2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：一輪難題復(fù)習(xí) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)典型解答題 （教師版）

一輪難題復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)典型解答題

1.函數(shù)的定義域和值域

(1)求函數(shù)定義域的類(lèi)型和相應(yīng)方法

①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；

②若已知_/U)的定義域?yàn)棰萣],則|g(x))的定義域?yàn)椴坏仁降慕饧?；?/p>

之，已知式g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則/(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)(xG[a,句)的值域.

(2)常見(jiàn)函數(shù)的值域

①一次函數(shù)y=Ax+b(k#O)的值域?yàn)镽：

②二次函數(shù)y=aK+Zzx+c(aWO)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)橐晃逡唬?<?j,當(dāng)a<0時(shí)，值

5/4ac—b2

域?yàn)?-8,--J；

③反比例函數(shù)y=，WO)的值域?yàn)閧)eR|.yWO}.

2.函數(shù)的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱)，都有3一x)=-M)成立,則於)為奇函數(shù)(都有犬一犬)=屈成立，則危)為偶函

數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)火x),如果對(duì)于定義域

內(nèi)的任意一個(gè)x的值，若心+D=/U)(7V0),則兀0是周期函數(shù)，7是它的一個(gè)周

期.

3.關(guān)于函數(shù)周期性、對(duì)稱性的結(jié)論

(1)函數(shù)的周期性

①若函數(shù)./U)滿足式x+a)=/u—a),則兀0為周期函數(shù)，22是它的一個(gè)周期；

②設(shè)加)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=4(aW0)對(duì)稱，則段)是周期函數(shù)，2a是

它的一個(gè)周期：

③設(shè)7U)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=a(a￥O)對(duì)稱，則氏r)是周期函數(shù)，也是

它的一個(gè)周期.

(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

①若函數(shù)y=7(x)滿足式a+x)=>(a—x),

即犬x)=K2“-x)，

則人x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

②若函數(shù)y=7(x)滿足式a+x)=,

即/U)=-/(2a—x)，

則/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。象對(duì)稱:

③若函數(shù)y=y(x)滿足y(a+x)=/(b—x),

則函數(shù).")的圖象關(guān)于直線x=審對(duì)稱.

4.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).

①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)任意XI，X2^[a,b],且X|rX2，

那么(XI—檢)。制)-二，：*>0母/㈤在口,句上是增函數(shù)；

(不一應(yīng))[/(即)一/(刈)]<00於"三庭〃00小:)在[。，切上是減函數(shù).

X]-X2

②若函數(shù)人刈和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，1x)+g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)兀V)

和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，7(x)+g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合

函數(shù)y=7(g(x))的單調(diào)性.

5.函數(shù)圖象的基本變換

(1)平移變換

)'=於)黑售》)~=於+力，簡(jiǎn)記為“左加右減”；

)'=於>黑：[卜尸危)+鼠簡(jiǎn)記為“上加下減”.

(2)伸縮變換

>=式》)百^)'可"、)，

“、O<A<1,縮…、

y/㈤A”伸“y=A/w，

(3)對(duì)稱變換

y=/(x)-^Ly=一聲)，

y軸

y=/(x)i-^y=J(-x),

y=/U)型'y=一式一x).

6.準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)定點(diǎn)：y—a\a>0,且aWl)恒過(guò)(0,1)點(diǎn);

y=l0gHx(a>0,且aWl)恒過(guò)(1,0)點(diǎn).

(2)單調(diào)性：當(dāng)a>l時(shí)，丫=〃.在R上單調(diào)遞增；y=log“x在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時(shí)，y=a^在R上單調(diào)遞減；y=log?x在(0,+8)上單調(diào)遞減.

7.函數(shù)與方程

(1)零點(diǎn)定義：xo為函數(shù)式x)的零點(diǎn)例由))=0臺(tái)(刖,0)為/U)的圖象與x軸的交點(diǎn).

(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法

①解方程判定法：解方程式x)=0；

②零點(diǎn)存在性定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)y=?r)滿足火。加力<0,判斷函數(shù)在區(qū)間(“，份內(nèi)存

在零點(diǎn)；

③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同時(shí)多用此法求解.

8.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(iy'(xo)的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)(如亞⑹)處的切線的斜率，該切線的方程為y

一次喻=于'Uo)-(x—Xo).

(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y=/(x)上；②在切線上.

特別提醒：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線尸/1(X)在點(diǎn)(刖，％)處的切線的斜率就是

函數(shù)尸f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)，而切線的斜率就是切線傾斜角的正切值.

