2023-2024學(xué)年山西省大同市育英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2023年山西省大同市育英中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.過(guò)曲線a2-b"2=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)典作曲線G：x'+y2=a2的切線，設(shè)切點(diǎn)

為M,延長(zhǎng)FM交曲線Cs：y=2px(p>0)于點(diǎn)N,其中曲線G與C3有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若

iMFthlMNl，則曲線Q的離心率為()

遙+]

A.V5B.V5-1C.V5+1D.2

參考答案：

D

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0),利用。為FE的中點(diǎn)，M為FiN的中點(diǎn)，可

得0M為△NFM的中位線，從而可求|NFj,再設(shè)N(x,y)過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股

定理得出關(guān)于a,c的關(guān)系式，最后即可求得離心率.

【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為R,則F?的坐標(biāo)為(c,0)

因?yàn)榍€3與G有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以y?=4cx

因?yàn)?為FE的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，所以0M為△NFF2的中位線，

所以0M〃NF?,

因?yàn)閨0M|=a,所以|NF?|=2a

又NF?_LNFi,|FF21=2c所以|NF』=2b

設(shè)N(x,y),則由拋物線的定義可得x+c=2a,

??x=2a-c

過(guò)點(diǎn)Fi作x軸的垂線，點(diǎn)N到該垂線的距離為2a

由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2)

得e?-e-1=0,

遙+]

/.e=2.

故選：D

2.已知二,七.)為虛數(shù)單位，且(工一2)(—/=一1+1,則(1+產(chǎn)的值為()

A.4B.T

C.4+4D.2*

參考答案：

B

11

3.設(shè)4=05?.6=09n沼黑，則a,b,c的大小關(guān)系是().

A.a>obB.c>a>bc.a>b>cD.

b>a>c

參考答案：

D

略

4.設(shè)全集U=R,，={xR=lg(2x-/)),5=處=2七叫，則(CJ)C8=

A.(p,o)B.(0Jc.oa￡[24c°)

參考答案：

D

略

04x4加

＜《2

5.已知M(x,y)為由不等式組,所確定的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)

A(加，1),則z=5的最大值為()

A.3B.為歷C.4D.W2

參考答案：

C

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合；平面向量及應(yīng)用.

分析：由約束條件作出可行域，化向量數(shù)量積為線性目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,

求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

04x《加

y<2

解答：解：由約束條件y作出可行域如圖,

A1版,1),M(x,y),

/.z=OM-0A=V2x+y,化為y=-42x+z,

由圖可知，當(dāng)直線尸-&x+z過(guò)B(V2)2)時(shí)，

z有最大值為：V2X72+2=4.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了平面向量的數(shù)量積，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思

想方法，是中檔題.

6.如圖，梯形ABCD中，AD//BC,ZABC='^->',AD：BC：AB=2:3:4,E、F分另lj是AB.CD

的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折.給出四個(gè)結(jié)論：

①。F_LBC；②BD_LFC；③平面OBF_L平面BFC；④平面OCF_L平面BFC.在翻折過(guò)程中，

可能成立的結(jié)論是

)

A.①③B.②③C.②④

參考答案:

B

略

近

7.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為2,一個(gè)內(nèi)角為60°的菱

正次圖優(yōu)視圖

區(qū)

形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為*,**

A.24B,44C.8D.4

參考答案:

D

/(x)="cos(2x+⑸+sm(2x+0)(I<P|<—)人

8.設(shè)函數(shù)2,且其圖象關(guān)于直線x=0對(duì)

稱(chēng)，則

/Q馬

(A)的最小正周期為兀，且在'''5上為增函數(shù)

(B)y=/a)的最小正周期為二明且在“虧上為減函數(shù)

coy=yg的最小正周期為5,且在“口上為增函數(shù)

(D)的最小正周期為5,且在,"N上為減函數(shù)

參考答案：

B

9.如圖，若程序框圖輸出的S是126,

則判斷框①中應(yīng)為()

A.為三5?B.為46?

C.附《7?D.壽48?

參考答案：

B

略

10.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若點(diǎn)(a,b)在直線

x(stn4+sm3>飛

>$inB=c$mC上.則角c的值為

nn竺

A.6B.6C.3D.3

參考答案：

D

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

(2Vx-

11.二項(xiàng)式Jx展開(kāi)式中含X2項(xiàng)的系數(shù)是。

參考答案：

-192

x一尸A0

,x+”°x.(ly

12.已知實(shí)數(shù)思尸滿足條件〔x'l，則'5的最大值為.

參考答案：

￡

2

略

13.等比數(shù)列區(qū)｝中各項(xiàng)均為正數(shù),和是其前n項(xiàng)和，且滿足2s3=8%+3a2,a4=16,則

S4=.

參考答案：

30

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q>0,???2S3=8ai+3a2,a4=16,

3

/.2ai(1+q+q2)=ai(8+3q),al=16,

解得ai=q=2.

2(2"1)

則S4=2-1=30.

故答案為：30.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

中檔題.

2.在等差數(shù)列｛"J中，若ai+a2+a3+a4=30,則a?+a3=.

參考答案：

15

15.平面區(qū)域〃={5。),+7￡6,了M0)、0)./={",尸),乏4.尸=04―2>,0),若

向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域力的概率為.

參考答案：

2

9

16.在單位正方體4EB-A耳GA的面對(duì)角線43上存在一點(diǎn)一使得4尸+9。最短，則

AP+可的最小值_______________________.

