數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器

.><4.6>為了求切比雪夫?yàn)V波器在橢圓上極點(diǎn)的位置,我們首先要這樣確定,在大圓和小圓上以等角度等間隔排列的那些點(diǎn)：這些點(diǎn)對(duì)于虛軸呈對(duì)稱分布,并且沒(méi)有一個(gè)點(diǎn)落在虛軸上；但當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)要有一個(gè)點(diǎn)落在實(shí)軸上,而當(dāng)N為偶數(shù)時(shí),就都不會(huì)落在實(shí)軸上。切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)落在橢圓上,起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)表示,起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)表示。切比雪夫?yàn)V波器是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。在通帶波動(dòng)的為"I型切比雪夫?yàn)V波器",在阻帶波動(dòng)的為"II型切比雪夫?yàn)V波器"。切比雪夫?yàn)V波器在過(guò)渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快,但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫?yàn)V波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小,但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動(dòng)。5.雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器5.1設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn),可以采用非線性頻率壓縮方法,將整個(gè)頻率軸上的頻率X圍壓縮到-π/T～π/T之間,再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō),第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系,消除了多值變換性,也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。圖5.1雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上,可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：〔式5.1〕式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Ω1由-π/T經(jīng)過(guò)0變化到π/T時(shí),Ω由-∞經(jīng)過(guò)0變化到+∞,也即映射了整個(gè)jΩ軸。將式〔5.1〕寫(xiě)成〔式5.2〕將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,則得：〔式5.3〕再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：〔式5.4〕從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：〔式5.5〕〔式5.6〕式〔5.5〕與式〔5.6〕是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系,這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比,因此稱為雙線性變換。式〔5.1〕與式〔5.5〕的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把z=ejω,可得：〔式5.7〕即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次,將s=σ+jΩ代入式〔5.7〕,得：〔式5.8〕因此：〔式5.9〕由此看出,當(dāng)σ<0時(shí),|z|<1；當(dāng)σ>0時(shí),|z|>1。也就是說(shuō),S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi),S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外,S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此,穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。5.2雙線性變換的優(yōu)缺點(diǎn)雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比,其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周,即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式〔5.5〕所示,重寫(xiě)如下：〔式5.10〕上式表明,S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系,如圖5.1所示。由圖5.1看出,在零頻率附近,模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí),ω增長(zhǎng)得越來(lái)越慢,最后當(dāng)Ω→∞時(shí),ω終止在折疊頻率ω=π處,因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象,從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖5.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的,如式〔5.7〕與圖5.1所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系,就產(chǎn)生了新的問(wèn)題。首先,一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器,不再保持原有的線性相位了；其次,這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的,即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)〔這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性〕,不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變,如圖5.2所示。圖5.