2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市某中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市某中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.小明每分鐘跳繩次數(shù)的正常范圍為少于110次，但不少于70次，若X表示小明每分鐘跳繩

的次數(shù)，則用不等式表示為（）

A.70≤x≤110B.70≤x<110C.70<x<110D,70<x≤110

使分式系有意義的”的取值范圍為（

2.)

A.X≠1B.X≠-1C.X≠0D.%≠±1

3.下列從左邊到右邊的變形是因式分解的是（）

A.2α(α2-3b)=2a3—6abB.α2+9=(α+3)(a—3)

C.a2+2a÷1=(a+l)2D.a2+4a+5=a(a+4)+5

4.把某不等式組4j兩個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所

—>

-10?

示，則這個(gè)不等式組可能是（）

X>—1X≥-1X≥-1%<-1

A.B.C.D.

X<2.X<2X≤2x≥2

5.下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（)

6(χ-y)「x2+y2÷2xy

”?2_2

A.B22xy

8(x+y)??Γjxy+xy

6.如圖所示，點(diǎn)。是ZkABC內(nèi)一點(diǎn)，Bo平分乙4BC,OD1BC于點(diǎn)D,

連接。4若OO=5,AB=20,則440B的面積是（）

A.20

B.30

C.50

D.100

X

7.若分式五式中的X,y都擴(kuò)大2倍，則該分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大2倍C.擴(kuò)大4倍D.縮小為原來(lái)的;

8.如圖，在△4Be中，AB=AC,D為BC上一點(diǎn)、,BD=AB,CD=AD,則的度數(shù)為（）

A

A.30oB.360C.40oD.460

9.用反證法證明命題”三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不小于60。”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)：這個(gè)三角形中

()

A.有一個(gè)內(nèi)角小于60°B.有一個(gè)內(nèi)角大于60°

C.每一個(gè)內(nèi)角都小于60。D.每一個(gè)內(nèi)角都大于60。

(2x-4

10.若關(guān)于X的不等式組k<x-1l的整數(shù)解恰有4個(gè)，貝IJa的取值范圍為()

lɑ—X>0

A.2<a≤3B.2≤α<3C.3<α≤4D.3≤a<4

二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)

11.多項(xiàng)式4a2F+6ab2c因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是.

12.如圖，將AABC沿BC所在的直線平移得到△DEF若GC=3,DF=7.5,則AG=

13.對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定a十b=；+若(2x-3)十2=1,則X=.

14.如圖，正方形OaBC的兩邊04、OC分別在X軸、y軸上，點(diǎn)D(5,3)在邊AB上，以C為中心,

把^CDB旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'的坐標(biāo)是.

15.某自來(lái)水公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：若每戶每月用水不超過(guò)5立方米，則每立方米收費(fèi)1.8元;

若每戶每月用水超過(guò)5立方米，則超出部分每立方米收費(fèi)2元,小穎家每月水費(fèi)都不少于25元,

則小穎家每月用水量至少是立方米.

16.如圖，在AZBC中，乙C=90°,乙B=30o,AC=4,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，將線段PB繞點(diǎn)P順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段PQ，點(diǎn)Q在射線BC上，當(dāng)PQ的垂直平分線MN經(jīng)過(guò)AABC一邊中點(diǎn)時(shí)，PB的

長(zhǎng)為______

三、解答題(本大題共9小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題6.0分)

(2,x—1<%+4

解不等式組：2V3x+l、1,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

18.(本小題8.0分)

把下列各式因式分解：

(l)α2(x-y)+25b2(y-x)；

(2)(y2-I)2-6(y2-1)+9.

19.(本小題8.0分)

已知+x-io=O,求代數(shù)式器÷?+x-2)的值.

20.(本小題8.0分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,△4BC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(3,4),B(1,3),C(4,2).

解答下列問(wèn)題：

(I)AAiBiG與AABC關(guān)于點(diǎn)M(2,l)成中心對(duì)稱，請(qǐng)畫出△力/傳1(點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)Ai，B[,G)；

(2)將AABC先向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到AAZBZCZ請(qǐng)畫出△

42%。2(點(diǎn)4B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4，B2,C2);

(3)格點(diǎn)N滿足射線4N平分4為42。2，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

yk

21.(本小題8.0分)

下面是小明設(shè)計(jì)的“作一個(gè)含30。角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖1,直線］及直線Lt一點(diǎn)4求作：AABC,使得4ACB=90。，?ABC=30°.

