高考數(shù)學一輪復(fù)習訓練第7章第2講等差數(shù)列及其前n項和

第七章第2講[A級基礎(chǔ)達標]1．若lga，lgb，lgc成等差數(shù)列，則()A．b＝eq\f(a＋c,2) B．b2＝acC．2b＝ac D．2lgb＝lg(a＋c)【答案】B2．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10等于()A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2)C．10 D．12【答案】B3．(2020年鄭州模擬)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a10＝0，a6＋a8＝－4，則a100＝()A．212 B．188C．－212 D．－188【答案】D4．(2020年淮南月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40＝()A．110 B．150C．210 D．280【答案】D5．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加()A．eq\f(4,7)尺 B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺 D．eq\f(16,31)尺【答案】B【解析】設(shè)該女子織布每天增加d尺，由題意知S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).故該女子織布每天增加eq\f(16,29)尺．6．(2019年新課標Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1≠0，a2＝3a1，則eq\f(S10,S5)＝________.【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1≠0，a2＝3a1可得d＝2a1，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋a10,5a1＋a5)＝eq\f(22a1＋9d,2a1＋4d)＝eq\f(22a1＋18a1,2a1＋8a1)＝4.7．(2019年江蘇)已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________【答案】16【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋da1＋4d＋a1＋7d＝0，,9a1＋\f(9×8,2)d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝2.))所以S8＝8a1＋eq\f(8×7d,2)＝8×(－5)＋56＝16.8．(2021年南寧模擬)已知三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為3，平方和為eq\f(35,9)，則這三個數(shù)的積為________．【答案】eq\f(5,9)【解析】設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝5，,a－d2＋a2＋a＋d2＝\f(35,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))所以這三個數(shù)分別為eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)或eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3).故它們的積為eq\f(5,9).9．(2019年慶陽期末)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．已知a1＋a3＝16，S4＝28.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)當n取何值時Sn最大？并求出這個最大值．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＋a3＝16，S4＝28，所以2a1＋2d＝16,4a1＋eq\f(4×3d,2)＝28，聯(lián)立解得a1＝10，d＝－2.所以an＝10－2(n－1)＝12－2n.(2)令an＝12－2n≥0，解得n≤6.所以n＝5或6時，Sn取得最大值．S6＝eq\f(6×10＋0,2)＝30.10．已知等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，其前n項和為Sn，且滿足a2a3＝45，a1＋a4＝(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求f(n)＝eq\f(n,4)(an－17)(n∈N*)的最小值．解：(1)因為等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a3＝45，,a1＋a4＝a2＋a3＝14))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,a3＝9))?d＝4，a1＝1?an＝4n－3.(2)因為an＝4n－3(n∈N*)，所以f(n)＝eq\f(1,4)n(4n－3－17)＝n2－5n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(25,4)，所以當n＝2或3時，f(n)取得最小值－6.[B級能力提升]11．(2020年六安月考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，則eq\f(S13,S7)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(14,13) D．eq\f(13,14)【答案】A【解析】因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，eq\f(a7,a4)＝eq\f(14,13)，所以eq\f(S13,S7)＝eq\f(\f(13,2)a1＋a13,\f(7,2)a1＋a7)＝eq\f(13a7,7a4)＝2.12．(多選)(2020年泉州模擬)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＋3a5＝S7，則以下結(jié)論一定正確的是A．a(chǎn)4＝0 B．Sn的最大值為S3C．S1＝S6 D．|a3|＜|a5|【答案】AC【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正確；因為S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正確；由于d的正負不清楚，故S3可能為最大值或最小值，故B不正確；因為a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a13．(2020年麗水模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2014，其前n項和為Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，則S2014＝________.