三角形基礎(chǔ)練習(xí)題(解析版)

專題17三角形基礎(chǔ)

【專題目錄】

技巧1:三角形三邊關(guān)系的巧用

技巧2：三角形的三種重要線段

技巧3：三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型

【題型】一、三角形的分類

【題型】二、構(gòu)成三角形三邊的條件

【題型】三、確定三角形第=邊的取值范圍

【題型】四、與三角形高有關(guān)的相關(guān)計算問題

【題型】五、與三角形重心有關(guān)的計算

【題型】六、與三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)的計算

【題型】七、利用直角三角形兩個銳角互余進(jìn)行相關(guān)計算

【題型】八、利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計算

【考綱要求】

1、了解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，掌握三旃形的三邊關(guān)系.

2、理解三角形內(nèi)角和定理及推論.

3、理解三衡形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì).

【考點總結(jié)】一、三角形的概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。

三角形特性

(1)三角形有三條線段

(2)三條線段不在同一直線上］三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接J

三角形的概念

角三角形用符號“Δ”表示,頂點是A、B、C的三角形記作“△ABC”,讀作“三角形ABC”。

三角形按邊分類：

形

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，

的

另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。

概等邊三角形：底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，即三邊都相等。

念三角形三邊的關(guān)(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

系三角形的任意兩邊之差小于第三邊。(這兩個條件滿足其中一個即可)

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)就是：記三角形三邊長分別是a,b,c,則a+b>c或c—b<a°

(2)已知三角形兩邊的長度分別為a,b,求第三邊長度的范圍：∣a-b∣<c<a+b

【考點總結(jié)】二、三角形中的重要線段和有關(guān)的角

從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(笛

三角形的高概念

三角形的高)。

在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

角三角形的中線概

性質(zhì)：三角形三條中線的交于一點，這一點叫做“三角形的重心三角形的中線可

形念

以將三角形分為面積相等的兩個小三角形。

中

三角形的角平分三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三

的

線概念形的角平分線。

重

三角形三個內(nèi)角和等于180。。

要

推論：

線三角形的內(nèi)角和

①直角三角形的兩個銳角互余。

段定理

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

和

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

有

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角

關(guān)三角形的外角和

性質(zhì)：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

的定理

2.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

角

指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2

三線八角

對，同旁內(nèi)角有2對，同旁內(nèi)角有2對。

【技巧歸納】

技巧1:三角形三邊關(guān)系的巧用

【類型】一、判斷三條線段能否組成三角形

1.下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，不能擺成三角形的一組是

()

A.4,4,8B.5,5,1C.3,1,9D.2,5,4

2.有四條線段，長度分別為48c∕n,?0cm,12cm,選其中三條組成三角形，試問可

以組成多少個三角形？分別寫出來.

【類型】二'求三角形第三邊的長或取值范圍

3.一個三角形的兩邊長分別為和3cm第三邊的長是整數(shù)，且周長是偶數(shù)，則第三

邊的長是()

A.2CTM或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cvn

4.如果三角形的兩邊長分別為3和5,則周長1的取值范圍是()

A.6<1<15B.6<1<16C.11<1<13D.10<l<16

5.若三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10<m<22,則這樣的三角形有

個.

【類型】三、三角形的三邊關(guān)系在等腰三角形中的應(yīng)用

6.等腰三角形的一條邊長為6,另一條邊長為13,則它的周長為()

A.25B.25或32C.32D.19

7.已知等腰三角形ABC的底邊BC=8cm,IAC-BC∣=2cw,則AC=.

8.若等腰三角形的底邊長為4,且周長小于20,則.它的腰長b的取值范圍是.

【類型】四'三角形的三邊關(guān)系在代數(shù)中的應(yīng)用

9.已知三角形三邊長分別為a,b,c,且∣a+b-c∣+∣a-b-c∣=10,求b的值.

10.已知a,b,C是AABC的三邊長，b,c滿足(b-2)2+∣c-3∣=0,且a為方程∣χ-4∣=2

的解，求AABC的周長.

【類型】五、利用三角形的三邊關(guān)系說明邊的不等關(guān)系

11.如圖，已知D,E為AABC內(nèi)兩點，說明：AB+AOBD+DE+CE.

