2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）第五章 三角函數(shù)知識總結(jié)

第五章三角函數(shù)

一、思維導(dǎo)圖

升￥公式-l+cosa=2cos2y,l-cosa=2sin2y

222cosa

-簡螂三角恒較換一降可公式-cosa=-r(l+cos2a),sina=4-(1-cos2a),tana=^~^

zz1+cos2a

___ab

螂般式-asinx+kosx=Vo2+62sin(x+g)),其中cos曠后＞sin曠

-相關(guān)極念"兄翻,般T-＞頻率/=；,?為初枇。內(nèi)p是相位

圖兔卜一用五點法面函教尸Asin（砒+@）的圖象

圖象麹:翻麹、周期變機(jī)平移變換

的數(shù)尸4疝（雨+?）由部分圖赫做解析式

的圖軸性質(zhì)

L定義域為R,值域為因川

（其中4＞。,缶＞0）

奇倡性：▼山時為奇魏1P山+白寸為蛔乳其中k￡Z

L

性質(zhì)_

螂性:有單調(diào)遞翻1單調(diào)遞減區(qū)間

kn+寺-中

-對稱性:對稱中心為爭:，對稱軸為廣J，其中口

L三角函數(shù)模娜簡單應(yīng)用（秘流史第物理'抗箱方面的實稼就）

二、知識記誦

要點一：終邊相同的角

1.終邊相同的角

凡是與a終邊相同的角，都可以表示成％?360°+a的形式.

要點詮釋：

(1)終邊相同的前提是：原點，始邊均相同；

(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；

(3)終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360。的整數(shù)倍.

特例：

終邊在x軸上的角集合ZcZ},

終邊在y軸上的角集合{c|c=%?18()°+90°,k&Z],

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合{a|a=H90。，keZ}.

在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.

2.弧度和角度的換算

⑴角度制與弧度制的互化：萬弧度=180°,1°=々弧度，1弧度=(竺5=5718'

180n

(2)弧長公式：/=|a|r(a是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：S=-lr=-\a\r2.

22

要點詮釋：

(1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-為-2萬等等，一般地，正角的弧度數(shù)是

一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.

(2)角a的弧度數(shù)的絕對值是：|a|=‘，其中，/是圓心角所對的弧長，/"是半徑.

r

要點二：任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系

式、誘導(dǎo)公式：

1.三角函數(shù)定義：

角a終邊上任意一點P為(x,y),設(shè)|OP|=r則：

.VXV

sina=—,cosa=—,tana=—

rrx

要點詮釋：

三角函數(shù)的值與點p在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離

r-Jx2+y2,那么sina=,'.,cosa-■,X=,tana=—.

x

2.三角函數(shù)符號規(guī)律：

一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；

++-+-+

-

—-+4--

sinacosatana

要點詮釋：

口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四

象限余弦值為正.

3.特殊角的三角函數(shù)值

717171713〃

a0712萬

~47T

]_V2

sina0旦i0-i0

2~2~2

V2￡

cosa1旦0-101

T2

V3

tana01V3不存在0不存在0

V

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

.2,sine

sir2ra+cosa=l;----=tana

cosa

要點詮釋：

(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系

式都成立；

⑵sin2a是(sinaf的簡寫；

(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“土”的選取.

5.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)：

sin(乃一a)=sina,cos(TT—a)=-cosa,tan(TT—a)=-tana

sin(萬+c)=-sina,cos(%+a)=-cosa,tan(乃+a)=tana

sin(—a)=一sinQ,cos(一a)=cosa,tan(—a)=一tana

sin(27r—a)二一sina,cos(2?—a)=cosa,tan(2^—a)=-tana

sin(2Z；r+a)=sinQ,cos(Tkjl+a)=cosa,tan(2k/r-b6Z)=tan6Z,(kGZ)

sin(---a)=cosa,cos(----a)=sina

22

,乃、,兀、

sin(——\-a)=coscr,cos(——\-a)=~sir\a

22

要點詮釋：

(1)要化的角的形式為h90°土a(左為常整數(shù));

