高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第二章2.2圓的一般方程作業(yè)

[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的幾何圖形是()A．圓 B．直線C．點(diǎn) D．不表示任何圖形解析：選A.將方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化為x2＋y2＋2x＋3y－eq\f(1,2)＝0.則D＝2，E＝3，F(xiàn)＝－eq\f(1,2).計(jì)算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝15>0.所以方程表示圓，故選A.2．下列方程中表示圓的是()A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0解析：選C.選項(xiàng)C中的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圓，其余選項(xiàng)中的方程均不表示圓．3．已知點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，則a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2))∪[－eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：選C.將圓的一般方程配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,2)，點(diǎn)在圓外，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)>eq\f(9,2)，解得a∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．4．已知圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，當(dāng)該圓的面積取最大值時(shí)，圓心坐標(biāo)是()A．(0，－1) B．(1，－1)C．(－1，0) D．(－1，1)解析：選A.由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，得圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2).所以當(dāng)k＝0時(shí)，r最大，此時(shí)圓的面積最大，此時(shí)圓心(－eq\f(k,2)，－eq\f(2,2))，即(0，－1)，故選A.5．若圓x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有點(diǎn)都在第二象限，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：選D.由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圓心坐標(biāo)為(－a，2a)，半徑為2，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a<0，,2a>0，,|－a|>2，,|2a|>2，))解得a>2.6．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圓心到直線x－y－2＝0的距離為_(kāi)_______．解析：已知圓的圓心坐標(biāo)為(1，1)，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，則x2＋y2的最大值等于________．解析：依題意，點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離的平方．由于已知圓的圓心為C(3，－4)，半徑r＝1，又|OC|＝5，所以點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離的最大值為1＋5＝6，從而x2＋y2的最大值是36.答案：368．點(diǎn)M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的面積是________．解析：將x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝5＋eq\f(k2,4)，故圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1)).由題意知，直線x－y＋1＝0過(guò)圓心，故－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，解得k＝4，此時(shí)圓的半徑為3，圓的面積是9π.答案：9π9．求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4，2)，B(－1，3)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程．解：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E；由題設(shè)，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4，2)，B(－1，3)兩點(diǎn)在圓上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.10．等腰三角形的頂點(diǎn)A(4，2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3，5)，求另一端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么．解：設(shè)底邊另一個(gè)端點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x，y)，依題意，得|AC|＝|AB|，由兩點(diǎn)間距離公式得eq\r(（x－4）2＋（y－2）2)＝eq\r(（4－3）2＋（2－5）2)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，這是以點(diǎn)A(4，2)為圓心，以eq\r(10)為半徑的圓．又因?yàn)锳，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B，C不能重合且不能為圓A的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以點(diǎn)C不能為(3，5)且eq\f(x＋3,2)≠4，eq\f(y＋5,2)≠2，即點(diǎn)C也不能為(5，－1)，故點(diǎn)C的軌跡方程為(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3，5)和(5，－1))，它的軌跡是以A(4，2)為圓心，eq\r(10)為半徑的圓，但除去(3，5)和(5，－1)兩點(diǎn)．[B.能力提升]1．已知兩點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是()A．3－eq\r(2) B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(3－\r(2),2)解析：選A.lAB：x－y＋2＝0，圓心(1，0)到l的距離d＝eq\f(|3|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，所以AB邊上的高的最小值為eq\f(3,\r(2))－1.又因?yàn)閨AB|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以S△min＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))－1))＝3－eq\r(2).故選A.2．經(jīng)過(guò)圓x2＋2x＋y2＝0的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：選C.因?yàn)閤2＋2x＋y2＝0可化為(x＋1)2＋y2＝1，所以圓心C(－1，0)．又過(guò)點(diǎn)C的直線與x＋y＝0垂直，所以其斜率為1.所以所求直線方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.3．設(shè)圓C的方程為x2＋y2－4x－5＝0，若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P(3，1)，則直線AB的方程為_(kāi)_______．解析：由題可設(shè)直線AB的斜率為k.由圓的知識(shí)可知：CP⊥AB.所以kCP·k＝－1.又kCP＝eq\f(1－0,3－2)＝1?k＝－1.所以直線AB的方程為y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.答案：x＋y－4＝04．已知M(0，4)，N(－6，0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PM⊥PN，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析：由于PM⊥PN，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段MN為直徑的圓(不包括端點(diǎn)M，N)，其圓心為線段MN的中點(diǎn)(－3，2)，直徑|MN|＝eq\r(36＋16)＝2eq\r(13)，于是半徑等于eq\r(13)，故軌跡方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解：(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝－b－1.所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圓C必過(guò)定點(diǎn)(0，1)和(－2，1)．證明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化為x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)，則與b無(wú)關(guān)，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圓C必過(guò)定點(diǎn)(0，1)，(－2，1)．6．(選做題)已知Rt△AOB中，|OB|＝3，|AB|＝5，點(diǎn)P是△AOB內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以|PA|，|PB|，|PO|為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值與最小值．解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使A，B，O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．設(shè)P(x，y)，內(nèi)切圓半徑為r，則有|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r＝|OA||OB|，所以r＝1.故內(nèi)切圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，化簡(jiǎn)為x2＋y2－2x－2y＋1＝0.①又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②由①可知x2＋y2－2y＝2x－1.將其代入②，則有|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22，因?yàn)閤∈[0，2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值為22，最小值為18，三個(gè)圓面積之和，S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|,2)))eq\s\up12(2)＋πeq\b\lc\