參考答案

1.A點撥：4+4=8,不能擺成三角形.

2.解：可以組成3個三角形，分別為：

(1)8cm,10cm,12cm；(2)4cm,10cm,12cm；(3)4cm,8cm,10cm.

3.B點撥：設(shè)三角形第三邊的長為xcm,貝∣J5—3<x<5+3,即2<x<8.又在2到8之

間的整數(shù)有3,4,5,6,7,而三角形的周長x+3+5=x+8應(yīng)為偶數(shù)，所以X也是偶數(shù),

即X的值只能是4或6.所以三角形第三邊的長是4cm或6cm.

4.D點撥：設(shè)第三邊的長為X,則2<x<8,所以周長1的取值范圍是3+5+2<l<3+5

+8,即10<l<16.

7

5.4點撥：設(shè)三邊長分別為a,a+l,a+2,則m=3a+3,所以10<3a+3<22,解得

a<號19.所以a的值為3,4”5或6,經(jīng)驗證，都可以組成三角形，即這樣一的三角形有4個.

6.C

7.10C7τz或6cm點撥：求出AC的長后要驗證是否滿足三角形的三邊關(guān)系.

fb+b>4,

8.2<b<8點撥：由題意得C一“解得2<b<8.

(2b+4<20,

9.解：根據(jù)三角形的三.邊關(guān)系，可知

a+b>c,b+c>a,

所以∣a+b-c∣+∣a—b—c∣=a+b-c+b+c—a=2b=10,

所以b=5.

X(x>0)，

點撥：因為IXl=,、所以涉及絕對值化簡的題目，我們需考慮X的符號問

-χ(x<0)，

題.本題中絕對值符號內(nèi)的式子都是關(guān)于三角形三邊的關(guān)系式，我們需先運用三角形的三邊

關(guān)系判斷每一個式子的正負(fù)，再利用絕對值的意義求解.

10.解：因為(b—2)2對，∣C-3∣>O,且(b-2)2+∣c-3∣=0,所以(b—2-=0,∣c-3∣=0,解得

b=2,C—3.

由a為方程∣χ-4∣=2的解，可知a—4=2或a—4=—2,即a=6或a=2.

當(dāng)a=6時，有2+3V6,不能組成三角形，故舍去：.

當(dāng)a=2時，有2+2>3,符合三角形的三邊關(guān)系.

所以a=2,b=2,c=3

所以△ABC的周長為2+2+3=7.

11.解：如圖，將DE向兩邊延長分別交AB,AC于點M,N,在AAMN中，AM+AN>

MD+DE+NE；①

在ABDM中，MB+MD>BD;②

在ACEN中，CN+NE>CE;③

①+②+③，得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE,所以AB+AC

>BD+DE+CE.

技巧2：三角形的三種重要線段

【類型】一、三角形的高

題型1：找三角形的高

1.如圖，已知AB_LBD于點B,AC_LCD于點C,AC與BD交于點EzADE的邊DE上

的ι?為，邊AE上的r?為.

A

題型2：作三角形的高

2.（動手操作題）畫出圖中△ABC的三條高.（要標(biāo)明字母一，不寫畫法）

題型3：應(yīng)用三角形的高

3.如圖，在AABC中，BC=4,AC=5,若Be邊上的高AD=4.

⑴求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；

⑵求AD：BE的值.

4.如圖，在AABC中，AB=AC,DElAB,DF±AC,BG±AC,垂足分別為.點E,F,

試說明：DE+DF=BG.

【類型】二、三角形的中線

題型1：利用中線求長度

5.如圖，AE是AABC的中線，己知EC=4,DE=2,則BD的長為（）

A.2B.3C.4D.6

6.如圖，已知BE=CE,ED為AEBC的中線，BD=8,一△AEC的周長為24,則△ABC的

周長為（）

A

E

BDC

A.40B.46C.50D.56

7.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中線BD,將這個三角形的周長分成15ɑn和

兩部分，求這個等腰三角形的三邊長.

題型2：利用中線求面積

8.圖，△ABC的三邊的中線AD,BE,CF的公共點為G,且AG：GD=2：1,若SAABC

=12,則圖中陰影部分的面積是.

