教師版：高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)專題資料

高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)專題資料一．復(fù)數(shù)概念：1．定義：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記作，其中是虛數(shù)單位，；與分別叫做復(fù)數(shù)的________和_________。2．分類：復(fù)數(shù)可分為實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)，它們各自滿足的條件分別是________、__________和__________；它們在復(fù)平面上對應(yīng)的區(qū)域分別是________、________和______。3．幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)平面上的點平面向量；4．復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模即向量的模，是有向線段的長度；計算公式為____________；5．共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，6．兩個復(fù)數(shù)相等___________________.【例練穩(wěn)固】例1(09福建)復(fù)數(shù)的實部是〔〕A.-2B.-1C.1D.2例1A考查：復(fù)數(shù)的概念【解】=-1-I,所以實部是-1.例2(09江西)假設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為()A.B.C.D.或例2A考查：復(fù)數(shù)的運算【解】由，應(yīng)選A例3(09北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限例3B考查：復(fù)數(shù)的幾何意義【解】∵，∴復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為.例4復(fù)平面內(nèi)三點A、B、C，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，那么點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為〔〕A.2－4iB.4－2iC.1－2iD.4－i例4B考查：復(fù)數(shù)幾何意義、運算【解】∵eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1＋2i，eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，∴eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.例5〔10遼寧〕設(shè)a,b為實數(shù)，假設(shè)復(fù)數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.例5A考查：復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運算【解】由可得，所以，解得，.二．復(fù)數(shù)運算：設(shè)復(fù)數(shù)，那么加減法：______________；乘法：______________；除法：______________【例練穩(wěn)固】例6〔廣東〕假設(shè)復(fù)數(shù)滿足方程，那么〔〕A.B.C.D.例6D考查：復(fù)數(shù)的運算【解】由，應(yīng)選D.例7〔09安徽〕i是虛數(shù)單位，假設(shè)，那么乘積的值是〔〕A.－15B.－3C.3D.15例7B考查：復(fù)數(shù)的運算【解】，∴.例8〔安徽〕復(fù)數(shù)等于〔〕A．B．C．D．例8A考查：復(fù)數(shù)的四那么運算【解】.練習1〔四川〕復(fù)數(shù)的虛部為〔〕〔A〕3〔B〕－3〔C〕2〔D〕－2練習1.D考查：復(fù)數(shù)的概念、運算【解】復(fù)數(shù)=,所以它的虛部為－2，選D.練習2.〔10陜西〕復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于〔〕A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限練習2.A考查：復(fù)數(shù)的運算及幾何意義【解】，所以點〔位于第一象限三．復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：1．復(fù)數(shù)的加法、乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對加減法的分配律；復(fù)數(shù)也滿足實數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪運算法那么，即：_______，________，________，________；2．共軛復(fù)數(shù)及運算性質(zhì)：設(shè)，那么____，____，______；_________，_______，______3．復(fù)數(shù)模及性質(zhì)：設(shè)，那么，，_______，________；，其中等號成立的條件是___________________________；4．常用的性質(zhì)：①，_____；②______，______，_______；【例練穩(wěn)固】例9(09廣東)以下n的取值中，使(i是虛數(shù)單位)的是〔〕A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5例9C考查：復(fù)數(shù)的運算【解】因為，所以.練習3(11重慶)復(fù)數(shù)〔〕A.B.C.D.練習3.B考查：復(fù)數(shù)的運算【解】.練習4.〔四川〕復(fù)數(shù)的值是〔〕〔A〕0 〔B〕1 〔C〕 〔D〕練習4A考查：復(fù)數(shù)的運算【解】例10(11遼寧)a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，，那么a=〔〕A.2B.C.D.1例10B考查：復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運算【解】，，故.例11(09上海)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(i是虛數(shù)單位)，其共軛復(fù)數(shù)=〔〕A.iB.-iC.1D.-1例11.A共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的運算【解】設(shè)，那么，即，由，解得,所以.【綜合訓(xùn)練】例12〔寧夏〕是虛數(shù)單位，〔〕A.B.C.D.例12B考查：復(fù)數(shù)單位的運算【解】練習5如果一個復(fù)數(shù)與它的模的和為5＋eq\r(3)i，那么這個復(fù)數(shù)是()A.eq\f(11,5)B.eq\r(3)IC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)ID.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i練習5C考查：復(fù)數(shù)概念【解】設(shè)這個復(fù)數(shù)為a＋bi(a，b∈R)，那么|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).由題意知a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5,b＝\r(3)))，解得a＝eq\f(11,5)，b＝eq\r(3).∴所求復(fù)數(shù)為eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.練習6z1，z2∈C且|z1|＝1，假設(shè)z1＋z2＝2i，那么|z1－z2|的最大值是()A．6B．5C．4D．3練習6C考查：復(fù)數(shù)模的概念、運算【解】設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)，z2＝c＋di(c，d∈R)，∵z1＋z2＝2i∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0,b＋d＝2))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝－a,d＝2－b))∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝eq\r((2a)2＋(2b－2)2)＝2eq\r(a2＋(b－1)2)＝2eq\r(a2＋b2＋1－2b)＝2eq\r(2－2b).∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.例13(09上海文)復(fù)數(shù)〔a.b〕是方程的根.復(fù)數(shù)〔〕滿足，求u的取值范圍()A.B.C.D.例13A考查：復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的?！窘狻吭匠痰母鶠?,練習7〔07上海〕是實系數(shù)一元二次方程的兩根，那么的值為〔〕A、B、C、D、練習7A考查：韋達定理、復(fù)數(shù)運算【解】因為2ai，bi〔i是虛數(shù)單位〕是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，所以a=－1，b=2，所以實系數(shù)一元二次方程的兩個根是所以。練習8假設(shè)x∈C，那么方程|x|＝1＋3i－x的解是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)iB．x1＝4，x2＝－1C．－4＋3iD.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i練習8C考查：復(fù)數(shù)相等、運算【解】令x＝a＋bi(a，b∈R),那么eq\r(a2＋b2)＝1＋3i－a－bi所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)＝1－a,0＝3－b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4,b＝3))故原方程的解為－4＋3i，故應(yīng)選C.例14?ABCD中，點A，B，C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)4＋i,3＋4i,3－5i，那么點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i例14C考查：復(fù)數(shù)的加減運算、幾何意【解