考研數(shù)學(xué)：32天零基礎(chǔ)小課堂

32(1)有界性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X?D.若存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M對(duì)任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界.::::(2)單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D.若對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x及1x，當(dāng)x<x時(shí)，恒有f(x)<f(x)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加21212:::::::::的；當(dāng)x<x時(shí)，恒有f(x)>f(x)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少1212:::::::::的.(3)奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)于任一x∈D，f(?x)=f(x)恒成立，則稱f(x)為偶函數(shù).若對(duì)于任一x∈D，f(?x)=?f(x)恒成立，則稱:::::::f(x)為奇函數(shù).:::::::(4)周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.若存在一個(gè)正數(shù)l，使得對(duì)于任一x∈D有x±l∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周:::::::::::期.通常我們所說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期.:::::::::::::?????冪函數(shù)：y=xa(a是常數(shù)).指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0且=對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logx(a>0且aa?1).=1).?a三角函數(shù)：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx.定義設(shè){x}為一數(shù)列，若存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的ε>0(不論它多么小)，總存在n正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|x?a|<ε都成立，則稱常數(shù)a為數(shù)n:::::::列{x}的極限，或者稱數(shù)列{x}收斂于a，記為limx=a，或x→a(n→∞).n::::::::::::n::::::::::::::::nn:ε?N定義：im∞xn=a等價(jià)于?ε>0，?正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn?a|<ε.(1)唯一性若數(shù)列{xn}收斂，則該極限唯一.(2)有界性若數(shù)列{xn}收斂，則該數(shù)列有界.(3)保號(hào)性若limx=a，且a>0(或a<0)，則存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有nx>0(或x<0).nn推論如果數(shù)列{x}從某項(xiàng)起有x≥0(或x≤0)，且limx=a，那么a≥0(或nnnna≤0).(4)收斂數(shù)列與其子數(shù)列之間的關(guān)系如果數(shù)列{x}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a.n由以上性質(zhì)可知：如果數(shù)列{x}有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)n列{x}是發(fā)散的.n?????????????:::::::::??????→????????????(?)???????????????????00??????????ε>0????????????δ>0??????????0<|???|<δ?????????(?)??????|?(?)??|<ε???????0???(?)??→????????????(?)=????(?)→???→???00?0ε?δ???????(?)=?????ε>0??δ>0??0<|???|<δ???0??0|?(?)??|<ε????????→∞???????????(?)?|?|?????????????????????????ε>0?????????????>0??????????|?|>??????????(?)??????|?(?)??|<ε??????????(?)??→∞???????????(?)=????(?)→???→∞???ε?????????(?)=?????ε>0???>0??|?|>????|?(?)??|<ε??????????(?)=???????0<|???|<δ????δ<?<????000??0???????(?)??→?????????????(?)=???(?)=???00:::::::???→00????????(?)=???????0<|???|<δ???<?<?+δ???00?0???????(?)??→?????????????(?)=???(?)=??+00:::::::??+0→???(?)??→?????????????????????????0???????????(?)=????(?)???+00?0??1,?<0,?=0,?????(?)=?????→0??(?)???????,+1,?>0.?????????????(?)?????????(?)?????????????00???????????????(?)????????(?)=????????>0?δ>0??????000<|???|<δ???|?(?)|≤??0???????????????(?)????????(?)=????>0???<0?????????00δ>0????0<|???|<δ????(?)>0???(?)