考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)查漏補(bǔ)缺課 課程講義

考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)查漏補(bǔ)缺課目錄HYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINKHYPERLINK\l"br23"數(shù)學(xué)推理中常見(jiàn)的概念與方法i目錄目錄第ii頁(yè)第一講三角函數(shù)一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景三角函數(shù)屬于基本初等函數(shù)，是考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)函數(shù).我們需要對(duì)各種三角函數(shù)的定義及其相關(guān)性質(zhì)熟悉，包括圖形、誘導(dǎo)公式以及其它三角恒等式等.三角函數(shù)在考研數(shù)學(xué)中有如下常見(jiàn)使用場(chǎng)景：123極限計(jì)算中對(duì)函數(shù)表達(dá)式作恒等變形；一元微分學(xué)中研究函數(shù)性態(tài)；積分計(jì)算中作三角代換，利用三角恒等式變形等.在考研數(shù)學(xué)中，我們一般使用弧度制表示角度，有時(shí)采用角度制.1弧度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)圓心角的大小，由此有弧長(zhǎng)計(jì)算公式l=θr，其中θ為圓心角(用弧度表示)，r為半徑.弧度與角度可通過(guò)1弧度=80?換算.二、三角函數(shù)的定義三角函數(shù)一共有6種：正弦函數(shù)(sin)，余弦函數(shù)(cos)，正切函數(shù)(tan)，余切函數(shù)(cot)，正割函數(shù)(sec)，余割函數(shù)(csc).1我們最早是在直角三角形中接觸到三角函數(shù)的概念的.對(duì)直角三角形中的角α(α非直角)，我們可以定義它的對(duì)邊、鄰邊.于是我們有下表.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)英文名sinecosine縮寫關(guān)系sin對(duì)邊比斜邊cos鄰邊比斜邊tan對(duì)邊比鄰邊余切函數(shù)cot鄰邊比對(duì)邊正割函數(shù)余割函數(shù)sec斜邊比鄰邊csc斜邊比對(duì)邊2引入平面直角坐標(biāo)系后，我們可以定義更一般的三角函數(shù).1第一講三角函數(shù)定義1.設(shè)α為頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上的角.終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)√點(diǎn)的距離為r=x2+y2，則yxryxyrrysinα=,cosα=,tanα=,cotα=,secα=,cscα=.rxx3由三角函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)，各三角函數(shù)之間有如下關(guān)系.(1)sinα+cosα=1，tanα+1=secα，cotα+1=cscα.222222(2)tanα=sin，cotα=cos.ααcosαsinα(3)secα=，cscα=，cotα=tanα.111cosαsinα三、三角函數(shù)的圖形下面我們給出三角函數(shù)的圖形，前4種請(qǐng)一定熟練掌握，后2種不一定要求掌握，但請(qǐng)了解.yxO4π3π2πππ2π3π4π圖1:sinx在?4π到4π上的圖形yxO4π2π2π4π圖2:cosx在?4π到4π上的圖形yxO4π3π2πππ2π3π4π圖3:tanx在?4π到4π上的圖形由圖形可知，第2頁(yè)yxO4π3π2πππ2π3π4π圖4:cotx在?4π到4π上的圖形yxO4π3π2πππ2π3π4π圖5:secx在?4π到4π上的圖形yxO4π3π2πππ2π3π4π圖6:cscx在?4π到4π上的圖形第3頁(yè)第一講三角函數(shù)123456sinx為最小正周期為2π的奇函數(shù).cosx為最小正周期為2π的偶函數(shù).tanx為最小正周期為π的奇函數(shù).cotx為最小正周期為π的奇函數(shù).secx為最小正周期為2π的偶函數(shù).cscx為最小正周期為2π的奇函數(shù).四、誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式給出的是不同角度的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.由于secx=1，cscx=1，cosxsinx故我們無(wú)需考慮正割函數(shù)與余割函數(shù)的誘導(dǎo)公式，而僅需要關(guān)注sinx，cosx，tanx，cotx的誘導(dǎo)公式.又由三角函數(shù)的周期性與奇偶性，我們只需考慮如下四組誘導(dǎo)公式即可.12sin(π+α)=?sinα；cos(π+α)=?cosα；tan(π+α)=tanα；cot(π+α)=cotα.sin(π?α)=sinα；cos(π?α)=?cosα；tan(π?