學(xué)考專題11 立體幾何（解析版）

學(xué)考專題11立體幾何考點歸納考點歸納立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：常見立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個面都是平行四邊形四個公理與一個定理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.空間中點線面的位置關(guān)系點與直線的位置關(guān)系點在直線上點不在直線上點與面的位置關(guān)系點在平面上點不在平面上線與線的位置關(guān)系平行，相交，，異面線與面的位置關(guān)系面與面的位置關(guān)系平行，相交，與重合空間中的平行關(guān)系線線平行①三角形、四邊形中位線，②平行四邊形的性質(zhì)（對邊平行且相等）③內(nèi)錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行圖形語言符號語言線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語言符號語言面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行圖形語言符號語言判定定理2：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行圖形語言符號語言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關(guān)系線線垂直①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直②勾股定理的逆定理證線線垂直③菱形、正方形的對角線互相垂直線面垂直的判定定理判定定理：一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直圖形語言符號語言線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線圖形語言符號語言性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行圖形語言符號語言面面垂直的判定定理判定定理：一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）圖形語言符號語言面面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面圖形語言符號語言真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如果兩個球的表面積之比為4∶9，那么這兩個球的體積之比為（）A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81【答案】C【分析】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可計算.【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為，則，∴，所以兩球的體積比為；故選：C.2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將個半徑為的實心鐵球熔成一個大球，則這個大球的半徑是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)大球體積等于個半徑為的實心鐵球的體積和，結(jié)合球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】個半徑為的實心鐵球的總體積為，設(shè)大球半徑為，則，解得：.故選：C.3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是空間中兩條不同的直線，是空間中兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由空間線面關(guān)系的判定及性質(zhì)依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，若，的位置關(guān)系無法確定，A錯誤；對于B，由面面平行的性質(zhì)知，若，則，B正確；對于C，若，則或，C錯誤；對于D，若，則的關(guān)系無法確定，D錯誤.故選：B.4．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間中，設(shè)l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列結(jié)論正確的是（

）A．若lα，lβ，則αβ B．若l⊥α，l⊥β，則αβC．若lα，αβ，則lβ D．若lα，α⊥β，則l⊥β【答案】B【分析】根據(jù)線面平行、面面平行及線面垂直的條件判斷即可．【詳解】解：A．由于一條直線與兩個平面平行，這兩個平面可以平行，也可以相交，本選項不符合題意；B．根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，本選項符合題意；C．若lα，αβ，則lβ或l?β，本選項不符合題意；D．若lα，α⊥β，則l⊥β或lβ或l?β，本選項不符合題意．故選：B．5．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知α和β是兩個不同平面，A:，B:α和β沒有公共點，則A是B的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.【詳解】兩個平面平行的定義是：兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行，因此是的充要條件．故選：C．6．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系即可判斷.【詳解】①若，且，可能平行，可能垂直，可能異面，故“”是“”的不充分條件；②若，可能平行，可能相交，可能垂直.故則“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.7．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，，是空間中三條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，且，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】A【分析】利用線面的位置關(guān)系的定義及面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定即可求解.【詳解】，，是空間中三條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，知：對于A，若，，，則由線面平行的判定定理得，故A正確；對于B，若，且，，則與相交、平行或，故B錯誤；對于C，若，，，則、、相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤．故選：A.8．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，是互不重合的平面，，，是互不重合的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，，則【答案】B【分析】對于A，可能相交，也可能平行，可判斷A;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷B;對于C，判斷m,n可能平行也可能異面，即可判斷正誤，對于D，根據(jù)線面垂直的的判定定理可判斷.【詳解】對于A，，，，則可能相交，也可能平行，故A錯誤‘對于B,若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；對于C,若，，，則m,n可能平行也可能異面，故C錯誤；對于D，若，，，，由于不能確定m,n是否相交，故不能確定，故D錯誤，故選:B9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，點E，F(xiàn)分別在上．若，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能確定【答案】A【分析】由線面平行的判定定理判斷【詳解】因為，所以．又平面平面，所以平面．故選：A10．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【分析】利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項.【詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C11．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】還原為正方體根據(jù)空間直線的位置關(guān)系結(jié)合正方體的性質(zhì)即得.【詳解】把平面展開圖折起，得到如圖所示的正方體,則BF與DN是異面直線，故①錯誤；CM與BN平行，故②錯誤；由題可知，所以DF與BN垂直，故③正確；AE與DN是異面直線，故④正確；故正確個數(shù)為2．故選：B.12．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知表面積為的圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)列式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意可得，解得.故選：A.13．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.【詳解】如圖，連接，，則,

