概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)徐雅靜版課后題答案1-7章

的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。8.已知一本300頁(yè)的書(shū)中，每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，試求整書(shū)中的印刷錯(cuò)誤總數(shù)不多于70個(gè)的概率．解：記每頁(yè)印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為，i=1，2，3，…300，則它們獨(dú)立同服從參數(shù)為0.2的泊松分布，所以E（Xi）=0.2，D(Xi)=0.2所以9.設(shè)車間有100臺(tái)機(jī)床，假定每臺(tái)機(jī)床是否開(kāi)工是獨(dú)立的，每臺(tái)機(jī)器平均開(kāi)工率為0.64，開(kāi)工時(shí)需消耗電能a千瓦，問(wèn)發(fā)電機(jī)只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)？解：設(shè)發(fā)電機(jī)只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)，記X為100臺(tái)機(jī)床中需開(kāi)工的機(jī)床數(shù)，則X~B(100，0.64),E（aX）=64a，D(aX)=100×0.64×0.36，所以10.某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元．若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬(wàn)元．設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率．解：設(shè)當(dāng)年內(nèi)投保老人的死亡數(shù)為X，則X~B(10000,0.017)。保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的保險(xiǎn)虧本的概率為所以保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率是0.01四、應(yīng)用題1.某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額（單位：元）服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，求該餐廳的日營(yíng)業(yè)額在其平均營(yíng)業(yè)額760元內(nèi)的概率．解：設(shè)每位顧客的消費(fèi)額為Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，則，由獨(dú)立同分布的中心極限定理,所以2.設(shè)某型號(hào)電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)當(dāng)一元件損壞后立即更換另一新元件，已知每個(gè)元件進(jìn)價(jià)為110元，試問(wèn)在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng)（假定一年工作時(shí)間為2000小時(shí)）．解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進(jìn)m/110個(gè)元件，記第件的壽命為Xi小時(shí)，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E（Xi）=20，D(Xi)=400，==0.95，所以所以m=12980即在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作12980元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng).3.據(jù)調(diào)查某村莊中一對(duì)夫妻無(wú)孩子、有1個(gè)孩子、有2個(gè)孩子的概率分別為0.05，0.8，0.15．若該村共有400對(duì)夫妻，試求：(1)400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過(guò)450的概率；(2)只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率．解：(1)設(shè)第k對(duì)夫妻孩子數(shù)為Xk，則Xk的分布律為Xk012p0.050.80.15則，故即400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過(guò)450的概率為0.1357(2)設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對(duì)數(shù)，則Y~B(400,0.8)，即只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為0.9938．（B）1.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：（提示：利用Chebyshev不等式）．證明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式==2.設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律．Xn0pk1/41/21/4證明：，又因?yàn)楠?dú)立且同分布，所以服從切比雪夫大數(shù)定律.3.設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，，又存在（n=1,2,…），證明：．