α)=?tanα；cot(π?α)=?cotα.()()()()3sin+α=cosα；cos+α=?sinα；tan+α=?cotα；cot+α=?tanα.)π2π2π2π2()()()(4sin?α=cosα；cos?α=sinα；tan?α=cotα；cot?α=tanα.π2π2ππ22?誘導(dǎo)公式可以根據(jù)如下口訣記憶.“奇變偶不變，符號(hào)看象限奇變偶不變”的意思是，若角度變化是的奇數(shù)倍，則需改變函數(shù)名，如sin需變成cos，tan需“π2變成cot；若角度變化是2的偶數(shù)倍，則無(wú)需改變函數(shù)名.“符號(hào)看象限”的意思是，將α看作第一象限內(nèi)的角，據(jù)此確定變化后的角度所在象限，并且確定符號(hào).下面我們給出此口訣的一個(gè)應(yīng)用示范.(根據(jù)奇變偶不變的原則，應(yīng)改變函數(shù)名稱，所得應(yīng)為)考慮cosα+π.21“”sinα，函數(shù)前的符號(hào)待定.sinα為正數(shù)，?2?將α看作第一象限內(nèi)的角，則α+2落在第二象限，此時(shí)余弦函數(shù)值為負(fù)數(shù)，而()故sinα前應(yīng)取負(fù)號(hào)，即cosα+π=?sinα.2?也可以根據(jù)三角函數(shù)圖形之間的關(guān)系來(lái)理解誘導(dǎo)公式.我們先復(fù)習(xí)一下函數(shù)圖形變化對(duì)應(yīng)的操作.–f(x)的圖形向左平移a單位，所得圖形為f(x+a)的圖形；f(x)的圖形向右平移a單位，所得圖形為f(x?a)的圖形.第4頁(yè)–作f(x)的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形，所得圖形為?f(x)的圖形；作f(x)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形，所得圖形為f(?x)的圖形.下面我們舉例說(shuō)明從圖形變化的角度理解誘導(dǎo)公式.()(1)sinα+=cosα.π2()由于cosx的圖形可看作由sinx的圖形向左平移π單位得到，故sinx+π=cosx.22()(2)tan?α=cotα.π2()由于cotx的圖形可看作由tanx的圖形關(guān)于y軸翻轉(zhuǎn)，再向左平移π單位得到，故tanπ?x=22cotx.第5頁(yè)第二講三角函數(shù)基本公式一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景三角函數(shù)基本公式在考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景：1積分的計(jì)算.二、兩角和與差的三角函數(shù)1兩角和與差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ,cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ,cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ,tanα+tanβtan(α+β)=tan(α?β)=,.1?tanαtanβtanα?tanβ1+tanαtanβ2倍角與半角公式sin2α=2sinαcosα,cos2α=cosα?sinα=2cosα?1=1?2sinα,22222tanαtan2α=.1?tan2α以上3個(gè)公式稱為倍角公式.【例1】(1991)求′xsin2xdx.6√√√??cos2cos?α?1?1+1?α,sin===??2???α?α,αcos??22cos1+cosα???α?tan.??2以上3個(gè)公式稱為半角公式，其去絕對(duì)值號(hào)之后是否加負(fù)號(hào)需根據(jù)角α所在象限來(lái)確定.此外，還2有半角公式α1?cosαsinαsinα1+cosαtan==.23萬(wàn)能公式設(shè)tanα=t，則2sinαcosα2sinαcosαcosα+sinα2tanαtan2α2tsin2α====,1221+1+t2cosα?sinαcosα?sinα1?tanα1?t222222cos2α=tan2α====,cosα+sinαtan2α1221+1+t22tanα?tan2α2t=(t2=1).?11?t2以上3個(gè)公式稱為萬(wàn)能公式.例2】(1994)計(jì)算′dxsin2xsinx.【三、三角函數(shù)的積化和差與和差化積1三角函數(shù)的積化和差1sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α?β)],21cosαsinβ=[sin(α+β)?sin(α?β)],21cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α?β)],21sinαsinβ=?[cos(α+β)?cos(α?β)].2以上4個(gè)公式稱為積化和差公式.【例3】(2013)當(dāng)x→0時(shí)，1?cosx·cos2x·cos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小量，求n與a的值.第7頁(yè)第二講三角函數(shù)基本公式2三角函數(shù)的和差化積θ+φθ?