學(xué)考專題11 立體幾何（解析版）

學(xué)考專題11立體幾何考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：常見立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形四個(gè)公理與一個(gè)定理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)在平面上點(diǎn)不在平面上線與線的位置關(guān)系平行，相交，，異面線與面的位置關(guān)系面與面的位置關(guān)系平行，相交，與重合空間中的平行關(guān)系線線平行①三角形、四邊形中位線，②平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）③內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的判定定理判定定理1：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理2：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關(guān)系線線垂直①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直②勾股定理的逆定理證線線垂直③菱形、正方形的對(duì)角線互相垂直線面垂直的判定定理判定定理：一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理2：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面垂直的判定定理判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個(gè)平面，則兩個(gè)平面垂直（或：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則面面垂直）圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個(gè)平面圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如果兩個(gè)球的表面積之比為4∶9，那么這兩個(gè)球的體積之比為（）A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶81【答案】C【分析】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可計(jì)算.【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為，則，∴，所以兩球的體積比為；故選：C.2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球熔成一個(gè)大球，則這個(gè)大球的半徑是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)大球體積等于個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球的體積和，結(jié)合球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球的總體積為，設(shè)大球半徑為，則，解得：.故選：C.3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是空間中兩條不同的直線，是空間中兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由空間線面關(guān)系的判定及性質(zhì)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，的位置關(guān)系無(wú)法確定，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由面面平行的性質(zhì)知，若，則，B正確；對(duì)于C，若，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則的關(guān)系無(wú)法確定，D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間中，設(shè)l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是（

）A．若lα，lβ，則αβ B．若l⊥α，l⊥β，則αβC．若lα，αβ，則lβ D．若lα，α⊥β，則l⊥β【答案】B【分析】根據(jù)線面平行、面面平行及線面垂直的條件判斷即可．【詳解】解：A．由于一條直線與兩個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，本選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，本選項(xiàng)符合題意；C．若lα，αβ，則lβ或l?β，本選項(xiàng)不符合題意；D．若lα，α⊥β，則l⊥β或lβ或l?β，本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．5．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知α和β是兩個(gè)不同平面，A:，B:α和β沒有公共點(diǎn)，則A是B的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.【詳解】?jī)蓚€(gè)平面平行的定義是：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行，因此是的充要條件．故選：C．6．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系即可判斷.【詳解】①若，且，可能平行，可能垂直，可能異面，故“”是“”的不充分條件；②若，可能平行，可能相交，可能垂直.故則“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.7．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，，是空間中三條不同的直線，，，為空間三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，且，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】A【分析】利用線面的位置關(guān)系的定義及面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定即可求解.【詳解】，，是空間中三條不同的直線，，，為空間三個(gè)不同的平面，知：對(duì)于A，若，，，則由線面平行的判定定理得，故A正確；對(duì)于B，若，且，，則與相交、平行或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，則、、相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則或，故D錯(cuò)誤．故選：A.8．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，是互不重合的平面，，，是互不重合的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，，則【答案】B【分析】對(duì)于A，可能相交，也可能平行，可判斷A;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷B;對(duì)于C，判斷m,n可能平行也可能異面，即可判斷正誤，對(duì)于D，根據(jù)線面垂直的的判定定理可判斷.【詳解】對(duì)于A，，，，則可能相交，也可能平行，故A錯(cuò)誤‘對(duì)于B,若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；對(duì)于C,若，，，則m,n可能平行也可能異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，，由于不能確定m,n是否相交，故不能確定，故D錯(cuò)誤，故選:B9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在三棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上．若，則直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平面 D．不能確定【答案】A【分析】由線面平行的判定定理判斷【詳解】因?yàn)椋裕制矫嫫矫?，所以平面．故選：A10．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【分析】利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C11．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】還原為正方體根據(jù)空間直線的位置關(guān)系結(jié)合正方體的性質(zhì)即得.【詳解】把平面展開圖折起，得到如圖所示的正方體,則BF與DN是異面直線，故①錯(cuò)誤；CM與BN平行，故②錯(cuò)誤；由題可知，所以DF與BN垂直，故③正確；AE與DN是異面直線，故④正確；故正確個(gè)數(shù)為2．故選：B.12．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知表面積為的圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)列式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由題意可得，解得.故選：A.13．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.【詳解】如圖，連接，，則,

