2023年全國甲卷高考理科數(shù)學(xué)試題解析

2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)試題解析

[設(shè)集合4={xlx=3k+UkeZ},B={x\X=3《+2#￡Z},0為整數(shù)集，^j(^U5)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=3k-l,keZ}

C.{x\x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出.

【解析】因為整數(shù)集

Z={x|x=3k,k￡Z}U{X[X=3《+1,A：￡Z}U{X|X=3K+2,Z：￡Z},U=Z,所以，

電(/IJB)={x|x=3k,keZ}.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)(〃+i)(l-ai)=2,Q￡R,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【解析】因為(a+—=a—a3+i+Q=2。+(1-Q?)i=2,

2a=2

所以《解得：a=\.

1-a2=0

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的8=（）

/輸出3/

O束)

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出.

【解析】當〃=1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，N=l+2=3,8=3+2=5,

“=1+1=2：

當〃=2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，71=3+5=8,3=8+5=13,

〃=2+1=3；

當〃=3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,6=21+13=34,

〃=3+1=4；

當“=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出3=34.

故選：B.

4.向量|碼=|51=-1,|11=0，^-a+b+c=0<WOcos{a—c,b—c）=（）

1224

A.----B.----C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解析】因為萬+5+5=0,所以5+b=~c

即12+/+2口/=^,即1+1+21力=2，所以無5=0.

如圖，設(shè)厲=2礪=B,反=5,

由題知,。4=。8=1,。。=啦038是等腰直角三角形,

AB邊上的高OD^—,AD=—,

22

所以8=。。+。。=71+也=逑，

22

tanNACD=—=cosNACD=-J=

CD3Vio'

cos(5-c,b-c)-cosZACB=cos2ZACD-2cos2Z.ACD-X

故選:D.

5.己知正項等比數(shù)列｛%｝中，q=1,5,為｛4｝前〃項和，S5=5S3-4,貝”4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程，計算出/即可求出S*

【解析】由題知l+q+q2+/+q4=50+q+g2)-4,

即/+/=4q+4/,即/+/_44—4=0,即(g_2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q〉0,所以q=2.

所以$4=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若

己知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B,0.4C.0.2D,0.1

【答案】A

【分析】先算出報名兩個俱樂部的人數(shù)，從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部

的概率，利用條件概率的知識求解.

[解析】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,

記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件B,

r,,?八505c/404

貝|JP(N)=百■尸(/8)=玄=-

707707

4

所以P(8M)=且4"=[=0-8.

尸⑷5

7

故選:A.

7.lisin2?+sin2/?=1sina+cos/?=0()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

jr

【解析】當sin2q+sin2，=l時，例如a=',/?=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin20=1推不出sina+cos4=0；

當sina+cos￡=0時,sin2a+sin2°=(-cos0y+sin2°=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2/?=1.

綜上可知，sin2a+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分條件.

故選：B

r22L

8.已知雙曲線-—彳v=1(“>0,6>0)的離心率為石，其中一條漸近線與圓

ab~

(x—2)2+(y—3)2=l交于Z,B兩點,則|/6|=()

A.-B.叵C.正D.

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【解析】由6=右，則4=上0=1+?=5，

aa~a

解得2=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=量-：=9,

所以弦長|1=2勿_笛=2^11=竽.

故選：D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù),

則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.

【解析】不妨記五名志愿者為a,b,c,4,e,

假設(shè)“連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服

務(wù)，共有A”12種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

10.已知/(x)為函數(shù)_y=cos(2x+t)向左平移2個單位所得函數(shù)，則丁=/(x)與

y的交點個數(shù)為()

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/(x)=—sin2x,再作出/(x)與y=的

部分大致圖像，考慮特殊點處./■")與丁=!》-；的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

【解析】因為V=cos12x+向左平移孑個單位所得函數(shù)為

所以/(x)=—sin2x,

牛，年處/(x)與的

大小關(guān)系,

當》=工時,13兀13兀一4

—x--------=--------<1；

42428

7兀一4,

------->1

所以由圖可知，/（X）與歹=—L的交點個數(shù)為3.

故選：C.

