《相似三角形的性質(zhì)及相似三角形應(yīng)用舉例》課件（3課時(shí)）

27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例第1課時(shí)1.能應(yīng)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問題；2.了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.相似三角形的判定（1）通過平行線.（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例.（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等.（4）兩角相等.根據(jù)下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？(1)∠A=120°，AB=7，AC=14∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21(3)∠A=70°,∠B=48°,∠A′=70°,∠C′=62°【例1】據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測(cè)量金字塔的高度.如圖，如果木桿EF長2m，它的影子FD長為3m測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO.如何測(cè)量OA的長？因此金字塔的高為134m.解析：太陽光是平行光線，因此∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEFBO：EF=OA：FDPQRSTba【例2】如圖為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q垂直PS的直線b的交點(diǎn)R，如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m.求河的寬度PQ.解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P,∴△PQR∽△PST.PQ：PS=QR:ST，即PQ：（PQ+QS）=QR：ST，

PQ：（PQ+45）=60:90,PQ×90=(PQ+45)×60，解得PQ=90.因此河寬大約為90m.如圖，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB.解析：∵∠B=∠C=90°，

∠ADB=∠EDC，

∴△ABD∽△ECD，

AB：EC=BD：DC，

AB=50×120÷60=100（m）ABDCE利用相似三角形測(cè)量瓶子的內(nèi)徑學(xué)具準(zhǔn)備：等長的兩根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺過程：兩人合作先把兩根小木棒用橡皮筋捆好，然后將等長的兩根小木棒的一端放進(jìn)瓶子里，使兩根小木棒抵住瓶底并緊靠瓶子的邊緣，再用刻度尺測(cè)出小木棒另兩端的距離．構(gòu)造相似并計(jì)算瓶子內(nèi)徑．【解析】設(shè)點(diǎn)O將兩根小木棒都分成了1/n，如果我們測(cè)出線段AB的長度為m，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，我們就可以求出內(nèi)徑CD的長度了，即CD=mn．【規(guī)律方法】相似三角形的性質(zhì)是我們常常用來證明線段等積式的重要方法，也是我們用來求線段的長度與角度相等的重要方法．如圖，已知△ACB的邊AB、AC上的點(diǎn)D、E，且∠ADE=∠C，求證：AD·AB=AE·AC．【解析】∵∠ADE=∠C，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB（如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似）

∴AD︰AC=AE︰AB

即AD·AB=AE·AC．1.（樂山中考）某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量學(xué)校旗桿AC的高度，在點(diǎn)F處豎立一根長為1.5米的標(biāo)桿DF，如圖所示，量出DF的影子EF的長度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長度為6米，那么旗桿AC的高度為（）（A）6米（B）7米（C）8.5米（D）9米D2.（衡陽中考）如圖，已知零件的外徑為25mm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等，OC=OD）量零件的內(nèi)孔直徑AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，則零件的厚度x=

mm．2.5ACBA′B′C′32cm20cm3.如圖：與小孔O相距32cm處有一枝長30cm燃燒的蠟燭AB，經(jīng)小孔，在與小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A′B′的長度.O【解析】根據(jù)題意,得:△ABO∽△A′B′O過點(diǎn)O作AB、A′B′的垂線，垂足分別為Ｃ、Ｃ′，則由相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，得ACBA′B′C′32cm20cmO即解得：A′B′＝18.75(cm)答：像A′B′的長度為18.75cm.一、相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個(gè)方面1.測(cè)高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；2.測(cè)距(不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離)．二、測(cè)高的方法測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,構(gòu)造相似三角形求解．三、測(cè)距的方法測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解．27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例第2課時(shí)1、能應(yīng)用相似三角形的有關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問題；2、進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.基本圖形歸納平行型A型圖X型圖斜截型解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，或在圖中找出基本圖形，便于解題.眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣賞美麗的大好河山，有它可以辨別是非黑白，有它可以傳達(dá)你對(duì)同學(xué)們的友愛……，但是你有沒有想過人眼的視線在相似形中還有非常重要的作用.【例】已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m，一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C？設(shè)觀察者眼晴的位置（視點(diǎn)）為F，∠CFK和∠AFH分別是觀察點(diǎn)C、A的仰角，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi).解析：假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，他的眼睛的位置點(diǎn)F與兩棵樹的頂端點(diǎn)A、C在一條直線上.∵AB⊥l，CD⊥l