<0??0?????????????(?)??→????→∞?????????????(?)???→???00?→∞????????::::::::????????????(?)???????????????|?|????????????????0?????????????????????δ???????????????0<|???|<δ??|?|>??????????(?)??????|?(?)|>??????0?(?)???→????→∞????????0:::::::::??????????????????(?)???????1???????????)?(?)???????(?)=0????????1?)??有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；))))A(3)若又有B?==.B?設(shè)有數(shù)列{x}和{y}.如果limx=A,limy=B,那么nnn(1)lim(x±y)=A±B；n(2)lim(x·y)=A·B；nn(3)當(dāng)y??0時(shí)，limx=A.nnnyB【【例1】求limxx.例2】求lim3.2x12,定理(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.具體地說(shuō)，單調(diào)增加且有上界或者單調(diào)減少且有下界的數(shù)列必有極限.定理(夾逼準(zhǔn)則)對(duì)于數(shù)列{x}，{y}，{z}，若存在正整數(shù)n，當(dāng)n>n時(shí)，有x≤y≤z，nnn00nnn且limx=limz=a，則limy存在且等于a.nnn對(duì)于函數(shù)極限，也有類(lèi)似的準(zhǔn)則.x??lim=1；x0()xlim1+=e.1x?x.【例】求lim1x02()x【例2】求lim1?1.x=0，lim為這個(gè)變化過(guò)βα記α和β為同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，且α程中的極限.12345.若lim=0，則稱β是比α高階的無(wú)窮小量，記作β=o(α).βα.若lim=∞，則稱β是比α低階的無(wú)窮小量.βα.若lim=c=?0，稱β與α是同階無(wú)窮小量.βα.若lim=c=?0，k>0，則稱β是關(guān)于α的k階無(wú)窮小量.βαk.若lim=1，則稱β與α是等價(jià)窮小量，記作α～β.同階無(wú)窮小量不一定βα是等價(jià)無(wú)窮小量.當(dāng)x→0時(shí)，?????sinx～x.tanx～x.arcsinx～x.1?cosx～x.122(1+x)α?1～αx(α=0).?【例1】求limx.xx031x)3?.1例2】求lim2【10定義(連續(xù))設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)有定義，若limf(x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)在00x0點(diǎn)x連續(xù).0::::ε?δ定義：f(x)在點(diǎn)x連續(xù)等價(jià)于?ε>0，?δ>0，當(dāng)|x?x|<δ時(shí)，有00|f(x)?f(x)|<ε.0若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x左連??00000?::::0續(xù)；若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)+0+000::xx+0→x右連續(xù).0::::::定義(間斷)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)有定義.若f(x)滿足下列情形之一：??在x=x0沒(méi)有定義；在x=x有定義，limf(x)不存在或者limf(x)存在但limf(x)=f(x0)，?0xxx000則稱f(x)在x=x不連續(xù)，x為f(x)的間斷點(diǎn).00第一類(lèi)間斷點(diǎn)：f(x)與f(x)均存在.?+00f(x).例如：f(x)=x1.x=1為f(x)的可去間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)滿足f(x)=?+02??10x1,≤0,x=0為f(x)的跳躍間跳躍間斷點(diǎn)滿足f(x)?f(x).例如：f(x)=?+002,x>0.斷點(diǎn).第二類(lèi)間斷點(diǎn)：f(x)，f(x)至少有一個(gè)不存在.?+00?+0π2?無(wú)窮間斷點(diǎn)滿足f(x)，f(x)至少有一個(gè)為∞.例如：f(x)=tanx.x=±為0f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn).注意：tanx在x=±的左、右極限不相等.π2limtanx=+∞，limtanx=?∞.→?)?→?)+(π2(π2?振蕩間斷點(diǎn)滿足在該間斷點(diǎn)附近，函數(shù)值在某兩個(gè)有限的數(shù)值之間變動(dòng)無(wú)限多次.例如：f(x)=sinx.x=0為f(x)的振蕩間斷點(diǎn).定理設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而成，U(x)?D.若函g0數(shù)u=g(x)在x=x連續(xù)，且u=g(x)，而函數(shù)y=f(u)在u=u連續(xù)，則復(fù)合0000函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0也連續(xù).【例】討論函數(shù)y=sinx的連續(xù)性.若兩者中存在不連續(xù)者，則復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性不能確定.下面給出連續(xù)的例子.???內(nèi)層不連續(xù)，外層連續(xù)，復(fù)合函數(shù)連續(xù).內(nèi)層連續(xù)，外層不連續(xù)，復(fù)合函數(shù)連續(xù).內(nèi)層不連續(xù)，外層不連續(xù)，復(fù)合函數(shù)連續(xù).