《27.2.1 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似》教案、導(dǎo)學(xué)案

27.2.1相似三角形的判定第3課時(shí)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似【教學(xué)目標(biāo)】1．理解“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號(hào)語(yǔ)言表示；(重點(diǎn))2．會(huì)運(yùn)用“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”判定兩個(gè)三角形相似，并解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn))【教學(xué)過(guò)程】一、情境導(dǎo)入利用刻度尺和量角器畫(huà)兩個(gè)三角形，使它們的兩條對(duì)應(yīng)邊成比例，并且?jiàn)A角相等．量一量第三條對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的比與前兩條對(duì)應(yīng)邊的比是否相等．另兩個(gè)角是否對(duì)應(yīng)相等？你能得出什么結(jié)論？二、合作探究探究點(diǎn)：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似【類型一】直接利用判定定理判定兩個(gè)三角形相似已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是AB、CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CE＝9，AD＝15，連接DE.若BC＝6，AC＝8，求證：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，再由已知條件可求出DB，進(jìn)而可得到DB∶AB的值，再計(jì)算出EB∶BC的值，繼而可判定△ABC∽△DBE.證明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法總結(jié)：解本題時(shí)一定要注意必須是兩邊對(duì)應(yīng)的夾角才行，還要注意一些隱含條件，如公共角、對(duì)頂角等．【類型二】添加條件使三角形相似如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當(dāng)AP的長(zhǎng)度為_(kāi)_______時(shí)，△ADP和△ABC相似．解析：當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，eq\f(AP,AB)＝eq\f(AD,AC)，∴eq\f(AP,12)＝eq\f(6,8)，解得AP＝9.當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AP,AC)，∴eq\f(6,12)＝eq\f(AP,8)，解得AP＝4，∴當(dāng)AP的長(zhǎng)度為4或9時(shí)，△ADP和△ABC相似．故答案為4或9.方法總結(jié)：添加條件時(shí)，先明確已知的條件，再根據(jù)判定定理尋找需要的條件，對(duì)應(yīng)本題可先假設(shè)兩個(gè)三角形相似，再利用倒推法以及分類討論解答．【類型三】利用三角形相似證明等積式如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于F.求證：AC·CF＝BC·DF.解析：先證明△ADC∽△CDB可得eq\f(AD,CD)＝eq\f(AC,BC)，再結(jié)合條件證明△FDC∽△FAD，可得eq\f(AD,CD)＝eq\f(DF,CF)，則可證得結(jié)論．證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(AC,BC).∵E為BC的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(AD,DC)，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(DF,CF)，∴AC·CF＝BC·DF.方法總結(jié)：證明等積式或比例式的方法：把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，然后證明兩個(gè)三角形相似，得到要證明的等積式或比例式．【類型四】利用相似三角形的判定進(jìn)行計(jì)算如圖所示，BC⊥CD于點(diǎn)C，BE⊥DE于點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的長(zhǎng)．解析：因?yàn)锳C＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AD.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(42＋32)＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，即eq\f(5,AD)＝eq\f(3,2)，解得AD＝eq\f(10,3)，∴CD＝AD＋AC＝eq\f(10,3)＋3＝eq\f(19,3).方法總結(jié)：利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計(jì)算時(shí)，應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解．【類型五】利用相似三角形的判定解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間△ABC和△PQC相似？解析：由AC與AB的關(guān)系，設(shè)出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而得到AB與AC的長(zhǎng)．然后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出PC與CQ的長(zhǎng)，由△ABC和△PQC相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同分兩種情況列出比例式，把各邊的長(zhǎng)代入即可得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，從而得到所有滿足題意的時(shí)間t的值．解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，設(shè)AB為5xcm，則AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根據(jù)勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△ABC和△PQC相似，則有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)△ABC∽△PQC時(shí)，有eq\f(BC,QC)＝eq\f(AC,PC)，即eq\f(8,t)＝eq\f(6,8－2t)，解得t＝eq\f(32,11)；②當(dāng)△ABC∽△QPC時(shí)，有eq\f(AC,QC)＝eq\f(BC,PC)，即eq\f(6,t)＝eq\f(8,8－2t)，解得t＝eq\f(12,5).