【答案】－2014【解析】等差數(shù)列{an}中，a1＝－2014，其前n項和為Sn，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，首項為eq\f(S1,1)＝－2014.因為eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，公差為eq\f(2,2)＝1，所以eq\f(S2014,2014)＝－2014＋1×2013＝－1．所以S2014＝－2014.14．(一題兩空)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝5，則公差d＝________，a5＝________.【答案】29【解析】因為等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝5，設(shè)公差d，則a3－a1＝2d＝4，所以d＝2，所以a5＝a1＋4d＝9.15．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2＋a5＝(1)求通項an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常數(shù)c.解：(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩實根．又公差d＞0，所以a3＜a4.所以a3＝9，a4＝13.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))所以通項an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×d＝2n2－n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,4)))2－eq\f(1,8).所以當n＝1時，Sn最小，最小值為S1＝a1＝1．(3)由(2)知Sn＝2n2－n，所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).因為數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，所以2b2＝b1＋b3，即eq\f(6,2＋c)×2＝eq\f(1,1＋c)＋eq\f(15,3＋c).所以2c2＋c＝0.所以c＝－eq\f(1,2)或c＝0(舍去)．經(jīng)驗證c＝－eq\f(1,2)時，{bn}是等差數(shù)列，故c＝－eq\f(1,2).[C級創(chuàng)新突破]16．《九章算術(shù)》中有這樣一段敘述：“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里．良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬．”現(xiàn)有如下說法：①駑馬第九日走了九十三里路；②良馬五日共走了一千零九十五里路；③良馬和駑馬相遇時，良馬走了二十一日．則錯誤的說法個數(shù)為()A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】B【解析】根據(jù)題意，良馬走的路程可以看成一個首項a1＝193，公差d1＝13的等差數(shù)列，記其前n項和為Sn；駑馬走的路程可以看成一個首項b1＝97，公差為d2＝－0.5的等差數(shù)列，記其前n項和為Tn.依次分析3個說法：對于①，b9＝b1＋(9－1)×d2＝93，故①正確；對于②，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d1＝5×193＋10×13＝1095，故②正確；對于③，設(shè)第n天兩馬相遇，則有Sn＋Tn≥6000，即na1＋eq\f(nn－1,2)d1＋nb1＋eq\f(nn－1,2)d2≥6000，變形可得5n2＋227n－4800≥0，分析可得n的最小值為16，故兩馬相遇時，良馬走了16日，故③錯誤．綜上，3個說法中只有1個錯誤．17．(2020年宿遷模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，把滿足條件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有數(shù)列{an}構(gòu)成的集合記為M.(1)若數(shù)列{an}的通項為an＝eq\f(1,2n)，則{an}是否屬于M?(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且{an＋n}∈M，求a1的取值范圍；(3)若數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且{an}∈M，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4n,an)))中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個數(shù)列{an}的通項；若不存在，說明理由．解：(1)因為an＝eq\f(1,2n)，所以Sn＝eq\f(1,2)×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.所以an＋1－Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1≤eq\f(3,2)×eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,4)＜0.所以an＋1＜Sn，即{an}∈M.(2)設(shè){an}的公差為d，因為{an＋n}∈M，所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n)①，當n＝1時，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1．由①得a1＋nd＋n＋1≤na1＋eq\f(nn－1,2)·d＋eq\f(nn＋1,2)，整理得eq\f(d＋1,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(3,2)d－\f(1,2)))n－a1－1≥0.因為上述不等式對一切n∈N*恒成立，所以必有eq\f(d＋1,2)≥0，解得d≥－1．又d≤－1，所以d＝－1．于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1．(3)由an＋1≤Sn得Sn＋1＝Sn＋an＋1≤2Sn，即eq\f(Sn＋1,Sn)≤2，所以eq\f(Sn,S1)＝eq\f(S2,S1)×eq\f(S3,S2)×…×eq\f(Sn,Sn－1)≤2n－1，從而有Sn≤S1×2n－1＝a1×2n－1．所以an＋1≤Sn≤a1×2n－1，即an≤a1×2n－2(n≥3)．又a2≤S1＝a1，即a2≤a1；a3≤S2＝a1＋a2≤2a1，所以an≤a1×2n－2(n∈N*)．所以eq\f(4n,an)≥eq\f(2n＋2,a1)(n≥2)．假設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f