參考答案：

^24"^2

布分析，將三角形448燒4S旋好到與平面48尊其面,此時(shí)NA46G35'由余

法定理*^J=l+l-2xlxlx?wl35*=2+^,所以4P.0P的最小值為

4=也+反

17,已知向量〃=0，-4)力=(0-1),則向量2在向量3的方向上的投影

是.

參考答案：

4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.已知a>0,b>0,a+b=2.

1_4

(1)求a+b的最小值；

abG/^+V^)

(2)求證：a+bW1.

參考答案：

【考點(diǎn)】7F：基本不等式.

【分析】(1)分式類(lèi)型，巧運(yùn)用a+b的式子即可；

世(五+五)Va+Vb/a+ba+b

(2)利用基本不等式轉(zhuǎn)化為五=ab?-2—E)2求解即可.

【解答】解：(1)a+b=2.

—14——1-a-+-b-..4.(.a.+.b..)-1X、，-b-,\4a9

/.a+b=2(a+b)=2(5+ab)22僅當(dāng)(b=2a等號(hào)成立)；

abG/^+C)Va+Vb/a+ba+b

(2)證明：a+b=ab?-2―?(~2~)2=1.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成

立).

19.(本小題滿分12分)

某玩具廠生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每個(gè)玩具的材料成本為20元，加工費(fèi)為t元(t為常

數(shù)，且2￡t三5),出廠價(jià)為x元(25Wx￡40),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查知，日銷(xiāo)售量q(單位：個(gè))

與3成反比，且當(dāng)每個(gè)玩具的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷(xiāo)售量為100個(gè).

(I)求該玩具廠的日利潤(rùn)y元與每個(gè)玩具的出廠價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；

(II)若t=5,則每個(gè)玩具的出廠價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠的日利潤(rùn)y最大？并求最大

值.

參考答案：

⑴設(shè)日輸■q=S0t90)，則由照霖需q=4=100.解需k=100

??

...日輸量q=哼二???談玩具廠的日利國(guó)y元與每個(gè)玩具的出廠價(jià)x元之)同的函數(shù)關(guān)系式為y

100esSr_20-t/一一.、人

=---------：-------^25WxW4O).…“—...............P分r

.、趣.alOGt^r-2$...100<::26-M-、

(2)當(dāng)t=5時(shí)，y=-------;------(25WxW40x3??，=-----;----(25WxS40).?

ee

由y'>0,得25Wx〈26,由y'<0,得26〈xW40.

函數(shù)在區(qū)間［25,26)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(26,40］上單調(diào)遞減.

二當(dāng)x=26時(shí)，函數(shù)取得最大值，ymax=100e4................12分

20.已知三棱錐S-ZAC,SA=SB,AC=BC,0為HI的中點(diǎn)，SO_L平面

AB=4,8=2,N是￡4中點(diǎn)，8與S。所成的角為a,且0a=2.

(1)求證：OCLON.

(2)求三棱錐S-ZAC的體積.

N

B

參考答案:

解（1）,證明：Q/C=BC,。為府的中點(diǎn)

OC1AB.....................................2分

又S9_L平面

：.OC±SO4分

二8_L平，面"，曲Fu平面S15

二81皿......................................6分

（2）設(shè)Q1中點(diǎn)為“，連接卬、MC,則皿〃S。，

故N6M即為CW,與S9所成的角為a

又M7_L皿且aa=2所以M7-2AW-S9

又MC=Joe2+a/2=必+產(chǎn)=6,即so=5

所以三棱錐S-4BC的體積三棱錐3323

21.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A|B1cl中，已知AB=AC=AAL石,

BC=4,A］在底面ABC的射影是線段BC的中點(diǎn)O.

⑴證明：在側(cè)棱M上存在-點(diǎn)E,使得OEJ?平面BB^C,并求出AE的長(zhǎng)；

(2)求二面角AJ-BJC-C!的余弦值.

參考答案:

■:⑴佛??上接A03AAOA,中.作0C1,AA］于點(diǎn)E………??丁?|分

VAA,〃BS.UC1B8,-----------------------------------------------------------2分

???40次TBABC.?A,01BC.又AB?AC.0為BC的中點(diǎn)AO1BC.iBCxfB

AA.O.???K10￡t.\0￡i^B叫JC4分

由AO?〃『-出―仙,AE-Jr■<…

(2)如顯.分則磔OA.OB.OA,所在直線為i.y.t■立

空間直角箜住4L

MA<1.0.0).B(0,i,0),C(0,-2.0),A,(0.04)

由A￡?/AAJ,存點(diǎn)E的*力.(y.O.y)■

dXDMTRB.CC,t9-4*tt?lWO2-(y.O.j)??

---------------------------------------------------9分

?

設(shè)早AtB,C的快白量星：>(>.;.>).

；ii?皿A8?O叱?r-?-*2??O__...、

(00-I).H分

6

所以,虐標(biāo)一*.

即所求翕的余奴?為罐-------------------------------------------------------12分

/、_Inx^k

22.已知函數(shù)/")=/(其中kW區(qū)),F8為r(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求證：曲線尸/口)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線不過(guò)點(diǎn)(2,0);

(II)若在區(qū)間(°川中存在%，使得/(%)=0,求上的取值范圍；

八<二+1

(ni)若rQ)=o,試證明:對(duì)任意x>o,」⑶7+7恒成立.

參考答案:

lnx+k..l-jbr-xlnx

解：(1)由/⑶=一？-得/㈤=17—jeQico),

/⑴=21^

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線斜率為.s,

V/<1>=^,曲線v=，g切線方程為"一；=丁"7,.....2分

-k1—上-.、

0——=(2-1)

假設(shè)切線過(guò)點(diǎn)(2,0),代入上式得：Q