專題9.1向量概念（四個重難點突破）

專題9.1向量概念知識點1向量的概念及表示1.定義:既有大小又有方向的量叫做向量.2.表示:（1）有向線段:具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素:起點、方向、長度.（2）向量的表示：①幾何表示:用有向線段表示,記作向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.②字母表示:書寫時用表示,還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如以為起點,以為終點的向量記作.3.兩個特殊向量:（1）零向量與非零向量:長度為0的向量叫做零向量.印刷時用加粗的阿拉伯?dāng)?shù)字零表示,即0;書寫時,寫為，長度不為0的向量稱為非零向量.（2）單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.知識點2向量間的關(guān)系1.平行向量（共線向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.2.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量與相等,記作.重難點1向量的有關(guān)概念【例1】下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B【例2】下列說法正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則C．若，則D．若，（），則與是平行向量【答案】D【分析】根據(jù)相等向量，共線向量的定義判斷可得；【詳解】解：對于，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，所以錯誤；對于，當(dāng)時，其模長與可能相等或，或，所以錯誤；對于，當(dāng)時，不一定有，因為要且與同向，所以錯誤；對于，，（），則與是平行向量，正確．故選：．【點睛】本題考查了平面向量的基本概念應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．【變式11】下列四個命題正確的是（

）A．兩個單位向量一定相等 B．若與不共線，則與都是非零向量C．共線的單位向量必相等 D．兩個相等的向量起點、方向、長度必須都相同【答案】B【解析】由相等向量、共線向量的概念逐一核對四個選項得答案．【詳解】解：兩個單位向量一定相等錯誤，可能方向不同；若與不共線，則與都是非零向量正確，原因是零向量與任意向量共線；共線的單位向量必相等錯誤，可能是相反向量；兩個相等的向量的起點、方向、長度必須相同錯誤，原因是向量可以平移．故選：B．【點睛】本題考查命題的真假判斷與運用，考查了平行向量、向量相等的概念，屬于基礎(chǔ)題．【變式12】（多選）下列說法中正確的有（

）A．向量的長度與向量的長度相等B．有向線段就是向量，向量就是有向線段C．兩向量的大小與其方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小【答案】AD【分析】利用向量的有關(guān)概念判斷選項.【詳解】向量的長度與向量的長度都等于線段AB的長度，故A選項正確；有向線段是向量的幾何表示，兩個并不相同，故B選項錯誤；向量不能比較大小，故C選項錯誤；向量的模就是有向線段的長度，可以比較大小，故D選項正確.故選：AD【變式13】對下列命題：（1）若向量與同向，且，則；（2）若向量，則與的長度相等且方向相同或相反；（3）對于任意向量，若與的方向相同，則；（4）由于方向不確定，故不與任意向量平行；（5）向量與平行，則向量與方向相同或相反．其中正確的命題的個數(shù)為【答案】1【分析】根據(jù)向量的定義以及相關(guān)概念，對選項進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】（1）向量不可比較大小，故（1）錯誤；（2）向量的模長相等，不能確定方向的關(guān)系，故（2）錯誤；（3）當(dāng)向量模長相等，且方向相同時，則向量相等，故（3）正確；（4）與任意向量平行，故（4）錯誤；（5）若與有一個向量是零向量，則方向不確定，故（5）錯誤.故正確的命題個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查向量的定義、性質(zhì)和相關(guān)概念，屬基礎(chǔ)題.解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.重難點2向量的表示【例3】已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起點是 D．向量的終點是【答案】D【分析】根據(jù)向量的幾何表示逐個選項分析可得答案.【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.故選：D【例4】在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)，點在點的正西方向；(2)，點在點的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)3【分析】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量，（3）根據(jù)向量的模的定義求.【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：（3）