11.在四棱錐。一/88中，底面N8CD為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.272B.3啦C.472D.5夜

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得AP。。三APC。，APDB*PCA,

從而得到尸工=尸8,再在△PZC中利用余弦定理求得從而求得P8=JI7,

由此在APBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；

法二：先在中利用余弦定理求得尸/=J萬，cosZPC5=1,從而求得

PA-PC=-3^再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于PB,4BPD的方程組，

從而求得尸s=47，由此在APBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【解析】法一：

連結(jié)交于。，連結(jié)P0,則。為/C,8。的中點，如圖，

因為底面力為正方形，46=4,所以4。=8。=4五，則。O=CO=2JI，

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸￡>。三APC。，則/尸。。=/尸。。，

又PC=PD=3,AC=BD=46，所以APDBMAPC/,則尸Z=P8,

在中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°.

則由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4>/2x3x—=17，

2

故尸/=JI7，貝IJP8=JT7，

故在APBC中，PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cos/PCB

2PCBC2x3x4-W

又0<NPCB<TI,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=冬&，

3

所以APBC的面積為5=,尸。-8。5由4PCB==乂3義4x42=4叵.

223

法二：

連結(jié)交于。，連結(jié)PO,則。為的中點，如圖,

因為底面力8C7）為正方形，N6=4,所以NC=5O=4近，

在中，PC=3,NPC4=45。,

則由余弦定理可得

J7

PA2=AC2+PC2-2ACPCcosZPCA=32+9-2x4^x3x—=17，故

2

尸工=Ji7,

/么2+尸。2—」。2_17+9—32

所以cos//PC=

2PAPC2x717x3

~PA~PC網(wǎng)因cosZAPC=V17X3X

不妨記PB=/%,/BPD=0,

因為所=；（方+正）=；（而+而），所以（秒+定『=（而+而J,

即尸/+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

KiJ17+9+2x（-3）=/n2+9+2x3x/ncos0,整理得病+6〃?cos6-l1=0①，

又在△尸8。中，BD°=PB?+PD?-2PB?PDcosNBPD，即32=〃/+9—6加cos。，

貝!Im2-6mcos。-23=0②，

兩式相加得2機2-34=0，故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,PB=yfii,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=出，

3

所以APBC的面積為5=,尸。-8。$山/尸。8=1*3*4><拽^=4逝.

223

故選：C.

r223

12.己知橢圓瓦+{v~=1,片,鳥為兩個焦點，。為原點，。為橢圓上一點，cos

/-FXPF2=-,

則|P0|二()

A2B.我cTD.叵

■5252

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△尸耳工的面積，即可得到點P的坐標，

從而得出|。尸|的值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸婚|P用尸用2+|尸工『，再結(jié)合中線的向量

公式以及數(shù)量積即可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸大|2+歸耳『，即可根據(jù)中線定理求出.

7T=b1tan"'PF?=b2tan6,

【解析】方法一：設(shè)/片桃=240＜。＜5,所以

2

222

,-ccos^-sin61-tan63〃力/日八1

由cosZF.PF=cos26=---；---------=---------=—,解得:tan0=—

2cos2sin21+tan2^52

由橢圓方程可知，。2=9,/=6,。2=/—〃=3,

所以，,呻忻勾x|.=；x2石x|.=6x；,解得：片=3,

即片=9x(l-*)=|,因此Q尸|=&+%=口|=粵.

故選：B.

方法二：因為|P￡|+|P周=2a=6①，忸周2+|尸聞2一2忸周伊聞/耳尸月=|耳閭2,

即|尸用2+儼用2一號歸百歸用=12②，聯(lián)立①②，

1<

解得：閥||尸昭=》,附「9+忸寸7=21,

而麗=;（兩+用），所以|。尸|=|所卜;I西+西］

即叫毛防+

2PF、PF,

522

故選：B.

方法三：因為|尸￡|+歸周=2。=6①，|尸耳『+歸用2_2留的尸周/￡「鳥=內(nèi)巴'

即|P用2+仍居|2一6能引=12②，聯(lián)立①②，解得：|尸卬2+仍用2=21,

由中線定理可知，（2|0哨+出用2=21吶2+質(zhì)「）=42,易知出用=2出，解得:

陽粵

故選：B.

［拓展】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解

出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可

以直接用中線定理解決，難度不是很大.

二、填空題

13.若歹=（X一1）2+ax+sin[x+為偶函數(shù)，則4=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到了從而求得a=2,再檢驗即可得解.

+ax+sin[x+（

【解析】因為y=/（x）=（x—I）?（工-1）2+QX+COSX為偶函數(shù)，定

l2J

71

2

此時/（X）=（X-1）24-2x+cosX=X2+1+cosX,

所以/（―x）=（―x）2+1+COS（-X）=工2+1+COSX=/（X）,

又定義域為R，故/(x)為偶函數(shù),

所以“=2.