φsinθ+sinφ=2sinsinθ?sinφ=2coscosθ+cosφ=2coscosθ?cosφ=?2sincossincossin,,,.2θ+φ2θ?φ2θ+φ2θ?φ2θ+φ2θ?φ22以上4個(gè)公式稱為和差化積公式.第8頁(yè)第三講反函數(shù)一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景反函數(shù)在考研數(shù)學(xué)中有如下常見(jiàn)使用場(chǎng)景：1一元微分學(xué)中計(jì)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D，y∈M，其中D表示函數(shù)f(x)的定義域，M表示函數(shù)f(x)的值域.ffff如果對(duì)于每一個(gè)y∈Mx=φ(y)x在Dx=φ(y)叫做y=f(x)ff的反函數(shù)，記為x=f?1(y).三、反函數(shù)的性質(zhì)12對(duì)于函數(shù)y=f(x)x∈D，如果對(duì)于每一個(gè)y∈Mf(x)只能找到唯一的一個(gè)x值與之對(duì)ff應(yīng)，則f(x)的反函數(shù)存在，否則就不存在.例如：函數(shù)y=sinx在其定義域(?∞,+∞)內(nèi)，不存在反函數(shù).但是在其單調(diào)區(qū)間[?π,π]上，存22在反函數(shù)y=arcsinx.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=f?1(x)，f(x)的定義域是f?1(x)的值域，f(x)的值域是f?1(x)的定義域.例如：指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log互為反函數(shù).函數(shù)y=ax的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞).函數(shù)y=log的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽.函數(shù)y=sinx,x∈[?π,π]的值域?yàn)閇?1,1]，其反函數(shù)y=arcsinx的定義域?yàn)閇?1,1]，值域?yàn)?2[?π,π].223互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.如圖1所示，圖(a)為指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log的大致圖像，圖(b)為y=sinx,x∈[?π,π]和其反函數(shù)y=arcsinx的大致圖像.229第三講反函數(shù)y=axy=arcsinxy=sinxy=logxa(a)(b)圖14互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，其單調(diào)性是一致的.例如：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，它們均單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，它們均單調(diào)減少.56互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，如果原函數(shù)為奇函數(shù)，則反函數(shù)也為奇函數(shù).互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f(x)及y=f?1(x)，有f?1(f(x))=x,x∈Df,Df為函數(shù)f(x)的定義域;f(f?1(x))=x,x∈Mf,Mf為函數(shù)f(x)的值域.四、考研數(shù)學(xué)中反函數(shù)相關(guān)題型1反函數(shù)的定義與計(jì)算1?2x2,x,x<?1,【例1】(1996)設(shè)函數(shù)f(x)=366?1x2,12x?16,x>2.寫出f(x)的反函數(shù)g(x)的表達(dá)式.例2】(2001)設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上可導(dǎo)，f(0)=0，且其反函數(shù)為g(x).若′f(x)g(t)dt=第10頁(yè)【0x2ex，求f(x).2計(jì)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且f′(x)=?0，則它的反函數(shù)x=f?1(y)x在區(qū)間I={y|y=f(x),x∈I}內(nèi)也可導(dǎo)，并且yx[f?1(y)]′=或=1/.1dxdydydxf′(x)【例3】(2003)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(?∞,+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y′?()3的反函數(shù).試將x=x(y)所滿足的微分方程d2x+(y+sinx)dxdy=0變換為y=y(x)滿足的微dy2分方程.第11頁(yè)第四講反三角函數(shù)一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景反三角函數(shù)在考研數(shù)學(xué)中有如下常見(jiàn)使用場(chǎng)景：1涉及到反三角函數(shù)的積分計(jì)算.