新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案6-4-3第3課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例

第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例[目標(biāo)]1.會用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中距離、角度和高度的測量問題；2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力．[重點]正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中距離、角度和高度的測量問題．[難點]實際問題的理解與建模．要點整合夯基礎(chǔ)知識點一測量中的有關(guān)概念、名詞、術(shù)語[填一填]1．俯角和仰角：如圖所示，當(dāng)我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．2．方向角和方位角①指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫方向角．目標(biāo)方向線方向一般可用“×偏×”多少度來表示，這里第一個“×”是“北”或“南”，第二個“×”是“東”或“西”．如圖所示，OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東60°、北偏西30°、南偏西45°、南偏東20°.②方位角：從某點開始的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線為止的水平角叫方位角．3．坡度和坡比坡面與水平面所成的夾角的度數(shù)叫坡度，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫坡比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝\f(h,l))).如圖所示．[答一答]1．“視角”是“仰角”嗎？提示：不是．視角是指觀察物體的兩端視線張開的角度．如圖所示，視角60°指的是觀察該物體上下兩端點時，視線的張角．2．方向角和方位角有何區(qū)別？提示：方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，而方位角是從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角．3．坡度和坡比有什么區(qū)別？提示：坡度是坡面與水平面所成的夾角的度數(shù)，而坡比是坡面的鉛直高度與水平寬度的比．知識點二基線[填一填]在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．[答一答]4．測量是否一定要選取基線？提示：測量一定要選取基線，因為無論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時，至少應(yīng)已知一邊的長度．知識點三距離問題[填一填]1．測量從一個可到達(dá)的點A到一個不可到達(dá)的點B之間的距離問題．如圖所示．這實際上就是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，用正弦定理就可解決．2．測量兩個不可到達(dá)的點A，B之間的距離問題．如圖所示．首先把未知的BC和AC的距離問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點與不可到達(dá)的一點之間距離的問題；然后把求不可到達(dá)的兩點A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題．[答一答]5．解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路是什么？提示：基本思路(如圖)：知識點四高度與角度問題[填一填]1．高度問題測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題．由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦或余弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．2．角度問題測量角度就是在三角形內(nèi)，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函數(shù)值，然后求角，再根據(jù)需要求所求的角．[答一答]6．為了測量某建筑物的高度所構(gòu)造的三角形，其所在平面與地面之間有什么關(guān)系？提示：為了測量某建筑物的高度所構(gòu)造的三角形，其所在平面與地面垂直．7．解三角形應(yīng)用問題常見的幾種情況是什么？提示：解三角形實際應(yīng)用問題經(jīng)抽象概括為解三角形問題時，常見情況有以下幾種：(1)已知量與未知量全都集中在一個三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；(2)已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形．這時可先解條件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程組，解方程或方程組得到答案．典例講練破題型類型一距離問題命題角度1：測量從一個可到達(dá)的點，到一個不可到達(dá)的點之間的距離[例1]為了測量水田兩側(cè)A，B兩點間的距離(如圖所示)，某觀測者在A的同側(cè)選定一點C，測得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B兩點間的距離．[分析]將問題轉(zhuǎn)化為解△ABC的問題．[解]根據(jù)正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(8sin45°,sin180°－30°－45°)＝eq\f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq\r(3)－1)(m)．即A，B間的距離為8(eq\r(3)－1)m.eq\a\vs4\al(此類題目的求解策略：,1找基線如本題中AC.,2測基線長及視角如AC、∠BAC及∠BCA.,3用正弦定理求解兩點間的距離AB的長.)[變式訓(xùn)練1]如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的寬度．解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝eq\f(ABsin∠CBA,sin∠ACB).∴AC＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6))(米)．設(shè)C到AB的距離為CD，則CD＝ACsin∠CAB＝eq\f(\r(2),2)AC＝20(eq\r(3)＋3)．∴河的寬度為20(eq\r(3)＋3)米．命題角度2：測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離[例2]如圖，為了測量正在海面勻速行駛的某船的速度，在海岸上選取距離1千米的兩個觀察點C，D，在某天10：00觀察到該船在A處，此時測得∠ADC＝30°，2分鐘后該船行駛至B處，此時測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，則船速為________千米/分鐘．[分析]先在△ACD中利用正弦定理求出AD的長度，在△BCD中利用余弦定理進行求解．[解析]在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理，AD＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ACD＝eq\f(1,\f(\r(2),2))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3)＋1,2).同理，在△BCD中，BD＝eq\f(CD,sin∠CBD)·sin∠BCD＝eq\f(1,\f(\r(2),2))×eq\f(\r(2),2)＝1.在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝(eq\f(\r(3)＋1,2))2＋12－2×eq\f(\r(3)＋1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).