第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)1.根式n次方根概念如果存在實(shí)數(shù)x,使得xn=a,則x稱為a的,其中n>1,n∈N*

性質(zhì)當(dāng)n是時(shí),a的n次方根為x=

n當(dāng)n是時(shí),正數(shù)a的n次方根為x=±na,負(fù)數(shù)的偶次方根0的任意正整數(shù)次方根均為0,記為n0=根式概念當(dāng)na有意義的時(shí)候,na稱為,n稱為,a性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),na2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:a-mn=1amn=1nam(a>0,③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①asat=(a>0,s,t∈Q);

②(as)t=(a>0,s,t∈Q);

③(ab)s=(a>0,b>0,s∈Q).

3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1圖象定義域R值域

性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)x>0時(shí),;

當(dāng)x<0時(shí),

當(dāng)x>0時(shí),;

當(dāng)x<0時(shí),

在R上是

在R上是

常用結(jié)論1.函數(shù)y=ax+b(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1+b).2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象以x軸為漸近線.分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值1.化簡(jiǎn)[3(-5)2A.5 B.5 C.-5 D.-52.化簡(jiǎn)a23b12·-3a12b13÷1A.6a B.-a C.-9a D.9a23.計(jì)算:(32×3)6+(-2020)0-4×1649

-12+44.已知x+x-1=3,則x32+[總結(jié)反思]指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則:(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào);底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),先化成假分?jǐn)?shù).(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=(a-1)x2-2x-1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()圖2-10-1(2)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與y=xb的圖象如圖2-10-2所示,則下列不等式一定成立的是 ()圖2-10-2A.ba>0 B.a+b>0C.ab>1 D.loga2>b[總結(jié)反思](1)研究指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象要抓住三個(gè)特殊點(diǎn):(1,a),(0,1),-1,1a.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題的研究,往往利用指數(shù)函數(shù)的圖象,通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象.(3)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合求解.變式題(1)函數(shù)f(x)=12|x+1|的圖象大致為 ()圖2-10-3(2)設(shè)函數(shù)f(x)=e|lnx|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),則下列結(jié)論一定不成立的是 ()A.x2·f(x1)>1B.x2·f(x1)=1C.x2·f(x1)<1D.x2·f(x1)<x1·f(x2)探究點(diǎn)三利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題 微點(diǎn)1比較指數(shù)式的大小例2(1)已知a=3615,b=343,c=9A.b<a<c B.a<b<cC.a<c<b D.c<a<b(2)(多選題)已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式12a=13b,下列關(guān)系式可能正確的是 ()A.0<b<a B.0<a<bC.b<a<0 D.a=b=0[總結(jié)反思]比較指數(shù)式的大小,其依據(jù)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,原則上是將待比較的指數(shù)式化為同底的指數(shù)式,并要注意底數(shù)的范圍是(0,1)還是(1,+∞),若不能化為同底,則可化為同指數(shù)或利用中間變量比較.微點(diǎn)2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式例3(1)已知關(guān)于x的不等式2x-a>0在區(qū)間-1,-12上有解,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.-∞,12 B.-∞,22C.12,22 D.22,+∞(2)若f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)滿足f(x)=2x-4,則不等式f(x-2)>0的解集為.

[總結(jié)反思](1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).(3)有些含參數(shù)的指數(shù)不等式,需要分離變量,轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題.微點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題例4(1)已知函數(shù)f(x)=3x+13x,則使得f(2x)>f(x+1)成立的x的取值范圍是 ()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.-13,1 D.-∞,-13∪(1,+∞)(2)若關(guān)于x的不等式4ax-1<3x-4(a>0且a≠1)對(duì)于任意的x>2恒成立,則a[總結(jié)反思]指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題,主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值等,應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決,而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性,注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】下列關(guān)系中正確的是 ()A.12

23<15

23<12B.12

13<12

23<15C.15

23<12

13<12D.15

23<12

23<122.【微點(diǎn)1】(多選題)已知a=2,b=55,c=77,則 (A.a>b B.c>b C.b>c D.b>a3.【微點(diǎn)2】若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-∞,-4)C.[-8,-4) D.(-∞,-8]4.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=ex(1+x),那么不等式f(x)<0的解集是 ()A.(-∞,-e) B.(-∞,-1)C.(-∞,1) D.(-∞,e)5.【微點(diǎn)3】已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2x-t,若對(duì)任意x1∈[1,6),總存在x2∈[1,6),使得f(x1)=g(x2A.t<1 B.t≥28或t≤1C.t>28或t<1 D.1≤t≤28同步作業(yè)1.若函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則 ()A.a>0且a≠1 B.a=1C.a=1或a=2 D.a=22.設(shè)m,n∈R,則“m<n”是“12m-n>1”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值之和為10,則a的值為 ()A.13 B.C.±3 D.±14.化簡(jiǎn)a3b2·3ab2A.ab BC.ba D.5.已知函數(shù)g(x)=3x+t的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限,則t的取值范圍為 ()A.t≤-1 B.t<-1C.t≤-3 D.t≥-36.函數(shù)f(x)=3x+5的值域是.

7.已知a=235,b=325,c=5A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.c<a<b8.已知函數(shù)f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4],當(dāng)x=a時(shí),f(x)取得最大值b,則函數(shù)g(x)=a|x+圖K10-19.已知0<a<b<1,則 ()A.(1-a)1b>(1-aB.(1-a)b>(1-a)C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b10.(多選題)已知函數(shù)f(x)=2021x-2021-x+1,則下列說(shuō)法正確的是 ()A.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)B.關(guān)于x的不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集為14,+∞C.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心是(0,1)11.2019年7月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=N0·2-T5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過(guò)5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的;經(jīng)過(guò)測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的37至12,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到年之間.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.12.已知函數(shù)f(x)=13

ax2-4x+3,若f(x13.已知函數(shù)f(x)=2x+(a-a2)·4x,其中a∈R.(1)當(dāng)a=2時(shí),求滿足f(x)≥0的實(shí)數(shù)x的取值范圍;(2)若x∈(-∞,1]時(shí),函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=-1的上方,且a