二、反三角函數(shù)的性態(tài)三角函數(shù)不像指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣有全局的反函數(shù)，三角函數(shù)的反函數(shù)都是局部的.因此，在反函數(shù)的關(guān)系上，定義域要有所限制，一般來(lái)說(shuō)，都是將反三角函數(shù)定義在原三角函數(shù)某個(gè)長(zhǎng)度為π的單調(diào)區(qū)間上.定義域值域增減性增函數(shù)奇偶性奇函數(shù)反三角函數(shù)arcsinx[][[-1,1]-1,1]R?,π2π2arccosxarctanxarccotx[0,π]減函數(shù)非奇非偶函數(shù)()?,π2π2增函數(shù)奇函數(shù)R(0,π)減函數(shù)非奇非偶函數(shù)三、反三角函數(shù)的圖形1反正弦函數(shù)arcsinx和反余弦函數(shù)arccosx12圖1：反正弦函數(shù)arcsinx和反余弦函數(shù)arccosx反正切函數(shù)arctanx和反余切函數(shù)arccotx2圖2：反正切函數(shù)arctanx和反余切函數(shù)arccotx四、反三角函數(shù)的性質(zhì)[]ππsin(arcsinx)=x,x∈[?1,1],arcsin(sinx)=x,x∈?,;22cos(arccosx)=x,x∈[?1,1],tan(arctanx)=x,x∈R,cot(arccotx)=x,x∈R,arccos(cosx)=x,x∈[0,π];()ππarctan(tanx)=x,x∈?,;22arccot(cotx)=x,x∈(0,π);【注】上述公式，如果不加限制定義域的范圍將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.五、考研數(shù)學(xué)中反三角函數(shù)相關(guān)題型第13頁(yè)第四講反三角函數(shù)【例1】(1992)求證:當(dāng)x≥1時(shí),arctanx?1arccos1+2x2=4.【例2】(1995)設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間[?a,a](a>0)上連續(xù),g(x)為偶函數(shù),且f(x)滿足條件f(x)+f(?x)=A(A為常數(shù)).(1)證明af(x)g(x)dx=Aag(x)dx;′′?a0(2)利用(1)的結(jié)論計(jì)算定積分π|sinx|arctanexdx.′?2π2第14頁(yè)第五講代數(shù)式及方程一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景代數(shù)式與方程在考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景：12在求導(dǎo)或積分時(shí)，需要分解有理函數(shù)，將分式分解為多項(xiàng)式加既約分式；解二階或更高階常系數(shù)線性微分方程時(shí)，需要求特征方程的根.二、整式計(jì)算的常用公式我們先簡(jiǎn)單回顧一下整式的有關(guān)概念.整式為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱，其中單項(xiàng)式為若干個(gè)字母與數(shù)相乘所得式子，而多項(xiàng)式即若干個(gè)單項(xiàng)式之和.下面我們按照次數(shù)由低到高給出整式計(jì)算的常用公式.在做整式乘積與因式分解時(shí)，我們均可以直接使用.12345(a±b)=a±2ab+b，a?b=(a+b)(a?b).22222(a±b)=a±3ab+3ab±b，a±b=(a±b)(a?ab+b).332233322(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc.2222a?b=(a?b)(annn?1+an?2b+···+abn?2+bn?1).∑n二項(xiàng)式定理(a+b)n=Cab，其中C=rnn?rrrnn!r!(n?r)!.r三、整式除法在做因式分解時(shí)，我們有時(shí)候需要作整式的除法.整式的除法與數(shù)的除法類似，只是在除法過(guò)程中，我們不再是比較數(shù)的大小，而是比較多項(xiàng)式次數(shù)的大小.1多項(xiàng)式的次數(shù)對(duì)于只有一個(gè)變量的多項(xiàng)式f(x)=axn+an?1xn?1+···+ax+a，若a?n10n則稱f(x)為n次多項(xiàng)式.只含常數(shù)項(xiàng)的單項(xiàng)式為零次多項(xiàng)式.若零次多項(xiàng)式f(x)的常數(shù)項(xiàng)為0，則稱該多項(xiàng)式為零多項(xiàng)式，記作f(x)=0.15第五講代數(shù)式及方程2多項(xiàng)式除法對(duì)任意兩個(gè)實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式f(x)和g(x)(g(x)和r(x)，使得?f(x)=q(x)g(x)+r(x),(1)其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，或r(x)為零多項(xiàng)式.