∴AB＝eq\f(\r(6),2)，∴船速為eq\f(\r(6),4)千米/分鐘．[答案]eq\f(\r(6),4)測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，首先是明確題意根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基線的選取要恰當(dāng).[變式訓(xùn)練2]如圖，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．則在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)km.∴兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r(5)km.類型二高度問題命題角度1：底部不可到達(dá)的高度問題[例3]如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.[分析]將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600m．已知兩角及其夾邊，可考慮用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD.[解析]由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．[答案]100eq\r(6)對于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測量問題，我們可選擇一條過建筑物底部點的基線，在基線上取另外兩點，這樣四點可以構(gòu)成兩個小三角形.其中，把不含未知高度的那個小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.[變式訓(xùn)練3]如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個觀測點，且在C，D兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是(D)A．100m B．400mC．200m D．500m解析：設(shè)AB＝xm，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝xm；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq\r(3)xm，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2x×500×cos120°，解得x＝500(負(fù)值舍去)．命題角度2：頂部不可到達(dá)的高度問題[例4]如圖，某人在地面上C處觀察一架迎面飛來的飛機在A處的仰角為30°，過一分鐘后到B再測得仰角為45°，如果該飛機以每小時450km的速度沿水平方向飛行，則飛機的高度為________km.[解析]由題意知，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，設(shè)飛機高為hkm，則BD＝hkm，AD＝eq\r(3)hkm.又AB＝450×eq\f(1,60)＝7.5(km)，由AD－BD＝AB得eq\r(3)h－h(huán)＝7.5.所以h＝eq\f(7.5,\r(3)－1)＝eq\f(15\r(3)＋1,4)(km)．[答案]eq\f(15\r(3)＋1,4)對于頂部不能到達(dá)的建筑物高度的測量，我們可以選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.[變式訓(xùn)練4]某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1000m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，則山的高度為811m．(精確到1m解析：如圖，過點D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°，在△ABD中，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000×sin135°,sin30°)＝1000eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m)．類型三角度問題[例5]某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°、距離為10km的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10km/h的速度向小島靠攏，海軍艦艇立即以10eq\r(3)km/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．[分析]由題意知，要求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間，可設(shè)靠近的位置為B處．因此只要確定∠BAC及AB的值即可．故先設(shè)出艦艇與漁船靠近的時間t，然后在△ABC中利用余弦定理建立關(guān)于t的方程，即可求解．[解]如圖所示，設(shè)th后，艦艇與漁船在B處靠近，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以艦艇需1h靠近漁船．此時AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).又因為∠CAB為銳角，所以∠CAB＝30°.所以艦艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.答：艦艇航行的方位角為75°，航行的時間為1h.測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實際問題的解.解題時應(yīng)認(rèn)真審題，結(jié)合圖形去選擇定理，這是最關(guān)鍵、最重要的一步.[變式訓(xùn)練5]如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于(C)A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(3)－1D.eq\r(2)－1解析：在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(AC,sin135°)，∴AC＝100eq\在△ADC中，eq\f(AC,sinθ＋90°)＝eq\f(CD,sin15°)，∴cosθ＝sin(θ＋90°)＝eq\f(AC·sin15°,CD)＝eq\r(3)－1.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°視角，則B、C間的距離是(D)A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如圖，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r(6)海里，故選D.2．如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DC＝100m，從C，D兩點測得A點仰角分別是60°，30°，則A點離地面的高度AB等于(A)A．50eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．50m D．100m解析：因為∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得eq\f(AC,sinD)＝eq\f(DC,sin∠DAC)，所以AC＝DC＝100m，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\3．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，C兩地距離為(C)A．4km B．6kmC．7km D．9km解析：如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°，由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，所以AC＝7，所以A，C兩地距離為7km.4．如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，則AC的長為7km解析：因為A，B，C，D四點共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