2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解決曲線的切線問(wèn)題時(shí)，一定要注意所給的點(diǎn)是否在曲線上，若

點(diǎn)在曲線上，則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是該點(diǎn)處曲線的切線的斜率；若點(diǎn)不在曲線上，則該

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值不是切線的斜率.

3.若所給的點(diǎn)不在曲線上，應(yīng)另設(shè)切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于所設(shè)切點(diǎn)

橫坐標(biāo)的關(guān)系式進(jìn)行求解.

9.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y(x)=c(c為常數(shù))/(x)=0

Ax)=/(〃eQ*)

式x)=sinxf(x)=cosx

/(x)=cosx/(x)=—sinx

f(x)=c^na

Xx)=evF(x)=e*

?r)=logd/⑴―xlna

/(x)=J

/U)=lnx

10.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)g)±g(x)]'=F(x)土g'(x)；

(2)(/u>g(x)]'=/(x)g(x)+./U)g'(x):

cJ/(*)]'7'(X)，g(x)-g,M-f(x)

_g(x)」g(x)

11.復(fù)合函數(shù)及其求導(dǎo)法則

(1)復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和〃=g(x),如果通過(guò)變量〃，y可以表示成工的函數(shù)，

那么稱這個(gè)函數(shù)為y=A")和"=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=Ag(x)).

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=7(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為即y

對(duì)尤的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與“對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

12.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①求函數(shù)JU)的定義域；

②求導(dǎo)函數(shù)，(X)；

③由/(x)>0的解集確定函數(shù)次0的單調(diào)增區(qū)間，由/(x)<0的解集確定函數(shù)犬x)的單調(diào)

減區(qū)間.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

①若可導(dǎo)函數(shù)式的在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則/(x)》O(xGM)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)人x)

在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則/(x)WO(xCM)恒成立；

②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，，(x)>0(或/(x)<0)在該區(qū)間上存在

解集；

③若已知_/U)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出負(fù)x)的單調(diào)區(qū)間，

則/是其單調(diào)區(qū)間的子集.

13.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

(1)求函數(shù)的極值的一般步驟

①確定函數(shù)的定義域；

②解方程，(x)=O；

③判斷了'(x)在方程/(x)=O的根沏附近兩側(cè)的符號(hào)變化：

若左正右負(fù)，則的為極大值點(diǎn)；

若左負(fù)右正，則沏為極小值點(diǎn)；

若不變號(hào)，則xo不是極值點(diǎn).

(2)求函數(shù)7(x)在區(qū)間［Q,b］上的最值的一般步驟

①求函數(shù)y=/(x)在(a,6)內(nèi)的極值；

②比較函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值大幻，人力的大小，最大的一個(gè)是最大

值，最小的一個(gè)是最小值.

14.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法

(1)通過(guò)最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法.

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走

勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.

(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn).

對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性，畫(huà)出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn).

①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的

個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工

具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

15.與不等式恒成立、有解、無(wú)解等問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題

不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋

梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，

構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.

'恒成立o/(x)min>a

f(x)>a：?有解o>a

無(wú)解070%4。

16.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法

⑴若Ax)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明F(x*“>g(x)w；

(2)若/Xx)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)加x)=f(x)—g(x),然后根據(jù)函數(shù)

方(X)的單調(diào)性或最值，證明方(x)>0.

17.含參數(shù)的不等式.f(x)>g(x)恒成立、有解、無(wú)解的處理方法

①y=/(x)的圖象和y=g(x)圖象特點(diǎn)考考慮；

②構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造尸(x)=/(x)-g(x),轉(zhuǎn)化為尸(x)的最值處理；

③參變分離法，將不等式等價(jià)變形為。>以工)，或a</i(x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)/z(x)

的最值.

例題1.已知函數(shù)/(x)=sin?x+e)(o>0,0<e〈萬(wàn))的最小正周期為萬(wàn)，且直線

X=-1是其圖象的一條對(duì)稱軸.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)在AAfiC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為〃、b、c,且A<B<C,

a=cosB,若C角滿足求a+6+c的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移?個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不

變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作y=g(x),已知常數(shù)

獲R,nwN：且函數(shù)/(x)=/(x)+/lg(x)在(0,而)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)一

與”的值.

【答案】(1)〃x)=cos2x；(2)(2,0+1)；(3)2=-1,“=1347.