，分別是，的中點(diǎn)，，是異面直線與所成的角，且是等邊三角形，.故選：.14．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷ABD選項(xiàng)，利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，而，則與所成的角為，故與不垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，，所以，為銳角，因?yàn)椋逝c所成角不是直角，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，故、所成角為或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，即是等邊三角形，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，平面，平面，，，、平面，平面，平面，，D對(duì).故選：D.二、填空題15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線BN與AM所成角的余弦值為.【答案】/【分析】根據(jù)異面直線夾角得概念結(jié)合圖形分析可得或其補(bǔ)角為異面直線BN與AM所成的角，利用勾股定理可得，，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，如圖，連接，，易知，所以或其補(bǔ)角為異面直線BN與AM所成的角.則，，，所以.故答案為：．16．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的直徑為.【答案】【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的直徑為.故答案為：.17．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）圓錐的母線與高的夾角為，底面是半徑為2的圓，則該圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】利用圓錐的軸截面是等邊三角形以及側(cè)面積是扇形的特點(diǎn)，運(yùn)用扇形的面積公式求解即可.【詳解】圓錐的軸截面以及側(cè)面展開圖如圖所示，圓錐的母線與高的夾角為，底面是半徑為2，，圓錐的側(cè)面積為：故答案為：.18．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，則圓柱的體積為．【答案】【分析】利用圓柱的側(cè)面積公式可以求出圓柱底面圓的半徑，然后代入圓柱的體積公式即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得，所以該圓柱的體積為.故答案為：.19．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為．【答案】【分析】由已知中直觀圖中線段的長(zhǎng)，可分析出實(shí)際為一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為、的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出斜邊，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則,由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且，,所以，所以，故邊上中線長(zhǎng)為.故答案為：2.5.20．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知圓柱的底面積為9π，側(cè)面積為12π，則該圓柱的體積為．【答案】18π【分析】由圓柱的側(cè)面積公式與圓面積公式求得底面半徑和高，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，由題意，解得，所以體積為．故答案為：．三、解答題21．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，某幾何體的下部分是長(zhǎng)?寬均為8，高為3的長(zhǎng)方體，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）按照公式求出長(zhǎng)方體和四棱錐的體積，求和即可；（2）先找到四棱錐側(cè)面的高，然后可求出四棱錐的側(cè)面積，繼而求長(zhǎng)方體的表面積，求和即可.【詳解】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，（1）∴（2）∵，∴【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求棱錐的表面積時(shí)要注意高為面的高，而不是棱錐的高.22．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，已知多面體，其中是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，平面平面，且.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明平面；（2）取的中點(diǎn)O，連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)求解即可【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)O，連接.在等邊三角形中，因?yàn)槠矫嫫矫妫?因?yàn)椋矫?，所以平?又，所以.23．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)．證明：EF∥平面AB1D1．【答案】證明見解析【分析】由直線與平面平行的判定定理，需要證明EF∥AD1.【詳解】證明:連接BC1，如圖所示∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BC1，在四棱柱中,底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，有BC1∥AD1，∴EF∥AD1，∵EF?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1．24．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別是、的中點(diǎn)．證明：平面．【答案】證明見解析【分析】取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以且．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則且，為的中點(diǎn)，則且，且，所以，四邊形為平行四邊形，故，平面，平面，平面.25．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，圓的直徑為4，直線PA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點(diǎn).(1)證明BC⊥面PAC；(2)若求PB與面PAC的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由已知線面垂直得，由圓性質(zhì)得，再由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）由（1）得是與平面所成的角，然后求出，再利用直角三角形得結(jié)論．【詳解】（1）證明：平面，平面，∴，同理，是圓直徑，在圓周上，因此，又，平面，∴平面；（2）由（1）平面，∴是與平面所成的角，又平面，∴，由已知，，所以，∴與平面所成的角是．26．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，O為AC與BD的交點(diǎn)．(1)證明：平面PAC．(2)若M為PD的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明和，原題即得證；（2）求出三棱錐的底面積和高即得解.【詳解】（1）證明：∵底面ABCD，∴．∵底面ABCD是正方形，∴．∵平面PAC．，∴平面PAC．（2）∵O為AC與BD的交點(diǎn)，∴O為AC與BD的中點(diǎn)，∴．∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M到平面OCD的距離為．∴．27．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若側(cè)面為菱形，求證：.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得,再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）連接，則可得，由已知條件可得平面，則有，由線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危詾?，的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)?，?所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?8．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知的斜邊為AB，過點(diǎn)A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求證：(1)BC⊥平面PAC；(2)PB⊥平面AMN.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可證得PA⊥BC，BC⊥AC，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明.【詳解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵是直角三角形，AB為斜邊，∴BC⊥AC，又AC∩PA=A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.（2）由（1）知BC⊥平面PAC，∵AN?平面PAC，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC平面PBC，∴AN⊥平面PBC，又PB?平面PBC，∴AN⊥PB，又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN?平面AMN，∴PB⊥平面AMN.29．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，分別是，的中點(diǎn).(1)若，求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明面，又由中位線定理，可得，進(jìn)而證明出結(jié)果.【詳解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱錐中，底面，，∴；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵底面，面，∴，又，∴面，又，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴平面.30．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱DD1的中點(diǎn)．求證：BD1∥平面ACE．【答案】答案見解析【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，可得EO∥BD1，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可得證.【詳解】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以EO為△BD1D的中位線，所以EO∥BD1，又因?yàn)锽D1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE．31．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)VE-ABC=【詳解】本題主要考查立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系，并以我們熟悉的四棱錐為載體，盡管側(cè)重推理和運(yùn)算，但所用知識(shí)點(diǎn)不多，運(yùn)算也不麻煩，對(duì)于大多考生來說還是一道送分題．(Ⅰ)在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD,又∵AD平面PAD，EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G,則EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AP=AB，PAB=90°,BP=2，∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.點(diǎn)評(píng)：本題是我們常見的題型，相比平時(shí)那些求角及距離的題要容易的多，并且所考知識(shí)點(diǎn)不多運(yùn)算也不麻煩，是一道基礎(chǔ)題．32．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn).（1）求證:EF//平面PAB;（2）已知AB=AC=4，PA=6，求三棱錐F-AEC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）4.【解析】（1）連接有中位線，結(jié)合與面的關(guān)系，由線面平行的判定即可證面；（2）過作交于易知是三棱錐F-AEC的高，結(jié)合已知有即可求三棱錐F-AEC的體積.【詳解】（1）連接，在△中為中位線，故，∵面，面∴面；（2）過作交于，如下圖示：∵PA⊥平面ABC，∴⊥平面ABC，即是三棱錐F-AEC的高，又F為PC的中點(diǎn)，∴由PA=6，則，又AB=AC=4，E為BC的中點(diǎn)且AB⊥AC，知：，∴三棱錐F-AEC的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線面平行的判定證明線面平行，應(yīng)用三棱錐體積公式求體積，屬于簡(jiǎn)單題.33．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在直三棱柱中，，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由，根據(jù)線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)（1）可知棱錐高，利用體積公式求解可.【詳解】（1），為中點(diǎn)，,在直三棱柱中，平面,平面.，又,平面（2），為中點(diǎn)，，由（1）知，四棱錐的高即為，又，所以，.34．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在正方體中，M，N分別是線段，BD的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若正方體的棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，可得三棱錐的高，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，求得三棱錐的底面積，結(jié)合三棱錐的體積公式，可得答案.【詳解】（1）連接，如下圖：