(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”;

(3)必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；

(4)sin"￡|=8s1r卜心一0E嗚卜陪r

要點三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.三角函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象與性質(zhì)：

y=sinxy=cosx

定

義(-8,+oo)(-OO,+oo)

域

值

E-1,1][-1,1]

域

奇

偶奇函數(shù)偶函數(shù)

性

增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間

單

_..3冗、

調(diào)[2k7T-y,2&萬+y],\r2lc7iH—,2k71H-----],[2br-萬,2人4][2上4,2左乃+乃]

22

性k&Zk&Z

keZkeZ

周

期最小正周期T=2乃最小正周期T=2萬

性

7T

當(dāng)x=2匕7-萬(后eZ)時，y=-1當(dāng)X=2氏萬+兀*GZ)時，Nmin=T

最min

值TT

1

當(dāng)X=2k兀+5(左GZ)時，乂^=當(dāng)x=2k/(keZ)時，ymax=1

對對稱軸對稱中心對稱中心

對稱軸

稱TT77

元=%7+,(4￡Z)(kmO)(keZ)x-k兀(k￡Z)*兀T——,0)(左eZ)

性2

y=cosx的圖象是由y=sinx的圖象左移工得到的

2

2.三角函數(shù)丁=1211”的圖象與性質(zhì)：

y=tanx

定義域x手k兀+4-,keZ

2

值域R

奇偶性奇函數(shù)

jrTT

單調(diào)性增區(qū)間(k兀----,4萬+—),kwZ

22

周期性T-71

最值無最大值和最小值

對稱中心(包,0)(%eZ)

對稱性

2

要點四：函數(shù)y=Asin(0x+e)的圖象與性質(zhì)

1.“五點法”作簡圖

兀3

用“五點法"作y=AsinQyx+0)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=5+。，由z取0,^■，乃5萬,2乃

來求出相應(yīng)的x,通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象.

要點詮釋：

用“五點法”作yuAsinGyx+e)圖的關(guān)鍵是點的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為

4

2.y=Asin(<ox+0)的性質(zhì)

(1)三角函數(shù)的值域問題

三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題，常用方法有：化為代數(shù)函數(shù)

的值域或化為關(guān)于sinx(cosx)的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值

域.

(2)三角函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)y=Asin(&r+°)(A>0,?y>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把如+p看作一個整體，比如：

nIT

由2k兀一3&cox+(P￡2k兀+：(k0Z)解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由

TT34

2k7r+-<a)x+(p<2k7r+—(&eZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；

22

要點詮釋：

(1)注意復(fù)合函數(shù)的解題思想；

(2)比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函

數(shù)值，再利用單調(diào)性比較.

3.確定y=AsinGox+夕)的解析式的步驟

①首先確定振幅和周期，從而得到A

②確定。值時，往往以尋找“五點法”中第一個零點(-9,0)作為突破口，要注意從圖象的升降情況找

(D

準(zhǔn)第一個零點的位置，同時要利用好最值點.

要點五：正弦型函數(shù)y=Asin(0x+。)的圖象變換方法

先平移后伸縮

向左(。>0)或向右(夕<0)、

y=sinx的圖象平移帆|個單位長度)

橫坐標(biāo)伸長(0<0<1)或縮短(。>1)、

y=sin(x+0)的圖象到原來的!(縱坐標(biāo)不變)，

CO

縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A〈l)、

y=sin(mx+Q)的圖象為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)

向上(4>0)或向下(4<0)

y=Asin(69x+0)的圖象平移網(wǎng)個單位長度)y=Asin(x+。)+%的圖象.

先伸縮后平移

縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<l)、

y=sinx的圖象為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)>

橫坐標(biāo)伸長或縮短(。>1),

y=Asinx的圖象到原來的!(縱坐標(biāo)不變)

CD

向左(一>0)或向右(0<0)>

y=Asin(tux)的圖象平移g個單位，

CD

向上(k>0)或向下(k<0)

y=Asin(s+。)的圖象平移1個單位長度,y=AsinOx+⑼+%的圖象.