故答案為：2.

-lx+3y<3

14.設(shè)工，^滿足約束條件<3%一2p43，設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

x+y>1

【答案】15

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【解析】作出可行域，如圖，

37

由圖可知，當目標函數(shù)yn-'X+s過點A時，Z有最大值

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體NBC。-44GA中，E,尸分別為CD,的中點，則以EF為直徑的球

面與正方體每條棱的交點總數(shù)為.

【答案】12

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【解析】不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點為O,取/B，中點G,M,側(cè)面的

中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

N

由題意可知，0為球心，在正方體中，EF=yjFG2+EG2=V22+22=2、5，

即R=>/2,

則球心0到的距離為QM=y/oN2+MN2=Vl2+I2=6，

所以球。與棱5片相切，球面與棱8片只有1個交點，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在中，AB=2，NBAC=6V,BC=&,。為8c上一點，AD為/BAC的

平分線，則.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根據(jù)等面積法求出；

方法二：利用余弦定理求出ZC,再根據(jù)正弦定理求出民C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃_2x2xbxcos6(r=6,

因為6>0,解得：b=l+JJ，

由S.ABC=S^ABD+‘/CD可得，

—x2x/?xsin60°—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

2

出b26（1+石）

解得：AD

3+6

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/>2-2X2XZ>XCOS60°=6.因為分>0,解得：b=l+G，

由正弦定理可得，4—=_絲=二_,解得：sin3=C+后,sinC=-.

sin60°sinBsinC42

因為1+百>&>&，所以。=45°，6=180。-60°—45°=75°，

又N8Z0=3O°，所以NZ06=75°，AD=AB=2.

故答案為：2.

【拓展】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以

用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

三、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝中，生=1，設(shè)S”為｛4｝前〃項和，2S?=nan.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列的前〃項和小

【答案】⑴an=n-\

【分析】⑴根據(jù)％=<

Sn-Sn_t,n>2

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【小問1解析】

因為2S“=nan,

當〃=1時，2q=q,即q=0；

當〃=3時，2（1+%）=3%，即％=2,

當，拒2時，2S,i,所以2（S“-S,T）=〃a“-（〃-l）%=2a.，

化簡得：,當〃23時，===—=1,即氏=〃一1,

〃一1n-22

當〃=1,2,3時都滿足上式，所以⑸=〃—l(〃eN*).

【小問2解析】

因為竽等所以北=?+2x1)+3x()+…+咽,

呆=1$2x?+…+(1咱+唱1

兩式相減得，

2

=1—["CO）'艮叱=2-（2+〃）出，〃eN”.

18.在三棱柱Z8C-44G中，AAi=2,4C_L底面/8C,AACB=90°,&到平面

BCC^i的距離為1.

(2)若直線Z4與84距離為2,求力4與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)嫗

13

【分析】(1)根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4。J?平面8CG4,再由勾

股定理求出。為中點，即可得證；

(2)利用直角三角形求出力耳的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【小問1解析】

如圖,

c,

Bi

，二

???4C_L底面ABC,8Cu面ABC,

A^CIBC,又BC工AC,4C,ZCu平面NCG4，A,CryAC=C,

.?.8C_L平面ZCCA，又6Cu平面8CG4，

二.平面ZCC/i，平面8CGA,

過4作40_LCG交CG于。，又平面4CG4n平面BCC4=C￡,4Ou平面

ACCiAi,

4。J■平面3CC0

V4到平面BCGg的距離為1,4。=1，

在Rta4C￡中，4CJ_4￡,CG="1=2,

設(shè)CO=x，則C1O=2—X,

?.?△4OC,A4OC,,A4CC,為直角三角形，且CG=2,

CO2+A<Cr=4c2,A,02+OC；=C/：,4c2+*=c,C2,

.--1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=A,C=4G=^2,

AC=A^C

【小問2解析】

vAC=J.C,fiC±A,C,BC1AC,

RtA^C5^RtA4C5

BA=BA{,

過8作8O_L441,交44］于。，則。為中點，

由直線44與BB］距離為2,所以8。=2

=80=2,AiB=AB=45,

在RtZ\/8C，BC7AB2-AC?=百，

延長ZC,使4C=CN,連接GW，

由CM〃AG，CM=4￡知四邊形4cMG為平行四邊形，

川〃4。，.??。|加，平面Z8C,又4/U平面/8C,

C}M1AM

22

則在RtA/IC.AZ中，AM=2AC,CXM=4。，；.AC,=^2AC)+A1C，

在RtZXZgG中，AC,=.yJ(2AC)2+A,C2,BG=BC=5

222

：.AB}=7(2V2)+(V2)+(V3)=V13,

又A到平面BCC[B1距離也為1,

所以AB,與平面5CC,B,所成角的正弦值為卡=用.