(1)如圖①，延長AABC的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA,若ZkACD的面積為Si,

則Sl=(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖②，延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接

DE,若ADEC的面積為S2,則S2=(用含a的代數(shù)式表示)，請說明理由；

(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,FE,得到△DEF,若

陰影部分的面積為S3,則S3=(用含a的代數(shù)式表示).

【類型】三、三角形的角平分線

題型1：三角形角平分線定,義的直接應(yīng)用

10.(1)如圖，在AABC中，D,E,F是邊BC上的三點，且N1=N2=/3=N4,以AE

為角平分線的三角形有;

(2)如圖，若已知AE平分/BAC,且N1=N2=N4.=15。，計算N3的度數(shù)，并說明AE是

△DAF的角平分線.

題型2：三角形的角平分線與高線相結(jié)合求角的度數(shù)

11.如圖，在AABC中，AD是高，AE是NBAC的平分線，NB=20。，ZC=60o,求NDAE

的度數(shù)?

A

題型3：求三角形兩內(nèi)角平分線的交角度數(shù)

12.如圖，在AABC中，BE,CD分別為其角平分線且交于點0.

(1)當(dāng)∕A=60。時，求NBoC的度數(shù)；

(2)當(dāng)NA=IOo。時，求NBOC的度數(shù)；

(3)當(dāng)NA=α。時，求NBOC的度數(shù).

參考答案

1.AB；DC.

2.解：如圖.

3.解：⑴SAABC=DBC?AD=y4x4=8.

因為SΔABC=∣AC?BE=∣×5×BE=8,

所以BE=號

(2)AD:BE=4:^y=∣.

4.解：連接AD,因為SAABC=SAABD+SAADC,所以^AC?BG=3AB?DE+}AC?DF.

又因為AB=AC,所,以BG=DE+DF.

點撥：”等面積法”是數(shù)學(xué)中很重要的方法，而在涉及垂宜的線段的關(guān)系時，常將線段的關(guān)系

轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來解決.

5.A

6.A點撥：因為△AEC的周長為24,所以AE+CE+AC=?24.又因為BE=CE,所以AE

+BE+AC=AB+AC=24.又因為ED為4EBC的中線，所以BC=2BD=2x8=16.所以

ΔABC的周長為AB+AC+BC=24+16=40.

7.解：設(shè)AD=CD=XC巾，貝IJAB=2xcm,BC=(21—4x)cτn.?

依題意，有八8+人口=15。加或人13+人口=6。"，則有2x+x=15或2x+x=6,

解得x=5或X—2.

當(dāng)x=5時，三邊長為IOcm,10cm,1cm；

當(dāng)x=2時，三邊長為4cn?,4cm,13cm,而4+4<13,故不成立.

所以這個等腰三角形的三邊長為IOa“，IOa”，lew.

8.4點撥：：AG：GD=2：1,；.AG：AD=2：3,

?■S?ABG-]SAABD-

又?SAABD-^,SAABC，

,

??SΔBGF=ISAABG=RAABC=4X12.=2.

同理SACGE=2,...圖中陰影部分的面積為4.

9.解：(?)a

⑵2a

理由：連接AD,因為SAABC=SAACD=SAAED=a,所以SADEC=2a.

⑶6a

10.解：⑴△ABC和^ADF

(2)因為AE平分NBAC,所以NBAE=NCAE.又因為Nl=N2=15。，所以NBAE=NI+

N2=15°+15°=30°.所以NCAE=NBAE=30°,即NCAE=/4+/3=30°.又因為/4=15°,

所以/3=15。.所以/2=/3=15。.所以AE是^DAF的角平分線.

11.解：在AABC中，ZB=20o,ZC=60°,所以/BAC=180。一/B-NC=I80。-20°

一60。=100。.又因為AE是NBAC的平分線，所以NBAE=；/BAC=；XlO0。=50。.在^ABD

中，NB+∕BAD+/BDA=I80°.又因為AD是高，所以/BDA=90。，所以NBAD=I80。

-ZB-NBDA=180°—20°—90°=70°.所以NDAE=/BAD—NBAE=70°-50°=20°.

點撥：靈活運用三角形內(nèi)角和為180。，結(jié)合三角形的高及角平分線是求有關(guān)角的度數(shù)的常

用方法.

12.解：(D因為NA=60。,

所以NABC+/ACB=120°.