，分別是，的中點，，是異面直線與所成的角，且是等邊三角形，.故選：.14．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷ABD選項，利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，而，則與所成的角為，故與不垂直，A錯；對于B選項，連接，因為平面，平面，，所以，為銳角，因為，故與所成角不是直角，B錯；對于C選項，連接、，因為且，故四邊形為平行四邊形，故、所成角為或其補角，設(shè)正方體的棱長為，則，即是等邊三角形，故，C錯；對于D選項，四邊形為正方形，則，平面，平面，，，、平面，平面，平面，，D對.故選：D.二、填空題15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在正方體中，M，N分別為棱，的中點，則異面直線BN與AM所成角的余弦值為.【答案】/【分析】根據(jù)異面直線夾角得概念結(jié)合圖形分析可得或其補角為異面直線BN與AM所成的角，利用勾股定理可得，，結(jié)合余弦定理運算求解．【詳解】設(shè)正方體的棱長為a，如圖，連接，，易知，所以或其補角為異面直線BN與AM所成的角.則，，，所以.故答案為：．16．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）棱長為的正方體的內(nèi)切球的直徑為.【答案】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】棱長為的正方體的內(nèi)切球的直徑為.故答案為：.17．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）圓錐的母線與高的夾角為，底面是半徑為2的圓，則該圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】利用圓錐的軸截面是等邊三角形以及側(cè)面積是扇形的特點，運用扇形的面積公式求解即可.【詳解】圓錐的軸截面以及側(cè)面展開圖如圖所示，圓錐的母線與高的夾角為，底面是半徑為2，，圓錐的側(cè)面積為：故答案為：.18．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，則圓柱的體積為．【答案】【分析】利用圓柱的側(cè)面積公式可以求出圓柱底面圓的半徑，然后代入圓柱的體積公式即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得，所以該圓柱的體積為.故答案為：.19．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為．【答案】【分析】由已知中直觀圖中線段的長，可分析出實際為一個直角邊長分別為、的直角三角形，進而根據(jù)勾股定理求出斜邊，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】根據(jù)斜二測畫法的原則,由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且，,所以，所以，故邊上中線長為.故答案為：2.5.20．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知圓柱的底面積為9π，側(cè)面積為12π，則該圓柱的體積為．【答案】18π【分析】由圓柱的側(cè)面積公式與圓面積公式求得底面半徑和高，再由體積公式計算．【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，由題意，解得，所以體積為．故答案為：．三、解答題21．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，某幾何體的下部分是長?寬均為8，高為3的長方體，上部分是側(cè)棱長都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）按照公式求出長方體和四棱錐的體積，求和即可；（2）先找到四棱錐側(cè)面的高，然后可求出四棱錐的側(cè)面積，繼而求長方體的表面積，求和即可.【詳解】連接，交于點，取的中點，連接，，（1）∴（2）∵，∴【點睛】易錯點睛：求棱錐的表面積時要注意高為面的高，而不是棱錐的高.22．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，平面平面，且.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，進而證明平面；（2）取的中點O，連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)求解即可【詳解】（1）證明：因為平面平面，所以.因為，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面平面，所以平面.（2）取的中點O，連接.在等邊三角形中，因為平面平面，所以.因為，平面，所以平面.又，所以.23．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點．證明：EF∥平面AB1D1．【答案】證明見解析【分析】由直線與平面平行的判定定理，需要證明EF∥AD1.【詳解】證明:連接BC1，如圖所示∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，∴EF∥BC1，在四棱柱中,底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，有BC1∥AD1，∴EF∥AD1，∵EF?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1．24．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別是、的中點．證明：平面．【答案】證明見解析【分析】取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：取的中點，連接、，因為、分別是、的中點，所以且．因為四邊形為平行四邊形，則且，為的中點，則且，且，所以，四邊形為平行四邊形，故，平面，平面，平面.25．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，圓的直徑為4，直線PA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點.(1)證明BC⊥面PAC；(2)若求PB與面PAC的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由已知線面垂直得，由圓性質(zhì)得，再由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）由（1）得是與平面所成的角，然后求出，再利用直角三角形得結(jié)論．【詳解】（1）證明：平面，平面，∴，同理，是圓直徑，在圓周上，因此，又，平面，∴平面；（2）由（1）平面，∴是與平面所成的角，又平面，∴，由已知，，所以，∴與平面所成的角是．26．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，O為AC與BD的交點．(1)證明：平面PAC．(2)若M為PD的中點，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明和，原題即得證；（2）求出三棱錐的底面積和高即得解.【詳解】（1）證明：∵底面ABCD，∴．∵底面ABCD是正方形，∴．∵平面PAC．，∴平面PAC．（2）∵O為AC與BD的交點，∴O為AC與BD的中點，∴．∵M為PD的中點，∴點M到平面OCD的距離為．∴．27．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在三棱柱中，，，點是的中點.（1）求證：平面；（2）若側(cè)面為菱形，求證：.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）連接，交于點，連接，由三角形中位線定理可得,再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）連接，則可得，由已知條件可得平面，則有，由線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為，的中點，因為點是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）證明：連接，因為四邊形為菱形，所以，因為，，,所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以28．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知的斜邊為AB，過點A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求證：(1)BC⊥平面PAC；(2)PB⊥平面AMN.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可證得PA⊥BC，BC⊥AC，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明.【詳解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵是直角三角形，AB為斜邊，∴BC⊥AC，又AC∩PA=A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.（2）由（1）知BC⊥平面PAC，∵AN?平面PAC，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC平面PBC，∴AN⊥平面PBC，又PB?平面PBC，∴AN⊥PB，又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN?平面AMN，∴PB⊥平面AMN.29．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，分別是，的中點.(1)若，求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明面，又由中位線定理，可得，進而證明出結(jié)果.【詳解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱錐中，底面，，∴；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分別是，的中點，∴，∴平面.30．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱DD1的中點．求證：BD1∥平面ACE．【答案】答案見解析【分析】連接BD交AC于點O，可得EO∥BD1，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可得證.【詳解】連接BD交AC于點O，連接EO，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以O(shè)為BD的中點，又因為E為DD1的中點，所以EO為△BD1D的中位線，所以EO∥BD1，又因為BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE．31．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點.(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)VE-ABC=【詳解】本題主要考查立體幾何中點線面位置關(guān)系，并以我們熟悉的四棱錐為載體，盡管側(cè)重推理和運算，但所用知識點不多，運算也不麻煩，對于大多考生來說還是一道送分題．(Ⅰ)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD,又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點G,則EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AP=AB，PAB=90°,BP=2，∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.點評：本題是我們常見的題型，相比平時那些求角及距離的題要容易的多，并且所考知識點不多運算也不麻煩，是一道基礎(chǔ)題．32．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點.（1）求證:EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱錐F-AEC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）4.【解析】（1）連接有中位線，結(jié)合與面的關(guān)系，由線面平行的判定即可證面；（2）過作交于易知是三棱錐F-AEC的高，結(jié)合已知有即可求三棱錐F-AEC的體積.【詳解】（1）連接，在△中為中位線，故，∵面，面∴面；（2）過作交于，如下圖示：∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱錐F-AEC的高，又F為PC的中點，∴由PA=6，則，又AB=AC=4，E為BC的中點且AB⊥AC，知：，∴三棱錐F-AEC的體積.【點睛】本題考查了應(yīng)用線面平行的判定證明線面平行，應(yīng)用三棱錐體積公式求體積，屬于簡單題.33．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在直三棱柱中，，為中點.(1)求證：平面；(2)若，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由，根據(jù)線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)（1）可知棱錐高，利用體積公式求解可.【詳解】（1），為中點，,在直三棱柱中，平面,平面.，又,平面（2），為中點，，由（1）知，四棱錐的高即為，又，所以，.34．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在正方體中，M，N分別是線段，BD的中點.