【解析】

【分析】

(1)由函數(shù)的周期公式可求出0的值，求出函數(shù)y=/(x)的對(duì)稱軸方程，結(jié)合直線

x=-]為一條對(duì)稱軸結(jié)合。的范圍可得出。的值，于此得出函數(shù)y=的解析式；

(2)由/(c)=—1得出c=],再由。=cosB結(jié)合銳角三角函數(shù)得出c=l,利用正弦

定理以及內(nèi)角和定理得出〃+6+c=&sin(A+()+l,由條件得出0<A<7,于此可

計(jì)算出a+6+c的取值范圍；

(3)令F(尤)=0,得Zsin'—zlsinx—1=0,換元得出，=sinxe[-l,l],得出方程

2產(chǎn)-力-1=0,設(shè)該方程的兩根為4、人由韋達(dá)定理得出fj2=-g，分3)

0<|/J<1>0<|^2|<2；(ii)%=1,——<t2<0；(iii)tt=-1,0<f2</三種情況討

論，計(jì)算出關(guān)于x的方程2sin,x-4sinx-l=0在一個(gè)周期區(qū)間(0,2萬(wàn))上的實(shí)根個(gè)數(shù)，

結(jié)合已知條件得出2與a的值.

【詳解】

2

(1)由三角函數(shù)的周期公式可得3=mTT=2,??J(x)=sin(2x+c),

TV

令2x+9=]+ATT(keZ),得x=；-g+￡(kwZ),

由于直線x=q為函數(shù)y=/(x)的一條對(duì)稱軸，所以，f一介陽(yáng)ZeZ),

得9=^+k/r(&€Z),由于0<勿<乃，二&=一1,則9=5，

因止匕，/(x)=sin(2x+/)=cos2x；

(2)QA<B<C,由三角形的內(nèi)角和定理得乃=A+B+C<3C,

Q/(C)=8S2c=-1,且署<2C<2》，；.2C=不，..c=^|.

/.cosB=cos--A=sinA,

(2)

由a=cos5,由銳角三角函數(shù)的定義得sinA=4,.?.c=/一=1,

csmA

由正弦定理得—^―=—^―=1,=sinB=sin—A[=cosA,

sinBsinA\2)

a+0+c=sinA+cosA+l=>/2sinA+—+1,

I4j

QC=—,KA+B=—>2A,0<A<—,?.—<A+—<—,/.—<sinf>4+^1<1.

2244422{4)

:.2<a+h+c<y/2+\,因此，i+b+c的取值范圍是（2,0+1）；

（3）將函數(shù)y=/（x）的圖象向右平移（個(gè)單位，

得至IJ函數(shù)y=cos=cos（2x_1）=sin2x,

再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)

應(yīng)的函數(shù)為g（x）=sinx,

QF（x）=/（x）+Ag（x）=cos2x+Asinx=-2sin2x+/isinx+l,

令尸（%）=。，oK#2sin2x-2sinx-l=0，

4r=sinxe[-l,1],得2產(chǎn)-"-1=0,△=力+8>0,

則關(guān)于f的二次方程2產(chǎn)-力-1=0必有兩不等實(shí)根4、與，則秘2=-g，則4、弓異

號(hào)，

（i）當(dāng)0</<1且時(shí)，則方程sinx=q和sinx"?在區(qū)間（0,心）（〃€“）均有

偶數(shù)個(gè)根，

從而方程2$山。-心皿犬-1=0在（0,〃外（"€"）也有偶數(shù)個(gè)根，不合乎題意；

（ii）當(dāng)％=1,則-g<f2<0，當(dāng)工?（）,2萬(wàn)）時(shí)，sinxf只有一根，sinx=4有兩根，

所以，關(guān)于*的方程2sin2x-Asinx-1=0在（0,2萬(wàn)）上有三個(gè)根，

由于2021=3x673+2,則方程2sin2x-2sinx-l=0在（0,1346乃）上有3x673=2019個(gè)

根，由于方程sinxf在區(qū)間（1346萬(wàn),1367萬(wàn)）上只有一個(gè)根，在區(qū)間（1367/1368萬(wàn)）上

無(wú)實(shí)解，方程sinx=，2在區(qū)間（1346肛1367%）上無(wú)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間（1367/1368萬(wàn)）上有