綜上可知，經(jīng)過(guò)eq\f(12,5)或eq\f(32,11)秒△ABC和△PQC相似．方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同，分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來(lái)解決問(wèn)題．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．三角形相似的判定定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；2．應(yīng)用判定定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．【教學(xué)反思】本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法和參與式教學(xué)法為主，利用多煤體引導(dǎo)學(xué)生始終參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過(guò)程中，處于主動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)．采用動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程．在教學(xué)過(guò)程中展開(kāi)思維，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步理解觀察、類比、分析等數(shù)學(xué)思想.27.2.1相似三角形的判定第3課時(shí)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似〔學(xué)習(xí)目標(biāo)〕掌握判定兩個(gè)三角形相似的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)探究到歸納證明的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力?！矊W(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)〕兩個(gè)三角形相似的判定方法2探究過(guò)程及其應(yīng)用〔學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)〕學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明新課引入：復(fù)習(xí)兩個(gè)三角形相似的判定方法1與全等三角形判定方法（SSS）的區(qū)別與聯(lián)系：SSS如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（相似的判定方法1）回顧探究判定引例﹑判定方法1的過(guò)程探究?jī)蓚€(gè)三角形相似判定方法3的途徑從回顧探究判定引例﹑判定方法1的過(guò)程及復(fù)習(xí)兩個(gè)三角形相似的判定方法1與全等三角形判定方法（SSS）的區(qū)別與聯(lián)系兩個(gè)角度來(lái)以舊引新，幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系，體會(huì)事物間一般到特殊﹑特殊到一般的關(guān)系。提出問(wèn)題：利用刻度尺和量角器畫(huà)?ABC與?A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于給定的值k，量出它們的第三組對(duì)應(yīng)邊BC和B1C1的長(zhǎng)，它們的比等于k嗎？另外兩組對(duì)應(yīng)角∠B與∠B1，∠C與∠C1是否相等？分析：學(xué)生通過(guò)度量，不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形的第三組對(duì)應(yīng)邊BC和B1C1的比都等于k，另外兩組對(duì)應(yīng)角∠B=∠B1，∠C=∠C1。延伸問(wèn)題：改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？（利用刻度尺和量角器，讓學(xué)生先進(jìn)行小組合作再作出具體判斷。）探究方法：探究2改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？（教師應(yīng)用“幾何畫(huà)板”等計(jì)算機(jī)軟件作動(dòng)態(tài)探究進(jìn)行演示驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何在動(dòng)態(tài)變化中捕捉不變因素。）歸納：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。若∠A=∠A1，==k則 ?ABC∽?A1B1C1辨析：對(duì)于?ABC與?A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，這兩個(gè)三角形相似嗎？試著畫(huà)畫(huà)看。（讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組交流，尋找問(wèn)題的所在，并集中展示反例。）學(xué)生通過(guò)作圖，動(dòng)手度量三角形的各邊的比例以及三角形的各個(gè)角的大小，從尺規(guī)實(shí)驗(yàn)的角度探索命題成立的可能性，豐富學(xué)生的尺規(guī)作圖與尺規(guī)探究經(jīng)驗(yàn)。改變∠A或k值的大小再作尺規(guī)探究，可以培養(yǎng)學(xué)生在變化中捕捉不變因素的能力。通過(guò)幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)在圖形的動(dòng)態(tài)變化中探究不變因素的能力。對(duì)幾何定理作文字語(yǔ)言﹑圖形語(yǔ)言﹑符號(hào)語(yǔ)言的三維注解有利于學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知重構(gòu)，以全方位地準(zhǔn)確把握定理的內(nèi)容。通過(guò)辨析，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)三角形相似判定方法2的判定條件--“并且相應(yīng)的夾角相等”具有較深刻的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。應(yīng)用新知：例1：根據(jù)下列條件，判斷?ABC與?A1B1C1是否相似，并說(shuō)明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，∠A1＝1200，A1B1=3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，∠B1＝1200，A1B1=8cm，A1C1=24cm。分析:（1）==,∠A=∠A1＝1200?ABC∽?A1B1C1（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B與∠B1不是AB﹑AC﹑A1B1﹑A1C1