定義(最大值、最小值)對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)，若存在x∈I，使得對(duì)于任一x∈I都有0f(x)≤f(x)(f(x)≥f(x))，則稱f(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值).000::::::::::::::::定理(有界性與最值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)·f(b)<0)，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使f(ξ)=0.定理(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A，f(b)=B，則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b).推論在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)的值域?yàn)殚]區(qū)間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值與最大值.【例】證明方程x3?4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.定義(導(dǎo)數(shù))設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x處取得增量?x00(點(diǎn)x+?x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地，因變量取得增量?y=f(x+?x)?f(x)；000若當(dāng)?x→0時(shí)，?y與?x之比的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，0::::并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記為f′(x)，即00::::??xyf(x+?x)?f(x)0,f(x)=lim=lim0′0?x?0?0x??yfx也可以寫(xiě)成y′|x，或()?.?xxxxxx0==00(2)(xμ)′=μx1(1)(C)′=0cosxsec2x(4)(cosx)=?sinx(3)(sinx)′=(5)(tanx)′=(7)(secx)′=′(6)(cotx)=?cscx′2secxtanx(8)(cscx)=?cscxcotx′(9)(a)=x′(>0,axlnaaa?(10)()=exex′(11)(logx)=′(>0,=1)(12)(lnx)′=a11axax(13)(arcsinx)′=1(15)(arctanx)′=(14)((16)(arccosx)=?′1√222arccotx)=?1′112xx)左導(dǎo)數(shù)f′(x)=lim；00h?00?xx)右導(dǎo)數(shù)f′(x)=lim.00+0h0+函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.0【例】設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的()(A)充分必要條件.(B)充分條件但非必要條件.(C)必要條件但非充分條件.(D)既非充分條件又非必要條件.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)f′(x)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)00M(x,f(x))處的切線斜率，即00f(x)=tanα,′0其中α是切線的傾角.3.【例】求曲線y=x的通過(guò)點(diǎn)(0,?4)的切線方程2定理如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且(1)(u±v)=u±v，′′′(2)(uv)=uv+uv，(3)u′=u′v′(v′′′()=0).?vv2【例】證明：(uv)′=u′v+uv′.???????=?(?)????????????!(?)=0????????=?(?)??1?????={?|?=?(?),?∈?}?????????1??1??)]!=?=.?1[?(?)???!???????=??????∈[?π,π]????????=?????????????????22(???????)=√?!112???????=?(?)????????=?(?)???=?(?)??????????=?[?(?)]???????????????????????????=?!(?)·?!(?)?=·.????????=?????????????????=?????1?????????????????????????????????????????????????????????=???????????????????????????????????????????=?????!?=(??))=???))?.()??????=?2?????(20)???????(?,?)=0??????(?)?????????????????????????????????+????=0??????????????"?=?(?),????????????(?)?ψ(?)????????!(?)=0???=ψ(?)%&??#$?????????????ψ!(?)?!(?)???????/.??2?=/=,==??2????????2??????2#$'(?2?????ψ(?)???(?)????ψ(?)?(?)?ψ(?)?(?)1!!!!2===·=·??2?????!(?)?(?)]![ψ(?)?(?)?ψ(?)?(?)!!!!.?(?)]3![??=??????),(?????????????????????=?(?)???=?(1?????)????????=?(?)??=?(?)??????????????????????????????????????????????????????????????:::::::::::??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????140?????????????????????????????????????????=?(?)????????????+???????????????00??=?(?+??)??(?)00??????=???+?(??),???????????????????=?(?)?????????????0::::????=?(?)