要點六：兩角和、差的正、余弦、正切公式

sin(a±4)=sinacos13±cosasin/?；

cos(a±/?)=cosacos/?msinasinp；

tan(a土0='ana±tanJ

1mtanatan0

要點詮釋：

1.公式的適用條件(定義域)：公式①、②對任意實數(shù)a,B都成立，這表明①、②是R上的恒等式；

公式③中a,4eR,且a、6、a土/r5+k乃(keZ)

2.正向用公式①、②，能把和差角(C土尸)的弦函數(shù)表示成單角a,B的弦函數(shù)；反向用，能把右邊

結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開式化簡為和差角(a±，)的弦函數(shù).公式③正向用是用單角的正切值表示和差角(?！馈?的

正切值化簡.

要點七：二倍角公式

1.在兩角和的三角函數(shù)公式Sa+p,Ca+夕，〃+夕中，當(dāng)時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式

sCT.

sin2a=2sinacosa；

cos2z=cos2a—sin2a-2cos2?-1=l-2sin2a；

「2tana

tan2a=-------；-.

1-tana

要點詮釋：

1.在公式S2a，C2a中，角a沒有限制，但公式。中，只有當(dāng)。H￡+獲和。/+而■(kCZ)時

才成立；

2.余弦的二倍角公式有三種：cosla-cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a；解題對應(yīng)

根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升累和擴(kuò)角降事的作用.

zyzy

3.二倍角公式不僅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，上是上的二倍，3a是二

242

的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個角相對二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運用這些

公式的關(guān)鍵.

要點八：二倍角公式的推論

升某公式：1+cos2a=2cos?a,l-cos2tz=2sin2a

降幕公式：sincrcosa=—sin2a；

2

.l-cos2a

sin2-a=--------；

2

21+cos2a

cosa=--------.

2

要點九：三角恒等變換的基本題型

三角式的化簡、求值、證明是三角恒等變換的基本題型：

1.三角函數(shù)式的化簡

(1)常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角

公式的逆用等.(2)化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④

盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

2.三角函數(shù)的求值類型有三類

(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去

非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，

如a=+%=(。+尸)+(々一尸)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍

的討論；

(3)給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)

的單調(diào)性求得角.

3.三角等式的證明

(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等

方法，使等式兩端化“異”為“同”；

(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法

或分析法進(jìn)行證明.

三、能力培養(yǎng)

類型一：三角函數(shù)的概念

例1.已知角a的終邊過點(a,2a)(aH0),求a的三個三角函數(shù)值.

【思路點撥】分。>0,。<0兩種情況求a的三個三角函數(shù)值.

【解析】因為過點(a,2a)(a￥0),所以r=JF|a|,x=a,y=2a.

業(yè)nu-p.>2。2a2V5

Ia>OHj，sinoc——=—『=—『—=----；

ryj5\a\yj5a5

XayJ3c

cosa=—=-=-=——，tana=2.

ryj5a5

上，3+.y2〃2。275xa6.n

iQ<OErj,sina=-="產(chǎn)----=—『-=-------，cosa=———k—------；tana=2.

rJ51al75a5r-J5a5

【總結(jié)升華】(1)當(dāng)角a的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)

進(jìn)行分類討論；

(2)若角a己經(jīng)給定，不論點選在a的終邊上的什么位置，角a的三角函數(shù)值都是確定的；另一方面，

如果角a終邊上點坐標(biāo)已經(jīng)確定，那么根據(jù)三角函數(shù)定義，角a的三角函數(shù)值也是確定的.

類型二：扇形的弧長與面積的計算

例2.已知一半徑為r的扇形，它的周長等于所在圓的周長的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合

多少度？扇形的面積是多少？

【答案】乃一265.44°左一2)/

2

【解析】設(shè)扇形的圓心角是加d,因為扇形的弧長是所以扇形的周長是2r+〃夕

依題意，得2〃+制9=萬八

.\0=^7V-i)rad

(1on\

(乃一2)x—?1.142x57.30°^65.44°,

112

：.S=—r20=—(7T-2)r.