作法：如圖2,

①在直線2上取點(diǎn)D；

②分別以點(diǎn)4D為圓心，力。長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)B,E；

③作直線BE,交直線I于點(diǎn)C；

④連接B4.

△ABC為所求作三角形.

根據(jù)小明的設(shè)計(jì)，解答下列問(wèn)題：

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)寫出證明過(guò)程和依據(jù).

證明：連接BD,EA,ED.

???BA=BD=AD,

?SABD是三角形，

?乙BAD=60°,

%?BA=BDtEA=,

???點(diǎn)8,E在線段4。的垂直平分線上(),

???BE1ADf

???乙ACB=90°,

:?Z-ABC+?BAD=90o(),

:??ABC=30o.

AAD

圖1圖2

22.(本小題10.0分)

如圖，在AZBC中，AB=AC,。為△4BC外一點(diǎn)，且NABD=60o,?BDC+2?ADB=180°,

請(qǐng)寫出線段BC,C。與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

23.(本小題10.0分)

某小區(qū)改造一段總長(zhǎng)1800米的下水道管線，實(shí)際施工時(shí)，每天的施工效率比原計(jì)劃提高了

20%,可提前6天完成任務(wù).

(1)求實(shí)際施工時(shí)，每天改造下水道管線的長(zhǎng)度；

(2)施工進(jìn)行10天后，為了減少對(duì)小區(qū)居民日常生活的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度

以確?？偣て诓怀^(guò)25天，那么以后每天改造下水道管線至少還要增加多少米？

24.(本小題12.0分)

在△4BC中，AB=AC=5,BC=6,將△4BC繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到AzWE,旋轉(zhuǎn)

角為α((Γ<α<180。)，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.

(1)如圖，設(shè)邊/1D與BG交于點(diǎn)M,邊CE分別交BC,AC于點(diǎn)F,N.

①求證：AM=AN；

②當(dāng)AMCF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出DF的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)。E，BC時(shí)，連接BE,CE,請(qǐng)直接寫出△BCE的面積；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)ABCE的面積的最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng).

25.(本小題12.0分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線k：y=-a+4與y軸交于點(diǎn)4直線％：y=江一6與y軸

交于點(diǎn)B,與直線，1交于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求AC,BC的長(zhǎng)：

(2)直線％=m(?nV0)分別交直線%于點(diǎn)M,/V,直線y=-4與直線MN,%交于點(diǎn)E，F(xiàn),

若翳=，求m的值；

(3)在(2)的條件下，將ANEF沿射線Be的方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)

間為t秒(t>0).在4NE尸移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E到直線5/2的距離相等，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意得：70≤x<110.

故選：B.

根據(jù)“小明每分鐘跳繩次數(shù)的正常范圍為少于110次，但不少于70次”,即可列出關(guān)于X的一元一

次不等式組，此題得解.

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式組，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不

等式組是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】解：?.?分式W有意義，

x+1

?X÷1≠0.

解得：X≠-1.

故選:B.

分式有意義的條件是分母不等于零.

本題主要考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：A2α(α2-3h)=2α3-6αb,從左邊到右邊的變形是整式的乘法，不是因式分解，

故本選項(xiàng)不符合題意；

氏多項(xiàng)式+9在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意，

C.a2+2a+l=(a+iy,從左邊到右邊的變形是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

Da2+4α+5=α(α+4)+5,等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)

不符合題意；

故選：C.

根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判定即可.

本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整

式的積的形式，叫因式分解.

4.【答案】C

【解析】解：依題意得這個(gè)不等式組的解集是：-1≤X≤2.

4、解集是：一l<x≤2,故A錯(cuò)誤；

氏仔解集是：—l≤x<2,故B錯(cuò)誤；

C、解集是：-ISX≤2,故C正確；

D、｛j]]l解集是：一l<x≤2,故。錯(cuò)誤；

故選：C.

本題根據(jù)數(shù)軸可知X的取值為：-l≤x≤2,將不等式變形，即可得出關(guān)于X的不等式組.把各個(gè)

選項(xiàng)的解的集合寫出，進(jìn)行比較就可以得到.

考查不等式組解集的表示方法.實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，>向右、<向左.

5.【答案】C

【解析】解：4、竇焉=蕊*，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

B、占=(—=_,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

x-yx—yJ

c、4??.是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

x^y+xy6

D、N+廣空J(rèn)M)2也,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

(χ+y)(χ-y)x-y

故選：C,

根據(jù)分式的基本性質(zhì)、最簡(jiǎn)分式的概念判斷即可.

本題考查的是最簡(jiǎn)分式，一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式.