?????????????????????????=????0:::::???=?(?)?????????????????????????=:::::::::::?!(?)???????????????????????????????=?????::::::::::::::???=?(?)?????????=?!(?)??.???????=?3??=2???=0.02?????????????=?(?)??????????(?,?)?????????????00????????????(?+??,?+??)??????????00?)??+?(??)???=?(?)????=?!(!?00???????→????→∞????????(?)??(?)?????????????)??????????????????????????????????:::::)?→?:(?→∞)???0?∞∞?????????????????????0??????????????→??????(?)??(?)????????????????????(?)??(?)?????(?)=0?!!!?)#??????#???????????)????(?)?!(?)?!(?)???=???.?(?)?????????∞????∞????????????????(?)=∞?????(?)=∞???????????????????(?)??(?)?????(?)=0?!!!?)#??????#??(?????)??)????(?)?!(?)?!(?)???=???.?(?)????x????∞?????(?)=∞??y????????????????????????∞??→????????????30??????????(?>0)???∞????????????????????(?)?????????????????????????????00????(?)!!?(?)=?(?)+?(?)(???)+0(???)+···!200002!()?(?0)?+(?)+?(),?????!0????(?)=?((???))??0????????????????????(?)????????(?)????+1?????????∈?(?)??000?(?)!!?(?)=?(?)+?(?)(???)+0(???)+···!200002!()?(?0)?+(?)+?(),?????!0??ξ)????(?)=(+1)??(?)1?ξ?+?0?????????0??=0???????????0=0?????????????!!(0)?(0)()??(?)=?(0)+?!(0)?+···+?2+···+?+?(?).?2!?!?????????????2??!??=1+?++···++?(?).2!3(1)??+(1)?,-????=??+···+??+???.223!?2,-?=1?+···+??+???.222!(2)!23(1)?1??(1+)=??(1+)?=1+++?···+?+?(?).23?(??+().(??··???+1)??????2+···+2!????????????????????????????????30????????????????????(?)?[?,?]?????(?,?)??????(?,?)??!(?)≥0????????????????(?)?[?,?]?????????????????!(?)≤0??????????????????????????????(?)????????????????(?)???????????????????(?)=2?3?9?2+12??3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(?)???????????????????????<??1212,-122?????????=()???????????????????????=()???????????????<>(1(2)2(2)2??????,-1?(?????122???????????????????(?)?[?,?]?????(?,?)????????(?,?)??!!(?)>0?????=?(?)?[?,?]????(?,?)??!!(?)<0?????=?(?)?[?,?]????????????=??????????????=?(?)???????????????????=?(?)????(?,?(?))000???????????????(?,?(?))????????00????????????????(?)???????????????????(?,?(?))????=?(?)000??????(?0)=0??????????????????(?)?????????????????(?)???!!00???????(?,?(?))??=?(?)??????!!(?)??????????000(?,?(?))???=?(?)????00????????????=?(?)?????????????(?)=0?!!00?(?)=0???(?,?(?))??=?(?)????!000??????????????(?)??0????????????(?)?!!?????(?)=0????????????????????????!!?!!(?)???????????????????????????????????????(?)!!0??????????????????????????(?,?(?))?000??????????????(?,?(?))?????00???????=?4??????????????(?)????????(?)????????????(?)??????000??,-?(?)<?(?)??(?)>?(?),00???(?)????(?)???????????????????????????0::::::::::::????????????????????:::::::::::???????(?)?????????????????!(?)=0.000??????????????????????????????????(?)????????????????(?,δ)????000?????∈(??,?)???(?)>0???∈(?,?+δ)???(?)<0???(?)?!!0000????????0?????∈(??,?)???(?)<0???∈(?,?+δ)???(?)>0???(?)?!!0000????????0??????∈(?,δ)???(?)?????????????(?)??????!00?????????????????????????????????????????????????(?