福建省永安市第三高中高三10月月考數(shù)學(xué)試題

永安三中2020—2021學(xué)年上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用并集的定義直接求解即可【詳解】解：因為集合，，所以，故選：A【點睛】此題考查并集的運算，屬于基礎(chǔ)題2.下列函數(shù)中與表示為同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)，由此逐個分析判斷即可【詳解】因為，，定義域不同，因而選項A錯誤；，對應(yīng)關(guān)系不同，因而選項B錯誤；與給定的函數(shù)為同一函數(shù)，因而選項C符合題意；，定義域不同，因而選項D錯誤．故選：C【點睛】此題考查判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)，判斷的依據(jù)是定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同即可，屬于基礎(chǔ)題3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性逐一分析選項即可.【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性可知：A：在上單調(diào)遞減；B：在上單調(diào)遞減；C：在上單調(diào)遞增；D：在上單調(diào)遞減；故選：C【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)定義域是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二次根式在分母上，得被開方數(shù)大于零，同時再由對數(shù)的真數(shù)大于零，可求得函數(shù)的定義域【詳解】解：由題意得，，解得，所以函數(shù)的定義域為，故選：A【點睛】此題考查求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題5.函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間內(nèi)（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出端點所對應(yīng)的函數(shù)值，利用零點的存在性定理即可判斷.【詳解】，，的零點一定位于.故選：C.【點睛】本題考查利用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷．【詳解】，，，且；所以．故選：．【點睛】本題考查了利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小的問題，是基礎(chǔ)題．7.已知扇形的周長為12cm，圓心角為，則此扇形的面積為（）．A.8cm2 B.10cm2 C.12cm2 D.14cm2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)弧度制下的扇形的弧長和面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為cm，∵扇形的周長為12cm，圓心角為，∴，得，∴此扇形的面積（cm2），故選：A．【點睛】本題主要考查弧度制下扇形的弧長和面積公式，屬于基礎(chǔ)題．8.在中，若，則一定為（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.直角三角形【答案】B【解析】分析：將條件的原式移項，結(jié)合三角和差公式即可得出結(jié)論.詳解：由題可知：，故為銳角，由三角形的內(nèi)角和為180°可知C為鈍角，故三角形為鈍角三角形，所以選B.點睛：考查三角和差公式的應(yīng)用，結(jié)合三角形的內(nèi)角和結(jié)論即可，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9.若，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可判斷A選項；利用對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，則，A選項錯誤；對于B選項，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，則，B選項正確；對于C選項，取，，則，則，，即不成立，故C選項錯誤；對于D選項，取函數(shù)，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于可得，即，D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷不等式的正誤，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中等題.10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(，0)對稱C.函數(shù)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增D.函數(shù)在區(qū)間(0，)上有兩個零點【答案】ACD【解析】【分析】先由已知求出，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個判斷即可【詳解】可得，當(dāng)，，故A正確；當(dāng)，，故B錯誤；當(dāng)(，)，(，0)，故C正確；當(dāng)(0，)，(，)，故D正確．故選：ACD．【點睛】此題考查三角函數(shù)的平移變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11.下圖是函數(shù)（其中，，）的部分圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.方程在區(qū)間上的所有實根之和為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷選項正誤.【詳解】由已知，，，因此，∴，所以，過點，因此，，又，所以，∴，對A，圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對B，當(dāng)時，，故B正確；對C，由，有，故C不正確；對D，當(dāng)時，，所以與函數(shù)有4個交點令橫坐標(biāo)為，，，，，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式，以及分析正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.是周期為2的函數(shù)B.C.的值域為[1，1]D.的圖象與曲線在上有4個交點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得，則是周期為4的周期函數(shù)，可判斷A；

對于B，由是周期為4的周期函數(shù)，則，，可判斷B．

對于C，當(dāng)時，，有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，可判斷C．

對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點存在性定理，即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，

對于A，為R上奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，即則是周期為4的周期函數(shù)，A錯誤；