22

【總結(jié)升華】弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式C=2"?r和圓面積公式S=&,2〃,/,當(dāng)用

圓心角的弧度數(shù)a代替2兀時，即得到一般的弧長公式和扇形面積公式：/=悶?匕§=鼻/r=鼻悶/?

類型三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

已知0也4+€：0$24=2，24￡(0,%)，，求tanA的值.

例3.

123

【思路點撥】由題意知，sinAcosA=——,A￡(0,稻，所以A為鈍角，然后求出cosa=——即可求得.

255

【解析】

方法一：由sinA+cosA=(,得(sinA+8SA)2=\,

1.sinAcosA=一5,A￡(0,%),

7C

/.—<A<sinA>0,cosA<0,sinA-cosA>0.

2

又(sinA-COSA)2=1-2sinAcosA=sinA-cosA=.

一A1?.4

smA+cosA=—s\nA=—

由，5得5

447,43”

smA-cosA=—cosA=——

55

??2」.

3

2

方法二：由$11124+以)524=,可得852A=|-sinA

55

即l-sin2A=(g-sinA),整理得25sin2A_5sinA_12=0,

即（5sinA—4）（5sinA+3）=0,

433

「.sinA=—或sinA=-二，由已知0<Av乃知IsinA二一2■不合題意，舍去.

555

sinA+cosA=—1,兩邊平方得：sinAcosA=---1--2-,AE（0,乃），「.AE（工，％）,所以cosA二一二3

52525

44

tanA=—.

3

【總結(jié)升華】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形

提供了工具與方法

類型四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

,.c?八14cos（乃+。）cos（。一2九）八/七

例rl4.已知sin（3兀+。）=一，求-----!=；4——=7+——7h'------------------------77；--------\的值?

3cos6「cos（萬一。）一1].G（0\

L'fJsm0------cos（e-〃）-sm——+8

\2J\2?

【思路點撥】利用誘導(dǎo)公式，求出sine=-L.然后化簡要求的式子，即可求得結(jié)果.

3

【答案】18

【解析】Vsin（37t+0）=—sin6=—,sin6———,

33

-cosff+COS(2TT-0)

...原式=

cos^(-cos^-l).，3萬八)/八、八

\)-sinI--6^Icos(^-3)+cos0

icose

----------------1----------2----------------

1+cos。-cos6+cos。

1+cos01-cos^1-cos0

【總結(jié)升華】誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”,

TT

“變”與“不變”是相對于對偶關(guān)系的函數(shù)而言的，Sina與cosa對偶,“奇”、“偶”是對誘導(dǎo)公式中h—+a

2

的整數(shù)k來講的，象限指h互+a中，將a看作銳角時，上工+a所在象限，如將cos1包寫成

22<2）

3乃

cos3.^+a,因為3是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷ε己瘮?shù)符號“sin”，又已上+a看作第四象限角,

2

cos（予+a）為所以有cos（當(dāng)+a）=sina.

類型五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例5.函數(shù)y=lncosx（-■）的圖象是（）

【解析】y=lncosx（-1cxv］）是偶函數(shù),可排除B、D,由cosx的值域可以確定.因此本題應(yīng)選

A.

例6.把函數(shù)尸cos2Kl的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位

長度,再向下平移1個單位長度,得到的圖像是（)

【思路點撥】首先根據(jù)函數(shù)圖象變換的公式，可得最終得到的圖象對應(yīng)的解析式為：y=cos(x+1),然

后將曲線丫=。。$(x+1)的圖象和余弦曲線y=cosx進(jìn)行對照，可得正確答案.

【答案】A

【解析】將函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的圖象對

應(yīng)的解析式為：y=cosx+l,再將y=cosx+l圖象向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到

的圖象對應(yīng)的解析式為：y=cos(x+1),；曲線y=cos(x+1)由余弦曲線y=cosx左移一個單位而得，，曲

線y=cos(x+1)經(jīng)過點(萬—1,。)和［-5—1,。),FL在區(qū)間(萬"-l,-/—1)上函數(shù)值小于0,由此可得，選

項A正確，故選A.