因為BE,CD為AABC的角平分線，

所以NEBC+NDCB=60。，

所以/BOC=180°—(NEBC+NDCB)=180°—60°=120°.

(2)因為NA=IO0。，

所以NABC+NACB=8(Γ.

因為BE,CD為△ABC的角平分線，

所以NEBC+∕DCB=40°,所以NBe)C=I80°一(NEBC+NDCB)=180°—40°=140

(3)因為NA=a。，

所以∕ABC+NACB=180°-a°.

因為BE,CD為△ABC的角平分線，

所以/EBC+NDCB=9(r-；a。，

所以NBoC=I80°—(NEBC+NDCB)=180°—(90°a°)=90o+∣ao.

點撥：第(1)問很容易解決，第(2)問是對前一問的一個變式，第(3)問就是類比前面解決問題

的方法用含a的代數(shù)式表示.

技巧3：三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型

【類型】一、直接計算角度

1.如圖，在AABC中，ZA=60o,NB=40。，點D,E分別在BC,AC的延長線上，則NI

2.在AABC中，三個內(nèi)角NA,ZB,NC滿足NB—NA=NC—NB,則NB=.

【類型】二、三角尺或直尺中求角度

3.把一個直尺與一塊三角尺按如圖所示的方式放置，若/1=40。，則N2的度數(shù)為()

A.125oB.120oC.140oD.130°

4.一副三角尺ABC和DEF如圖放置(其中NA=60。，ZF=45o),使點E落在AC邊上,

且ED〃BC,則/CEF的度數(shù)為.

5.一副三角尺如圖所示擺放，以AC為一邊，在△ABC外作NCAF=/DCE,邊AF交DC

的延長線于點F,求NF的度數(shù).

【類型】三'與平行線的性質(zhì)綜合求角度

6.如圖，AB√CD,NABE=60。，ZD=50o,求NE的度數(shù).

【類型】四、與截角和折疊綜合求角度

7.如圖，在AABC中，ZC=70°,若沿圖中虛線截去NC,則/1+N2等于()

A.360oB.250oC.180oD.140°

8.AABC是一.個三角形的紙片，點D,E分別是AABC邊AB,AC上的兩點.

(1)如圖①，如果沿直線DE折疊，則NBDA，與/A的關(guān)系是；

(2)如果折成圖②的形狀，猜想/BDAT/CEA，和/A的關(guān)系，并說明理由;

(3)如果折成圖③的形狀，猜想NBDATNCEA，和/A的關(guān)系，并說明理由.

參考答案

1.80o2.60o3.D4.15°

5.解：因為/BCA=90。，NDCE=30。，

所以/ACF=180o-ZBCA-ZDCE=180°-90°-30°=60°.

,因為NCAF=ZDCE=30°,

所以/F=180o-ZCAF-/ACF=180°—30°—60°=90°.

6.解：因為AB〃CD,

所以/CFE=NABE=60。.

因為ND=50。，

所以NE=NCFE-ND.=60°—50°=10°.

7.B

8.解：⑴∕BDA'=2NA

(2)ZBDAz+ZCEA,=2ZA,

理由：?；在西邊形ADA，E中，

ZA.+ZAz+ZADA'+ZA,EA=360o,

，ZA+NA'=360°.一NA.DA'-ZA,EA.

；NBDA'.+NADA'=180°,NCEA'+NA'EA=180°,

二NBDA'+∕CEA'=360°-NADA'-ZA,EA,

.*.ZBDA1+ZCEA,=ZA+ZA,.

V?A,DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

ΛZA=ZA',ΛZBDA,+ZCEA,=2ZA.

(3)ZBDA,-ZCEA'=2ZA.

理由：設(shè)DA咬AC于點F,

,.?ZBDA1=ZA+NDFA,ZDFA=ZA,+ZCEA',

.?.ZBDA,=ZA+ZA,+ZCEA,,

.,.ZBDA,-ZCEA,=ZA+ZA,.

V?A,DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

.?.NA=NAt

ZB?DA,-ZCEA,=2ZA.

【題型講解】

【題型】一、三角形的分類

例1、已知AABC中NA:N5:NC=3:4:7,則AABC一定是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】B

【分析】

根據(jù)三個內(nèi)角的比，利用三角形內(nèi)角和定理可求出最大的角的度數(shù)，即可得答案.