對于B，定義域為R的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；

當(dāng)時，，則，則，

則；故B正確．

對于C，當(dāng)時，，此時有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，

，函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的值域．故C正確．

對于D，，且時，，，，，是奇函數(shù)，，的周期為，，，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，存在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以在有唯一零點，在沒有零點，即，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)時，，，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在上有一個唯一的零點，在上有唯一的零點，所以當(dāng)時，的圖象與曲線有2個交點，，當(dāng)時，同，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)，的圖象與曲線沒有交點，所以的圖象與曲線在上有4個交點，故D正確；故選：BCD．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點，屬于較難題.三、填空題13.命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由原命題為假可知其否定為真，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)知，解不等式求得結(jié)果.【詳解】若原命題為假命題，則其否定“，”為真命題，解得：的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用原命題與其否定之間的真假關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題.14.已知“”是“”的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】解出，通過必要條件得出集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系列不等式求解即可．【詳解】由已知不等式的解集為，因為是的必要條件，，則，得，故答案為：【點睛】本題通過必要非充分條件，考查集合間的包含關(guān)系，有時不要遺漏空集的情況，是基礎(chǔ)題．15.已知，則______.【答案】【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式對化簡，可得，代入中化簡可得結(jié)果【詳解】解：由，得，，所以，故答案為：【點睛】此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16.如圖，是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為，___．【答案】【解析】【分析】求出大正方形的邊長、小正方形的邊長，結(jié)合圖形得出，再由，解得和，進而得到值．【詳解】由題意得，大正方形的邊長為10，小正方形的邊長為2，所以，即①．由于為銳角，兩邊同時平方得：，即，又因為，所以，，所以②，由①②得：，，，故答案為：．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合圖形得出，是解題的關(guān)鍵．四、解答題17.已知函數(shù)的圖象過點.(1)求的值；(2)計算的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意將點代入解析式利用指數(shù)與對數(shù)的互化即可求解.（2）由（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)的圖像過點，，，得.(2)由(1)知，，.【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的互化以及指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.18.已知集合，，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解指數(shù)不等式，解得集合；根據(jù)集合交運算即可容易求得結(jié)果；（2）分集合是否為空集，根據(jù)題意，列出不等式，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（1），時，，∴（2）∵，∴當(dāng)時，，即，符合題意；當(dāng)時，即時，只需或即可.解得或，綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查集合的交運算，以及由集合交集得結(jié)果求參數(shù)范圍，涉及指數(shù)不等式的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.19.已知為銳角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合題意，可直接求出結(jié)果；（2）先由題意求出，，根據(jù)，由兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為為銳角，所以，，又，所以，，所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問題，熟記二倍角公式，以及兩角差的正弦公式即可，屬于常考題型.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值.【答案】（1）的遞增區(qū)間是和；遞減區(qū)間是，（2）最大值是，最小值是【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再解，的解集即可得解；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，先求極值，再求端點值，再比較大小求值域即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以的遞增區(qū)間是和；遞減區(qū)間是；（2）由（1）知，在，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為，又因為，，所以的最大值是，最小值是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，重點考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式可求得解析式，從而利用周期公式求周期；（2）利用整體代換即可求單調(diào)增區(qū)間；（3）由得，從而可得的取值范圍.【詳解】（1）所以．（2）由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）由得，所以，所以．【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查利用整體的思想結(jié)合圖象解決給定范圍下的三角函數(shù)的范圍，屬基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中.證明：的圖象在圖象的下方.【答案】(1).(2).(3)證明見解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算和的值，點斜式求出切線方程即可.（Ⅱ）設(shè)，并求導(dǎo).將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，恒成立，或者恒成立，通過特殊值，且，確定恒成立，通過參數(shù)分離，求得實數(shù)的取值范圍；(Ⅲ）設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最小值在區(qū)間，并證明.即的圖象在圖象的下方.詳解：解：（Ⅰ）求導(dǎo)，得，又因為所以曲線在點處的切線方程為（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)，得，因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，