7T

例7.已知函數(shù)/'(x)=sin(〃猶+Q),其中G>0,Ie|<萬

jr3乃

(I)若cos—cos。一sin——sin夕=0,求夕的值；

44

TT

(II)在(I)的條件下，若函數(shù)/(X)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于求函數(shù)/(X)的解析

式；并求最小正實數(shù)"？，使得函數(shù)/(X)的圖像象左平移，"個單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).

【思路點撥】(1)把所給的式子化簡，然后結(jié)合平方關(guān)系式得出tan。，由。>0,|°|<3

2

,求出°的值.(II)由題意求得，T=丁,故。=3,進(jìn)一步求出f(x)的解析式.

【答案】(I)((ID/(x)=sin(3x+?)展

【解析】

I篤(37r.八，日J(rèn)2\/2.,、/日.

(I)illcos-cos^9-sin—sin^9=0,得^-cos夕———sin^=0,得tan°=l

,??冗兀

TT

(II)由(I)得，/(x)=sin(<yx+—)

4

依題意，

23

2乃7T

又T=—，故0=3,；./(x)=sin(3xd——)

co4

函數(shù)/(x)的圖像向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為

.71

g(x)-sin3(x+m)+—

4

TTTT

g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3機(jī)+,+

11.,k兀、71..

tiptn-......1----(keZ)

312

從而，最小正實數(shù)旭=上TT

12

【總結(jié)升華】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及函數(shù)丁=4411(的+0)的性質(zhì)，屬中等難度

題.

類型六：正用公式

21

例8.已知：sina=§,cosp=-z，求cos(a—尸)的值.

【思路點撥】因為不知道角。，力所在的象限，所以要對外月分別討論求cos(a-/?)的值.

【解析】由已知可求得cosa=土Jl-sin?a=±^-,sinB=±Jl-cos2B=±15.

34

當(dāng)a在第?象限而月在第二象限時，

,小°.7512V152V15-V5

cos(a-p)=cosacosp+sinasmpo=丁(-=-----------

當(dāng)a在第一象限而夕在第三象限時，

/小45.1.2.V15.2V15+V5

cos(a-￡)=-(--)+--(---)=-------------

當(dāng)a在第二象限而￡在第：象限時，

/m/不、/1、2岳2V15+V5

cos(。-￡)=(---)(--)+--工―=...-----

當(dāng)a在第二象限而p在第三象限時，

(〃、/石、/1-2,屈、2厲-逐

cos(a-。)=(-)(--)+j-(一一—)=-----------

【總結(jié)升華】分類的原則是：(1)分類中的每一部分是相互獨立的；(2)一次分類按一個標(biāo)準(zhǔn)；(3)分

類討論要逐級進(jìn)行.掌握分類的方法，領(lǐng)會其實質(zhì)，對于加深基礎(chǔ)知識的理解，提高分析問題、解決問題

的能力是十分重要的.

7T37T77335

例9.已知一<av—乃，()</<—,cos(---a)=—,sin(—〃+/?)=—,求sin(a+/?)的值.

44445413

3TC7T7T3

【思路點撥】注意到(士乃+〃)—(2—￡)=2+(。+，)，應(yīng)把(々—a),(?乃+，)看成整體，可以更

44244

好地使用已知條件.欲求sin(a+/?),只需求出-cosg+a+/?).

【答案】—

65

【解析】：--?<0.sin（——a）—--,

2445

33312

—TT<—1+尸V乃，COS（—71+0）---------.