6.【答案】C

【解析】解：過(guò)。作OELAB于點(diǎn)E,

???8。平分44BC,OD1BC,OE1AB

???OE-OD=5,

???SAAoB=?OE=TX20X5=50,

故選：C.

根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出。E,最后用三角形的面積公式即可解答.

此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=。。解答.

7.【答案】A

2x_2%_X

【解析】解:根據(jù)題意得:

3×2x-2y2(3x-yy)3x-yf

Y

即若分式礪;中的％，y都擴(kuò)大2倍，則該分式的值不變.

故選：A.

根據(jù)題意列出算式不2若γ右，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

oxzx-zy

本題考查了分式的基本性質(zhì)，能根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：??,AB=4C,

?Z-B—?C,

???CD=DA9

?Z-C=?DAC9

VBA=BD,

?乙BDA=乙BAD=2Z.C=2(B,

又????B+乙BAD+乙BDA=180°,

???5乙B=180°,

.?.乙B=36o,

故選:B.

AB=4C可得NB=HCO=D4可得NADB=2ZC=2?B,BA=BD,可得NBOA=?BAD=2zB,

在△4BD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出NB.

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和方程

思想的應(yīng)用.

9.【答案】C

【解析】解：反證法證明命題”三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不小于60。”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)：這個(gè)三角形

中每一個(gè)內(nèi)角都小于60。，

故選：C.

根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可.

本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮

結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須

一一否定.

10.【答案】A

【解析】解：不等式整理得E1]i,

(2x-4

???關(guān)于X的不等式組一一≤X一1λ的整數(shù)解恰有4個(gè)，

lɑ—X>0

?2<?≤3.

故選：A.

分別解出兩個(gè)一元一次不等式的解集，再根據(jù)已知條件，原一元一次不等式組的整數(shù)解恰有5個(gè)，

確定該不等式組解集的公共解集，進(jìn)而求得α的取值范圍.

本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、不等式的解集等知識(shí)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮?/p>

小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

11.【答案】2m2

【解析】解：多項(xiàng)式4a2fj2+6αb2c因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是2aZΛ

故答案為:Iab2.

根據(jù)找公因式的方法找出各項(xiàng)的公因式即可.

本題考查了因式分解-提公因式法，能熟記找公因式的方法(系數(shù)找多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù),

相同字母找最低次幕)是解此題的關(guān)鍵.

12.【答案】4.5

【解析1解：由平移變換的性質(zhì)可知AC=DF=7.5,

???CG=3,

.?.AG=AC=CG=7.5-3=4.5.

故答案為：4.5.

判斷出AC=DF=7.5,再利用線段的和差定義求解.

本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用平移變換的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型不.

13.【答案】I

【解析】解：由題意得：

--~=1>

2x-32

解得：%=∣.

經(jīng)檢驗(yàn)，％?是原方程的根，

5

???X=-.

故答案為：

利用新規(guī)定對(duì)計(jì)算的式子變形，解分式方程即可求得結(jié)論.

本題主要考查了解分式方程，本題是新定義型題目，準(zhǔn)確理解新規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】(-2,0)或(2,10)

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)。(5,3)在邊AB上，

所以4B=BC=S,BD=5-3=2；

(1)若把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

則點(diǎn)。'在X軸上，OD'=2,

所以D'(-2,0);

(2)若把△CDB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

則點(diǎn)。'到X軸的距離為10,至IJy軸的距離為2,

所以D'(2,10),

綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'的坐標(biāo)為(一2,0)或(2,10).

故答案為：(一2,0)或(2,10).

根據(jù)題意，分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，求出點(diǎn)D'到X軸、y軸的距離，即可判斷出旋轉(zhuǎn)

后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'的坐標(biāo)是多少.

此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，考查了分類討論思想的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要注意

分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況.

15.【答案】13

【解析】解：設(shè)小穎家每月用水量是X立方米，

根據(jù)題意得：1.8x5+2(x-5)≥25,

解得：X≥13,

???x的最小值為13,

即小穎家每月用水量至少是13立方米.

故答案為：13.

設(shè)小穎家每月用水量是X立方米，利用每月水費(fèi)=1.8X5+2X超出5立方米的部分，結(jié)合小穎家

每月水費(fèi)都不少于25元，可列出關(guān)于X的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論.

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的

關(guān)鍵.

16.【答案】2或3或5

【解析】解：???NC=90。，NB=30。，AC=4,

.?.AB=8,BC=4√^3.