兩個(gè)根，因此，關(guān)于x的方程Zsin?x-2sinx-l=0在區(qū)間（0,1347萬(wàn)）上有2020個(gè)根,

在區(qū)間（0,1348乃）上有2022個(gè)根，不合乎題意；

（iii）當(dāng)彳=T時(shí)，則0<q<g，當(dāng)xe（（）,2萬(wàn)）時(shí)，sinx=4只有一根，sinx=q有兩

根，

所以，關(guān)于x的方程2sin2x-/lsinx-l=0在（0,2萬(wàn)）上有三個(gè)根，

由于2021=3x673+2,貝（]方程Zsin'x-zlsinx—1=0在（0,1346萬(wàn)）上有3x673=2019個(gè)

根，由于方程sinx="在區(qū)間（1346匹1367萬(wàn)）上無(wú)實(shí)數(shù)根，在區(qū)間（1367^,1368萬(wàn)）上只

有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

方程sinX=L在區(qū)間（1346萬(wàn),1367封上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間（1367萬(wàn),1368萬(wàn)）上無(wú)實(shí)數(shù)

解，

因此，關(guān)于x的方程Zsin，x-/lsinx-l=0在區(qū)間（0,1347乃）上有2021個(gè)根，在區(qū)間

（0,1348萬(wàn)）上有2022個(gè)根，此時(shí)，2x（-l）2-3Ax（-l）-l=l+A=0,得H=-l.

綜上所述：久=-1,n=1347.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式，以及三角形中的取值范圍問(wèn)題，

以及三角函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，同時(shí)也涉及了復(fù)合函數(shù)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查分類(lèi)討

論思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.

例題2.如圖1所示，一條直角走廊寬為（〃＞（））

（1）若位于水平地面上的一根鐵棒在此直角走廊內(nèi)，且=試求鐵棒的長(zhǎng)

/;

（2）若一根鐵棒能水平地通過(guò)此直角走廊，求此鐵棒的最大長(zhǎng)度；

（3）現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車(chē)，其平板面是矩形，它的寬AO為）〃（0＜人＜〃）如圖

2.平板車(chē)若想順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度/不能超過(guò)多少米?

【答案］(1)/="(sin0+cos6),(w),6f0,--j,a>0.

sin。cos。

（2）2缶（”?）

(3)2。-2b⑺)

【解析】

【分析】

（1）在圖1中，過(guò)點(diǎn)。作PE,尸尸的垂線，垂直分別為G,H,則OG=Q”=a,

7T

ZPFE=--0,在HAOEG,RfAOHF中,分別求解。E,OF再相加，即可.

2

aasin0+cos0

(2)由(1)可知,——x+——-=^-------———,令A(yù)

sin。cos。sin。cose

,_2at_2a

t=sinO+cosO=J^sin￡fe(1,五]則,=產(chǎn)二=口，判斷單調(diào)性，再求最小

值，即可.

(3)延長(zhǎng)CQ分別交R4,PB于N,M,設(shè)4PNM=9,則NPMN=^-氏由(1)

2

可知MV=/=-^+，一,在.RtMND,R/ABMC中分別計(jì)算。N=/一,

sin0cos0tan0

CM=btan0,則A8=CD=MN-ZW-CM=-^+—-----------bland,即

sin。cos。tan。

^_^sin￡-bcos￡--------h-----,f=sin+cos0=72sin[0+—,r則

sincossin6^cosk4J'」

AB=空二之=烏+與半，判斷單調(diào)性，再求最小值，即可

V-\z+1r-1

【詳解】

(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)。作PE,尸尸的垂線，垂直分別為G,H,則OG=O”=a,

7T

/PFE=一一0.

2

在RtAOEG中OE=--

sin。

F=―-—

在RAO///中0sin(￥—g]cos，

則/="=-----------1-----------

sin0cos6

arl,6r(sin0+cos0)O),e卜〃>0.

BP/=----------------乙

sin8cos。

/八,/八—TA-,a(sin6+cos6)

(2)由(1)可知/=.八~~

sin"cos夕

,則sin0cos0=------

2

一〃(sinO+cos。)_2at_2a

即sincost2,1

12a

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，二單調(diào)遞減.

1t

則f=正即。=「時(shí)心。=,=2同

4(V2)-1

若一根鐵棒能水平地通過(guò)此直角走廊，則需此鐵棒的最大長(zhǎng)度為20a

TT

(3)延長(zhǎng)C。分別交融，PB于N,M,設(shè)NPNM=9,則='一夕

由(1)可知仰=/=二+二，

sin0cos0

在用AA7V￡>中，DN=-^—

tan?

