CoSC=I6,

VC2=Λ2+?2-2abcosC,

.?.c=4,

VcosB+cosC=CoS(等-C)+cosC=與SinC+^cosC=Sin(C+.)=1,

2TT

又：0<(：〈竽，

:.c+l=l，解得C=泉

AABC為邊長為4的等邊三角形，

JLJkY、111V3/-

?'△ABC的面積為一bcsinA=-×4×4×—=4√3.

J222

選②，(1)CcosCsinA=(26-C)sinCcosA,

則由正弦定理可得，SinCcosCsinA=(2SinB-SinC)sinCcosA,

VsinC≠O,

.*.CosCsinA=(2sinB-sinC)cosA=2sinBcosA-SinCcosA,

.*.sin(A+C)=SinB=2siαBcosA,

VsinB≠O,

.?.cosAΛ=21，

VA∈(O,π),

??A=T

(2)令Z=C?,b=CA,

?CB--|=4,

則IQ—h∣=0?即(α—b)?=16,

.φ.a2+b2-2abeOSC=I6,

222

Vc=α+?-2abcosCf

：?C=4,

2JT-/?]Jj-

Vcosθ+cosC=cos(-?——C)+cosC=sinC+ICOSC=sin(C+石)=1,

又「OVCV等

."+著=￡,解得C=專，

J.∕?ABC為邊長為4的等邊三角形，

11√3/-

.?.Z?45C的面積為-bcs譏A=-×4X4×—=4y3.

222

19.(12分)如圖，在多面體ABCDEF中，A,B,C,。四點(diǎn)共面，AB=AC=A尸=CE=2,

AF//CE,ΛF±5FffiΛBCD,DE1+DF2=U.

(1)求證：CDJ■平面ADF;

(2)若AO=CD,ABLAC,求平面BEF和平面。EF的夾角的余弦值.

E

【解答】解：(1)證明：：AF_L平面ABC￡),且CO,AoU平面ABC。，；.CZ)_LAF,AD

LAF,

'JAF∕∕CE,，CE_L平面ABC。，CDc5FffiABCD,J.CEVCD,

.?.在Rt?AFD和RtaCEC中，由勾股定理得：

DF2=AD2+AF2=AD2+4,DE1=CD2+CE2=CD2+4,

?'DE2+DF2=?2,.?AD2+CD2=4=AC2,.,.CD±AD,

由Af>∏AF=A,AD,AFU平面AQR二CD_L平面AOE

(2)由(1)得CDLAD,當(dāng)Ao=CZ)時(shí)，點(diǎn)。在線段AC的垂直平分線上，

。到直線AC的距離為1,由A8_LAC,AF_L平面ABCZX

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,A尸所在直線分別為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則B(2,0,0),F(0,0,2),E(0,2,2),D(-I,1,0),

BF=(-2,0,2),FE=(0,2,0),∕?=(1,-1,2),

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z).

則m?BF=-2x+2Z=O取z=l,得”=(1,0,1),

[m?EF=2y=0

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為蔡=(a,b,c),

則n-DF=a-b+2c=0f取0=],得Z=(_2,0,1),

五?EF=26=O

則ICoSV/旌L_|-2+1|_同

n,

NJlcosVm,?∣-l→l.l→l-√2×√5^10

√10

??.平面B防和平面OEb的夾角的余弦值為宜.

10

Z

20.(12分)在某校舉辦強(qiáng)國有我新征程”的知識能力測評中，隨機(jī)抽

查了100名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學(xué)中每

次隨機(jī)抽1人在全校作經(jīng)驗(yàn)分享，每位同學(xué)最多分享一次記第一次抽到女生為事件A,

第二次抽到男生為事件B.

⑴求P(B),P(β∣Λ);

(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，記被抽

取的3人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：(1)P(B)=^×∣+∣×∣=∣,

“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件4發(fā)生的條件下，事

件B發(fā)生的概率，

4422

則由，,

P(A)=//Po(AB/)=7×z=7

2

-1

7