.【變式21】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)題意作圖即可.【詳解】如圖，根據(jù)方位角及長度來確定.【變式22】如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方．(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；(2)求的模．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）根據(jù)行走方向和單位長度即可確定各點在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；（2）由題意可知，四邊形是平行四邊形，則可求得的模.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，B點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，又因為D點在B點的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以的模為【變式23】如圖，以方格紙中的格點為起點和終點的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？【答案】答案見解析【分析】分類討論從正方形、矩形的邊、對角線中計算模的個數(shù)及方向的個數(shù)．【詳解】模為的向量；模為的向量；模為的向量；模為的向量；模為的向量；模為的向量共有個模，下面對方向分析，正方形的邊對應(yīng)的向量共有個方向，邊長為的正方形的對角線對應(yīng)的向量共個方向；的矩形的對角線對應(yīng)的向量共個方向；的矩形對角線對應(yīng)的向量共有個方向，所以共有個方向向量的兩種表示方法向量的兩種表示方法：（1）幾何表示法:先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點.（2）字母表示法:為了便于運算,可用字母表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量,如等.重難點3相等向量與共線向量【例5】如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因為，故，故B正確.對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.【例6】在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？【答案】7個，個.【分析】根據(jù)給定條件，利用相等向量的定義，確定給定圖形中的向量起點即可判斷作答.【詳解】當(dāng)向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量，這樣的格點共有8個，除去點A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，所以與長度相等的共線向量共有（個）.【變式31】設(shè)點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B【變式32】如圖，已知向量，和點P，以點P為起點，分別畫有向線段表示下列向量：(1)的相等向量；(2)的相反向量．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義畫圖即可；（2）根據(jù)相反向量的定義畫圖即可.【詳解】（1）如圖，作有向線段，使與同向且長度相等，則即為的相等向量．（2）如圖，作有向線段，使與反向且長度相等，則即為的相反向量．【變式33】已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.（2）由于與長度相等且方向相同，所以.（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.（1）（1）尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.（2）尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.重難點4相等（共線）向量的證明題【例7】如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：.【答案】(1)，，；(2)證明見解析.【分析】根據(jù)條件，可得四邊形為平行四邊形，即可寫出與向量共線的向量；根據(jù)題意可得出四邊形是平行四邊形，從而得出，，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以與向量共線的向量為：，，.（2）證明：在平行四邊形中，，.因為，分別是，的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，故.【例8】在平行四邊形中，，分別為邊、的中點，如圖．(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：．【答案】(1),(2)證明見解析【分析】（1）由題意直接寫出與向量共線的向量即可；（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.【詳解】（1）據(jù)題意，與向量共線的向量為：,；（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點，，且，四邊形是平行四邊形，，且，．【變式41】已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．【答案】證明見解析【分析】連接AC，易得，分別為和的中位線，進(jìn)而可得，且，又向量與方向相同，從而得證.【詳解】證明：如圖，連接AC，因為，分別是，的中點，所以為的中位線，所以，且，同理，因為，分別是，的中點，所以，且，所以，且，因為向量與方向相同，所以.【變式42】如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】答案見解析【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四邊形的判定定理即可證明.【詳解】因為四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.【變式43】如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.【答案】見解析【解析】根據(jù)平行四邊形及向量相等的定理即可證明；【詳解】解：因為，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以且.又與的方向相同，所以.同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.因為，，所以，又與的方向相同，所以【點睛】本題考查向量相等的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.1．設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（

）A．共起點的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．相等向量【答案】B【分析】利用平面向量的相關(guān)概念判斷.【詳解】因為點是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小與方向兩個要素，沒有起點之說；這三個向量方向不同，不是共線向量；這三個向量方向不同，不是相等向量.故選：B2．已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M【答案】D【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．3．下列命題正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】A選項，由零向量的定義進(jìn)行判斷；B選項，根據(jù)向量的模及相等向量判斷；C選項，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷，D選項，根據(jù)共線向量的定義判斷；【詳解】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.故選：C.4．下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)概念，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A5．（多選）下列命題中正確的是（

）A．單位向量的模都相等B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同【答案】AD【分析】利用向量的基本概念，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)單位向量的概念可知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；根據(jù)共線向量的概念可知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；向量不能夠比較大小，故C錯誤；根據(jù)相等的向量的概念可知，兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故D正確.故選：AD.6．（多選）已知平面向量、、，下列四個命題不正確的是（

）A．若，則 B．單位向量都相等C．方向相反的兩個非零向量一定共線 D．若，滿足，且與同向，則【答案】BD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項判斷正誤即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯誤；對于C，方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量，故C正確；對于D，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故D錯誤；故選：BD7．已知，若，則.【答案】【分析】直接由勾股定理求值即可.【詳解】由勾股定理可知，，即.故答案為：.8．如圖，在中，點D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點，在以A?B?C?D?E?F為端點的向量中，與向量的模相等的向量的個數(shù)是.【答案】5【分析】由向量的概念，結(jié)合幾何圖形寫出與模相等的向量，即知個數(shù).【詳解】由圖知：與向量的模相等的向量有，∴共有5個.故答案為：5.9．下列命題是真命題的是.(填序號)①若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量；②若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量；③向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上；④向量與是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上.【答案】①④【分析】向量為自由向量，共線向量所在的直線不一定重合，也可能平行.【詳解】①為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量的方向相同或相反，因此與是共線向量；②為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則的方向不確定，不能判斷與是否為共線向量；③為假命題，因為兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以四點不一定在一條直線上；④為真命題，因為兩