第23講　簡單的三角恒等變換（原卷版）

第23講簡單的三角恒等變換基礎(chǔ)知識1.半角公式(1)公式Sα2:sinα2(2)公式Cα2:cosα2(3)公式Tα2:tanα2=±1-2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=,1+cosα=.(升冪公式)

(2)1±sinα=.(升冪公式)

(3)sinα=2tanα21+tan2α2,cosα=(4)asinα+bcosα=a2+b2,其中sinφ=ba23.三角恒等變換的基本技巧(1)變換函數(shù)名稱:使用誘導(dǎo)公式.(2)升冪、降冪:使用倍角公式.(3)常數(shù)代換:如1=sin2α+cos2α=tanπ4(4)變換角:使用角的代數(shù)變換、各類三角函數(shù)公式.分類訓(xùn)練探究點一三角函數(shù)式的化簡例1(1)21+sin4+2+2cos4= ()A.2cos2 B.2sin2C.4sin2+2cos2 D.2sin2+4cos2(2)化簡:cos（π2-α）cos(2π-β)-sin（32π-α）sin(π+β)=[總結(jié)反思](1)三角函數(shù)式的化簡要遵循的“三看”原則:①一看“角”,通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理拆分,從而正確使用公式;②二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”;③三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.(2)三角函數(shù)式化簡的常見方法有弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪與升冪.余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用.化簡結(jié)果要求函數(shù)種類盡可能少、次數(shù)盡可能低、項數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對值等.變式題已知α∈(0,π),化簡:(1+sinα+cosα)·(cos探究點二三角函數(shù)式的求值角度1給值求值例2已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,則sinα= (A.15 B.5C.33 D.[總結(jié)反思]給值求值是指已知某個角的三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值),求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值)的問題,解題關(guān)鍵在于“變角”,使角相同或具有某種關(guān)系.變式題(1)已知0<α<π2<β<π,又sinα=35,cos(α+β)=-45,則sinβ= A.0 B.0或24C.2425 D.0或-(2)已知tan(π4+α)=-2,則1-sin2α角度2給角求值例3sin25°cos20°-cos155°sin20°=()A.-22 B.2C.-12 D.[總結(jié)反思]該類問題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?或者能夠正負(fù)相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值.變式題求值:3-tan12°角度3給值求角例4已知cos（α+π3)=3314,α∈(0,(1)求cosα的值;(2)若tan(α+β)=5311,β∈(0,π2),求[總結(jié)反思]通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時有以下原則:(1)已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù).(2)已知正、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0,π2),則選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),則選余弦函數(shù)較好;若角的范圍為(-π2,π2)變式題已知cosα=17,cos(α-β)=1314,若0<β<α<π2,則β探究點三三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx-sin2(x+π2)+12,x∈R.若α,β∈(0,π2),且f(α2+π12)=55,f(β2-π[總結(jié)反思](1)進(jìn)行三角恒等變換時要抓住:變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu).尤其要注意角之間的關(guān)系,注意公式的逆用和變形使用.(2)把y=asinx+bcosx化為y=a2+b2sin(x+φ)變式題已知向量a=(cosx2+sinx2,2sinx2),b=(cosx2-sinx2,3cosx2(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值時x的取值集合;(2)若α,β為銳角,cos(α+β)=1213,f(β)=65,求f(α+π6同步作業(yè)1.sin235°-12A.12 B.-C.-1 D.12.已知α為銳角,sin(α-π4)=35,則sinα= (A.210 B.C.325 3.設(shè)sin(α+π6)=435-cosα,則cos(π3-2α)=A.-1825 B.C.-725 D.4.設(shè)α為銳角,若cos(α+π6)=45,則sin(2α+π3)的值為 A.1225 B.C.-2425 D.-5.已知cos2x2cos(x+π4)=15,則A.-2425B.-4C.2425D.26.(多選題)若函數(shù)y=asinx+bcosx(其中a,b∈R,且a,b>0)可化為y=a2+b2cos(x-φ),則φ應(yīng)滿足條件A.tanφ=bB.cosφ=bC.tanφ=aD.sinφ=a7.已知sin(α-π3)=34,則sin(2α-π6)8.已知sin2α=23,則cos2(α+π4)= (A.16 B.C.12 D.9.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”,他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用,黃金分割比例t=5-12≈0.618,還可以表示成2sin18°,則2cos2A.4 B.5-1C.2 D.110.已知α為銳角,cosα=35,則tan(π4-α2)= A.13 B.C.2 D.311.若sin(α+π5)=-13,α∈(0,π),則cos(π20-α)= (A.4-B.-C.-4D.4-212.若2sin(α+π3)=3sinα-7,則tanα= (A.-233 C.-32 D.13.(多選題)已知α,β是銳角,cosα=55,cos(α-β)=31010,則cosβ= A.22B.7C.210D.-214.已