，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，∴FH：FK=AH：CK，即解得FH=8.當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于8m時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C.為了測(cè)量一池塘的寬AB,在岸邊找到了一點(diǎn)C,使AC⊥AB，在AC上找到一點(diǎn)D，在BC上找到一點(diǎn)E,使DE⊥AC，測(cè)出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的寬AB嗎?ABCDE解析：因?yàn)椤螦CB＝∠DCE,所以△ABC∽△DEC，答：池塘的寬大致為60米．

∠CAB＝∠CDE=90°,ABCDE1.某校宣傳欄后面2米處種了一排樹，每隔2米一棵，共種了6棵，小勇站在距宣傳欄中間位置的垂直距離3米處，正好看到兩端的樹干，其余的4棵均被擋住，那么宣傳欄的長為___米(不計(jì)宣傳欄的厚)。62.（內(nèi)江中考）如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn).此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為_____m.3.（德州中考）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長為2m，B時(shí)又測(cè)得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為_____m.A時(shí)B時(shí)74

在應(yīng)用相似的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要利用平行、垂直等輔助線構(gòu)造相似三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.27.2.3相似三角形的周長與面積1、理解相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比也等于相似比；多邊形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。2、能應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)解決相關(guān)問題.（2）相似三角形有什么性質(zhì)？根據(jù)是什么？相似多邊形呢？根據(jù)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（3）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫什么？相似比（4）ΔABC與ΔA′B′C′

的相似比為k,則ΔA′B′C′

與ΔABC的相似比是多少？（1）相似三角形有哪些判定方法？如果兩個(gè)三角形相似，它們的周長之間有什么關(guān)系？兩個(gè)相似多邊形呢？ABCA′B′C′相似三角形周長的比等于相似比.三角形中，除了角和邊外，還有三種主要線段：高線角平分線中線相似三角形的相似比與對(duì)應(yīng)邊上高線比有什么關(guān)系？例如：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥

B′C′于D′，求證：ABCDA′B′C′D′①相似三角形的對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比.角平分線角平分線中線中線②相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線之比，中線之比，都等于相似比.（1）如圖ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？①相似三角形面積的比等于相似比的平方.ABCDA′B′C′

D′（2）如圖，四邊ABCD相似于四邊形A′B′C′D′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCDA′B′C′D′②相似多邊形面積的比等于相似比的平方.（1）相似三角形對(duì)應(yīng)的比等于相似比.相似三角形(多邊形)的性質(zhì):（3）相似的面積的比等于相似比的平方.多邊形多邊形（2）相似的周長的比等于相似比.三角形三角形高線角平分線中線【例】如圖在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周長是24，面積是48，求ΔDEF的周長和面積.ABCDEF解析：1.（1）已知ΔABC與ΔA′B′C′

的相似比為2：3，則周長之比為

，對(duì)應(yīng)邊上中線之比為

，面積之比為

.（2）已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面積之比為9：4，則周長之比為

，相似比為

，對(duì)應(yīng)邊上的高線之比為

.2:34:93:23:23:22:32.判斷題：（1）如果把一個(gè)三角形各邊同時(shí)擴(kuò)大為原來的5倍，那么它的周長也擴(kuò)大為原來的5倍.（

√）（2）如果把一個(gè)三角形的面積擴(kuò)大為原來的9倍，那么它的三邊也擴(kuò)大為原來的9倍.（×）1.（濰坊中考）如圖，△ABC中，BC=2，DE是它的中位線，下面三個(gè)結(jié)論：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面積與△ABC的面積之比為1:4。其中正確的有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析：選D.由中位線定理可知因?yàn)镈E∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比為1：2，則面積比為相似比的平方即1：4.2.如圖,在△ABC中,D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，則:(1)S△ADE:S△ABC=

.(2)S△ADE:S梯形DBCE=

.1:41:33.如圖，△ABC,DE//BC，且△ADE的面積等于梯形BCED的面積，則△ADE與△ABC的相似比是_______.B