PQ的垂直平分線MN經(jīng)過(guò)AZBC一邊中點(diǎn)，可分為以下三種情況：經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D；經(jīng)過(guò)4C的中

點(diǎn)E；經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)產(chǎn).

當(dāng)MN經(jīng)過(guò)ZB的中點(diǎn)。時(shí)，交BC于點(diǎn)G,如圖：BD=^AB=4,

???PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段PQ,

.?.PQ=PB,

???4PQB=LB=30°,

???NOPQ是APQB的外角，

???4DPQ=Z?B+乙PQB=60°,

VMN垂直平分PQ,

?PD=QD,

.,.△PQ。是等邊三角形，

.?.PD=QP,

.?.PD=PB,

.?.PB=；BD=2；

當(dāng)MN經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)E時(shí)，交BC于點(diǎn)G,如圖：EC=^AC=2,

?.?NPQB=30。，MN垂直PQ,

???乙EGQ=60°,

??.?CEG=30°,

在Rt△ECG中,EC=2,

.?.CG=I<3,

.?.BG=y√-3,

???點(diǎn)G在MN上，

?PG=QG,

:?(PQB=乙QPG=3D。，

LPGB是APQG的外角，

???乙PGB=乙PQB+乙QPG=60°,

/.ZGPB=90°,

ΛPGIPBf

在RtAPGB中，BG=y√1,

.?.PG=∣BG=∣√^,

???由勾股定理得：PB=√BG2-PG2=5:

當(dāng)MN經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)F時(shí)，交BC于點(diǎn)F(G),如圖：BF=TBC=2，？,

同理可證：PG1PB,

在HtAPGB中，Z.B=30o,BF=2√^^3,

.?.PB=3.

綜上：PB的長(zhǎng)為：2或5或3.

故答案為：2或3或5.

本題需考慮MN經(jīng)過(guò)AZBC各邊中點(diǎn)，共三種情況，依次討論即可.

本題綜合考查了垂直平分線，含30。角的直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形

的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).分類討論思想是解題的關(guān)鍵，同時(shí)也是本題的易錯(cuò)點(diǎn).

17.【答案】解：由2x-l<x+4得：x<5,

4-23X+1Izg/

由I15%----2~~§得：X~—1λ'

則不等式組的解集為x≤-l,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

_I----1----1----1--------1---1---1----1----1-----?->

—5—4—3—2—1O12345

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(l)α2(x-y)+25?2(y-x)

=(x—y)(α2-25b2)

=(x-y)(α+56)(α-5h);

(2)(y2-I)2-6(y2-1)+9

=(y2—1—3)2

=(y2-4)2

=(y+2)2(y-2)2.

【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；

(2)先利用完全平方公式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答.

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先

提公因式.

19.【答案】解：原式=J?÷(f?+正竽)

x(x-2)vx-2X-ZJ

x+2.X2+4X+4

x(x-2)x—2

x+2x-2

2

一%(A2)(χ+2)

1

7

1?

???-X2+x-10=O,

???x2+2%=20,

，原式=?.

【解析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)等式的性質(zhì)把已知等式變形，整體代

入得到答案.

本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】(3,2)

【解析】解：(1)△&BICI即為所求；

(2)A42B2C2即為所求；

(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),

故答案為：(3,2).y八

(1)根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖；

(2)根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及平移的性質(zhì)作圖；

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)求解.

本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)和平移，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)、

中心對(duì)稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】等邊ED與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)

在這條線段的垂直平分線上直角三角形兩個(gè)銳角互余

-?.

(2)證明：如圖，連接8。，EA,ED.

B

???△48。是等邊三角形.

??.?BAD=60°.

VBA=BD,EA=ED,

二點(diǎn)B,E在線段4。的垂直平分線上(與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上).

.?.BE1AD.

.?.?ACB=90°.

."ABC+乙BAD=90。(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).

.?.?ABC=30°.

故答案為：等邊；ED-,與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；直角三角形兩

個(gè)銳角互余.

(1)根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；

(2)根據(jù)作圖過(guò)程可得△48。是等邊三角形.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形兩個(gè)銳角互

余即可完成證明.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí).

22.【答案】解：BD+CD=AB,

證明：延長(zhǎng)C。到點(diǎn)E,使Eo=8。，連接AE,

V乙BDC+2?ADB=180°,

.?.?ADB=乙BDC,

11

???Z-ADE=180o-(90°-/DC)-乙BDC=90o-∣zBDC,

?Z-ADE=乙ADB,

在△/1)￡?和△4DB中，

ED=BD

?ADE=Z.ADB9

AD=AD

?.?ADE=ΔADB(iSAS)f

：.AE=ABrZ-E=Z-ABD=60°,

-AB=AC,

?AE=TlC,

4CE是等邊三角形，

CE=AC=AB1

???CE=ED+CD=BD+CD,

?BD+CD=AB.