【詳解】

VZA：ZB：∕C=3:4：7,

,△ABC中最大的角為NC,

VZA+ZB+ZC=180o,

7

ΛZC=180o×-=90°,

14

...△ABC一定是直角三角形，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和為180。是解題的關(guān)鍵.

【題型】二、構(gòu)成三角形三邊的條件

例2、三角形的兩邊長分別為女m和6cm,則第三邊長可能為（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】C

【提示】根據(jù)一角形的三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】6-3=3＜第三邊長＜6+3=9,只有6cm滿足題意,故選C.

【題型】三、確定三角形第=邊的取值范圍

例3、如圖，ABC。的對角線AC,BO交于點。，若4C=6,BD=8,則48的長

可能是（）

A.10B.8C.7D.6

【答案】D

【提示】先根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到OA、OB的長度，再根據(jù)三角形三邊關(guān)

系得到AB的取值范圍，即可求解.

【詳解】解：；四邊形ABCD是平行四邊形,

???OA」AC=3,BO」BD=4,

22

?ΔAOB中,

4-3<AB<4+3

Λl<AB<7,

結(jié)合選項可得，AB的長度可能是6,

故答案為：D.

【題型】四、與三角形高有關(guān)的相關(guān)計算問題

例4、如圖,在ΔA8C中，NACB=90°，過點C作CD,AB于點D,已知AC=I2,AB=I3,

則Co的長是（）

6065

A.5B.—C.6D.——

1312

【答案】B

【提示】先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，然后利用等面積法即可求出CD的長度.

【詳解】解：在ΔABC中，NAc6=90°，AC=I2，AB=I3，

*'?BC=JAB2-3=5,

???SBC=-ACBC=-ABCD,

AABC22

.c、ACBC60

AB13

故選:B.

【題型】五、與三角形重心有關(guān)的計算

例5、如圖，在AABC中，AD,BE分別是BC,AC邊上的中線，且ADJ_BE,垂足為點F,

設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

【答案】A

【詳解】設(shè)EF=x,DF=y,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股

定理得至IJ4χ2+4y2=c2,4χ2+y2=Jb2,χ2+4y2=Ja2,然后利用加減消元法消去x、y得至l]a、

44

b、C的關(guān)系.

【解答】解：設(shè)EF=x,DF=y,

VAD,BE分別是BC,AC邊上的中線，

???點F為AABC的重心，AF=*AC=*b,BD=*a,

.?.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD±BE,ΛZAFB=ZAFE=ZBFD=90o,

在Rt?AFB中，4x2+4y2=c2,①

在RSAEF中，4x2+y2=^b2,②

4

在RtABFD中，χ2+4y2=2a2,③

4

②+③得5χ2+5y2=工(a2+b2),Λ4x2+4y2=^(a2+b2),④

45

①-④得C?-工(a2+b2)=0,即a?+b2=5c2.

5

故選：A.

【題型】六、與三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)的計算

例6、如圖所示，直線EFIlGH,射線AC分別交直線EEG”于點2和點C,ADLEF于

點。，如果NA=20。，貝IJNACG=()

【答案】B

【提示】利用三角形的內(nèi)角和定理，由AOLEF,∕A=20。可得NABQ=70。，由平行線的

性質(zhì)定理可得NAC”，易得/4CG.

【詳解】解：?.?AQLEF,ZA=20o,

ZABD=180o-ZA-ZABD=180°-20°-90°=70°,

,JEF//GH,

：.AACH=ΛABD=IQa,

：.NACG=I80°-ZACW=180°-70°=110°,

故選：B.

【題型】七、利用直角三角形兩個銳角互余進(jìn)行相關(guān)計算

例7、如圖，在四邊形ABCD中，CDZ/AB,AClBC,若NB=50。，則/DCA等于()

【答案】C

【詳解】由AC,BC可得NACB=90。，又/B=50。，根據(jù)直角三角形兩個銳角互余可得

/CAB=40。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDCA=/CAB=40。.

【解答】解：VAC±BC,ΛZACB=90o,

又?.?∕B=50°,ΛZCAB=90°-ZB=40o,

VCD/7AB,ΛZDCA=ZCAB=40o.