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不加

藥物)和實驗組(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)m,并完成下面2x2列聯(lián)表:

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù)：

k00.100.050.010

尸?)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=1

(2)(i)加=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

【分析】(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得根=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.

【小問1解析】

依題意，X的可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=等=奈，p(x=l)=詈尸(工=2)=警=義,

所以X的分布列為:

X012

192019

P

783978

1Q201Q

故E(X)=0x——+lx——+2x—=l

783978

【小問2解析】

(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20

位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第11位數(shù)據(jù)為14.4,后續(xù)依次為

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

,23.2+23.6”“

所以〃？=----------=23.4,

2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

(ii)由⑴可得，K=40x(6x6-14x14)--6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

20.已知直線x—2y+l=0與拋物線C:/=2px（p>0）交于兩點，且|/出|=47記.

（1）求P；

（2）設(shè)C的焦點為凡M,N為C上兩點，MF-NF=Q，求AMN尸面積的最小值.

【答案】（1）p=2

（2）12-872

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P：

（2）設(shè)直線MN：x=my+n,"（%,必》義仁,%）,利用礪.而=0，找到私〃的關(guān)

系，以及AMNV的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【小問1解析】

設(shè)力

（x-2y4-1=0

由V2c可得，V-4勿+2。=0，所以

[夕=2px

所以

|幽=J（吃-xj+?一8）、=回廠%|=&xJ（"+jJ-438=，

即2P2一夕一6=0,因為夕>0,解得：p=2.

【小問2解析】

因為尸（1,0）,顯然直線的斜率不可能為零，

設(shè)直線MV：x=my+n,M（x,,^）,A^（x2,y2）,

（y2=4x,

由〈可得，y-4my-4n^0,所以，y}+y2=4m,y}y2=-4n,

[x-my+n

A=16w2+\6n>0^>m2+n>0>

因為赤?標=0，所以（百_1）（々_1）+凹^2=0，

即（團凹+沖2+〃-1）+乂、2=0，

亦即（加2+1）乂%+加（“一1）（乂+%）+（“―if=0,

將必+y2=4〃?,乂夕2=-4〃代入得，

4m2=n2-6w+b4（/+〃）=（〃-1）->0,

所以“K1,且〃2—6〃+120，解得〃23+2雙或〃W3—2JI.

In-11

設(shè)點尸到直線MV的距離為d,所以。=1,

|"N|二)(司一工2『+(必一夕2)2=W+加2|必一刃=+J16加2+16〃

=2不+〃22,4(/-6〃+1)+16〃=2-J1+加["-1],

所以△兒WF的面積S=gXpvw|Xd=gX中工X2JiTG71"_1|=(〃—1)2,

而〃23+2拒或“W3-20，所以，

當〃=3—20時，△腦W7的面積工柿=(2-2逝)2=12-8夜-

【拓展】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到加，〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通

過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面

積的最小值.

…、sinx兀)

21.己知/(x)=or----—,xe0,—

cosxI2J

⑴若a=8,討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若./1(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)(-<?,3]

【分析】(1)求導(dǎo)，然后令/=852》,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可；

(2)構(gòu)造g(x)=/*)-sin2x,計算g〈x)的最大值,然后與。比較大小，得出”的分界點，再對

。討論即可.

【小問1解析】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------4------=a-------4----

COSXCOSX

令cos2x=/,則，￡(。，1)

2—at"+2z—3

則f(x)=g(t)=a----z—=

工。入、，、8『+2”3(2/-1)(4/+3)

當a=8J(x)=g(/)=-—=——%——-

當f即xefj'(x)<0.

(；』)，即x{0,：)/'(x)>0.

當fe

所以/(X)在(0,；)上單調(diào)遞增，在5上單調(diào)遞減

【小問2解析】

設(shè)g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(x)-2cos2x=g(/)-2(2cos2x-l)="十？——2(2/-1)=tz+2-4/+—；

23

設(shè)(p(t)=Q+2-4/+------

tt

.一一+5」尸?+6=_2(1)(2：+2什3)〉o

r/t