第十二章彎曲變形

彎曲變形主要內(nèi)容及重點(diǎn)：計(jì)算彎曲變形的積分法、疊加法彎曲剛度計(jì)算梁的超靜定問題工程中的彎曲變形問題實(shí)例1、撓曲線（軸）

—平面彎曲時(shí)，梁變形后軸線。

在xoy平面內(nèi)的一條連續(xù)、光滑的彈性曲線。Pyx§12-1引言2、撓度和轉(zhuǎn)角（梁彎曲變形的兩個(gè)基本量）（1）撓度：梁變形后，橫截面的形心在垂直于梁軸線（x軸）方向上所產(chǎn)生的線位移，稱為梁在截面的撓度。

一般情況下，不同橫截面的撓度值不同。橫截面撓度隨截面位置（x軸）而改變的規(guī)律用撓曲線方程表示。即：yAPyyx（2）轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度。由梁彎曲的平面假設(shè)可知：梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后仍垂直于撓曲線。

A：曲線OAB在A點(diǎn)的切線與X軸間的夾角

AyAPyyx

A（3）撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓曲線切線的斜率：工程中

極小：思考：在扭轉(zhuǎn)變形中，扭轉(zhuǎn)角是構(gòu)件橫截面繞的角位移在平面彎曲變形中，梁的轉(zhuǎn)角是橫截面繞的角位移軸線轉(zhuǎn)動(dòng)中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)在平面彎曲變形中，梁的轉(zhuǎn)角是軸線的角位移Pyx§12-2撓曲軸近似微分方程Pyx－撓曲線近似微分方程線彈性范圍適用對(duì)于等直梁C、D：積分常數(shù)邊界條件已知的撓度及轉(zhuǎn)角光滑連續(xù)性§12-3計(jì)算梁位移的積分法解：M(x)＝FP

(L-x)

x＝0 時(shí)θA＝0x＝0時(shí)

wA＝0C=0D=0例1

求在作用下梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程并求最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。例2：求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角解：建立坐標(biāo)、寫彎矩方程ABCPL/2L/2xx積分一次：再次積分：利用邊界條件確定積分常數(shù)：ABCpL/2L/2xxABCpL/2L/2xx思考：在用積分法求梁的轉(zhuǎn)角和位移過程中，何時(shí)需要考慮靜力關(guān)系、物理關(guān)系、變形協(xié)調(diào)關(guān)系？靜力關(guān)系：支反力、彎矩計(jì)算物理關(guān)系：撓曲線近似微分方程

變形協(xié)調(diào)關(guān)系：積分運(yùn)算及邊界條件

思考：圖示純彎曲懸臂梁的撓曲線應(yīng)為一圓弧線，而由積分法求得的梁撓曲線為二次拋物線為什么？近似微分方程獲得的梁撓曲線近似解

自由端B處撓度的精確解：

例3求AB的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。習(xí)題12-2；12-8；12-121）要抄題，畫原圖；2）用鉛筆、直尺作圖習(xí)題要求疊加法：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)荷載時(shí)，在小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限，則每個(gè)荷載所引起的變形（撓度和轉(zhuǎn)角）將不受其它荷載的影響。梁上任意橫截面的總位移等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)，在該截面所引起的位移的代數(shù)和。§12-4計(jì)算梁位移的疊加法例題：求wc、θA例題求fcfc＝fcq+fcm逐段剛化考慮某段梁的變形時(shí)，將其它梁段視為剛體例題求梁自由端B截面處的轉(zhuǎn)角和撓度ωB。qdxB討論：解：采用逐段剛化法首先將AC段視為剛體，研究CB段變形：ACBqL/2L/2qy1ACBql2/8ql/2y2=yp+yMy3=(

P+

M)L/2再將CB段視為剛體，通過外力平移，研究AC段變形：ACBqL/2L/2qy1ACBql2/8ql/2y2=yp+yMy3=(

P+

M)L/2ACBqL/2L/2ACBqL/2L/2ACBqL/2L/2懸臂梁受力如圖。已知：M、EI、L為常數(shù)。求：使

C=0時(shí)，P=？，并求此時(shí)的yC解：ACMPL/2L/2試用疊加法計(jì)算剛架由于彎曲在A截面引起的垂直位移及水平位移xyPAabEI1EI2APy1PMAy2x§12-5簡(jiǎn)單超靜定梁超靜定梁：可減小變形，降低梁內(nèi)最大彎矩。例：試求：圖示梁的約束反力

EI為已知。解：（1）選取靜定基：去掉荷載及多余約束使原超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定的基本系統(tǒng)—靜定基。（2）得相當(dāng)系統(tǒng)將荷載及代替支坐的多余約束反力重新作用在靜定基上而得到的系統(tǒng)—相當(dāng)系統(tǒng)（3）列變形協(xié)調(diào)方程將相當(dāng)系統(tǒng)的變形與原系統(tǒng)的變形相比較，列變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)方程（4）列補(bǔ)充方程列出力與變形間物理方程補(bǔ)充方程（5）列靜平衡方程變形協(xié)調(diào)方程例題：已知：P1=2KN，P2=1KN。L=400mm，a=100mm，外徑D=80mm，內(nèi)徑d=40mm，E=200GPa，截面C處撓度不超過兩軸承間距離的10-4，軸承B處轉(zhuǎn)角不超過10-3rad

。試校核該主軸的剛度。P2P1ABCL/2L/2aP2ABCy1y2P1ABC<<滿足剛度條件P2P1ABCL/2L/2aP2ABCy1y2P1ABC例題梁AB如圖a所示。若B支座下沉δ，(δ<<l)，求由此而引起的梁內(nèi)的最大彎矩Mmax。設(shè)梁的抗彎剛度為EI。－剛度條件§12-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)提高梁抗彎剛度的措施梁的變形不僅與荷載、支承有關(guān)，而且與材料、跨度等也有關(guān)。提高梁抗彎剛度的措施1.合理選擇截面形狀（I）2.合理選擇材料（E）3.梁的合理加強(qiáng)(局部截面慣性矩增加，即采用變截面梁)。4.梁跨度的合理選取5.合理安排梁的約束與加載方式調(diào)整支承—外伸梁增加支承—超靜定提高梁抗彎剛度的措施1選擇合理的加載方式減小梁變形:2減小梁的跨度3增大梁的抗彎剛度已知：荷載q，梁AB的抗彎剛度為EI、桿BC的抗拉壓剛度為EA。試求：BC桿內(nèi)力解：（1）選取靜定基（2）得相當(dāng)系統(tǒng)（3）將相當(dāng)系統(tǒng)變形與原系統(tǒng)比較，得變形協(xié)調(diào)方程：B/BACLL/2qRBqB/BACLL/2qRB