故選：C.

【題型】八、利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計算

例8、如圖，己知AB//CQ,直線AC和8。相交于點瓦若/ABE=70。,NACD=40。,

則NAEB等于（）

A.50oB.60oC.70oD.80°

【答案】C

【提示】

先根據(jù)A5∕/CD得到NCz）E=NABE=70。，再運用三角形內(nèi)角和定理求出NA￡8的度

數(shù)即可.

【詳解】

：AB//CD,

.??NCDE=ZABE,

ZABE=70°,

：.ZCDE=脩

,.?NCD+/CDE+NDEC=180°,且ZACD=40°,

；?ZDEC=180o-AECD-ΛCDE=180°-70°-40°=70°，

故選：C.

三角形基礎(chǔ)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖，在aABC中，。為BC的延長線上一點，若N8=70。，Zl=IIOo,則NA=（）

A.35°B.40°C.55°D.70°

【答案】B

【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：；/8=70。，Zl=IlOo,Nl是AABC的外角,

ZΛ=Zl-ZB=40o,

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)并靈活運用.

2.如圖，已知直線AE〃B。，且/C=15。，Zl=IlOo,則/2的度數(shù)是（）

A.45oB.55°C.65oD.75°

【答案】B

【分析】根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“、"三角形內(nèi)角和“求解：

【詳解】

解：AE//BD,

；.N2=ZAEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

在△月EC中，ZAEC=I80°-NC-Nl=55°,

,Z2=55o,

故選：B.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和定理是解題

關(guān)鍵.

3.數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在作ABC中AC邊上的高時，共畫出下列四種圖形，其中正確的是

（）.

B.B

【答案】A

【分析】滿足兩個條件：①經(jīng)過點8；②垂直AC,由此即可判斷.

【詳解】解：根據(jù)垂線段的定義可知，A選項中線段8E,是點B作線段AC所在直線的垂

線段，

故選：A.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，垂線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考?？碱}型.

4.某班級計劃在耕讀園里搭三角形圍欄，可以選擇三種長度的木條組合是（）

A.3、4、8B.4、4、8C.3、5、6D.5、6、11

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，針對每一個選項進(jìn)行計

算，可選出答案.

【詳解】解：A、3+4<7,不能組成三角形，故此選項不符合題意：

B、4+4=8,不能組成三角形，故此選項不符合題意；

C、3+5>6,能組成三角形，故此選項符合題意；

D、5+6=11,不能組成三角形，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成

三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度

即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

5.如圖，人字梯中間設(shè)計一“拉桿”，在使用梯子時，固定拉桿會增加安全性.這樣做蘊含

的數(shù)學(xué)道理是（）

A.三角形具有穩(wěn)定性B.兩點之間線段最短

C.經(jīng)過兩點有且只有一條直線D.垂線段最短

【答案】A

【分析】人字梯中間設(shè)計一“拉桿”后變成一個三角形，穩(wěn)定性提高.

【詳解】三角形的穩(wěn)定性如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了,

三角形的這個特征，叫做三角形的穩(wěn)定性.

故選A

【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，理解這一點是本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，點8、C、。在同一直線上，AB//CE,若/A=55。，ZACB=65o,則/1為一°.

【答案】60

【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/8的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

【詳解】解：ZA=55o,ZACB=65°,

.?.Z5=180°-55°-65°=60°,

AB//CE,

：.NI=N8=60。.

故答案為：60.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同位角相等''是解題的關(guān)鍵.

7.如圖,在RlABC中，NC=90。，點E、尸分別是邊AB、AC上,且AF=EA若NCFE'=72。,

則NB=°.

【答案】540

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及外角知識求出NA的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中兩銳角互

補可求答案.

【詳解】解：AF=EF

.-.ZA=ZAEF

NCFE是AAFE的一個外角

.?.ZCFE=ZA+ZAEF=72°

,-.ZA=36°

在RJABC中，ZC=90°

.-.ZB=54°

故答案為：54°.

【點睛】本題主要考查了度數(shù)的求解，涉及到等腰三角形性質(zhì)、外角知識以及直角三角形兩

銳角互補，熟知相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題

8.如圖，在四邊形ABCo中，AB//CD,ZfiCO=130o,BE平分/ABC交AD干點E,

⑴求NABE的大小：

(2)若NArQ=48。，求/DE尸的大小.