是線段的中點(diǎn)，底面是長(zhǎng)方形，是線段的中點(diǎn)，又是線段的中點(diǎn)，在中，，平面，平面，平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，如下圖：

分別是線段的中點(diǎn)，在中，，，又在正方體中，平面，平面，為的中點(diǎn)，，.35．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP=OC，PA⊥PD.求證：(1)直線平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；（2）利用平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案.【詳解】（1）如圖，連接OE，因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又E為PC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，所以直線平面BDE.（2）因?yàn)椋琍A⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因?yàn)镺P=OC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PC.又平面PCD，平面PCD，，所以O(shè)E⊥平面PCD.因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE⊥平面PCD.36．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB平面ABC,為等邊三角形，,且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).(1)求證：VB//平面MOC；(2)求三棱錐V-ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】試題分析：（1）要證明線面平行，就是要證線線平行，題中有中點(diǎn)，由中位線定理易得線線平行，注意得出線面平行結(jié)論時(shí)，必須把判定定理的條件寫全；（2）要求三棱錐的體積，首先要確定高，本題中有面面垂直，由此易得與底面垂直，因此就是高，求出其長(zhǎng)，及面積，可得體積．試題解析：（1）證明：點(diǎn)O,M分別為AB,VA的中點(diǎn)又(2)解：連接VO，則由題知VO平面ABC,VO為三棱錐V-ABC的高.又考點(diǎn)：線面平行的判斷，體積．37．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；

（2）求證：平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】試題分析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，通過中位線的性質(zhì)得到，由線面平行判定定理得結(jié)果；（2）通過線面垂直得到，通過等腰三角形得到，由線面垂直判定定理可得平面.試題解析：（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，∵四邊形為正方形，∴為的中點(diǎn)，又∵為中點(diǎn)，∴為的中位線∴，又∵平面.（2）∵四邊形為正方形，∴，，∴面∴，又∵，為中點(diǎn)∴，∴面.點(diǎn)睛：本題主要考查了線面平行的判定，面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題；主要通過線線平行得到線面平行，常見的形式有：1、利用三角形的中位線