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器,雙線性變換后,仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器,但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變,這種頻率的畸變,可以通過(guò)頻率的預(yù)畸變來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變,然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì)6.1設(shè)計(jì)流程圖數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì)流程圖如下：開(kāi)始開(kāi)始確定確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)把把數(shù)字濾波器頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征ChebyshevIChebyshevII型濾波器參數(shù)計(jì)算〔模擬域〕創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型表達(dá)式從零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式表達(dá)式從零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通繪出頻率響應(yīng)繪出頻率響應(yīng)與幅頻曲線繪出輸入信號(hào)與繪出輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形繪出輸入信號(hào)繪出輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖結(jié)束結(jié)束圖6.1數(shù)字切比雪夫高通IIR濾波器設(shè)計(jì)流程圖6.2程序設(shè)計(jì)與運(yùn)行結(jié)果6.2.1設(shè)計(jì)過(guò)程數(shù)字濾波器的各項(xiàng)指標(biāo)：fp=3000;fr=1500;fs=15000;rp=1;rs=50;把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征：WP=fp*2*pi;WR=fr*2*pi;ChebyshevII型濾波器參數(shù)計(jì)算〔模擬域〕：[N,wn]=cheb1ord<WP,WR,rp,rs,'s'>;創(chuàng)建Chebyshev濾波器原型：[Z,P,K]=cheb1ap<N,rp>;表達(dá)式從零極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程形式：[A,B,C,D]=zp2ss<Z,P,K>;實(shí)現(xiàn)低通到高通濾波器類型的轉(zhuǎn)換：[AA,BB,CC,DD]=lp2hp<A,B,C,D,wn>;采用雙線性變換法,從模擬高通到數(shù)字高通：[a,b,c,d]=bilinear<AA,BB,CC,DD,fs>;表達(dá)式從狀態(tài)方程形形式轉(zhuǎn)換成傳輸函數(shù)形式：[P,Q]=ss2tf<a,b,c,d>;繪出頻率響應(yīng)與幅頻曲線：figure<1>;subplot<211>;freqz<P,Q>;[H,W]=freqz<P,Q>;axis<[0,1,-100,20]>;subplot<212>;plot<W*fs/<2*pi>,abs<H>>;gridon;xlabel<'頻率/Hz'>;ylabel<'幅值'>;繪出輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形：n=0:399;t=n/fs;x=sin<2*pi*1500*t>+2*sin<2*pi*3000*t>+3*sin<2*pi*4000*t>;figure<2>;subplot<211>;plot<t,x>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'輸入信號(hào)'>;gridon;y=filter<P,Q,x>;ya=y*sinc<fs*<ones<length<n>,1>*t-<n/fs>'*ones<1,length<t>>>>;subplot<212>;plot<t,ya>;axis<[0,0.005,-6,6]>;title<'輸出波形'>;gridon;繪出輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖：X=fft<x,512>;fx=15000*<0:511>/512;figure<3>;subplot<211>;plot<fx,X>;title<'輸入信號(hào)頻譜圖'>;gridon;YA=fft<ya,512>;fy=15000*<0:511>/512;subplot<212>;plot<fy,YA>;title<'輸出信號(hào)頻譜圖'>;gridon;6.2.2運(yùn)行結(jié)果1.頻率響應(yīng)與幅頻曲線。圖6.2頻率響應(yīng)與幅頻曲線2.輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形。圖6.3輸入信號(hào)與輸出信號(hào)波形3.輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖。圖6.4輸入信號(hào)與輸出信號(hào)頻譜圖7小結(jié)這次課設(shè)下來(lái),對(duì)設(shè)計(jì)帶通數(shù)字濾波器的整個(gè)過(guò)程有了很好的掌握,懂得了設(shè)計(jì)濾波器的基本方法,對(duì)雙線性變換法,切比雪夫?yàn)V波器有了一定了解,同時(shí)呢也熟悉了MATLAB的環(huán)境,鞏固了相關(guān)知識(shí)。最大的收獲是初步了解了數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計(jì)方法,加深了對(duì)濾波器的認(rèn)識(shí),一切從零開(kāi)始,雖然沒(méi)有以絕對(duì)完美結(jié)束,但在這么短的時(shí)間內(nèi)能夠設(shè)計(jì)成功已經(jīng)出乎意料之外了,總之,收獲還是很大的。在課程設(shè)計(jì)的過(guò)程中,我學(xué)到了很多東西,比如設(shè)計(jì)濾波器的一些基本函數(shù)的用法,各種模擬濾波器的特性,設(shè)計(jì)濾波器的一些基本方法。但更為重要的是,我對(duì)于解決一個(gè)問(wèn)題的思路更加清晰,找到了屬于自己的方法。當(dāng)然,在設(shè)計(jì)的過(guò)程中,不可能避免的遇到了很多問(wèn)題,如剛開(kāi)始思路比較混亂,沒(méi)有明確的方向。主要是如何將理論計(jì)算的模型轉(zhuǎn)換為仿真模型。因?yàn)樵诶碚撋?將低通轉(zhuǎn)換成高通,一般是變換將高通頻率特征轉(zhuǎn)換成低通原型頻率特征；而在軟件設(shè)計(jì)中,是對(duì)其傳遞函數(shù)進(jìn)行修改,即變換其z域的表達(dá)式,設(shè)計(jì)初期一直不知道如何將其聯(lián)系起來(lái)。后來(lái)發(fā)現(xiàn),其實(shí)變換傳遞函數(shù),也就是變換頻率特征,是將變換后的頻率代入原低通模型,而后得到高通模型的。通過(guò)這次課程設(shè)計(jì),最重要的不是學(xué)到了多少東西,而是學(xué)會(huì)了在面對(duì)問(wèn)題時(shí),如何通過(guò)各種資源,各種途徑去尋找解決問(wèn)題的方法,這將會(huì)使自己受益終生。8參考文獻(xiàn)[1]《數(shù)字信號(hào)處理與其MATLAB實(shí)現(xiàn)》,VinayK.Ingle主編,電子工業(yè),1998年出版。[2]《Dig