【答案】⑴25。

(2)23°

【分析】(1)先由平行線的性質(zhì)求出乙4BC=180。-NBC￡>=180。-130。=50。，再根據(jù)解平分線

的定義求解即可；N8A/)=180。-NAoC=I80。-48。=132。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

(2)先由平行線的性質(zhì)求出NAEB=180。-NBAD-NA8E=23。，最后由對頂角性質(zhì)得解.

(1)

解：VAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=?S0o,

：.NABC=180o-ZBCD=180o-130°=50°,

,.?5E平分/ABC

ZABE=?/ABC=L50°=25。；

22

(2)

解：VAB//CDf

.'.ZBAD+ZADC=180o,

ZBAD=180o-ZADC=180o-48°=132o,

,.βZBAD+ZΛβE+ZAEB=180o,

又由（1）知：NABE=25。，

ZAEB=180o-ZBAD-ZABE=180o-132o-25o=23o,

/.NDEF=NAEB=23。.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，對頂角性質(zhì)，熟練掌

握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三角形基礎(chǔ)（提升測評）

一、單選題

1.如圖，點C,。在直線AB上，OClOD,若NACO=I20,則NB。。的大小為（）

A.120B.140C.150D.160°

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直的定義及三角形外角的性質(zhì)求解即可得出結(jié)果

【詳解】解：；OC_LO。，

.?.NO=90°,

?.'ZACO=ZO+ZODC=UOo,

：.NOOC=30。，

ΛZBDO=150o,

故選：C.

【點睛】題目主要考查垂直的定義及三角形外角的性質(zhì)、鄰補角的計算等，結(jié)合圖形，找出

各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.一把直尺和一塊三角板ABC（含45。角）如圖所示擺放，直尺一邊與三角板的兩直角邊

分別交于點。和點E,另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點尸和點A,NCEZ）=25。,則NBal

的大小為（）

IlO0C.1150D.1250

【答案】C

【分析】先利用三角形外角性質(zhì)得到NFDE=∕C+NCED=115。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到/8布的度數(shù).

【詳解】解：ZFDE=ZC+ZCED=90°+25°=115%

'：DE//AF,

：.ZBFA=ZFDE=W5°.

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，BE是ABC的中線，ADJ.BC交BE于點F,且BD=AE,ZEAD50o,P∣∣JZEBC

的度數(shù)為（）

C.20°D.15°

【答案】C

【分析】連接DE，利用直角三角形中線性質(zhì)，可得AE=DE=CE=BD,再利用等邊對等角

性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：連接。E,如圖所示，

BE是OABC的中線，

，點E是AC的中點，

；.DE是ADC的中線，

又ADJ.BC,

.?..ADC是直角三角形，ZADC=ZADB=90°,

AE=CE=DE，

又BD=AE,,

AE=DE=BD?

.?.NEBC=NBED,力EAD=乙EDA,

ZEW=50°,

.?.ZEAD=ZEDA=50°,

.?.ZBDE=ZADB+ZEDA=140°,

.?.NEBC=180°二/'"E=20°,

2

故選C.

【點睛】本題考查了直角三角形中線性質(zhì)、等邊對等角性質(zhì)，靈活運用輔助線，根據(jù)直角三

角形中線性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形，利用等邊對等角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在；AfiC中，8。為AC邊上的中線，已知BC=8,AB=5,ABCO的周長為20,

則AABO的周長為()

C.25D.28

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得ΛD=8,進(jìn)而根據(jù)三角形周長可得%>+AD=12,

進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：；在二ABC中，8。為AC邊上的中線，

.,.AD^CD,

BC=8,AB=5,ABCD的周長為20,

.?.8f>+AD=20-8=12,

ZXABD的周長為AB+8r>+AT>=5+12=17.

故選A

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，RAABC中，ZC=90o,8。平分/ABC交AC于點。，點E為AB的中點，若A8

=12,CQ=3,則ACBE的面積為()

D

AN------------?------------------AB

E毋

A.10B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】如圖：過。作力F?1A8于尺然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OF=辦3,然后再根據(jù)

中點的定義求得B