（提示：利用Chebyshev大數(shù)定律）證明：因?yàn)殡S機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，所以也獨(dú)立同分布，存在由Chebyshev大數(shù)定律，第六章（A）三、解答題1.已知總體X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一個(gè)樣本，求(1)X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律;(2)的分布律;(3)解：因?yàn)閄的分布律為且X1，X2，…，Xn均于X獨(dú)立同分布，所以（1）X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所?.從總體N(52，6.32)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本，計(jì)算樣本均值落在50.8到53.8之間的概率．解：因?yàn)閄~N(52，6.32)，所以，3.某種燈管壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布X～N(，2)，為來(lái)自總體X的樣本均值．(1)求與的偏差大于的概率．(2)若未知，2=100，現(xiàn)隨機(jī)取100只這種燈管，求與的偏差小于1的概率．解：因?yàn)閄～N(，2)，，所以(1)(2)因?yàn)?=100，n=100，，所以4.在天平上反復(fù)稱量重量為w的物體，每次稱量結(jié)果獨(dú)立同服從N(w，0.04)，若以表示n次稱重的算術(shù)平均，則為使，n至少應(yīng)該是多少？解：X1，X2，…，Xn為稱重的結(jié)果，則X1，X2，…，Xn相互對(duì)立且均服從N(w，0.04)，于是，欲使，須使，即解得查表得由于是遞增函數(shù)，須使解得n>15.366,故n至少為16.5.從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，…，X10(1)已知=0，求；(2)未知，求．解：（1）因?yàn)閄i～N(0，0.52)，，即,令，則由于查表知，所以.(2)）因?yàn)閄i～N(，0.52)，即，所以,,=，查表知，所以6.已知X~t(n)，求證X2~F(1，n)．證明：因?yàn)閄~t(n)，存在Y～N(0，1)，Z～2(n)，Y與Z獨(dú)立，使，由于，，且Y2與Z獨(dú)立，所以.第七章7（A）三、解答題1.設(shè)總體服從幾何分布，分布律為，()求的矩估計(jì)量．解：因?yàn)?，所以X的一階矩用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到所以的矩估計(jì)量為2.求均勻分布中參數(shù)的矩估計(jì)量．解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，總體X的一階、二階矩分別為2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩1和2，得到解得的矩估計(jì)量為3.設(shè)總體的概率密度為，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量．解：總體X的一階為用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到4.設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求和的矩估計(jì)量．解：總體X的一階為總體X的二階為用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩1和2，得到解得和的矩估計(jì)量為，.5.設(shè)，m已知，未知，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量．解：由于X的分布律為基于樣本觀測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)量為6.設(shè)總體的概率密度為，今從X中抽取10個(gè)個(gè)體，得數(shù)據(jù)如下:1050110010801200130012501340106011501150試用最大似然估計(jì)法估計(jì)．解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，基于樣本觀測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，令，解得．考慮到所以，θ的最大似然估計(jì)值為將數(shù)據(jù)代入計(jì)算，θ的最大似然估計(jì)量為0.0008587.設(shè)某電子元件的使用壽命的概率密度為為未知參數(shù)，是的一組樣本觀測(cè)值，求的最大似然估計(jì)值．解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，基于樣本觀測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為容易看出θ越大L()越大，在約束下，即為θ最大似然估計(jì)值。8.設(shè)是取自總體N(，1)的一個(gè)樣本，試證下面三個(gè)估計(jì)量均為的無(wú)偏估計(jì)量，并確定最有效的一個(gè)．，，證明：因?yàn)楠?dú)立均服從N(，1)，且.所以，，均為的無(wú)偏估計(jì)量。又因?yàn)樗宰钣行А?.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．是任意常數(shù),證明是的無(wú)偏估計(jì)量．證明：因?yàn)閄i的數(shù)學(xué)期望均為，所以故是的無(wú)偏估計(jì)量．10.設(shè)總體是來(lái)自X的一個(gè)樣本．(1)試確定常數(shù)c，使為2的無(wú)偏估計(jì);(2)試確定常數(shù)c，使為2的無(wú)偏估計(jì)．解：（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，為2的無(wú)偏估計(jì)。