在RABMC中,CM=btan0

貝ijAB=CQ=MN-QN-CM=-^-+—-----------bland

sin0cos0tan0

_a(sin6+cos?)_/cos。?sin6]_〃(sin6+cos6)匕sin?6+cos26

sin6cos6(sin。cos6Jsin9cos6sin6cos6

〃(sin6+cose)b

sin0cos0sin0cos0

令/=sine+cose=0sin1+?)f則sin6cose=q^

即48=2126=2〃(-11+2"2/7=二+2,-2J(心6>0).

t2-lt2-lt+]r2-l'J、

當(dāng)fe(l,夜]時(shí)4?=音■+號(hào)子單調(diào)遞減.

則f=正即。V時(shí)網(wǎng)“=6+雨%=2五a-2b

平板車(chē)若想順利通過(guò)直角走廊，其長(zhǎng)度/不能超過(guò)2&._2bm

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值.屬于難題.

例題3.若定義在R上，且不恒為零的函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y，總有

〃x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)恒成立，則稱〃x)為“類(lèi)余弦型”函數(shù).

(1)已知/(X)為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且/(1)=(，求“0)和”2)的值；

(2)證明：函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

(3)若/")為“類(lèi)余弦型”函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)乙總有設(shè)有理數(shù)

4、々滿足岡<同，判斷/(xj和/(電)大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)/(())=!."2)=?；(2)證明見(jiàn)解析；(3)〃與)</(々)，理由見(jiàn)解

O

析.

【解析】

【分析】

(1)令X=1,y=o可求出/(0)的值，令x=y=i可求出"2)的值；

(2)令x=0,代入題中等式得出f(y)=〃-y),可證明出函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)；

⑶令產(chǎn)"(AeN*),證明出/[依+(可>〃3,即可說(shuō)明對(duì)任意加、〃eN*且

m>n,有〃/nr)>/(nr),然后設(shè)|為|="，|引=幺，q、、%是非負(fù)整數(shù)，Pi、Pi

P\P2

為正整數(shù)，利用偶函數(shù)和前面的結(jié)論，即可得出/(%)和/(赴)的大小關(guān)系.

【詳解】

(1)令x=l,y=0,則有2〃1)=2〃1)力())，Q/(l)=^,.-./(o)=l.

令x=y=l,則有〃2)+/(0)=2/⑴?/⑴，所以，八2)=2、011=?；

⑵令x=0,可得〃y)+0(—y)=2〃y).〃0)=2/(y),y)=/(y),

由于函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,因此，函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)；

(3)?「xwO時(shí)，/(X)>1,：.f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)>2f(y),

所以，/(x+y)-/(y)>/(y)-/(x-y),

令y=履(keN*),即對(duì)任意的正整數(shù)A有/飲+1)句-〃㈤〉/(fcr)-/[(^-l)x],

則/+(依)>f(齒)一，[(左一l)x]>L>/(x)-/(O)>O,

所以，對(duì)于任意正整數(shù)%,/[僅+1)刃>/(辰)成立，

對(duì)任意的機(jī)、〃eN*且機(jī)>〃，則有/W)</[(〃+l)x]<L</(儂)成立,

為、巧為有理數(shù)，所以可設(shè)|%|=旦，四卜五，其中%、%為非負(fù)整數(shù)，Pl、P1

5Pi

為正整數(shù)，貝小卜也，同=況，

P/2P\P1

令x=」一，f=qp,,S=p。，則/、S為正整數(shù)，

P\Pz

Q㈤<同，；/<s,所以,f(tx)<f(sx),即/(|刈</(網(wǎng))，

函數(shù)y=F(x)為偶函數(shù)，"(歸|)"(百),f(同)=/(七)，.?./(5)</(%).

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查抽象函數(shù)的奇偶性，考查解決抽象函數(shù)的常用方法

——賦值法，考查不等式的證明方法——遞推法，屬于難題.

例題4.已知函數(shù)/(x)=1—1)+($7)，xeO,其中0<“<江

(1)當(dāng)。=(0,y)時(shí)，設(shè)「=1+巳，/(x)=g(f),求y=g(r)的解析式及定義域；

ax

(2)當(dāng)0=(0,叱)，"1,6=2時(shí)，求〃x)的最小值；

(3)設(shè)%>0,當(dāng)4=/力=(z+1)2時(shí)，14/(x)49對(duì)任意xe[a,0恒成立，求女的取

值范圍.

【答案】(