(1)求證：平面；(2)若正方體的棱長為2，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，可得三棱錐的高，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，求得三棱錐的底面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】（1）連接，如下圖：

是線段的中點，底面是長方形，是線段的中點，又是線段的中點，在中，，平面，平面，平面.（2）取的中點為，連接，如下圖：

分別是線段的中點，在中，，，又在正方體中，平面，平面，為的中點，，.35．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP=OC，PA⊥PD.求證：(1)直線平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；（2）利用平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案.【詳解】（1）如圖，連接OE，因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以O(shè)為AC的中點.又E為PC的中點，所以.因為平面BDE，平面BDE，所以直線平面BDE.（2）因為，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因為OP=OC，E為PC的中點，所以O(shè)E⊥PC.又平面PCD，平面PCD，，所以O(shè)E⊥平面PCD.因為平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.36．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB平面ABC,為等邊三角形，,且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點.(1)求證：VB//平面MOC；(2)求三棱錐V-ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】試題分析：（1）要證明線面平行，就是要證線線平行，題中有中點，由中位線定理易得線線平行，注意得出線面平行結(jié)論時，必須把判定定理的條件寫全；（2）要求三棱錐的體積，首先要確定高，本題中有面面垂直，由此易得與底面垂直，因此就是高，求出其長，及面積，可得體積．試題解析：（1）證明：點O,M分別為AB,VA的中點又(2)解：連接VO，則由題知VO平面ABC,VO為三棱錐V-ABC的高.又考點：線面平行的判斷，體積．37．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.（1）求證：平面；

（2）求證：平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】試題分析：（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，通過中位線的性質(zhì)得到，由線面平行判定定理得結(jié)果；（2）通過線面垂直得到，通過等腰三角形得到，由線面垂直判定定理可得平面.試題解析：（1）證明：連結(jié)交于點，連結(jié)，∵四邊形為正方形，∴為的中點，又∵為中點，∴為的中位線∴，又∵平面.（2）∵四邊形為正方形，∴，，∴面∴，又∵，為中點∴，∴面.點睛：本題主要考查了線面平行的判定，面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題；主要通過線線平行得到線面平行，常見的形式有：1、利用三角形的中位線