44413

sin（a+尸）=一cosg+（。+/?）］

=-cos［（|^+^）-（Y-a）］

44

=Tcosp乃+￡）cos（^-a）+sin（—%+￡）sin（工一a）］

4444

123556

二——X-----X

1351365

【總結(jié)升華】

3冗冗

(1)解題中應(yīng)用了(:乃+尸)—(亍-a)=3+(a+尸)式子的變換，體現(xiàn)了靈活解決問題的能力，應(yīng)

著重體會，常見的變換技巧還有/?=(。+尸)-a,2a=(&+月)+(。-6),2尸=(。+尸)-(a-月)，

2a+尸=(a+/7)+a等.

(2)已知某一個(或兩個)角的三角函數(shù)值，求另一個相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從‘'角

的關(guān)系式”入手切入或突破?角的關(guān)系主要有互余(或互補(bǔ))關(guān)系，和差(為特殊角)關(guān)系，倍半關(guān)系等.

對于比較復(fù)雜的問題，則需要兩種關(guān)系的混合運用

類型七：逆用公式

例10.求值：

44

(1)*315.(2)(sin23°cos8"+sin670cos98")(sin7W-cos7"3(X).

1-tan15

【思路點撥】題目中涉及到的角并非特殊角，而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和角公式等先化簡再計算.

(1)利用tan45°=1將1+tan150視為tan450+tan15°，將1一tan150視為1-tan45°tan15°,則式

子恰為兩角和的正切.

【答案】(1)6(2)--

4

【解析】

.h—?tan45+tan15._n,_□,八。rz

(1)原式=-----------------=tan(45°+15°)x=tan60°=J3；

1-tan45°tan15°

(2)原式=[sin23°cos80+sin(90°-23°)cos(900+8°)](sin47"30'—cos’7030,)

=(sin23。cos80-cos23°sin80)(sin2VW+cos27o30r)(sin2TW-cos27"30')

=-sin(23°-8°)(cos2V^-sin27°30,)

=-sin15°cos15°=--sin30°=

24

【總結(jié)升華】

(1)把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和(差)正(余)弦公式，二倍角公式等，即所謂

“逆用公式”.

(2)輔助角公式：asina+bcosa=7?2+b2sin((z+cp),其中角0在公式變形過程中自然確定.

例11.求值：

23

(1)cos36°cos72°；(2)cosK—cos—萬cos二4

777

【思路點撥】問題的特征是角存在倍角關(guān)系，且都是余弦的乘積.方法是分子分母(分母視為1)同乘

以最小角的正弦.

【答案】(1)1/4(2)1/8

【解析】

”sin360cos36°cos7201sin72°cos7201sin14401

(1)原式二一嬴的一_x_____________—__x_______—__

2sin36°~4sin36°-4

/c、3_u冗2,4、冗24

(2)原式二COS—COS—TCOS(T——乃)=-cos—cos—cos—71

777777

TTTT24

sin—cos—cos—71cos—71

二7777

.7t

sin一

7

.224

sin—zrcos—TTCOS一1

777

2sin—

7

.8

sin一萬

7

8sin—

7

2

-8

【總結(jié)升華】此種類型題比較特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一個角是前一個角的2倍；③最大角

的2倍與最小角的和與差是兀.三個條件缺一不可.另外需要注意2的個數(shù).應(yīng)看到掌握了這些方法后可解

決一類問題，若通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個方法.

類型八：變用公式

A5BCCA

例12.在AABC中，求值：tan—tan——Ftan-tan——Ftan-tan一

222222

【答案】1

—.A+BnC.A+B,兀C、C

【解析1-A+3+C="，.?------=------,■*tun......—t<in(------)—cot—

2222222

ABCA+BAB、

=tan-tan一+tan-tan-----(1-tan-tan一)

222222

ABCC45、

tan—tan—Ftan—xcot—(Z1I-tan—tan—)

222222

ABAB

tan—tan—FIA-tan—tan—

2222

=l

例13.化簡：

2cos2a-1

(1)sin5O0(l+x/3tanlO°)；(2)

2tan(-----a)sin(―+a)

44

【思路點撥】

(1)題中首先“化切為弦”,同時用好"50°''和“40°”的互余關(guān)系，注意逆用和角公式化簡；

(2)題初看有