高中數(shù)學必修3北師大版課時作業(yè)3-3模擬方法概率的應用

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.如圖，A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：如圖，當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝eq\f(π,3)，由圓的對稱性及幾何概型得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).故選C.答案：C2．如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)－1C．2－eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)解析：由題意得，無信號的區(qū)域面積為2×1－2×eq\f(1,4)π×12＝2－eq\f(π,2)，由幾何概型的概率公式，得無信號的概率為P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).答案：A3．在區(qū)間[－1,3]上隨機取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(1,2)，則實數(shù)m的值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：區(qū)間[－1,3]的區(qū)間長度為4.不等式|x|≤m的解集為[－m，m]，區(qū)間長度為2m，由eq\f(2m,4)＝eq\f(1,2)，得m＝1.答案：B4.如圖，大正方形的面積是13，四個全等的直角三角形圍成一個小正方形．直角三角形的較短邊長為2.向大正方形內投一飛鏢，則飛鏢落在小正方形內的概率為()A.eq\f(1,13) B．eq\f(2,13)C.eq\f(3,13) D．eq\f(4,13)解析：大正方形的面積是13，所以大正方形的邊長為eq\r(13)，直角三角形的較短邊長為2，所以較長邊為eq\r(13－4)＝3，所以直角三角形的面積為eq\f(1,2)×2×3＝3，所以小正方形的面積為13－3×4＝1，所以飛鏢落在小正方形內的概率為eq\f(1,13).答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)5．從平面區(qū)域G＝{(a，b)|0≤a≤1,0≤b≤1}內隨機取一點(a，b)，則使得關于x的方程x2＋2bx＋a2＝0有實根的概率是________．解析：平面區(qū)域內所有的點構成面積為1的正方形，方程x2＋2bx＋a2＝0有實根等價于b≥a，滿足此條件的圖象是三角形，其面積為eq\f(1,2)，因此所求概率為P＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．廣告法對插播廣告時間有規(guī)定，某人對某臺的電視節(jié)目作了長期的統(tǒng)計后得出結論，他任意時間打開電視機看該臺節(jié)目，看不到廣告的概率約為eq\f(9,10)，那么該臺每小時約有________分鐘廣告．解析：這是一個與時間長度有關的幾何概型，這人看不到廣告的概率為eq\f(9,10)，則看到廣告的概率約為eq\f(1,10)，故60×eq\f(1,10)＝6.答案：67.三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明．如圖是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．弦圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅(朱)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實，化簡得勾2＋股2＝弦2.設勾股形中勾股比為1∶eq\r(3)，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計)，則落在黃色圖形內的圖釘大約有________顆．(注：eq\r(3)≈1.732)解析：設勾為a，則股為eq\r(3)a，弦為2a，則圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(eq\r(3)－1)2a2＝(4－2eq\r(3))a2，由幾何概型知，圖釘落在黃色圖形內的概率為eq\f(4－2\r(3)a2,4a2)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以落在黃色圖形內的圖釘大約有1000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))≈134(顆)．答案：134三、解答題(每小題10分，共20分)8．一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮．解析：在75秒內，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(黃燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈亮或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).9．對某人某兩項指標進行考核，每項指標滿分100分，設此人每項得分在[0,100]上是等可能出現(xiàn)的．單項80分以上，且總分170分以上才合格，求他合格的概率．解析：設某人兩項的分數(shù)分別為x分、y分，則0≤x≤100,0≤y≤100，某人合格的條件是80<x≤100，80<y≤100，x＋y>170，在同一平面直角坐標系中，作出上述區(qū)域(如圖陰影部分所示)．由圖可知0≤x≤100,0≤y≤100