【解析】延長(zhǎng)CD至IJ點(diǎn)E,使ED=BD,連接4E,由NBDC+244D8=180。,得NADB=90o-?ZfiDC,

所以44DE=I80。一(90。一、4BDC)-4BDC=90。一34BCC,貝∣JN4DE=即可證明4

ADE≡^ADB,^AE=AB,NE=ZTIBD=60。，而4B=AC,所以4E=∕C,則△4CE是等邊三

角形，所以CE=AC=AB,即可證明BD+CD=ZB.

此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的

輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)設(shè)原計(jì)劃每天改造下水道管線X米，則實(shí)際施工時(shí)每天改造下水道管線(1+

20%)X米,

18001800

由題意得:=6,

X(1+20%)X

解得：X=50,

經(jīng)檢驗(yàn)，X=50是原方程的解，且符合題意.

.?.(1+20%)x=(1+20%)×50=60,

答：實(shí)際施工時(shí)，每天改造下水道管線的長(zhǎng)度是60米;

(2)設(shè)以后每天改造下水道管線還要增加Tn米，

由題意得：(25-10)(60+m)≥1800-60×10,

解得：m≥20,

答：以后每天改造下水道管線至少還要增加20米.

【解析】(1)設(shè)原計(jì)劃每天改造下水道管線X米,則實(shí)際施工時(shí)每天改造下水道管線(1+20%)X米，

根據(jù)比原計(jì)劃提前6天完成任務(wù).列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)以后每天改造下水道管線還要增加m米，根據(jù)確?？偣て诓怀^(guò)25天，列出一元一次不等式,

解不等式即可.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出分式方程；(2)找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

24.【答案】(1)證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)4作力HlBC于點(diǎn)”，

①如題干圖左圖，將△4Be繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到AADE,

則AB=AC=TW=AE,

Z.ABC—?ACB=Z-ADE=?AED1

???4BAM=?CAB-乙DAN=乙DAE-乙DAN=乙AEN,

???△4BM皂ZMEN(ASA),

?.AM=AN;

②設(shè)：4ABC=?ACB=Z.ADE=Z.AED=a,

FD=FM時(shí)，則點(diǎn)C、M、F重合，構(gòu)不成三角形，

故該種情況不存在；

當(dāng)DM=DF時(shí)，如下圖：

E

A

?.?DM=DF,則NDMF=乙FMD=4AMB,

而4B=?D,

.?.?BAM=乙MFD=Z.BMA,

則AB=BM=5,

由(1)知，BH=3,則HM=5—3=2,

則力M=√AH2+DH2=√4?+22=2y∕~5,

則MD=AD-AM=5-2√~5=DF;

當(dāng)Fn=FM時(shí)，如下圖，

D

則4MF0=Nn=?NFC=NC=NE=α,

貝此C4E=/.E—a,

即NA=NE,NF=NC,

則EF=FN+EN=AN+CN=AC=5,

則DF=DE-EF=6-5=1,

綜上，DF=5-2%或1;

(2)解：如下圖，當(dāng)無(wú)論點(diǎn)E在點(diǎn)。的上方還是下方，ABCE的面積相同,

過(guò)點(diǎn)4作4H_LBC于點(diǎn)H,作4NJ.E。于點(diǎn)N,ED交BC于點(diǎn)、R,

由(1)知，AH=4=NR,EN=3,

則ER=4+3=7,

則^BCE的面積=∣×BC×EΛ=^×6×7=21;

(3)解：當(dāng)AE和AH共線時(shí)，ABCE的面積最大,

連接EC,

???AB=AC=AD=AE,?EAD=?BAC,

?Z-EAC=?EAD+Z-DAC=?DAC+Z-BAC=乙BAD

???4BD皂△?!CE(S4S),

：?BD=CE,

在RtZkEHC中，EH=∕E+AH=5+4=9,HC=3,

則EC=√HE2+CH2=3√^0.

【解析】(I)①證明△ABMWAAEN(ASA),即可求解；

②分Mn=FD、MD=MF,FO=FM三種情況，分別求解即可;

(2)由ABCE的面積=JXBCXER,即可求解；

⑶當(dāng)4E和4”共線時(shí)，ABCE的面積最大，再證明ABD