滿足(HYPERLINK\l"br9"1)的q(x)與r(x)是唯一的.與數(shù)的除法類似，我們也可以用豎式作多項(xiàng)式除法.下面我們舉例說(shuō)明這一過(guò)程.【例1】求f(x)=x3+x2+x+1除以g(x)=x2?3x+2的商式與余式.四、一元二次方程一元二次方程是需要我們重點(diǎn)掌握求解方法的方程.二階常系數(shù)線性微分方程的特征方程即一元二次方程.下面我們從判別式、求根公式以及根與系數(shù)的關(guān)系回顧相關(guān)知識(shí).1判別式一元二次方程ax2+bx+c=0(a?=0)的判別式?=b?4ac.2???若?>0，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.若?=0，則方程有兩個(gè)相同的實(shí)根.若?<0，則方程有一對(duì)共軛復(fù)根.√223求根公式一元二次方程ax2+bx+c=0(a?=.?b±b2?4ac1,2a根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程ax2+bx+c=0(axx=c.1212a12a【注】某些時(shí)候，根與系數(shù)的關(guān)系能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.2016年數(shù)一第(16)題就可以利用該性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算.感興趣的同學(xué)可以做一下這道題.【例2】(2016)設(shè)函數(shù)y(x)滿足方程y′′+2y′+ky=0，其中0<k<1.(I)證明：反常積分∞y(x)dx收斂；′0(II)若y(0)=1，y(0)=1，求+∞y(x)dx的值.′′0第16頁(yè)第六講排列組合一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景排列與組合在考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景：1234古典概型；伯努利概型；二項(xiàng)分布；離散型隨機(jī)變量的分布.二、排列1排列n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.2排列數(shù)從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Pm(或Am)表示.nn排列數(shù)公式：Pmn=n(n?1)(n?2)···(n?m+1).n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，稱為這n個(gè)元素的全排列，等于正整數(shù)1到n的連乘積，又叫做n的階乘，用n!表示.規(guī)定0!=1.全排列數(shù)公式：P=n(n?1)(n?2)···1=n!.nn排列數(shù)公式的另一種表示：n!Pmn=.(n?m)!17第六講排列組合【例1(1992)將CCEEINSSCIENCE的概率為.三、組合1組合一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列與組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān).如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合.例如ab與ba是兩個(gè)不同的排列，但它們確是同一個(gè)組合.23組合數(shù)從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cm表示.n組合數(shù)公式：PPn(n?1)(n?2)···(n?m+1)m!mnmmC==.mn組合數(shù)的性質(zhì)??CC=C?；mnnnm=C+C?.mnmnmn1【例2】(2016)設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個(gè)，從中有放回地取球，每次取1個(gè)，直到三種顏色的球都取到時(shí)停止，則取球次數(shù)恰好為4的概率為.【例3】(2007)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1)，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為()(A)3p(1?p)2.(B)6p(1?p)2.(C)3p(1?p).(D)6p(1?p).2222第18頁(yè)第七講數(shù)學(xué)歸納法一、考研數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)使用場(chǎng)景數(shù)學(xué)歸納法在考研數(shù)學(xué)中有如下常見(jiàn)使用場(chǎng)景：1所證結(jié)論與整數(shù)有關(guān)的證明題.二、數(shù)學(xué)歸納法的步驟12驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立.證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.【注】第一步之中,根據(jù)命題的不同,可以確定不同的初始值,未必n一