（2）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，為2的無(wú)偏估計(jì)。11.設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（以小時(shí)計(jì)）分別為6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0設(shè)干燥時(shí)間總體服從N(，2)；在下面兩種情況下，求的置信水平為0.95的置信區(qū)間．(1)由以往的經(jīng)驗(yàn)知=0.6(小時(shí));(2)未知．解：（1）由于=0.6，求的置信區(qū)間由公式計(jì)算，其中n=9，=0.05，1.96，，代入計(jì)算得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（5.608，6.392）.（2）由于未知，求的置信區(qū)間由公式計(jì)算，其中n=9，=0.05，=2.306，，，代入計(jì)算得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（5.558，6.442）12.某機(jī)器生產(chǎn)圓筒狀的金屬品，抽出9個(gè)樣品，測(cè)得其直徑分別為1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此機(jī)器所生產(chǎn)的產(chǎn)品，平均直徑的置信水平為99%的置信區(qū)間．假設(shè)產(chǎn)品直徑近似服從正態(tài)分布．解：設(shè)X~N(,2),由于2未知，的置信區(qū)間為，其中n=9，=0.01，，，，代入計(jì)算得的置信水平為99%的置信區(qū)間為（0.978，1.033）.13.某燈泡廠從當(dāng)天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取9只進(jìn)行壽命測(cè)試，取得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布，試求當(dāng)天生產(chǎn)的全部燈泡的平均壽命的置信水平為95%的置信區(qū)間．解：設(shè)X~N(,2),由于未知，的置信區(qū)間為，其中n=9，=0.05，=2.306，，代入計(jì)算得的置信水平為95%的置信區(qū)間為（1071.78，1210.45）.14.假設(shè)某種香煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取此種香煙8支為一樣本，測(cè)得其尼古丁平均含量為18.6毫克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=2.4毫克，試求此種香煙尼古丁含量方差的置信水平為0.99的置信區(qū)間．解：設(shè)X~N(,2),由于未知，2的置信區(qū)間為其中n=8，=0.01，，s=2.4，代入計(jì)算得的置信水平為95%的置信區(qū)間為（1.99，40.76）.15.從某汽車電池制造廠生產(chǎn)的電池中隨機(jī)抽取5個(gè)，測(cè)得其壽命分別為1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求電池壽命方差的置信水平為95%的置信區(qū)間，假設(shè)電池壽命近似服從正態(tài)分布．解：設(shè)X~N(,2),由于未知，2的置信區(qū)間為其中n=5，=0.05，，，，代入計(jì)算得方差的置信水平為95%的置信區(qū)間為（0.29，6.73）.16.設(shè)使用兩種治療嚴(yán)重膀胱疾病的藥物，其治療所需時(shí)間（以天計(jì)）均服從正態(tài)分布．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:使用第一種藥物使用第二種藥物假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求使用兩種藥物平均治療時(shí)間之差的置信水平為99%的置信區(qū)間．解：設(shè)兩正態(tài)總體分別為X~N(1,12)，Y~N(2,22)，由于12=22未知，的置信區(qū)間為，其中查t分布分位數(shù)表知t/2(n1+n2–2)=t0.005(28)=2.1199．故得的置信水平為0.99的置信區(qū)間為（-3.3，-2）．17.測(cè)得兩個(gè)民族中各8位成年人的身高（單位:cm）如下A民族：162.6170.2172.7165.1157.5158.4160.2162.2B民族：175.3177.8167.6180.3182.9180.5178.4180.4假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求兩個(gè)民族平均身高之差1–2的置信水平為90%的置信區(qū)間．解：由于總體方差相等但未知，可采用計(jì)算1–2的置信區(qū)間．其中，由兩個(gè)民族的觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得查t分布分位數(shù)表知t/2(n1+n2–2)=t0.05(14)=1.761．故得1–2的置信水平為0.90的置信區(qū)間為(-18.78，-9.80)．18.工人和機(jī)器人獨(dú)立操作在鋼部件上鉆孔，鉆孔深度分別服從N(1，12)和N(2，22)，1，2，12，22均未知，今測(cè)得部分鉆孔深度（單位:cm）如下工人操作：4.023.944.034.023.954.064.00機(jī)器人操作:4.014.034.024.014.003.994.024.00試求的置信水平為0.90的置信區(qū)間．解：由于1和2未知，可采用計(jì)算的置信區(qū)間．由兩樣本觀測(cè)值計(jì)算得，，=0.1，查F分布的分位數(shù)表知F0.05(6,7)=3.87，F(xiàn)0.95(6,7)=故得的置信水平為0.95的置信區(qū)間為．19.求12題中的置信水平為0.95的單側(cè)置信區(qū)間下限．解：設(shè)X~N(